Маленькая книга по исчислению

Маленькая книга по исчислению

Краткое, удобное для начинающих введение в основные идеи исчисления.

Форматы

• Скачать PDF – версия для печати
• Скачать EPUB – подходит для электронных книг
• Исходник LaTeX – источник латекса

Часть 1. Пределы и производные

Глава 1. Функции и ограничения

1.1 Функции

Функция – один из самых основных объектов математики. По своей сути функция — это правило, которое принимает входные данные и выдает ровно один выходной результат. Функции позволяют нам описывать отношения, моделировать явления реального мира и строить весь механизм исчисления.

Определение

Формально записывается функция \(f\) из набора \(X\) (называемого доменом) в набор \(Y\) (называемого кодоменом).

\[ f : X \to Y. \]

Для каждого элемента \(x \in X\) существует уникальный элемент \(f(x) \in Y\). Значение \(f(x)\) называется образом \(x\) в \(f\).

Если \(y = f(x)\), то \(y\) — это выход, соответствующий входу \(x\). Набор всех выходных данных, которые фактически появляются, называется диапазоном (подмножество кодомена).

Примеры

1. Функция \(f(x) = x^2\) сопоставляет каждое действительное число \(x\) с его квадратом.

   • Домен: все действительные числа \(\mathbb{R}\).
   • Кодомен: все действительные числа \(\mathbb{R}\).
   • Диапазон: все неотрицательные действительные числа \([0, \infty)\).

2. Функция \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) присваивает каждому ненулевому действительному числу его обратное значение.

   • Домен: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
   • Диапазон: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

3. Реальный пример: пусть \(T(t)\) — это наружная температура (в °C) в момент времени \(t\) (в часах). Это функция от «времени суток» до «температуры».

Способы представления функций

Функции могут быть представлены несколькими полезными способами:

– Формулы: например, \(f(x) = \sin x + x^2\). - Графики: отображение всех точек \((x, f(x))\) в координатной плоскости. - Таблицы: сопряжение входов и выходов для дискретных наборов данных. - Словесные описания: «Поставьте каждому ученику оценку».

Каждое представление подчеркивает различные аспекты одной и той же функции.

Терминология

• Независимая переменная: входная (обычно обозначается \(x\)).
• Зависимая переменная: вывод (обычно пишется \(y\), где \(y = f(x)\)).
• Обозначение функции: \(f(x)\) читается как «\(f\) из \(x\)».

Почему функции важны в исчислении

Исчисление – это изучение того, как изменяются функции. Производные измеряют мгновенные темпы изменений, а интегралы измеряют накопленные эффекты. Чтобы освоить эти идеи, нам сначала нужно четкое понимание того, что такое функции и как они ведут себя.

Упражнения

1. Для функции \(f(x) = 3x - 2\):- Найдите домен, кодомен и диапазон.

2. Для каких входов определена функция \(h(x) = \sqrt{x-1}\)? Каков его диапазон?

3. Приведите реальный пример функции из вашей повседневной жизни. Четко укажите домен и кодомен.

4. Нарисуйте график \(f(x) = |x|\). Каков диапазон?

5. Предположим, \(g(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\). Объясните, почему его диапазон — это интервал \((0, 1]\).

1.2 Графы и преобразования

Функцию можно понять не только по формулам, но и по ее графику. График функции \(f\) представляет собой набор всех упорядоченных пар \((x, f(x))\), где \(x\) принадлежит домену \(f\). Отображение этих пар на координатной плоскости дает представление о том, как ведет себя функция.

Базовые графики

Некоторые графики настолько фундаментальны, что их следует запомнить:

• \(f(x) = x\): прямая линия, проходящая через начало координат.
• \(f(x) = x^2\): парабола, открывающаяся вверх.
• \(f(x) = |x|\): график в форме буквы «V».
• \(f(x) = \frac{1}{x}\): гипербола с двумя ветвями.
• \(f(x) = \sin x\): волнообразная периодическая кривая.

Они служат строительными блоками для более сложных функций.

Преобразования

Графики можно сдвигать, растягивать или отражать, используя простые правила:

1. Вертикальные сдвиги. Добавление константы перемещает график вверх или вниз.

   \[ y = f(x) + c \quad \text{is } f(x) \text{ shifted upward by } c. \]

2. Горизонтальные сдвиги: добавление внутри аргумента перемещает график влево или вправо.

   \[ y = f(x - c) \quad \text{is } f(x) \text{ shifted right by } c. \]

3. Вертикальное масштабирование. Умножение на константу растягивает или сжимает график по вертикали.

   \[ y = a f(x), \quad a > 1 \text{ stretches; } 0 < a < 1 \text{ compresses.} \]

4. Горизонтальное масштабирование. Умножение внутри аргумента растягивает или сжимает график по горизонтали.

   \[ y = f(bx), \quad b > 1 \text{ compresses toward the } y\text{-axis}. \]

5. Размышления:

   • \(y = -f(x)\): отражение по оси \(x\).
   • \(y = f(-x)\): отражение по оси \(y\).

Объединение преобразований

Сложные графы часто возникают в результате последовательного объединения нескольких преобразований. Например:

\[ y = 2(x-1)^2 + 3 \]

получается, если взять параболу \(y = x^2\), сдвинуть ее вправо на 1, растянуть по вертикали на 2 и сдвинуть вверх на 3.

Упражнения

1. Нарисуйте график \(y = (x+2)^2 - 1\). Определите последовательность преобразований из \(y = x^2\).
2. Что произойдет с графиком \(y = f(x)\), если заменить \(x\) на \(-x\)? Попробуйте это с \(f(x) = \sqrt{x}\).
3. Опишите преобразования, которые превращают \(y = \sin x\) в \(y = 3\sin(x - \pi/4)\).4. Нарисуйте график \(y = |x-1| + 2\). Укажите ее вершину и наклон каждой ветви.
4. Для \(y = \frac{1}{x-2}\) объясните, как был преобразован график \(y = \frac{1}{x}\).

1.3 Интуитивное представление о пределах

Во многих ситуациях значение функции в определенной точке менее важно, чем значения, которые она принимает вблизи этой точки. Концепция предела отражает эту идею.

Приближение к значению

Представьте, что вы идете к стене. Еще до того, как вы прикоснетесь к нему, вы подходите все ближе и ближе. Точно так же, когда \(x\) приближается к числу \(a\), значения \(f(x)\) могут приближаться к некоторому числу \(L\). Затем мы говорим:

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L. \]

Это выражает идею о том, что \(f(x)\) можно сделать настолько близким к \(L\), насколько мы хотим, просто приняв \(x\) достаточно близко к \(a\).

Примеры

1. Для \(f(x) = 2x + 3\): Как \(x \to 1\), \(f(x) \to 5\).

2. Для \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\): Как \(x \to 0\), функция приближается к 1, хотя \(f(0)\) не определена.

3. Для \(f(x) = \dfrac{1}{x}\): Как \(x \to 0^+\) (приближаясь справа), \(f(x) \to +\infty\). Как \(x \to 0^-\) (приближаясь слева), \(f(x) \to -\infty\). Поскольку левое и правое поведение различаются, предела в 0 не существует.

Важность ограничений

• Они позволяют нам определять функции в тех точках, где они изначально не определены.
• Они фиксируют поведение вблизи разрывов и сингулярностей.
• Они образуют основу для производных (мгновенных скоростей изменения) и интегралов (площадей как пределов сумм).

Односторонние ограничения

Иногда поведение слева и справа необходимо изучать отдельно:

\[ \lim_{x \to a^-} f(x), \quad \lim_{x \to a^+} f(x). \]

Если оба согласны, то существует двусторонний предел.

Упражнения

1. Вычислите \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - x)\).
2. Что такое \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)? Используйте интуицию из графика \(\sin x\).
3. Оцените \(\lim_{x \to 0} |x|/x\). Существует ли двусторонний предел?
4. Найдите \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\). Проинтерпретируйте этот результат словами.
5. Что такое \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) для \(\lim_{x \to 1} f(x)\)? Сравните со значением \(f(1)\).

1.4 Формальное определение пределов

Интуитивное представление о пределе можно уточнить, используя определение эпсилон-дельта. Это дает нам строгий способ сказать, что \(f(x)\) приближается к значению \(L\), поскольку \(x\) приближается к \(a\).

Определение

Мы пишем

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

если выполняется следующее условие:

Для каждого \(\varepsilon > 0\) (независимо от его размера) существует \(\delta > 0\) такой, что всякий раз, когда

\[ 0 < |x - a| < \delta, \]

отсюда следует, что

\[ |f(x) - L| < \varepsilon. \]Другими словами: мы можем сделать \(f(x)\) настолько близким к \(L\), при условии, что \(x\) достаточно близок к \(a\) (но не равен \(a\)).

Пример 1: линейная функция

Для \(f(x) = 2x + 1\) покажите, что \(\lim_{x \to 3} f(x) = 7\).

• Нам нужен \(|f(x) - 7| < \varepsilon\).
• Но \(f(x) - 7 = 2x + 1 - 7 = 2(x - 3)\).
• Итак \(|f(x) - 7| = 2|x - 3|\).
• Если мы выберем \(\delta = \varepsilon / 2\), то всякий раз, когда \(|x - 3| < \delta\), у нас будет \(|f(x) - 7| < \varepsilon\). Это доказывает предел.

Пример 2: обратная функция

Для \(f(x) = \frac{1}{x}\) рассмотрите \(\lim_{x \to 2} f(x) = \tfrac{1}{2}\).

• Нам нужен \(\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon\).
• Это неравенство требует алгебраических манипуляций, но его можно удовлетворить, выбрав \(\delta\) в зависимости от \(\varepsilon\). Процесс сложнее, но принцип тот же.

Почему это важно

• Определение эпсилон-дельта гарантирует, что пределы не являются расплывчатыми или основаны только на интуиции.
• Это основа непрерывности, производных и интегралов.
• Хотя новичкам это может показаться абстрактным, работа с простыми примерами способствует знакомству.

Упражнения

1. Используя определение эпсилон-дельта, докажите, что \(\lim_{x \to 4} (x+1) = 5\).
2. Покажите, что \(\lim_{x \to 0} 5x = 0\), используя формальное определение.
3. Объясните, почему \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) не существует.
4. Для \(f(x) = x^2\) покажите, что \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4\).
5. Своими словами объясните роль \(\varepsilon\) и \(\delta\) в определении лимита.

1.5 Непрерывность

Функция называется непрерывной, если ее график можно построить, не отрывая карандаша от бумаги. Точнее, непрерывность гарантирует, что небольшие изменения на входе приводят к небольшим изменениям на выходе.

Определение

Функция \(f\) непрерывна в точке \(a\), если выполняются три условия:

1. \(f(a)\) определен.
2. \(\lim_{x \to a} f(x)\) существует.
3. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

Если функция непрерывна в каждой точке интервала, мы говорим, что она непрерывна на этом интервале.

Примеры

1. Полиномиальные функции. Такие функции, как \(f(x) = x^2 + 3x - 5\), непрерывны всюду на \(\mathbb{R}\).

2. Рациональные функции: \(f(x) = \frac{1}{x-1}\) непрерывен везде, кроме \(x = 1\), где он не определен.

3. Кусочные функции:

   \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1, \\ 2 & x = 1, \\ x+1 & x > 1, \end{cases} \]

   Эта функция имеет «переход» в \(x = 1\), поэтому здесь она не непрерывна.

Типы разрывов

1. Устранимый разрыв: «дырка» в графике. Пример: \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) в \(x=1\).2. Разрыв прыжка. Пределы для левой и правой руки различны.
2. Бесконечный разрыв: функция переходит к \(\pm\infty\) рядом с точкой, как и к \(f(x) = 1/x\) рядом с \(x = 0\).

Теорема о промежуточном значении

Если функция непрерывна на интервале \([a, b]\), то для любого числа \(N\) между \(f(a)\) и \(f(b)\) существует некоторый \(c \in [a, b]\) такой, что \(f(c) = N\).

Это свойство имеет решающее значение для доказательства существования корней и решений уравнений.

Упражнения

1. Определите, является ли функция \(f(x) = |x|\) непрерывной в \(x = 0\).
2. Определите точки разрыва для \(f(x) = \frac{x+2}{x^2-1}\).
3. Объясните, почему каждая полиномиальная функция всюду непрерывна.
4. Приведите пример функции со скачком разрыва. Нарисуйте его график.
5. Используйте теорему о промежуточном значении, чтобы показать, что уравнение \(x^3 + x - 1 = 0\) имеет решение в диапазоне от 0 до 1.

Глава 2. Производные

2.1 Производная как скорость изменения

Производная — одна из центральных идей исчисления. Он измеряет, как изменяется функция по мере изменения ее входных данных — другими словами, скорость изменения выходных данных по отношению к входным данным.

Средняя скорость изменения

Для функции \(f(x)\) средняя скорость изменения между двумя точками \(x = a\) и \(x = b\) равна

\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

Это наклон секущей линии, проходящей через точки \((a, f(a))\) и \((b, f(b))\).

Мгновенная скорость изменения

Чтобы измерить, насколько быстро \(f(x)\) меняется в одной точке, мы позволяем интервалу сокращаться:

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]

Этот предел, если он существует, называется производным от \(f\) по адресу \(a\). Геометрически это наклон касательной к графику \(f\) в точке \((a, f(a))\).

Обозначение

• \(f'(x)\): простое обозначение.
• \(\dfrac{dy}{dx}\): обозначение Лейбница, используется, когда \(y = f(x)\).
• \(Df(x)\): обозначение оператора.

Все эти символы относятся к одному и тому же понятию.

Примеры

1. Для \(f(x) = x^2\):

   \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = 2x. \]

   Наклон параболы в точке \(x\) равен \(2x\).

2. Для \(f(x) = \sin x\):

   \[ f'(x) = \cos x. \]

3. Для \(f(x) = c\) (константа):

   \[ f'(x) = 0. \]

   Постоянная функция никогда не меняется.

Интерпретация

• В физике: если \(s(t)\) — это позиция, то \(s'(t)\) — это скорость.
• В экономике: если \(C(x)\) — это затраты, то \(C'(x)\) — это предельные издержки.
• В биологии: если \(P(t)\) — это численность населения, то \(P'(t)\) — это темпы роста.

Производная делает «изменение» точным во многих контекстах.

Упражнения

1. Вычислите \(f'(x)\) для \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\).2. Найдите наклон касательной к \(f(x) = x^3\) в точке \(x = 2\).
2. Если \(s(t) = t^2 + 2t\) представляет расстояние в метрах, какова скорость в \(t = 5\)?
3. Используйте определение предела для вычисления производной \(f(x) = \frac{1}{x}\).
4. Нарисуйте график \(y = x^2\) и проведите касательную линию в \(x = 1\).

2.2 Правила дифференциации

После того как производная определена, нам нужны эффективные способы ее вычисления. Правила дифференциации — это ярлыки, которые избавляют нас от многократного применения определения предела.

Постоянное правило

Если \(f(x) = c\) где \(c\) — константа, то

\[ f'(x) = 0. \]

Правило силы

Для \(f(x) = x^n\), где \(n\) — действительное число,

\[ \frac{d}{dx} \big( x^n \big) = n x^{n-1}. \]

Примеры:

• \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).
• \(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4\).
• \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Правило постоянного множественного числа

Если \(f(x) = c \cdot g(x)\), то

\[ f'(x) = c \cdot g'(x). \]

Правила суммы и разности

• \((f + g)' = f' + g'\).
• \((f - g)' = f' - g'\).

Правило продукта

Для \(f(x)\) и \(g(x)\):

\[ (fg)' = f'g + fg'. \]

Пример: если \(f(x) = x^2\), \(g(x) = \sin x\):

\[ (fg)' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x). \]

Правило частного

Для \(f(x)\) и \(g(x)\):

\[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g(x) \neq 0. \]

Пример: если \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x+1\):

\[ \left(\frac{x^2}{x+1}\right)' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2}. \]

Производные общих функций

• \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\).
• \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\).
• \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\).
• \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0\).

Упражнения

1. Дифференцируйте \(f(x) = 7x^3 - 4x + 9\).
2. Используйте правило произведения, чтобы найти производную от \(f(x) = x^2 e^x\).
3. Примените правило частного к \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\).
4. Вычислите \(\frac{d}{dx}(\ln(x^2))\), используя цепочку правил.
5. Докажите, что производная от \(f(x) = \frac{1}{x}\) равна \(-\frac{1}{x^2}\).

2.3 Правило цепочки

Часто функции создаются путем объединения более простых функций. Для дифференциации таких сложных функций воспользуемся правилом цепочки.

Правило

Если \(y = f(g(x))\), то

\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x). \]

Другими словами: дифференцируйте внешнюю функцию, оставьте внутреннюю неизменной, затем умножьте на производную внутренней.

Примеры

1. Квадрат линейной функции

   \[ y = (3x+2)^2 \]

   Внешняя функция: \(f(u) = u^2\), внутренняя функция: \(g(x) = 3x+2\).

   \[ y' = 2(3x+2) \cdot 3 = 6(3x+2). \]

2. Экспонента с квадратичным внутри

   \[ y = e^{x^2} \]

   Внешняя функция: \(f(u) = e^u\), внутренняя функция: \(g(x) = x^2\).

   \[y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}. \]

3. Logarithm with root inside

   \[ у = \ln(\sqrt{x}) \]

   Outer: \(f(u) = \ln u\), inner: \(g(x) = \sqrt{x}\).

   \[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x}. \]

Generalized Chain Rule

For multiple nested functions \(y = f(g(h(x)))\):

\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x). \]

This extends naturally to deeper compositions.

Why the Chain Rule Matters

• It handles nearly all real-world models where one quantity depends on another indirectly.
• It connects calculus with physics (e.g., velocity depending on time through position).
• It is essential in implicit differentiation and advanced topics.

Exercises

1. Differentiate \(y = (5x^2 + 1)^3\).
2. Find \(\frac{d}{dx}(\sin(3x))\).
3. Compute \(\frac{d}{dx}(\ln(1+x^2))\).
4. Differentiate \(y = \cos^2(x)\).
5. Apply the generalized chain rule to \(y = e^{\sin(x^2)}\).

2.4 Implicit Differentiation

Not all functions are given in the form \(y = f(x)\). Sometimes \(x\) and \(y\) are related by an equation, and solving explicitly for \(y\) is difficult or impossible. In such cases, we use implicit differentiation.

The Idea

If an equation involves both \(x\) and \(y\), we can differentiate both sides with respect to \(x\), treating \(y\) as a function of \(x\). Each time we differentiate a term involving \(y\), we multiply by \(\frac{dy}{dx}\).

Example 1: A Circle

Equation:

\[ х^2 + у^2 = 25 \]

Differentiate with respect to \(x\):

\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0. \]

Solve for \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}. \]

This gives the slope of the tangent to the circle at any point.

Example 2: A Product of Variables

Equation:

\[ ху = 1 \]

Differentiate:

\[ х \frac{dy}{dx} + y = 0. \]

So,

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}. \]

Example 3: Trigonometric Relation

Equation:

\[ \sin(xy) = х \]

Differentiate:

\[ \cos(xy) \cdot \Big(y + x\frac{dy}{dx}\Big) = 1. \]

Solve for \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}. \]

Чем полезно неявное дифференцирование

• Многие важные кривые (круги, эллипсы, гиперболы) естественным образом определяются неявно.
• Это позволяет нам дифференцировать уравнения без предварительного решения \(y\).
• Это ключевой шаг в более сложных темах, таких как связанные скорости и дифференциальные уравнения.

Упражнения

1. Для кривой \(x^2 + xy + y^2 = 7\) найдите \(\frac{dy}{dx}\).
2. Неявно дифференцировать \(\cos(x) + \cos(y) = 1\).
3. Найдите наклон касательной к \(x^3 + y^3 = 9\) в точке \((1, 2)\).4. Учитывая \(x^2 + y^2 = 10\), вычислите \(\frac{dy}{dx}\), когда \((x, y) = (1, 3)\).
4. Продифференцируйте \(e^{xy} = x + y\), чтобы найти \(\frac{dy}{dx}\).

2.5 Производные высшего порядка

До сих пор мы изучали первую производную, которая измеряет скорость изменения функции. Но сами деривативы также могут быть дифференцированы, что приводит к появлению деривативов более высокого порядка.

Определение

• Вторая производная \(f\) является производной производной:

  \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(f'(x)\right). \]

• В более общем смысле производная \(n\) записывается как

  \[ f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x). \]

Примеры

1. \(f(x) = x^3\)

   • Первая производная: \(f'(x) = 3x^2\).
   • Вторая производная: \(f''(x) = 6x\).
   • Третья производная: \(f^{(3)}(x) = 6\).
   • Четвертая производная: \(f^{(4)}(x) = 0\).

2. \(f(x) = \sin x\)

   • \(f'(x) = \cos x\).
   • \(f''(x) = -\sin x\).
   • \(f^{(3)}(x) = -\cos x\).
   • \(f^{(4)}(x) = \sin x\). Производные повторяются в цикле длиной 4.

3. \(f(x) = e^x\)

   • Каждая производная \(e^x\).

Приложения

• Вогнутость: знак \(f''(x)\) указывает, является ли график \(f\) вогнутым вверх (\(f'' > 0\)) или вогнутым вниз (\(f'' < 0\)).

• Точки перегиба: точки, где \(f''(x) = 0\) и вогнутость меняются.

• Движение: в физике, если \(s(t)\) — это позиция:

  • \(s'(t)\) = скорость,
  • \(s''(t)\) = ускорение,
  • \(s^{(3)}(t)\) = рывок (скорость изменения ускорения).

• Приближения: производные более высокого порядка появляются в рядах Тейлора и используются для аппроксимации функций.

Упражнения

1. Вычислите первые четыре производные \(f(x) = \cos x\).
2. Найдите \(f''(x)\) для \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\).
3. Для \(f(x) = e^{2x}\) покажите, что \(f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}\).
4. Определите интервалы, в которых \(f(x) = x^3 - 3x\) вогнут вверх и вогнут вниз.
5. Если \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\), найдите скорость и ускорение в \(t = 2\).

Глава 3. Применение деривативов

3.1 Касательные и нормали

Одним из первых применений производных является нахождение уравнений касательных и нормалей к кривой. Эти линии отражают локальную геометрию функции в данной точке.

Касательная линия

Касательная линия к кривой \(y = f(x)\) в точке \((a, f(a))\) — это линия, которая просто «касается» графика в этой точке и имеет тот же наклон, что и кривая.

Наклон касательной определяется производной:

\[ m_{\text{tangent}} = f'(a). \]

Таким образом, уравнение касательной в точке \((a, f(a))\) имеет вид

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a). \]

Обычная линия

Нормальная линия перпендикулярна касательной в той же точке. Его наклон является отрицательной величиной, обратной наклону касательной:

\[m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}. \]

So the equation of the normal line is

\[ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} (x - a), \quad f'(a) \neq 0. \]

Examples

1. \(f(x) = x^2\) at \(x = 1\).

   • \(f(1) = 1\), \(f'(x) = 2x\), so \(f'(1) = 2\).
   • Tangent: \(y - 1 = 2(x - 1)\), or \(y = 2x - 1\).
   • Normal: slope = \(-\tfrac{1}{2}\), so equation is \(y - 1 = -\tfrac{1}{2}(x - 1)\).

2. \(f(x) = \sin x\) at \(x = \tfrac{\pi}{4}\).

   • \(f(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(f'(\tfrac{\pi}{4}) = \cos(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\).
   • Tangent: \(y - \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(x - \tfrac{\pi}{4})\).

Why Tangents and Normals Matter

• Tangents approximate the curve locally (linear approximation).
• Normals are useful in geometry, optics (reflection/refraction), and mechanics (force directions).
• Both play a role in optimization and curvature studies.

Exercises

1. Find the tangent and normal lines to \(y = x^3\) at \(x = 2\).
2. Determine the tangent and normal lines to \(y = e^x\) at \(x = 0\).
3. For \(y = \ln x\), compute the tangent line at \(x = 1\).
4. A circle is given by \(x^2 + y^2 = 9\). Use implicit differentiation to find the slope of the tangent at \((0,3)\).
5. Sketch the graph of \(y = \sqrt{x}\) and draw the tangent and normal lines at \(x = 4\).

3.2 Related Rates

In many real-world problems, two or more quantities change with respect to time, and their rates of change are connected. Related rates problems use derivatives to describe these relationships.

General Approach

1. Identify the variables that depend on time \(t\).
2. Write an equation relating the variables.
3. Differentiate both sides with respect to \(t\), applying the chain rule.
4. Substitute the known values at the given instant.
5. Solve for the unknown rate.

Example 1: Expanding Circle

A circle has radius \(r\), which increases at the rate of \(\frac{dr}{dt} = 2 \,\text{cm/s}\). Find the rate at which the area \(A = \pi r^2\) increases when \(r = 5\).

Differentiate:

\[ \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}. \]

Substitute:

\[ \frac{dA}{dt} = 2\pi (5)(2) = 20\pi \,\text{см}^2/\text{s}. \]

Example 2: Sliding Ladder

A 10 ft ladder leans against a wall. The bottom slides away at \(\frac{dx}{dt} = 1 \,\text{ft/s}\). How fast is the top sliding down when the bottom is 6 ft from the wall?

Equation: \(x^2 + y^2 = 100\), where \(y\) is the height.

Differentiate:

\[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0. \]

At \(x = 6\), \(y = 8\). Substitute:

\[ 2(6)(1) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt} = -\tfrac{6}{8} = -\tfrac{3}{4}. \]Таким образом, верхняя часть сдвигается вниз в точке \(0.75 \,\text{ft/s}\).

Пример 3: Вода в конусе

Вода налита в конус высотой 12 см и радиусом 6 см. Когда вода достигает глубины 4 см, уровень воды поднимается на \(2 \,\text{cm/s}\). С какой скоростью увеличивается объем?

Уравнение: \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\). Используя сходство, \(r = \tfrac{h}{2}\). Замена:

\[ V = \tfrac{1}{12}\pi h^3. \]

Дифференцировать:

\[ \frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi h^2 \frac{dh}{dt}. \]

В \(h = 4\), \(\frac{dh}{dt} = 2\):

\[ \frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi (16)(2) = 8\pi \,\text{cm}^3/\text{s}. \]

Почему соответствующие тарифы имеют значение

• Они описывают движение и изменения в физике, технике и биологии.
• Они связывают геометрию с математическим анализом посредством процессов, зависящих от времени.
• Они учат нас математически моделировать динамические системы.

Упражнения

1. Воздушный шар надувается так, что его радиус увеличивается на \(0.5 \,\text{cm/s}\). Найдите, с какой скоростью увеличится его объем, если радиус равен 10 см.
2. Автомобиль едет на север со скоростью 40 км/ч, а другой на восток со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью увеличится расстояние между ними через 2 часа?
3. Прожектор с высоты 20 м от стены освещает человека ростом 2 м, уходящего со скоростью 1,5 м/с. Как быстро изменится длина его тени на стене, когда он окажется на расстоянии 5 м от света?
4. Длина стороны куба растет со скоростью 2 см/с. С какой скоростью увеличится площадь поверхности, если сторона равна 3 см?
5. Песок насыпают в кучу, образуя конус радиусом, всегда равным высоте. Если высота увеличивается со скоростью 5 см/с, с какой скоростью увеличится объем при высоте 10 см?

3.3 Проблемы оптимизации

В задачах оптимизации производные используются для нахождения максимальных или минимальных значений функции, часто при определенных ограничениях. Эти задачи моделируют ситуации, когда мы хотим максимизировать эффективность, прибыль или площадь или минимизировать затраты, расстояние или время.

Общие шаги

1. Поймите проблему: определите количество, которое необходимо оптимизировать.
2. Модель с функцией: запишите целевую функцию через одну переменную.
3. Примените ограничения. Используйте заданные условия для уменьшения переменных.
4. Дифференцировать: вычислить производную целевой функции.
5. Найдите критические точки: решите \(f'(x) = 0\) или где \(f'(x)\) не определен.
6. Проверка максимумов/минимумов. Используйте тест второй производной или проверьте конечные точки.
7. Интерпретируйте результат: Изложите ответ в исходном контексте.

Пример 1: максимальная площадь прямоугольника

Периметр прямоугольника равен 40. Какие размеры максимизируют его площадь?

• Пусть длина \(x\), ширина \(y\). Ограничение: \(2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 - x\).
• Область: \(A = xy = x(20 - x) = 20x - x^2\).- Производное: \(A'(x) = 20 - 2x\). Установите равным 0: \(x = 10\).
• Тогда \(y = 10\).
• Максимальная площадь: \(100\). Прямоугольник представляет собой квадрат.

Пример 2: Минимизация расстояния

Найдите точку на параболе \(y = x^2\), ближайшую к \((0,3)\).

• Расстояние в квадрате: \(D(x) = (x-0)^2 + (x^2 - 3)^2\).
• Разверните: \(D(x) = x^2 + (x^2 - 3)^2 = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9\).
• Производное: \(D'(x) = 4x^3 - 10x\). Решите: \(x(4x^2 - 10) = 0\).
• Решения: \(x = 0\), \(x = \pm \sqrt{2.5}\).
• Проверка дает минимальное расстояние по адресу \(x = \pm \sqrt{2.5}\).

Пример 3: Коробка максимального объема

Коробку без верха сделать из квадратного куска картона со стороной 20 см, вырезав из углов одинаковые квадраты и загнув боковые стороны. Найдите размер разреза, который максимизирует объем.

• Пусть размер выреза = \(x\). Затем размеры: \((20 - 2x) \times (20 - 2x) \times x\).
• Том: \(V(x) = x(20 - 2x)^2\).
• Производное: \(V'(x) = (20 - 2x)(20 - 6x)\).
• Критические точки: \(x = 10\) (даёт нулевой объём) или \(x = \tfrac{20}{6} \approx 3.33\).
• В \(x \approx 3.33\) громкость максимальная.

Почему оптимизация важна

• Инженеры используют его для проектирования эффективных конструкций.
• Предприятия используют его для максимизации прибыли или минимизации затрат.
• Ученые используют его для моделирования природных систем, стремящихся к равновесию.

Упражнения

1. Фермер имеет 100-метровое ограждение для ограждения прямоугольного поля вдоль реки (поэтому ограждение необходимо только с трех сторон). Найдите размеры, увеличивающие площадь.
2. Найдите два положительных числа, сумма которых равна 20 и произведение как можно большего размера.
3. Изготовить цилиндр длиной 100 см\(^2\) материала. Найдите размеры максимального объема.
4. Проволоку длиной 10 м разрезают на две части, одну сгибают в квадрат, другую в круг. Как его следует обрезать, чтобы максимизировать общую площадь ограждения?
5. Необходимо построить закрытый ящик с квадратным основанием объемом 32 м\(^3\). Найдите размеры, минимизирующие площадь поверхности.

3.4 Вогнутость и точки перегиба

Производные говорят нам не только о наклонах, но и о форме графика. Вторая производная особенно полезна для понимания вогнутости и определения точек перегиба.

Вогнутость

• Функция \(f(x)\) вогнута вверх на интервале, если \(f''(x) > 0\). График изгибается вверх, как чашка.

• Функция \(f(x)\) вогнута вниз на интервале, если \(f''(x) < 0\). График наклоняется вниз, словно нахмурившись.

Вогнутость описывает, как изменяется наклон функции: если наклон увеличивается, график вогнут вверх; если наклоны уменьшаются, график вогнут вниз.

Точки перегиба

Точка перегиба — это точка на графике, где изменяется вогнутость.- Если \(f''(x) = 0\) или \(f''(x)\) не определен, точка является кандидатом на роль точки перегиба. - Для подтверждения вогнутость должна изменить знак по обе стороны от точки.

Примеры

1. \(f(x) = x^3\)

   • \(f''(x) = 6x\).
   • В \(x = 0\), \(f''(0) = 0\).
   • Для \(x < 0\), \(f''(x) < 0\) → вогнутым вниз.
   • Для \(x > 0\), \(f''(x) > 0\) → вогнутый вверх.
   • Таким образом, \((0,0)\) является точкой перегиба.

2. \(f(x) = x^4\)

   • \(f''(x) = 12x^2\).
   • У \(x = 0\), \(f''(0) = 0\), но вогнутость не меняет знак (всегда ≥ 0).
   • Нет точки перегиба.

Рисование вогнутостей и кривых

• Если \(f'(x) = 0\) и \(f''(x) > 0\), то \(f\) имеет локальный минимум.
• Если \(f'(x) = 0\) и \(f''(x) < 0\), то \(f\) имеет локальный максимум.
• Это известно как тест второй производной.

Почему это важно

Вогнутость и точки перегиба помогают нам понять «форму» графиков: где они изгибаются, сглаживаются или поворачиваются. Эти идеи занимают центральное место в построении кривых, физике (ускорение) и экономике (убывающая отдача).

Упражнения

1. Определите интервалы вогнутости для \(f(x) = x^3 - 3x\). Найдите ее точки перегиба.
2. Для \(f(x) = \ln(x)\) определите вогнутость и возможные точки перегиба.
3. Примените второй тест производной к \(f(x) = x^2 e^{-x}\), чтобы классифицировать критические точки.
4. Нарисуйте \(f(x) = \sin x\), отмечая интервалы вогнутостей и точки перегиба.
5. Объясните, почему \(f(x) = e^x\) не имеет точек перегиба.

3.5 Создание эскиза кривой

Построение кривой — это процесс построения графика функции с использованием информации о ее производных. Вместо того, чтобы строить множество точек, мы анализируем ключевые особенности: точки пересечения, асимптоты, интервалы увеличения/уменьшения и вогнутость.

Шаги по созданию эскиза кривой

1. Домен: укажите, где определена функция.

2. Перехваты: найдите, где график пересекает оси.

3. Асимптоты:

   • Вертикальные асимптоты возникают там, где функция не определена и стремится к бесконечности.
   • Горизонтальные или наклонные асимптоты описывают конечное поведение как \(x \to \pm\infty\).

4. Первая производная \(f'(x)\):

   • Позитив → функция возрастает.
   • Отрицательный → функция уменьшается.
   • Нули \(f'(x)\) → критические точки (возможные максимумы/минимумы).

5. Вторая производная \(f''(x)\):

   • Положительный → вогнутый вверх.
   • Отрицательный → вогнутый вниз.
   • Нули или неопределенное значение → возможные точки перегиба.

6. Объедините информацию. Используйте все результаты, чтобы построить четкий и точный график.

Пример 1: \(f(x) = x^3 - 3x\)

• Домен: все действительные числа.

• Перехваты: по адресу \((0,0)\).

• Производное: \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\).

  • Увеличение: \((-\infty, -1) \cup (1, \infty)\).

  • Уменьшение: \((-1, 1)\).- Вторая производная: \(f''(x) = 6x\).

  • Вогнутый вниз для \(x < 0\), вогнутый вверх для \(x > 0\).

  • Точка перегиба в \((0,0)\).

• Форма: S-образная кривая с локальным максимумом в \((-1, 2)\) и локальным минимумом в \((1, -2)\).

Пример 2: \(f(x) = \frac{1}{x}\)

• Домен: \(x \neq 0\).

• Вертикальная асимптота: \(x = 0\).

• Горизонтальная асимптота: \(y = 0\).

• Производная: \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) (всегда отрицательная). Функция всегда убывает.

• Вторая производная: \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\).

  • Вогнутый вверх для \(x > 0\).
  • Вогнутый вниз для \(x < 0\).

• График: гипербола с двумя ветвями.

Почему полезно рисовать кривые

• Обеспечивает понимание общего поведения функций без исчерпывающих вычислений.
• Необходим при сдаче экзаменов по математическому анализу и прикладных задачах.
• Соединяет алгебраический анализ и геометрическое понимание.

Упражнения

1. Нарисуйте кривую \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Определите максимумы, минимумы и точки перегиба.
2. Проанализируйте и зарисуйте \(f(x) = \ln(x)\). Покажите точки пересечения, асимптоты и вогнутость.
3. Для \(f(x) = e^{-x}\) опишите рост/распад, асимптоты и вогнутость.
4. Нарисуйте график \(f(x) = \tan x\) на интервале \((- \pi, \pi)\). Отметьте асимптоты.
5. Используйте тесты первой и второй производных для классификации критических точек \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\).

Часть II. Интегралы

Глава 4. Первообразные и определенные интегралы

4.1 Неопределенные интегралы

Неопределенный интеграл — это обратный процесс дифференцирования. Если производная мера изменяется, то интеграл восстанавливает исходную функцию по скорости ее изменения.

Определение

Если \(F'(x) = f(x)\), то

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C, \]

где \(C\) — константа интегрирования.

Каждый неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, отличающихся только константой, поскольку дифференцирование устраняет константы.

Основные правила

1. Постоянное правило

\[ \int c\,dx = cx + C. \]

2. Правило власти

\[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1. \]

3. Правило сумм

\[ \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx. \]

4. Постоянное множественное правило

\[ \int c f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx. \]

Общие интегралы

• \(\int e^x dx = e^x + C\)
• \(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
• \(\int \cos x dx = \sin x + C\)
• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)

Примеры

1. \(\int (3x^2 - 4)\,dx = x^3 - 4x + C\).

2. \(\int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x) + C\).

3. \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\).

Интерпретация

• Неопределенные интегралы являются первообразными.
• Они являются основой для определенных интегралов, которые измеряют накопленные величины, такие как площадь, расстояние и масса.- В прикладном контексте интеграция позволяет нам перейти от ставок обратно к итоговым показателям.

Упражнения

1. Найдите \(\int (5x^4 + 2x)\,dx\).
2. Вычислите \(\int (e^x + 3)\,dx\).
3. Найдите общее решение \(f'(x) = 6x\) с помощью интеграции.
4. Оцените \(\int \frac{2}{x}\,dx\).
5. Если скорость равна \(v(t) = 4t\), найдите функцию положения \(s(t)\).

4.2 Определенный интеграл как площадь

В то время как неопределенные интегралы представляют собой семейства первообразных, определенный интеграл дает числовое значение: накопленную площадь под кривой между двумя точками.

Определение

Для функции \(f(x)\), определенной в \([a, b]\), определенный интеграл равен

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^-) \,\Delta x, \]

где интервал \([a, b]\) разделен на \(n\) подинтервалов шириной \(\Delta x\), а \(x_i^-\) — это точка выборки в каждом подинтервале.

Это предел сумм Римана.

Геометрическая интерпретация

• Если \(f(x) \geq 0\) на \([a, b]\), то \(\int_a^b f(x)\,dx\) равен площади под кривой \(y = f(x)\) от \(x=a\) до \(x=b\).
• Если \(f(x)\) опускается ниже оси \(x\), интеграл вычисляет площадь со знаком: области ниже оси считаются отрицательными.

Свойства определенного интеграла

1. Аддитивность по интервалам

\[ \int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx. \]

2. Изменение ограничений

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]

3. Интервал нулевой ширины

\[ \int_a^a f(x)\,dx = 0. \]

4. Линейность

\[ \int_a^b \big( cf(x) + g(x)\big)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx. \]

Примеры

1. \(\int_0^2 x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^2 = 2.\) Это площадь прямоугольного треугольника под линией \(y=x\).

2. \(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\) Нечетная функция \(x^3\) имеет симметричные области, которые отменяются.

3. \(\int_0^\pi \sin x\,dx = 2.\) Это соответствует площади под одной дугой синусоиды.

Почему это важно

• Определенные интегралы измеряют накопленные величины: расстояние, массу, энергию, вероятность.
• Они соединяют алгебраические вычисления с геометрической интуицией.
• Следующим шагом является Основная теорема исчисления, которая связывает определенные интегралы с первообразными.

Упражнения

1. Вычислите \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\).
2. Найдите область между \(y = x^2\) и осью \(x\) от \(x = 0\) до \(x = 2\).
3. Оцените \(\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\,dx\).
4. Покажите, что \(\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0\), если \(f(x)\) нечетный.
5. Аппроксимируйте \(\int_0^1 e^x\,dx\), используя сумму Римана с \(n=4\) подинтервалами и правыми конечными точками.

4.3 Основная теорема исчисленияФундаментальная теорема исчисления (ФТК) объединяет две основные идеи исчисления: дифференцирование и интегрирование. Это показывает, что поиск площадей и поиск темпов изменений — это две стороны одной медали.

Часть 1: Дифференцирование интеграла

Если \(f\) является непрерывным на \([a, b]\), определите

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt. \]

Тогда \(F\) дифференцируем и

\[ F'(x) = f(x). \]

Другими словами: производная функции накопленной площади сама является исходной функцией.

Часть 2: Вычисление определенных интегралов

Если \(f\) является продолжением \([a, b]\) и \(F\) является любой производной \(f\), то

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \]

Это говорит нам о том, что мы можем вычислять определенные интегралы, просто находя первообразную, а не вычисляя пределы сумм Римана.

Примеры

1. \(\int_0^2 x^2\,dx\).

   • Производная: \(F(x) = \tfrac{1}{3}x^3\).
   • Применить FTC: \(F(2) - F(0) = \tfrac{8}{3} - 0 = \tfrac{8}{3}.\)

2. Если \(F(x) = \int_1^x \cos t \, dt\), то \(F'(x) = \cos x\).

3. \(\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx\).

   • Производная: \(\ln|x|\).
   • Применить FTC: \(\ln 4 - \ln 1 = \ln 4.\)

Почему Федеральная торговая комиссия имеет значение

• Он превращает интеграцию из предельного процесса в практическое вычисление.
• Это подтверждает, что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями.
• Это центральная теорема, которая делает исчисление полезным в математике, естественных науках и технике.

Упражнения

1. Оцените \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\) с помощью FTC.
2. Если \(F(x) = \int_0^x e^t\,dt\), найдите \(F'(x)\).
3. Вычислите \(\int_0^\pi \sin x \, dx\).
4. Докажите, что если \(f'(x) = g(x)\), то \(\int_a^b g(x)\,dx = f(b) - f(a)\).
5. С помощью FTC объясните, почему площадь под \(y = \cos x\) от \(0\) до \(\pi/2\) равна 1.

4.4 Свойства интегралов

Определенный интеграл обладает несколькими важными свойствами, которые делают его гибким и мощным в приложениях. Эти свойства следуют из определения предела сумм и из основной теоремы исчисления.

Линейность

Для функций \(f(x)\) и \(g(x)\) и констант \(c, d\):

\[ \int_a^b \big(c f(x) + d g(x)\big)\,dx = c \int_a^b f(x)\,dx + d \int_a^b g(x)\,dx. \]

Это позволяет разбивать сложные интегралы на более простые части.

Аддитивность по интервалам

Если \(a < c < b\), то

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx. \]

Мы можем вычислять интегралы по частям.

Отмена лимитов

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]

Перестановка границ меняет знак интеграла.

Свойство сравнения

Если \(f(x) \leq g(x)\) для всех \(x\) в \([a, b]\), то

\[ \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx. \]Это позволяет нам сравнивать площади без прямых вычислений.

Абсолютное неравенство ценностей

\[ \left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx. \]

Это свойство важно при анализе и тестах на сходимость.

Симметрия

• Если \(f(x)\) четный (симметричен относительно оси \(y\)):

  \[ \int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]

• Если \(f(x)\) нечетное число (симметрично относительно источника):

  \[ \int_{-a}^a f(x)\,dx = 0. \]

Примеры

1. \(\int_0^2 (3x^2 + 4)\,dx = \int_0^2 3x^2\,dx + \int_0^2 4\,dx = 8 + 8 = 16.\)

2. Поскольку \(f(x) = x^3\) нечетный, \(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\)

3. Поскольку \(f(x) = x^2\) четный, \(\int_{-2}^2 x^2\,dx = 2\int_0^2 x^2\,dx = 2\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}.\)

Почему эти свойства важны

• Они упрощают расчеты.
• Выявляют геометрические и симметричные особенности функций.
• Они предоставляют теоретические инструменты для более углубленного анализа.

Упражнения

1. Используйте симметрию для оценки \(\int_{-5}^5 (x^4 - x^3)\,dx\).
2. Покажите, что \(\int_1^4 (2x+3)\,dx = \int_1^2 (2x+3)\,dx + \int_2^4 (2x+3)\,dx\).
3. Оцените \(\int_0^\pi \sin(x)\,dx\) и сравните с \(\int_{-\pi}^\pi \sin(x)\,dx\).
4. Докажите, что если \(f(x) \geq 0\) на \([a, b]\), то \(\int_a^b f(x)\,dx \geq 0\).
5. Вычислите \(\int_{-3}^3 (x^2 + 1)\,dx\), используя четные/нечетные свойства.

Глава 5. Техники интеграции

5.1 Замена

Одним из наиболее полезных методов интегрирования является метод замены, также называемый -u-замещение-. Это процесс, обратный цепному правилу для деривативов.

Идея

Если интеграл содержит составную функцию, мы можем упростить его, заменяя переменные.

Формально, если \(u = g(x)\) — дифференцируемая функция, то

\[ \int f(g(x)) g'(x)\,dx = \int f(u)\,du. \]

Эта замена упрощает вычисление интеграла.

Шаги по замене

1. Определите внутреннюю функцию \(u = g(x)\), производная которой также присутствует в подынтегральной функции.
2. Вычислите \(du = g'(x)\,dx\).
3. Перепишите интеграл через \(u\).
4. Интегрируйте по \(u\).
5. Замените обратно \(u = g(x)\).

Примеры

1. Простая замена

   \[ \int 2x \cos(x^2)\,dx \]

   Пусть \(u = x^2\), значит \(du = 2x\,dx\). Тогда интеграл станет \(\int \cos u \,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C\).

2. Логарифмический случай

   \[ \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx \]

   Пусть \(u = x^2 + 1\), значит \(du = 2x\,dx\). Тогда интеграл станет \(\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C\).

3. Тригонометрическая замена.

   \[ \int \sin(3x)\,dx \]

   Пусть \(u = 3x\), поэтому \(du = 3\,dx\), следовательно, \(dx = \frac{du}{3}\).Интеграл становится \(\tfrac{1}{3}\int \sin u\,du = -\tfrac{1}{3}\cos u + C = -\tfrac{1}{3}\cos(3x) + C\).

Определенные интегралы с заменой

При вычислении определенных интегралов необходимо также изменить пределы:

\[ \int_a^b f(g(x)) g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du. \]

Пример:

\[ \int_0^1 2x e^{x^2}\,dx. \]

Пусть \(u = x^2\), \(du = 2x\,dx\). Ограничения: когда \(x=0, u=0\); когда \(x=1, u=1\). Таким образом, интеграл становится

\[ \int_0^1 e^u\,du = e - 1. \]

Упражнения

1. Оцените \(\int (x^2+1)^5 (2x)\,dx\).
2. Вычислите \(\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx\).
3. Оцените \(\int_0^\pi \sin(2x)\,dx\) с помощью подстановки.
4. Найдите \(\int e^{3x}\,dx\).
5. Вычислите \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\), используя \(u = 1+x^2\).

5.2 Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — это метод, основанный на правиле произведения для деривативов. Это помогает вычислять интегралы, включающие произведения функций, с которыми нелегко справиться одной заменой.

Формула

Из правила продукта:

\[ \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). \]

Интегрирование обеих сторон дает формулу интегрирования по частям:

\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du. \]

Здесь:

• \(u\) = функция, выбранная для дифференциации,
• \(dv\) = оставшаяся часть подынтегральной функции, подлежащей интегрированию.

Выбор \(u\) и \(dv\)

Распространенным принципом является LIATE (логарифмический, обратный тригонометрический, алгебраический, тригонометрический, экспоненциальный).

• Выберите \(u\) из самой ранней представленной категории.
• В качестве остальных выберите \(dv\).

Примеры

1. Полином × Экспонента

\[ \int x e^x\,dx \]

Пусть \(u = x\), \(dv = e^x dx\). Затем \(du = dx\), \(v = e^x\).

\[ \int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C. \]

2. Полином × Триг

\[ \int x \cos x\,dx \]

Пусть \(u = x\), \(dv = \cos x dx\). Затем \(du = dx\), \(v = \sin x\).

\[ \int x \cos x\,dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. \]

3. Логарифм

\[ \int \ln x\,dx \]

Пусть \(u = \ln x\), \(dv = dx\). Затем \(du = \frac{1}{x}dx\), \(v = x\).

\[ \int \ln x\,dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C. \]

Определенный интегральный пример

\[ \int_0^1 x e^x\,dx \]

Используя предыдущий результат: \(\int x e^x dx = (x-1)e^x\). Оценить:

\[ \big[(x-1)e^x\big]_0^1 = (0)e^1 - (-1)e^0 = 0 + 1 = 1. \]

Почему это важно

Интегрирование по частям имеет решающее значение, когда замена не удалась, особенно с логарифмами, обратными тригонометрическими функциями и произведениями, включающими полиномы с экспонентами или тригонометрическими функциями.

Упражнения

1. Оцените \(\int x \sin x\,dx\).
2. Найдите \(\int e^x \cos x\,dx\).
3. Вычислите \(\int_1^2 \ln x\,dx\).
4. Оцените \(\int x^2 e^x\,dx\).5. Используйте интеграцию по частям, чтобы отобразить \(\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\).

5.3 Тригонометрические интегралы и замены

Многие интегралы включают тригонометрические функции. Их часто можно упростить, используя тождества или делая специальные замены.

Тригонометрические интегралы

1. Степени синуса и косинуса.

• Если степень синуса нечетная: сохраните один \(\sin x\), преобразуйте остальные с помощью \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\) и замените \(u = \cos x\).
• Если степень косинуса нечетная: сохраните один \(\cos x\), преобразуйте остальные с помощью \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\) и замените \(u = \sin x\).
• Если оба четные: используйте тождества половинного угла.

Пример:

\[ \int \sin^3x \cos x \, dx \]

Пусть \(u = \sin x\), \(du = \cos x\,dx\):

\[ \int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \tfrac{\sin^4x}{4} + C. \]

2. Произведения синуса и косинуса на разные углы Используйте формулы произведения к сумме:

\[ \sin A \cos B = \tfrac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]. \]

Пример:

\[ \int \sin(2x)\cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{2}\int [\sin(5x) - \sin(x)]\,dx. \]

3. Степени секущей и тангенса.

• Если степень секущего четная: сохраните \(\sec^2x\), преобразуйте остаток с помощью \(\sec^2x = 1 + \tan^2x\) и замените \(u = \tan x\).
• Если степень тангенса нечетная: сохраните \(\sec^2x\), преобразуйте остаток с помощью \(\tan^2x = \sec^2x - 1\) и замените \(u = \tan x\).

Пример:

\[ \int \tan^3x \sec^2x \, dx \]

Пусть \(u = \tan x\), \(du = \sec^2x\,dx\):

\[ \int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \tfrac{\tan^4x}{4} + C. \]

Тригонометрические замены

Для интегралов, включающих \(\sqrt{a^2 - x^2}\), \(\sqrt{a^2 + x^2}\) или \(\sqrt{x^2 - a^2}\), используйте специальные замены:

1. \(x = a \sin \theta\) для \(\sqrt{a^2 - x^2}\).
2. \(x = a \tan \theta\) для \(\sqrt{a^2 + x^2}\).
3. \(x = a \sec \theta\) для \(\sqrt{x^2 - a^2}\).

Пример:

\[ \int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \]

Пусть \(x = a\sin\theta\), поэтому \(dx = a\cos\theta\,d\theta\):

\[ \int \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta}(a\cos\theta\,d\theta) = \int a^2 \cos^2\theta \, d\theta. \]

Упростите, используя тождества половинного угла.

Почему эти методы важны

• Они преобразуют сложные алгебраические формы в управляемые тригонометрические.
• Они особенно полезны при решении задач, связанных с площадями, объемами и длинами дуг.
• Они закладывают основу для передовых методов интеграции.

Упражнения

1. Оцените \(\int \sin^4x \cos^2x \, dx\).
2. Вычислите \(\int \sin(5x)\cos(2x)\,dx\).
3. Оцените \(\int \tan^2x \sec^2x \, dx\).
4. Найдите \(\int \sqrt{9 - x^2}\,dx\) с помощью подстановки.
5. Покажите, что \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C\), используя \(x = a\tan\theta\).

5.4 Частные дробиПри интегрировании рациональных функций (отношений многочленов) одним из эффективных методов является разложение на частичные дроби. Этот метод выражает сложную дробь как сумму более простых дробей, которые легче интегрировать.

Идея

Если \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) — рациональная функция, у которой степень \(P(x)\) меньше степени \(Q(x)\), мы можем разложить \(R(x)\) на более простые дроби.

Эти более простые части соответствуют множителям знаменателя \(Q(x)\).

Общие формы

1. Различные линейные факторы Если

\[ \frac{1}{(x-a)(x-b)}, \]

затем разложить как

\[ \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}. \]

2. Повторяющиеся линейные факторы Если знаменатель имеет \((x-a)^n\), то члены

\[ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x-a)^n}. \]

3. Неприводимые квадратичные множители Если знаменатель имеет \((x^2+bx+c)\), то числитель линейный:

\[ \frac{Ax+B}{x^2+bx+c}. \]

Пример 1: различные линейные факторы

\[ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx \]

Знаменатель коэффициента: \((x-1)(x+1)\). Разложить:

\[ \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right). \]

Интегрировать:

\[ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C. \]

Пример 2: повторяющийся линейный коэффициент

\[ \int \frac{1}{(x-1)^2}\,dx \]

Это уже просто:

\[ \int (x-1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x-1} + C. \]

Пример 3: неприводимый квадратичный коэффициент

\[ \int \frac{x}{x^2+1}\,dx \]

Замените \(u = x^2+1\) или учтите, что числитель является производной от знаменателя.

\[ \int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C. \]

Этапы разложения на частичные дроби

1. Фактор знаменатель.
2. Напишите общую форму простейшей дроби.
3. Умножьте на знаменатель, чтобы очистить дроби.
4. Найдите неизвестные константы.
5. Интегрируйте каждый термин.

Почему это важно

• Преобразует сложные рациональные функции в простые логарифмические или арктангенсальные формы.
• Особенно полезно в дифференциальных уравнениях и преобразованиях Лапласа.
• Основы продвинутого исчисления и инженерии.

Упражнения

1. Разложить и интегрировать \(\int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx\).
2. Оцените \(\int \frac{1}{x^2(x+1)}\,dx\).
3. Вычислите \(\int \frac{2x+1}{x^2+2x+2}\,dx\).
4. Найдите \(\int \frac{1}{x^3 - x}\,dx\).
5. Докажите, что \(\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C\), используя простейшие дроби или замену.

5.5 Несобственные интегралы

Некоторые интегралы невозможно вычислить напрямую, поскольку интервал бесконечен или подынтегральная функция становится неограниченной. Такие интегралы называются несобственными. Они определяются с помощью лимитов.

Определение

1. Бесконечный интервал

\[\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx. \]

\[ \int_{-\infty}^a f(x)\,dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^a f(x)\,dx. \]

2. Unbounded integrand If \(f(x)\) has a vertical asymptote at \(c\), then

\[ \int_a^c f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)\,dx, \]

\[ \int_c^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x)\,dx. \]

Convergence and Divergence

• If the limit exists and is finite, the improper integral converges.
• If the limit does not exist or is infinite, the improper integral diverges.

Examples

1. Exponential decay

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \Big[-\tfrac{1}{x}\Big]_1^b = 1. \]

This converges.

2. Harmonic function

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \ln b. \]

This diverges to infinity.

3. Asymptote at 0

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx. \]

\[ = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1 = 2. \]

This converges.

4. Asymptote at 0 (divergent)

\[ \int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \ln(1) - \ln(t). \]

This diverges since \(\ln(t) \to -\infty\).

Comparison Test for Improper Integrals

• If \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) for large \(x\), and \(\int g(x)\,dx\) converges, then \(\int f(x)\,dx\) also converges.
• If \(\int f(x)\,dx\) diverges and \(f(x) \geq g(x) \geq 0\), then \(\int g(x)\,dx\) also diverges.

Why Improper Integrals Matter

• They extend integration to infinite domains and unbounded functions.
• They are essential in probability (continuous distributions), physics (gravitational/electric fields), and Fourier analysis.

Exercises

1. Determine whether \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx\) converges for various values of \(p\).
2. Evaluate \(\int_0^\infty e^{-x}\,dx\).
3. Test convergence of \(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx\) depending on \(p\).
4. Compute \(\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx\).
5. Use the comparison test to show that \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}\,dx\) converges.

Chapter 6. Applications of Integration

6.1 Areas and Volumes

One of the most important applications of integration is finding areas under curves and volumes of solids.

Area Between Curves

If \(f(x) \geq g(x)\) on \([a, b]\), then the area between the curves \(y=f(x)\) and \(y=g(x)\) is

\[ A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx. \]

Example: Find the area between \(y=x^2\) and \(y=x\) on \([0,1]\).

\[ A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \tfrac{1}{6}. \]

Volumes by Slicing

If a solid has cross-sectional area \(A(x)\) at position \(x\), then the volume is

\[ V = \int_a^b A(x)\,dx. \]### Тома революции

Когда область вращается вокруг оси, объем полученного твердого тела можно найти с помощью интегрирования.

1. Дисковый метод Если регион под \(y=f(x)\), \(x\in[a,b]\) вращается вокруг оси \(x\):

\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx. \]

2. Метод шайбы Если область между \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) вращается вокруг оси \(x\):

\[ V = \pi \int_a^b \Big([f(x)]^2 - [g(x)]^2\Big)\,dx. \]

3. Метод оболочки Если область под \(y=f(x)\) вращается вокруг оси \(y\):

\[ V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx. \]

Примеры

1. Дисковый метод Вращайте \(y=\sqrt{x}\), \(0 \leq x \leq 4\) вокруг оси \(x\):

\[ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^4 = 8\pi. \]

2. Метод шайбы Вращение области между \(y=\sqrt{x}\) и \(y=1\), \(0 \leq x \leq 1\) вокруг оси \(x\):

\[ V = \pi \int_0^1 \big((\sqrt{x})^2 - (1)^2\big)\,dx = \pi \int_0^1 (x-1)\,dx = -\tfrac{\pi}{2}. \]

(Возьмите абсолютное значение для тома: \(V = \tfrac{\pi}{2}\)).

3. Метод оболочки Повернуть область под \(y=x\), \(0 \leq x \leq 1\) вокруг оси \(y\):

\[ V = 2\pi \int_0^1 x(x)\,dx = 2\pi \int_0^1 x^2\,dx = 2\pi \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2\pi}{3}. \]

Почему это важно

• Обеспечивает точные способы вычисления площадей и объемов в геометрии.
• Необходим в физике, технике и теории вероятностей.
• Знакомит с геометрическим мышлением с интеграцией.

Упражнения

1. Найдите область между \(y=\cos x\) и \(y=\sin x\) на \([0, \pi/2]\).
2. Вычислите объем твердого тела, образованного вращением \(y=x^2\), \(0 \leq x \leq 1\) вокруг оси \(x\).
3. Найдите объем твердого тела, образовавшегося в результате вращения области между \(y=x\) и \(y=\sqrt{x}\) на \([0,1]\) вокруг оси \(y\).
4. Используйте метод шайбы, чтобы вычислить объем твердого тела, образованного вращением \(y=\sqrt{1-x^2}\) (полукруг) вокруг оси \(x\).
5. Найдите область, заключенную между \(y=x^2+1\) и \(y=3x\).

6.2 Длина дуги и площадь поверхности

Интегрирование также можно использовать для измерения длины кривых и площади поверхности твердых тел, образованных вращающимися кривыми.

Длина дуги

Для плавной кривой \(y=f(x)\) на интервале \([a,b]\) длина кривой равна

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

Это происходит в результате аппроксимации кривой отрезками линий и принятия предела.

Пример: Найдите длину \(y=\tfrac{1}{2}x^{3/2}\) от \(x=0\) до \(x=4\).

• Производное: \(f'(x) = \tfrac{3}{4}\sqrt{x}\).
• Формула:

\[ L = \int_0^4 \sqrt{1 + \Big(\tfrac{3}{4}\sqrt{x}\Big)^2}\,dx = \int_0^4 \sqrt{1 + \tfrac{9}{16}x}\,dx. \]

Этот интеграл можно вычислить с помощью подстановки.### Площадь вращения

Если кривая \(y=f(x)\), \(a \leq x \leq b\) вращается вокруг оси \(x\), площадь поверхности полученного твердого тела равна

\[ S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

Если вращаться вокруг оси \(y\):

\[ S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

Примеры

1. Длина дуги линии Для \(y=x\), \(0 \leq x \leq 3\):

\[ L = \int_0^3 \sqrt{1+(1)^2}\,dx = \int_0^3 \sqrt{2}\,dx = 3\sqrt{2}. \]

2. Площадь поверхности сферы. Возьмите \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\), \(-r \leq x \leq r\) и вращайтесь вокруг оси \(x\).

\[ S = 2\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\,dx. \]

Упрощение дает \(S = 4\pi r^2\), знакомую формулу площади поверхности сферы.

Почему это важно

• Длина дуги расширяет представление о расстоянии до изогнутых путей.
• Площадь поверхности вращения находит применение в физике, технике и дизайне.
• Обеспечивает мост между математическим анализом и геометрией.

Упражнения

1. Найдите длину дуги \(y=\sqrt{x}\) от \(x=0\) до \(x=4\).
2. Вычислите площадь поверхности твердого тела, полученную вращением \(y=x^2\), \(0 \leq x \leq 1\) вокруг оси \(x\).
3. Найдите длину дуги \(y=\ln(\cosh x)\) от \(x=0\) до \(x=1\).
4. Покажите, что вращение \(y=\sqrt{r^2 - x^2}\) от \(0\) до \(r\) вокруг оси \(x\) дает половину площади поверхности сферы.
5. Выведите формулу площади поверхности конуса, вращая линию.

6.3 Работа и средние значения

Интеграция не ограничивается геометрией. Это также помогает вычислить работу, совершенную силой, и среднее значение функции за интервал.

Работа

Если переменная сила \(F(x)\) перемещает объект по прямой от \(x=a\) до \(x=b\), то общая работа равна

\[ W = \int_a^b F(x)\,dx. \]

Эта формула обобщает простой случай \(W = F \cdot d\) для постоянной силы.

Пример 1: Пружинная сила (Закон Гука) Для пружины, растянутой с длины \(a\) до \(b\) с силой \(F(x) = kx\):

\[ W = \int_a^b kx\,dx = \tfrac{1}{2}k(b^2-a^2). \]

Пример 2: Перекачивание воды Если из бака откачать воду, то требуемая работа равна

\[ W = \int_a^b \text{(weight density)} \times \text{(cross-sectional area)} \times \text{(distance lifted)} \, dx. \]

Среднее значение функции

Среднее значение непрерывной функции \(f(x)\) на \([a,b]\) равно

\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx. \]

Это непрерывный аналог усреднения списка чисел.

Пример 1: Для \(f(x)=x^2\) на \([0,2]\):

\[ f_{\text{avg}} = \tfrac{1}{2-0}\int_0^2 x^2 dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}. \]

Пример 2:Если скорость частицы равна \(v(t)\), то средняя скорость по \([a,b]\) равна

\[ v_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt. \]

Почему это важно

• Интегралы работы появляются в физических, инженерных и энергетических расчетах.
• Среднее значение дает одно репрезентативное число для различных количеств.
• Оба связывают исчисление с реальными проблемами движения, силы и эффективности.

Упражнения

1. Вычислите работу, необходимую для растяжения пружины с 2 м до 5 м, если \(k=10\).
2. Объект массой 100 кг поднимается вертикально на высоту 5 м в гравитационном поле (\(g=9.8 \,\text{m/s}^2\)). Выразите работу в виде интеграла и оцените.
3. Найдите среднее значение \(f(x)=\sin x\) на \([0,\pi]\).
4. Вычислите среднюю температуру, если \(T(t)=20+5\cos(\tfrac{\pi t}{12})\), за 24 часа в сутки.
5. Резервуар глубиной 10 м наполнен водой. Вычислите работу, необходимую для перекачки всей воды наверх, учитывая, что вода весит \(9800 \,\text{N/m}^3\).

6.4 Плотности вероятности и непрерывные распределения

Интегрирование также играет центральную роль в теории вероятностей, особенно для непрерывных случайных величин. Вместо дискретных результатов мы описываем вероятности с помощью функций, называемых функциями плотности вероятности (pdf).

Функции плотности вероятности

Функция плотности вероятности \(f(x)\) должна удовлетворять двум условиям:

1. \(f(x) \geq 0\) для всех \(x\).

2. Общая площадь под кривой равна 1:

   \[ \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1. \]

Если \(X\) является непрерывной случайной величиной с pdf \(f(x)\), то вероятность того, что \(X\) находится между \(a\) и \(b\), равна

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx. \]

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) определяется как

\[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt. \]

Он дает вероятность того, что случайная величина меньше или равна \(x\).

Ожидаемое значение (среднее)

Ожидаемое значение непрерывной случайной величины представляет собой средневзвешенное значение:

\[ E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\,dx. \]

Примеры

1. Равномерное распределение Для \(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) на \([a,b]\):

• Вероятность интервала \([c,d]\):

  \[ P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}. \]

• Ожидаемое значение: \(E[X] = \tfrac{a+b}{2}\).

2. Экспоненциальное распределение Для \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\), \(x \geq 0\):

• \(\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1\).
• Среднее значение: \(E[X] = \tfrac{1}{\lambda}\).

3. Нормальное распределение Колоколообразная кривая:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}. \]

Он интегрируется до 1, но требует передовых методов.

Почему это важно- Плотности вероятности описывают неопределенность в науке, технике и статистике.

• Интегралы связывают площади под кривыми с вероятностями.
• Непрерывные распределения обобщают идею подсчета результатов для измерения вероятности на протяжении интервалов.

Упражнения

1. Покажите, что равномерная плотность \(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) на \([a,b]\) интегрируется до 1.
2. Для экспоненциального распределения с \(\lambda = 2\) вычислите \(P(0 \leq X \leq 1)\).
3. Найдите ожидаемое значение \(X\), если \(f(x) = 3x^2\) на \([0,1]\).
4. Убедитесь, что нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией 1 имеет общую вероятность 1 (нет необходимости в полном доказательстве, но объясните, почему это справедливо).
5. Вычислите cdf однородного дистрибутива на \([0,1]\).

Часть III. Многомерное исчисление

Глава 7. Векторные функции и кривые

7.1 Векторные функции и пространственные кривые

В исчислении с несколькими переменными функции могут выводить векторы вместо чисел. Их называют векторными функциями, и они необходимы для описания кривых в пространстве.

Определение

Вектор-функция – это функция вида

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

где \(x(t), y(t), z(t)\) — функции с действительным знаком.

• Вход \(t\) часто называют параметром.
• Выходные данные представляют собой вектор в 2D или 3D-пространстве.
• График векторной функции в 3D представляет собой пространственную кривую.

Примеры

1. Линия

\[ \mathbf{r}(t) = \langle 1+2t, \; 3-t, \; 4+5t \rangle. \]

Это описывает прямую линию, проходящую через точку \((1,3,4)\) с вектором направления \(\langle 2,-1,5 \rangle\).

2. Круг в плоскости

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 0 \rangle, \quad 0 \leq t < 2\pi. \]

3. Спираль

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; t \rangle. \]

Это спираль, восходящая вокруг оси \(z\).

Ограничения и непрерывность

Векторная функция является непрерывной в \(t=a\), если каждый компонент \(x(t), y(t), z(t)\) непрерывен в \(t=a\).

\[ \lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} x(t), \; \lim_{t \to a} y(t), \; \lim_{t \to a} z(t) \rangle. \]

Геометрия пространственных кривых

• Каждая кривая имеет касательное направление, заданное производной.
• Пространственные кривые могут моделировать пути движения, траектории частиц и геометрические фигуры.

Почему это важно

Векторные функции являются основой исчисления многих переменных, позволяя нам распространить идеи производных и интегралов на более высокие измерения. Они также естественным образом появляются в физике (движение в 3D, электромагнетизм, гидродинамика).

Упражнения

1. Напишите векторную функцию для линии, проходящей через \((0,1,2)\), параллельной вектору \(\langle 3,-2,1 \rangle\).2. Опишите кривую, заданную \(\mathbf{r}(t) = \langle 2\cos t, \; 2\sin t, \; 3 \rangle\).
2. Определите, является ли \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \; \ln t, \; t^2 \rangle\) непрерывным на уровне \(t=1\).
3. Нарисуйте спираль \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 2t \rangle\).
4. Найдите точку на кривой \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \; t^2, \; t^3 \rangle\), когда \(t=2\).

7.2 Производные и интегралы векторных функций

Векторные функции можно дифференцировать и интегрировать так же, как и обычные функции — мы просто применяем операцию к каждому компоненту. Это позволяет нам изучать движение, скорость, ускорение и накопление в более высоких измерениях.

Производная векторной функции

Если

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

тогда

\[ \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle. \]

Этот производный вектор указывает в касательном направлении к кривой в параметре \(t\).

• Скорость: если \(\mathbf{r}(t)\) указывает положение частицы в момент времени \(t\), то \(\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)\) — это вектор ее скорости.
• Скорость: величина \(|\mathbf{v}(t)|\) — это скорость частицы.
• Ускорение: \(\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t)\).

Примеры

1. Спираль

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle. \]

• Скорость: \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• Скорость: \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
• Ускорение: \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).

2. Движение снаряда

\[ \mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cdot t, \; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle. \]

Это моделирует параболическую траекторию снаряда под действием силы тяжести.

Интеграл векторной функции

Если

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

тогда

\[ \int \mathbf{r}(t)\,dt = \left\langle \int x(t)\,dt, \; \int y(t)\,dt, \; \int z(t)\,dt \right\rangle + \mathbf{C}, \]

где \(\mathbf{C}\) — постоянный вектор.

Пример

\[ \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle. \]

• Производное: \(\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 2t, 3t^2 \rangle\).
• Интеграл:

\[ \int \mathbf{r}(t)\,dt = \langle \tfrac{1}{2}t^2, \tfrac{1}{3}t^3, \tfrac{1}{4}t^4 \rangle + \mathbf{C}. \]

Почему это важно

• Производные векторных функций описывают движение и силы в пространстве.
• Интегралы дают перемещение, работу и накопленные величины.
• Эти инструменты напрямую соединяют математический анализ с физикой и инженерией.

Упражнения

1. Для \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\) найдите скорость, скорость и ускорение.2. Вычислите \(\mathbf{r}'(t)\) для \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \ln t, t^2 \rangle\).
2. Интегрируйте \(\mathbf{r}(t) = \langle 1, t, t^2 \rangle\).
3. Частица имеет скорость \(\mathbf{v}(t) = \langle t, 2, 0 \rangle\). Найдите его вектор положения, если \(\mathbf{r}(0) = \langle 1, 0, 0 \rangle\).
4. Докажите, что скорость \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle\) постоянна.

7.3 Длина и кривизна дуги

Векторное исчисление предоставляет инструменты для измерения не только пути, проложенного кривой, но и того, насколько резко она изгибается. Они выражаются через длину и кривизну дуги.

Длина дуги пространственной кривой

Если кривая задана формулой

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \quad a \leq t \leq b, \]

тогда длина дуги

\[ L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt, \]

где

\[ |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}. \]

Пример: Для спирали \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle, \, 0 \leq t \leq 2\pi\):

• Скорость: \(\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• Скорость: \(|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
• Длина дуги:

\[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2}\,dt = 2\pi\sqrt{2}. \]

Кривизна

Кривизна измеряет, насколько быстро кривая меняет направление.

Для плавной кривой \(\mathbf{r}(t)\):

\[ \kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}. \]

• \(\kappa = 0\): прямая линия.
• Больший \(\kappa\): кривая изгибается более резко.

Пример: Для круга радиусом \(r\):

\[ \mathbf{r}(t) = \langle r\cos t, r\sin t \rangle. \]

Затем \(\kappa = \tfrac{1}{r}\). Таким образом, кривизна постоянна и обратно пропорциональна радиусу.

Единичные касательные и нормальные векторы

• Касательный вектор:

\[ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}. \]

• Вектор нормали: указывает на центр кривизны, определяемый как

\[ \mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}. \]

Эти векторы описывают геометрию движения: направление движения и направление поворота.

Почему это важно

• Длина дуги обобщает понятие расстояния до кривых в пространстве.
• Кривизна описывает изгиб, имеющий решающее значение в физике (центростремительное ускорение), технике (дороги, американские горки) и компьютерной графике.

Упражнения

1. Найдите длину дуги \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, 0 \rangle\) от \(t=0\) до \(t=1\).
2. Вычислите кривизну круга \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\).
3. Для \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\) вычислите \(|\mathbf{r}'(t)|\).
4. Покажите, что прямая линия имеет кривизну \(\kappa = 0\).5. Найдите касательный вектор к \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\) в точке \(t=0\).

7.4 Движение в пространстве

Векторные функции особенно эффективны при описании движения в двух или трех измерениях. Положение, скорость и ускорение естественным образом выражаются с помощью производных и интегралов векторных функций.

Положение, скорость и ускорение

• Вектор положения:

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \]

• Вектор скорости (производная положения):

\[ \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle \]

• Скорость (величина скорости):

\[ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \]

• Вектор ускорения (производная скорости):

\[ \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t). \]

Тангенциальные и нормальные компоненты

Ускорение можно разложить на две составляющие:

\[ \mathbf{a}(t) = a_T \mathbf{T}(t) + a_N \mathbf{N}(t), \]

где:

• \(\mathbf{T}(t)\) = единичный касательный вектор,
• \(\mathbf{N}(t)\) = главный вектор нормали,
• \(a_T = \frac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)|\) = тангенциальное ускорение (изменение скорости),
• \(a_N = \kappa |\mathbf{v}(t)|^2\) = нормальное ускорение (изменение направления).

Движение снаряда в 3D

При силе тяжести, действующей в направлении \(-z\):

\[ \mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cos\phi \cdot t,\; v_0 \cos\theta \sin\phi \cdot t,\; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle, \]

где \(v_0\) — начальная скорость, \(\theta\) угол запуска и \(\phi\) азимутальное направление.

Пример: винтовое движение

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle \]

• Скорость: \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• Скорость: \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{2}\).
• Ускорение: \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).
• Движение равномерное по скорости, по спирали вверх.

Почему это важно

• Обеспечивает математический язык для реального движения.
• Необходим в физике (силы, траектории, круговое движение).
• Фонд передовой механики и инженерных моделей.

Упражнения

1. Частица движется по \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle\). Найдите скорость и ускорение в \(t=1\).
2. Докажите, что скорость спирали \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle\) постоянна.
3. Снаряд запускается с \(v_0 = 20 \,\text{m/s}\) под углом \(45^\circ\). Запишите его вектор положения, предполагая движение в вертикальной плоскости.
4. Для \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\) найдите \(\mathbf{v}(t)\) и \(\mathbf{a}(t)\).
5. Разложим вектор ускорения на тангенциальную и нормальную составляющие для движения по окружности радиуса \(r\).# Глава 8. Функции нескольких переменных

8.1 Пределы и непрерывность нескольких переменных

В исчислении с несколькими переменными функции могут зависеть от двух или более переменных, например \(f(x,y)\) или \(f(x,y,z)\). Понятия пределов и непрерывности естественным образом вытекают из исчисления с одной переменной, но они более тонкие, поскольку мы должны учитывать все возможные пути подхода.

Ограничения в двух переменных

Для функции \(f(x,y)\) мы говорим

\[ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L \]

если \(f(x,y)\) приближается к \(L\) произвольно, когда \((x,y)\) приближается к \((a,b)\) по любому пути.

Если разные пути дают разные предельные значения, то предела не существует.

Пример 1 (существует ограничение):

\[ f(x,y) = x^2 + y^2, \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0. \]

Пример 2 (лимит не существует):

\[ f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}, \quad (x,y) \to (0,0). \]

• Вдоль \(y=0\) функция равна 0.
• Рядом с \(y=x\) используется функция \(\tfrac{1}{2}\). Разные результаты → лимита не существует.

Непрерывность

Функция \(f(x,y)\) является непрерывной в \((a,b)\), если

\[ \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b). \]

Полиномы и рациональные функции (где знаменатель ≠ 0) непрерывны всюду в своих областях определения.

Расширение до трех и более переменных

Для \(f(x,y,z)\) пределы и непрерывность определяются одинаково, но к точке \((a,b,c)\) необходимо приближаться с бесконечного множества направлений в пространстве.

Почему это важно

• Непрерывность гарантирует отсутствие скачков, дыр и асимптот в функциях многих переменных.
• Пределы имеют основополагающее значение для определения частных производных и кратных интегралов.
• Эти концепции являются строительными блоками для многомерного исчисления.

Упражнения

1. Определите, существует ли \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\).
2. Покажите, что \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0\) вдоль всех прямых путей \(y=mx\).
3. Существует ли ограничение для \(f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) как \((x,y)\to(0,0)\)?
4. Объясните, почему многочлены от двух переменных непрерывны всюду.
5. Приведите пример функции двух переменных, разрывной в точке, и объясните, почему.

8.2 Частные производные

В функциях нескольких переменных мы часто хотим измерить, как изменяется функция, когда изменяется только одна переменная, а остальные остаются постоянными. Это приводит к идее частных производных.

Определение

Для функции \(f(x,y)\) частная производная по \(x\) в точке \((a,b)\) равна

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h}. \]

Аналогично, частная производная по \(y\) равна

\[\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a,b)}{h}. \]

We treat all other variables as constants when differentiating.

Notation

• \(\frac{\partial f}{\partial x}\), \(f_x\), \(\partial_x f\).
• \(\frac{\partial f}{\partial y}\), \(f_y\), \(\partial_y f\).

For three variables \(f(x,y,z)\), we also have \(f_x, f_y, f_z\).

Examples

1. \(f(x,y) = x^2y + y^3\)

• \(f_x = 2xy\).
• \(f_y = x^2 + 3y^2\).

2. \(f(x,y) = e^{xy}\)

• \(f_x = y e^{xy}\).
• \(f_y = x e^{xy}\).

3. \(f(x,y,z) = x^2 + yz\)

• \(f_x = 2x\).
• \(f_y = z\).
• \(f_z = y\).

Higher-Order Partial Derivatives

We can take partial derivatives repeatedly:

• \(f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Big(f_x\Big)\).
• \(f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\), etc.

Clairaut’s Theorem: If \(f\) has continuous second partial derivatives, then

\[ f_{xy} = f_{yx}. \]

Geometric Meaning

• \(f_x\): slope of the surface in the \(x\)-direction.
• \(f_y\): slope of the surface in the \(y\)-direction.
• Together they describe how the surface tilts.

Why This Matters

• Partial derivatives are the foundation of gradients, tangent planes, and optimization in multiple variables.
• They are widely used in physics, engineering, and economics to model systems with several inputs.

Exercises

1. Find \(f_x\) and \(f_y\) for \(f(x,y) = x^3y^2\).
2. Compute \(f_x, f_y, f_z\) for \(f(x,y,z) = xyz + x^2\).
3. Verify Clairaut’s theorem for \(f(x,y) = x^2y + y^3\).
4. Interpret geometrically what \(f_x\) and \(f_y\) mean for \(f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\).
5. Find all second-order partial derivatives of \(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\).

8.3 Gradient and Directional Derivatives

Partial derivatives measure change along the coordinate axes, but sometimes we want to know the rate of change of a function in any direction. This leads to the concepts of the gradient and directional derivatives.

Gradient Vector

For a function \(f(x,y)\), the gradient is the vector

\[ \nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle. \]

For three variables \(f(x,y,z)\):

\[ \nabla f(x,y,z) = \left\langle f_x, f_y, f_z \right\rangle. \]

The gradient points in the direction of maximum increase of the function, and its magnitude gives the steepest slope.

Directional Derivatives

The rate of change of \(f(x,y)\) at a point in the direction of a unit vector \(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) is

\[ D_{\mathbf{u}} f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}. \]

Это скалярное произведение градиента с вектором направления.

Примеры

1. \(f(x,y) = x^2 + y^2\)

• Градиент: \(\nabla f = \langle 2x, 2y \rangle\).- В (1,2): \(\nabla f = \langle 2,4 \rangle\).
• Производная по направлению вдоль \(\mathbf{u} = \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle\):

\[ D_{\mathbf{u}} f(1,2) = \langle 2,4 \rangle \cdot \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle = \tfrac{26}{5}. \]

2. \(f(x,y,z) = x y z\)

• Градиент: \(\nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle\).
• В (1,1,1): \(\nabla f = \langle 1,1,1 \rangle\).
• Максимальное направление увеличения — вдоль \(\langle 1,1,1 \rangle\).

Геометрическая интерпретация

• Вектор градиента перпендикулярен (нормален) кривым уровня или поверхностям уровня \(f\).
• Производные по направлению обобщают наклон в произвольных направлениях.

Почему это важно

• При оптимизации градиент указывает нам направление движения при самом крутом подъеме или спуске.
• В физике градиенты описывают такие поля, как тепловой поток и электрический потенциал.
• Направленные производные объединяют скорости изменения с одной и несколькими переменными.

Упражнения

1. Вычислите \(\nabla f(x,y)\) для \(f(x,y) = e^{xy}\).
2. Найдите градиент \(f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\) и вычислите его (1,1,1).
3. Рассчитайте производную по направлению от \(f(x,y) = x^2-y\) в (2,1) в направлении \(\mathbf{u} = \langle 0,1 \rangle\).
4. Покажите, что градиент \(f(x,y) = x^2+y^2\) перпендикулярен кругу \(x^2+y^2=1\).
5. Найдите направление единичного вектора, которое максимизирует производную по направлению от \(f(x,y) = xy\) в точке (1,2).

8.4 Касательные плоскости и линейные аппроксимации

В исчислении с одной переменной касательная линия аппроксимирует кривую вблизи точки. В исчислении многих переменных аналогичным понятием является касательная плоскость, которая обеспечивает линейное приближение к поверхности вблизи точки.

Касательная плоскость к поверхности

Предположим, \(z = f(x,y)\) дифференцируем в \((a,b)\). Касательная плоскость в \((a,b,f(a,b))\) определяется выражением

\[ z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b). \]

Эта плоскость касается поверхности в этой точке и приближается к ней вблизи.

Пример 1: Параболоид

Для \(f(x,y) = x^2 + y^2\) в \((1,2)\):

• \(f(1,2) = 1^2+2^2=5\).
• \(f_x = 2x\), поэтому \(f_x(1,2) = 2\).
• \(f_y = 2y\), поэтому \(f_y(1,2) = 4\).

Уравнение касательной плоскости:

\[ z = 5 + 2(x-1) + 4(y-2). \]

Линейная аппроксимация

Касательная плоскость может использоваться для аппроксимации \(f(x,y)\) рядом с \((a,b)\):

\[ f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b). \]

Это линеаризация \(f\) в \((a,b)\).

Пример 2: линейная аппроксимация

Примерно \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) рядом с \((4,5)\).

• \(f(4,5) = \sqrt{9} = 3\).
• \(f_x = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}, \quad f_y = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}\).
• В (4,5): \(f_x = f_y = \tfrac{1}{6}\).

Итак,

\[f(x,y) \approx 3 + \tfrac{1}{6}(x-4) + \tfrac{1}{6}(y-5). \]

Why This Matters

• Tangent planes give the best linear approximation to a surface.
• Linearization simplifies complex functions for computation.
• Widely used in numerical methods, physics, and economics.

Exercises

1. Find the tangent plane to \(z = x^2y + y^2\) at \((1,1)\).
2. Approximate \(f(x,y) = e^{x+y}\) near \((0,0)\).
3. Derive the tangent plane equation for \(z = \ln(x^2+y^2)\) at \((1,1)\).
4. Use linear approximation to estimate \(\sqrt{10.1}\) using \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) near (4,6).
5. Explain why the tangent plane approximation improves as \((x,y)\) gets closer to \((a,b)\).

8.5 Optimization in Several Variables

Optimization in multivariable calculus extends the ideas of maxima and minima from single-variable functions to functions of two or more variables.

Critical Points

For \(f(x,y)\), a critical point occurs where

\[ f_x(x,y) = 0 \quad \text{and} \quad f_y(x,y) = 0, \]

or where the partial derivatives do not exist.

Second Derivative Test

To classify critical points, compute the second partial derivatives:

\[ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - \big(f_{xy}(a,b)\big)^2. \]

• If \(D > 0\) and \(f_{xx}(a,b) > 0\): local minimum.
• If \(D > 0\) and \(f_{xx}(a,b) < 0\): local maximum.
• If \(D < 0\): saddle point.
• If \(D = 0\): test is inconclusive.

Example 1: Paraboloid

\(f(x,y) = x^2 + y^2\).

• \(f_x = 2x, f_y = 2y\). Critical point at (0,0).
• \(f_{xx} = 2, f_{yy} = 2, f_{xy} = 0\).
• \(D = (2)(2) - 0 = 4 > 0\), and \(f_{xx} > 0\).
• So (0,0) is a local minimum.

Example 2: Saddle Point

\(f(x,y) = x^2 - y^2\).

• \(f_x = 2x, f_y = -2y\). Critical point at (0,0).
• \(f_{xx} = 2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0\).
• \(D = (2)(-2) - 0 = -4 < 0\).
• So (0,0) is a saddle point.

Constrained Optimization and Lagrange Multipliers

Sometimes, we want to optimize \(f(x,y)\) subject to a constraint \(g(x,y) = c\).

Method of Lagrange multipliers: solve

\[ \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y). \]

Пример: разверните \(f(x,y) = xy\) с учетом \(x^2+y^2=1\).

• Градиенты: \(\nabla f = \langle y,x \rangle, \quad \nabla g = \langle 2x,2y \rangle\).
• Уравнения: \(y = 2\lambda x, \, x = 2\lambda y\).
• Решения приводят к максимуму в \((\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}})\).

Почему это важно

• Оптимизация необходима в экономике, инженерии, машинном обучении и физике.
• Множители Лагранжа позволяют проводить оптимизацию с ограничениями — ключевой инструмент прикладной математики.

Упражнения

1. Найдите и классифицируйте критические точки \(f(x,y) = x^2+xy+y^2\).
2. Классифицируйте точку (0,0) для \(f(x,y) = x^3-y^3\).3. Используйте второй тест производной для \(f(x,y) = x^4+y^4-4xy\).
3. Максимизируйте \(f(x,y) = x+y\) с учетом \(x^2+y^2=1\).
4. Сверните \(f(x,y) = x^2+2y^2\) с учетом \(x+y=1\).

Глава 9. Кратные интегралы

9.1 Двойные интегралы

В исчислении с одной переменной определенный интеграл дает площадь под кривой. В двух переменных двойной интеграл вычисляет объем под поверхностью (или, в более общем смысле, накопление значений по области).

Определение

Если \(f(x,y)\) непрерывен в регионе \(R\), двойной интеграл равен

\[ \iint_R f(x,y)\, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^-, y_{ij}^-) \Delta A, \]

где \(R\) разделен на небольшие прямоугольники площадью \(\Delta A\).

Итерированные интегралы

По теореме Фубини мы можем вычислить двойной интеграл как повторный интеграл:

\[ \iint_R f(x,y)\, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\, dy\, dx, \]

если \(R\) — прямоугольник \([a,b] \times [c,d]\).

Порядок интегрирования часто можно изменить:

\[ \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. \]

Примеры

1. Прямоугольная область

\[ \iint_R (x+y)\, dA, \quad R=[0,1]\times[0,2]. \]

\[ = \int_0^1 \int_0^2 (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1 \Big[xy+\tfrac{1}{2}y^2\Big]_0^2 dx = \int_0^1 (2x+2)dx = 3. \]

2. Треугольная область

\[ R = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}. \]

\[ \iint_R (x+y)\, dA = \int_0^1 \int_0^x (x+y)\,dy\,dx. \]

Оценка дает \(\tfrac{2}{3}\).

Приложения

• Объем под поверхностью:

\[ V = \iint_R f(x,y)\, dA. \]

• Среднее значение функции по региону:

\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x,y)\, dA. \]

Почему это важно

Двойные интегралы расширяют интегрирование на два измерения. Они важны в физике (масса, распределения вероятностей), экономике (ожидаемые значения) и технике (центроиды, поток).

Упражнения

1. Оцените \(\iint_R (x^2+y^2)\, dA\), где \(R=[0,1]\times[0,1]\).
2. Вычислите \(\iint_R xy\, dA\), где \(R=\{(x,y):0\leq x\leq2,0\leq y\leq x\}\).
3. Найдите среднее значение \(f(x,y) = x+y\) на единичном квадрате \([0,1]\times[0,1]\).
4. Интерпретируйте \(\iint_R f(x,y)\, dA\) с точки зрения вероятности, если \(f(x,y)\) является функцией плотности вероятности.
5. Покажите, что переключение порядка интегрирования дает тот же результат для \(\iint_{[0,1]\times[0,2]} (x+y)\,dA\).

9.2 Тройные интегралы

Тройные интегралы расширяют идею интегрирования до трех переменных, позволяя нам вычислять объемы, массы и другие величины в трехмерных областях.

Определение

Если \(f(x,y,z)\) непрерывен на сплошной области \(E\), тройной интеграл равен

\[\iiint_E f(x,y,z)\, dV = \lim_{m,n,p \to \infty} \sum f(x_{ijk}^-, y_{ijk}^-, z_{ijk}^-) \Delta V, \]

where the region is subdivided into boxes of volume \(\Delta V\).

Iterated Integrals

By Fubini’s Theorem, a triple integral can be computed as an iterated integral:

\[ \iiint_E f(x,y,z)\, dV = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z)\, dz\, dy\, dx, \]

for a rectangular box \(E = [a,b]\times[c,d]\times[e,f]\).

The order of integration can be chosen for convenience.

Examples

1. Rectangular box

\[ \iiint_E xyz\, dV, \quad E=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]. \]

\[ = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 xyz\,dz\,dy\,dx. \]

First integrate over \(z\):

\[ \int_0^3 xyz\,dz = xy \left[\tfrac{1}{2}z^2\right]_0^3 = \tfrac{9}{2}xy. \]

Now integrate over \(y\):

\[ \int_0^2 \tfrac{9}{2}xy\,dy = \tfrac{9}{2}x \cdot \left[\tfrac{1}{2}y^2\right]_0^2 = 9x. \]

Finally integrate over \(x\):

\[ \int_0^1 9x\,dx = \tfrac{9}{2}. \]

2. Region bounded by planes Let \(E = \{(x,y,z) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq y\}\).

\[ \iiint_E 1\,dV = \int_0^1 \int_0^x \int_0^y 1\,dz\,dy\,dx. \]

Evaluate:

\[ = \int_0^1 \int_0^x y\,dy\,dx = \int_0^1 \tfrac{1}{2}x^2\,dx = \tfrac{1}{6}. \]

So the volume of this triangular region is \(\tfrac{1}{6}\).

Applications

• Volume: \(V = \iiint_E 1 \, dV\).

• Mass: If density is \(\rho(x,y,z)\), then

  \[ M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV. \]

• Average value:

  \[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{V(E)} \iiint_E f(x,y,z)\,dV. \]

Why This Matters

Triple integrals generalize area and volume calculations to arbitrary solids. They are used in physics (mass distributions, center of mass, gravitational fields), engineering, and probability.

Exercises

1. Compute \(\iiint_E (x+y+z)\,dV\) over the cube \(E=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\).
2. Find the volume of the tetrahedron bounded by \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\).
3. Evaluate \(\iiint_E x^2 \, dV\) where \(E=[0,2]\times[0,1]\times[0,1]\).
4. Show that \(\iiint_E 1\,dV\) equals the geometric volume of \(E\).
5. If density is \(\rho(x,y,z)=x+y+z\), compute the mass of the unit cube.

9.3 Applications: Volume, Mass, Probability

Triple integrals are powerful because they allow us to compute quantities in three dimensions by accumulating values over a solid region.

Volume

The simplest application is finding the volume of a region \(E\):

\[ V = \iiint_E 1 \, дВ. \]

Example: Find the volume of the solid bounded by the coordinate planes and the plane \(x+y+z=1\).

\[ V = \iiint_E 1 \, dV = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 1 \, dz\, dy\, dx. \]

Оценка дает \(V = \tfrac{1}{6}\).### Масса и плотность

Если твердое тело имеет функцию плотности \(\rho(x,y,z)\), его масса равна

\[ M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV. \]

Центр масс определяется выражением

\[ \bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_E x\rho(x,y,z)\,dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M}\iiint_E y\rho(x,y,z)\,dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M}\iiint_E z\rho(x,y,z)\,dV. \]

Пример: Для единичного куба с постоянной плотностью \(\rho=1\) центр масс находится в \((0.5,0.5,0.5)\).

Вероятность

Если \(f(x,y,z)\) является функцией плотности вероятности в 3D, то вероятность того, что случайная величина находится в области \(E\), равна

\[ P(E) = \iiint_E f(x,y,z)\, dV, \]

где \(f(x,y,z) \geq 0\) и

\[ \iiint_{\mathbb{R}^3} f(x,y,z)\,dV = 1. \]

Пример: Если \(f(x,y,z) = \tfrac{3}{4}z^2\) для \(0 \leq z \leq 1\), равномерно в \(x,y\), то

\[ P(0 \leq z \leq 0.5) = \int_0^{0.5} \tfrac{3}{4}z^2 \, dz = \tfrac{1}{32}. \]

Почему это важно

• Объемы обобщают геометрию неправильных тел.
• Интегралы массы и плотности связывают математический анализ с физикой и техникой.
• Функции плотности вероятности в более высоких измерениях широко используются в статистике и науке о данных.

Упражнения

1. Найдите объем твердого тела, ограниченного \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\) (единичной сферой).
2. Вычислите массу конуса, плотность которого пропорциональна \(z\).
3. Найдите центр масс однородного тетраэдра, ограниченного \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\).
4. Если \(f(x,y,z) = \frac{1}{8}\) на кубе \([0,2]\times[0,2]\times[0,2]\), убедитесь, что это функция плотности вероятности.
5. Используйте тройной интеграл, чтобы вычислить вероятность того, что случайно выбранная точка единичной сферы имеет \(z > 0\).

##9.4 Изменение переменных: полярные, цилиндрические, сферические координаты

Многие интегралы становятся проще, если выражать их в системах координат, соответствующих симметрии региона. Вместо декартовых координат \((x,y,z)\) мы можем использовать полярные, цилиндрические или сферические координаты.

Полярные координаты (2D)

Для функций двух переменных мы можем перейти к полярным координатам:

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r \geq 0, \; 0 \leq \theta < 2\pi. \]

Элемент площади преобразуется как

\[ dA = r\,dr\,d\theta. \]

Пример: Найдите площадь единичного круга.

\[ A = \iint_{x^2+y^2\leq 1} 1\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 r\,dr\,d\theta = \pi. \]

Цилиндрические координаты (3D)

В 3D цилиндрические координаты расширяют полярные координаты с помощью \(z\):

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z. \]

Элемент объема

\[ dV = r\,dr\,d\theta\,dz. \]

Пример: Объем цилиндра радиусом \(R\) и высотой \(h\):

\[ V = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R r\,dr\,d\theta\,dz = \pi R^2 h. \]### Сферические координаты (3D)

Для сферической симметрии используйте:

\[ x = \rho \sin\phi \cos\theta, \quad y = \rho \sin\phi \sin\theta, \quad z = \rho \cos\phi, \]

где

• \(\rho \geq 0\) — расстояние от начала координат,
• \(0 \leq \phi \leq \pi\) — угол от положительной оси \(z\),
• \(0 \leq \theta < 2\pi\) — угол в плоскости \(xy\).

Элемент объема

\[ dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

Пример: Объем единичной сферы:

\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

Оценка:

\[ V = \left(\int_0^1 \rho^2 d\rho\right)\left(\int_0^\pi \sin\phi d\phi\right)\left(\int_0^{2\pi} d\theta\right) = \tfrac{1}{3}(2)(2\pi) = \tfrac{4\pi}{3}. \]

Почему это важно

• Полярные координаты упрощают круговые регионы.
• Цилиндрические координаты управляют цилиндрами и вращательной симметрией.
• Сферические координаты упрощают задачи сфер, конусов и радиалов.
• Эти изменения переменных делают невозможными иначе интегралы управляемыми.

Упражнения

1. Вычислите \(\iint_{x^2+y^2\leq 4} (x^2+y^2)\,dA\), используя полярные координаты.
2. Найдите объем конуса высотой \(h\) и радиусом \(R\), используя цилиндрические координаты.
3. Используйте сферические координаты, чтобы оценить объем шара радиуса \(R\).
4. Покажите, что коэффициент Якобиана для полярных координат равен \(r\).
5. Найдите массу твердого шара радиуса \(R\) с плотностью, пропорциональной расстоянию от начала координат, используя сферические координаты.

Глава 10. Векторное исчисление

10.1 Векторные поля

Векторное поле присваивает вектор каждой точке пространства, подобно тому, как скалярная функция присваивает число. Векторные поля используются для моделирования потоков, сил и других направленных величин.

Определение

В двух измерениях векторное поле представляет собой функцию

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle, \]

где \(P\) и \(Q\) — скалярные функции.

В трёх измерениях,

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = \langle P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) \rangle. \]

Примеры

1. Радиальное поле

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle x, y \rangle. \]

Векторы направлены наружу от начала координат.

2. Поле вращения

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle. \]

Векторы циркулируют вокруг начала координат.

3. Гравитационное поле

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = -\frac{GM}{r^3}\langle x,y,z \rangle, \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

Визуализация векторных полей

• Нарисуйте маленькие стрелки в точках выборки, чтобы указать направление и величину.
• Более плотные стрелки там, где величины больше.
• Полезно для интерпретации линий потока, траекторий и сил.

Линии потокаЛиния тока (или интегральная кривая) векторного поля — это кривая \(\mathbf{r}(t)\), касательный вектор которой в каждой точке соответствует полю:

\[ \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)). \]

Линии тока описывают траектории частиц в поле скоростей.

Почему это важно

• Векторные поля являются фундаментальными в физике (поток жидкости, электромагнетизм, гравитация).
• Они составляют основу линейных интегралов, поверхностных интегралов и больших теорем векторного исчисления (Грина, Стокса, Дивергенции).
• Обеспечить геометрический способ представления направленных величин.

Упражнения

1. Нарисуйте векторное поле \(\mathbf{F}(x,y) = \langle y, -x \rangle\).
2. Определите, указывают ли векторы \(\mathbf{F}(x,y) = \langle x,y \rangle\) на начало координат или от него.
3. Для \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\) вычислите \(\mathbf{F}(1,2,3)\).
4. Опишите потоки \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\).
5. Объясните, почему гравитационное и электрическое поля являются примерами радиально-векторных полей.

10.2 Линейные интегралы

Линейный интеграл расширяет идею интеграла на функции, вычисляемые вдоль кривой. Вместо интегрирования по интервалу или региону мы интегрируем по пути в пространстве.

Определение: скалярный линейный интеграл

Если \(f(x,y)\) — скалярная функция, а \(C\) — кривая, параметризованная \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle, \; a \leq t \leq b\), то линейный интеграл равен

\[ \int_C f(x,y)\, ds = \int_a^b f(x(t),y(t)) \, |\mathbf{r}'(t)|\, dt, \]

где \(ds\) — длина дуги.

Это измеряет накопление \(f\) вдоль кривой.

Определение: интеграл векторной линии

Для векторного поля \(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\) линейный интеграл по \(C\) равен

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, dt. \]

Это измеряет работу, совершаемую полем вдоль кривой.

Примеры

1. Скалярный линейный интеграл.

\[ f(x,y) = x+y, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1. \]

Тогда

\[ \int_C f(x,y)\, ds = \int_0^1 (t+t^2)\sqrt{(1)^2+(2t)^2}\, dt. \]

2. Работа, совершаемая силой

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle y, x \rangle, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1. \]

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \langle t^2, t \rangle \cdot \langle 1, 2t \rangle\, dt = \int_0^1 (t^2 + 2t^2)\, dt = \int_0^1 3t^2\, dt = 1. \]

Физическая интерпретация

• Интеграл скалярной линии: накопление плотности вдоль провода.
• Интеграл векторной линии: работа, совершаемая силой, перемещающей объект по траектории.

Почему это важно- Линейные интегралы связывают векторные поля с физическими величинами, такими как работа и циркуляция.

• Они являются строительными блоками для теоремы Грина и теоремы Стокса.
• Появляются в физике (электрический потенциал, течение жидкости, механика).

Упражнения

1. Вычислите \(\int_C (x^2+y^2)\, ds\), где \(C\) — это отрезок линии от (0,0) до (1,1).
2. Оцените \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) для \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) вдоль единичного круга \(x^2+y^2=1\).
3. Интерпретируйте значение \(\int_C 1\,ds\).
4. Для \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z,0,x \rangle\) вычислите линейный интеграл по \(\mathbf{r}(t) = \langle t,t,1 \rangle, 0 \leq t \leq 1\).
5. Объясните разницу между скалярными и векторными интегралами.

10.3 Поверхностные интегралы

Поверхностный интеграл обобщает линейные интегралы на двумерные поверхности в трехмерном пространстве. Они позволяют нам рассчитывать поток через поверхности и накопление скалярных полей над искривленными поверхностями.

Скалярный поверхностный интеграл

Если поверхность \(S\) параметризована

\[ \mathbf{r}(u,v) = \langle x(u,v), y(u,v), z(u,v) \rangle, \]

тогда поверхностный интеграл скалярной функции \(f(x,y,z)\) равен

\[ \iint_S f(x,y,z)\, dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) \, |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du\,dv, \]

где \(\mathbf{r}_u\) и \(\mathbf{r}_v\) являются частными производными \(\mathbf{r}(u,v)\), а \(D\) — это домен параметра.

Векторный поверхностный интеграл (поток)

Для векторного поля \(\mathbf{F}(x,y,z)\) поток через поверхность \(S\) равен

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS, \]

где \(\mathbf{n}\) — единичный вектор нормали. Используя параметризацию,

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv. \]

Примеры

1. Скалярный поверхностный интеграл. Поверхность: плоскость \(z=1\) над единичным диском \(x^2+y^2 \leq 1\).

\[ \iint_S 1\, dS = \text{area of the disk} = \pi. \]

2. Поток через сферу Пусть \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) и \(S\) = сфера радиуса \(R\). Нормальный вектор — \(\mathbf{n} = \frac{1}{R}\langle x,y,z \rangle\).

\[ \mathbf{F}\cdot \mathbf{n} = \frac{x^2+y^2+z^2}{R} = R. \]

Итак

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S R\, dS = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3. \]

Почему это важно

• Скалярные поверхностные интегралы измеряют распределение площадей и поверхностей.
• Векторные поверхностные интегралы измеряют поток: величину поля, проходящего через поверхность.
• Области применения: электромагнетизм, поток жидкости, теплообмен и многое другое.

Упражнения

1. Вычислите \(\iint_S 1\, dS\) для поверхности куба со стороной 2.2. Найдите поток \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) через единичную сферу.
2. Оцените \(\iint_S z\, dS\) для параболоида \(z = x^2+y^2, \, z \leq 1\).
3. Для \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y,0,0 \rangle\) вычислите поток через плоскости \(x=1\), \(0 \leq y,z \leq 1\).
4. Объясните физически, что значит, если поток векторного поля через замкнутую поверхность равен нулю.

10.4 Теорема Грина

Теорема Грина — это фундаментальный результат векторного исчисления, который соединяет линейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по области, которую она охватывает. Это двумерная версия теоремы Стокса.

Формулировка теоремы Грина

Пусть \(C\) — положительно ориентированная простая замкнутая кривая на плоскости, а \(R\) — область, которую она охватывает. Если \(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\) имеет непрерывные частные производные в открытой области, содержащей \(R\), то

\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\, dA. \]

Интерпретация

• Линейный интеграл вокруг \(C\) измеряет циркуляцию векторного поля вдоль границы.
• Двойной интеграл по \(R\) измеряет общий изгиб (вращение) поля внутри региона.

Пример 1: Формула площади

Если \(\mathbf{F} = \langle -y/2, x/2 \rangle\), то

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1. \]

Таким образом, теорема Грина дает

\[ \text{Area}(R) = \iint_R 1\,dA = \oint_C \left(-\tfrac{y}{2}\,dx + \tfrac{x}{2}\,dy\right). \]

Это дает возможность вычислить площадь с помощью линейного интеграла.

Пример 2: Тираж

Пусть \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) и \(C\) — единичный круг.

• \(P=-y, Q=x\).
• \(Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2\).
• Двойной интеграл по единичному диску:

\[ \iint_R 2\,dA = 2\pi (1^2) = 2\pi. \]

Таким образом, обращение по кругу равно \(2\pi\).

Почему это важно

• Преобразует сложные линейные интегралы в двойные интегралы и наоборот.
• Обеспечивает мост между локальными свойствами (curl) и глобальными свойствами (циркуляция).
• Широко используется в физике для потоков жидкости, электромагнетизма и плоских векторных полей.

Упражнения

1. Используйте теорему Грина, чтобы вычислить площадь внутри эллипса \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).
2. Проверить теорему Грина для \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) вдоль квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
3. Вычислите обращение \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) по единичному кругу.4. Покажите, что если \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), то линейный интеграл от \(\mathbf{F}\) вокруг любой замкнутой кривой равен нулю.
4. Используйте теорему Грина, чтобы показать, что

\[ \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx \]

для любой замкнутой кривой \(C\).

10.5 Теорема Стокса

Теорема Стокса обобщает теорему Грина на три измерения. Он связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля по поверхности с линейным интегралом векторного поля вокруг границы этой поверхности.

Формулировка теоремы Стокса

Пусть \(S\) — ориентированная гладкая поверхность с граничной кривой \(C\) (положительно ориентированной). Если \(\mathbf{F}(x,y,z)\) — векторное поле с непрерывными частными производными, то

\[ \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. \]

• Слева: поток витка \(\mathbf{F}\) через поверхность.
• Правая сторона: обращение \(\mathbf{F}\) вдоль граничной кривой.

Интерпретация

• Линейный интеграл по границе равен общему «вращению» внутри поверхности.
• Расширяет теорему Грина (частный случай, когда поверхность лежит в плоскости).

Пример 1: Теорема Грина как частный случай

Если \(S\) является плоской областью в плоскости \(xy\), теорема Стокса сводится к теореме Грина.

Пример 2: кровообращение в полушарии

Пусть \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, 0 \rangle\) и \(S\) — верхняя полусфера радиуса 1.

• Граница \(C\): единичный круг в плоскости \(xy\).
• По теореме Стокса:

\[ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}. \]

• Завиток: \(\nabla \times \mathbf{F} = \langle 0,0,2 \rangle\).
• Нормаль к полушарию направлена ​​наружу: \(\mathbf{n} = \langle 0,0,1 \rangle\).
• Итак, подынтегр = 2.
• Площадь полушария = \(2\pi (1^2)\).

\[ \iint_S 2\, dS = 2 \cdot 2\pi = 4\pi. \]

Таким образом, циркуляция вокруг экватора равна \(4\pi\).

Почему это важно

• Обеспечивает глубокую связь между поверхностными и линейными интегралами.
• Упрощает расчеты, позволяя выбирать удобные поверхности.
• Широко используется в электромагнетизме (закон Фарадея) и гидродинамике.

Упражнения

1. Проверьте теорему Стокса для \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, -x, 0 \rangle\) над единичным диском в плоскости \(xy\).
2. Вычислите \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\), где \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z, 0, x \rangle\), а \(C\) — граница треугольника с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).
3. Покажите, что если \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), то обращение вокруг любой замкнутой кривой равно нулю.4. Примените теорему Стокса, чтобы вычислить обращение \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, z \rangle\) вокруг границы единичного квадрата в плоскости \(z=0\).
4. Объясните, как теорема Стокса обобщает теорему Грина.

10.6 Теорема о дивергенции

Теорема о дивергенции (также называемая теоремой Гаусса) связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с тройным интегралом дивергенции поля внутри поверхности.

Формулировка теоремы о дивергенции

Пусть \(E\) — сплошная область в \(\mathbb{R}^3\) с граничной поверхностью \(S\) (ориентированной наружу). Если \(\mathbf{F}(x,y,z)\) — векторное поле с непрерывными частными производными по \(E\), то

\[ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV. \]

• Слева: поток \(\mathbf{F}\) через замкнутую поверхность \(S\).
• Правая часть: тройной интеграл от расхождения внутри региона.

Дивергенция

Дивергенция векторного поля \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle P, Q, R \rangle\) равна

\[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}. \]

Он измеряет «чистый отток» на единицу объема в каждой точке.

Пример 1: Поток радиального поля

Пусть \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x, y, z \rangle\) и \(E\) — единичный шар \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\).

• Расхождение: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1+1+1 = 3\).
• Объем единичного шара: \(\tfrac{4}{3}\pi\). Итак

\[ \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV = 3 \cdot \tfrac{4}{3}\pi = 4\pi. \]

Таким образом, поток через единичную сферу равен \(4\pi\).

Пример 2: константное поле

Пусть \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle 1, 0, 0 \rangle\).

• Расхождение: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\).
• Таким образом, поток через любую замкнутую поверхность равен нулю, что соответствует интуиции (нет чистого оттока).

Почему это важно

• Преобразует поверхностные интегралы в более простые объемные интегралы.

• Используется в физике: закон Гаусса в электромагнетизме, потоке жидкости и теплопередаче.

• Завершает объединяющую структуру:

  • Теорема Грина (2D ротор ↔︎ циркуляция)
  • Теорема Стокса (3D ротор ↔︎ циркуляция на поверхностях)
  • Теорема о дивергенции (3D-дивергенция ↔︎ поток на замкнутых поверхностях)

Упражнения

1. Используйте теорему о дивергенции, чтобы вычислить поток \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) через поверхность сферы радиуса \(R\).
2. Проверьте теорему о дивергенции для \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\) на единичном кубе \([0,1]^3\).
3. Покажите, что если \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\), то полный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
4. Вычислите поток \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x^2, y^2, z^2 \rangle\) через единичную сферу.5. Объясните, как теорема о дивергенции обобщает одномерную Фундаментальную теорему исчисления.

Часть IV. Бесконечные процессы

Глава 11. Последовательности и сходимость

11.1 Определения и примеры

Последовательность — это упорядоченный список чисел, обычно записываемый в виде

\[ a_1, a_2, a_3, \dots \]

или, в более общем смысле, \((a_n)_{n=1}^\infty\). Каждый \(a_n\) называется n-м членом последовательности.

Определение последовательности

Последовательность можно определить двумя способами:

1. Явная формула – дает прямое правило для n-го члена.

   • Пример: \(a_n = \frac{1}{n}\) определяет последовательность.

     \[ 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots \]

2. Рекурсивное определение – определяет термины, используя более ранние термины.

   • Пример: последовательность Фибоначчи:

     \[ a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3). \]

Примеры последовательностей

1. Арифметическая последовательность:

   \[ a_n = a_1 + (n-1)d. \]

   Пример: \(a_n = 2n+1\) → последовательность нечетных чисел.

2. Геометрическая последовательность:

   \[ a_n = a_1 r^{n-1}. \]

   Пример: \(a_n = 2^n\) → степени 2.

3. Гармоническая последовательность:

   \[ a_n = \frac{1}{n}. \]

4. Попеременная последовательность:

   \[ a_n = (-1)^n. \]

Последовательности в исчислении

Последовательности являются основой бесконечных процессов:

• Пределы последовательностей → определяют сходимость.
• Ряды → бесконечные суммы, построенные из последовательностей.
• Функции, аппроксимируемые последовательностями и рядами.

Почему это важно

• Последовательности представляют собой строительные блоки для бесконечных рядов и аппроксимаций.
• Они позволяют нам строго определить «приближение к бесконечности» и конвергенцию.
• Многие важные функции (экспоненциальные, тригонометрические) можно выразить через последовательности и ряды.

Упражнения

1. Запишите первые пять членов последовательности \(a_n = \frac{n}{n+1}\).
2. Определите, ограничен ли \(a_n = (-1)^n n\).
3. Дайте рекурсивное определение последовательности \(2,4,8,16,\dots\).
4. Найдите 10-й член арифметической последовательности с помощью \(a_1=3\) и \(d=5\).
5. Напишите явную формулу для последовательности, определенной \(a_1=1\), \(a_{n+1}=2a_n\).

11.2 Монотонные и ограниченные последовательности

Чтобы понять, сходится ли последовательность, нам нужно изучить ее поведение: увеличивается ли она, уменьшается, остается в пределах границ или растет без ограничений? Двумя важными понятиями являются монотонность и ограниченность.

Монотонные последовательности

Последовательность \((a_n)\) называется монотонной, если она всегда возрастает или всегда убывает.

• Монотонный рост:

  \[ a_{n+1} \geq a_n \quad \text{for all } n. \]

• Монотонно убывающее:

  \[ a_{n+1} \leq a_n \quad \text{for all } n. \]

Примеры:1. \(a_n = n\) монотонно увеличивается. 2. \(a_n = \frac{1}{n}\) монотонно убывает.

Ограниченные последовательности

Последовательность ограничена сверху, если существует номер \(M\) такой, что \(a_n \leq M\) для всех \(n\). Он ограничен снизу, если существует \(m\) такой, что \(a_n \geq m\) для всех \(n\).

Если оба условия выполняются, последовательность ограничена.

Примеры:

1. \(a_n = \frac{1}{n}\) ограничен диапазоном от 0 до 1.
2. \(a_n = (-1)^n\) ограничен диапазоном от -1 до 1.
3. \(a_n = n\) не ограничен.

Теорема о монотонной сходимости

Фундаментальный результат анализа:

• Любая монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху, сходится.
• Любая монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу, сходится.

Эта теорема гарантирует сходимость без явного нахождения предела.

Пример

1. Последовательность: \(a_n = 1 - \frac{1}{n}\).

   • Увеличение: с \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} > 0\).
   • Ограничено сверху единицей.
   • Поэтому сходится.
   • Ограничение: \(\lim_{n\to\infty} a_n = 1\).

Почему это важно

• Монотонность и ограниченность позволяют быстро проверить сходимость. — Они необходимы для доказательств и строгого построения пределов. — Эти идеи естественным образом распространяются на функции и ряды.

Упражнения

1. Определите, является ли \(a_n = \frac{n}{n+1}\) монотонным и ограниченным.
2. Покажите, что \(a_n = \sqrt{n}\) монотонно возрастает, но не ограничен.
3. Докажите, что \(a_n = 2 - \frac{1}{n}\) сходится, и найдите его предел.
4. Приведите пример ограниченной последовательности, не являющейся монотонной.
5. Примените теорему монотонной сходимости к \(a_n = \ln\!\big(1+\frac{1}{n}\big)\).

11.3 Пределы последовательностей

Главный вопрос о последовательности заключается в том, приближаются ли ее члены к одному значению по мере роста \(n\). Это приводит к понятию предела последовательности.

Определение

Последовательность \((a_n)\) имеет предел \(L\), если для каждого \(\varepsilon > 0\) существует целое число \(N\) такое, что

\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \text{whenever } n > N. \]

Затем мы пишем

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L. \]

Если такого \(L\) не существует, последовательность расходится.

Интуиция

• Члены последовательности становятся произвольно близкими к \(L\) по мере того, как \(n\) становится большим.
• За пределами некоторого индекса \(N\) все термины остаются в пределах небольшого диапазона около \(L\).

Примеры

1. \(a_n = \frac{1}{n}\). По мере роста \(n\) термины сжимаются до 0.

   \[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0. \]

2. \(a_n = (-1)^n\). Члены чередуются между -1 и 1, поэтому единого предела не существует. Последовательность расходится.

3. \(a_n = \frac{n}{n+1}\). Поскольку \(n \to \infty\), числитель и знаменатель почти равны, поэтому

   \[ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1. \]

Свойства пределовЕсли \(\lim a_n = A\) и \(\lim b_n = B\):

• \(\lim (a_n+b_n) = A+B\).

• \(\lim (a_n b_n) = AB\).

• \(\lim (c a_n) = cA\) для константы \(c\).

• Если \(b_n \neq 0\) и \(B \neq 0\), то

  \[ \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]

Теорема: принцип сжатия

Если \(a_n \leq b_n \leq c_n\) для всех больших \(n\) и

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L, \]

тогда

\[ \lim_{n\to\infty} b_n = L. \]

Пример:

\[ a_n = -\tfrac{1}{n}, \quad b_n = \tfrac{\sin n}{n}, \quad c_n = \tfrac{1}{n}. \]

Поскольку \(-\tfrac{1}{n} \leq \tfrac{\sin n}{n} \leq \tfrac{1}{n}\) и обе ограничивающие последовательности переходят в 0,

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0. \]

Почему это важно

• Ограничения делают строгой идею о том, что последовательности «приближаются» к значению.
• Сходимость последовательностей лежит в основе бесконечных серий и непрерывности.
• Эти понятия необходимы для определения действительных чисел через пределы.

Упражнения

1. Найдите \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{3n+4}\).
2. Определите, сходится ли \(a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\).
3. Сходится ли \(a_n = \cos n\)? Почему или почему нет?
4. Используйте принцип сжатия, чтобы отобразить \(\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0\).
5. Докажите, что если \(\lim a_n = L\), то \(\lim |a_n| = |L|\).

Глава 12. Бесконечная серия

12.1 Ряд и сходимость

Ряд – это сумма членов последовательности. Вместо того, чтобы просто перечислять числа, мы складываем их вместе и изучаем, приближается ли бесконечная сумма к конечному значению.

Определение

Учитывая последовательность \((a_n)\), соответствующая серия равна

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \]

Мы определяем n-ю частичную сумму как

\[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k. \]

Если последовательность \((S_n)\) сходится к конечному пределу \(S\), то ряд сходится и

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = S. \]

Если \((S_n)\) расходится, то и ряд расходится.

Примеры

1. Геометрический ряд

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1. \]

Пример:

\[ 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots = 2. \]

2. Гармонический ряд

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}. \]

Этот ряд расходится, хотя члены обращаются к 0.

3. р-серия

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}. \]

• Сходится, если \(p > 1\).
• Расходится, если \(p \leq 1\).

Необходимое условие сходимости

Если \(\sum a_n\) сходится, то обязательно

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = 0. \]

Если \(\lim a_n \neq 0\), ряд расходится. Но обратное неверно: \(\lim a_n = 0\) не гарантирует сходимости (например, гармонического ряда).

Почему это важно

• Ряды расширяют конечное сложение до бесконечных процессов.
• Сходящиеся ряды используются для аппроксимации функций, вычисления площадей и моделирования физических процессов.- Изучение рядов приводит к мощным тестам сходимости.

Упражнения

1. Определите, сходится ли \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{3^n}\), и найдите его сумму.
2. Покажите, что \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) сходится.
3. Сходится ли \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\)?
4. Запишите первые четыре частичные суммы ряда \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\).
5. Объясните, почему \(\lim a_n = 0\) необходим, но недостаточен для конвергенции.

12.2 Тесты сходимости

Поскольку многие ряды невозможно суммировать напрямую, математики разработали тесты, позволяющие определить, сходится ли ряд или расходится. Эти тесты являются инструментами для анализа бесконечных сумм.

1. Проверка n-го члена на дивергенцию

Если

\[ \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \quad \text{or does not exist}, \]

тогда

\[ \sum a_n \]

расходится.

Если \(\lim a_n = 0\), проверка не дает результатов.

2. Сравнительный тест

Предположим, \(0 \leq a_n \leq b_n\) для всех \(n\).

• Если \(\sum b_n\) сходится, то сходится и \(\sum a_n\).
• Если \(\sum a_n\) расходится, то и \(\sum b_n\) тоже расходится.

3. Тест сравнения пределов

Если \(a_n, b_n > 0\) и

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c, \]

где \(0 < c < \infty\), затем \(\sum a_n\) и \(\sum b_n\) либо сходятся, либо расходятся.

4. Тест на соотношение

Для \(\sum a_n\) вычислите

\[ L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|. \]

• Если \(L < 1\), то ряд сходится абсолютно.
• Если \(L > 1\) или \(L = \infty\), серия расходится.
• Если \(L = 1\), проверка не дает результатов.

5. Корневой тест

Для \(\sum a_n\) вычислите

\[ L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}. \]

• Если \(L < 1\), то ряд сходится абсолютно.
• Если \(L > 1\), ряд расходится.
• Если \(L = 1\), проверка не дает результатов.

6. Тест чередующихся серий (тест Лейбница)

Для серии вида

\[ \sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n, \]

если

1. \(b_{n+1} \leq b_n\) (уменьшается) и
2. \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\),

то ряд сходится.

Примеры

1. \(\sum \frac{1}{n^2}\): Сравнительный тест → сходится.
2. \(\sum \frac{1}{n}\): Гармонический ряд → расходится.
3. \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\): Тест чередующихся серий → сходится.
4. \(\sum \frac{n!}{n^n}\): тест соотношения → сходится.
5. \(\sum \frac{2^n}{n}\): Корневой тест → расходится.

Почему это важно

• Тесты на сходимость позволяют классифицировать ряды без необходимости явного суммирования.
• Они предоставляют систематические способы обработки бесконечных процессов в исчислении.
• Они имеют решающее значение для последующих тем, таких как степенные ряды и ряды Фурье.

Упражнения

1. Проверка сходимости \(\sum \frac{1}{n^3}\).
2. Используйте тест соотношения для \(\sum \frac{3^n}{n!}\).3. Примените корневой тест к \(\sum \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
3. Определите сходимость \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).
4. Используйте тест сравнения пределов с \(\frac{1}{n^2}\) для проверки \(\sum \frac{1}{n^2+1}\).

12.3 Абсолютная и условная сходимость

Не все серии ведут себя одинаково при чередовании знаков. Чтобы справиться с этим, мы различаем абсолютную сходимость и условную сходимость.

Абсолютная конвергенция

Ряд \(\sum a_n\) абсолютно сходящийся, если

\[ \sum |a_n| \]

сходится.

Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то и он сходится.

Пример:

\[ \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. \]

Здесь сходится \(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \sum \frac{1}{n^2}\) (p-серия, \(p=2\)). Таким образом, ряд абсолютно сходится.

Условная сходимость

Ряд \(\sum a_n\) считается условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно.

Пример:

\[ \sum \frac{(-1)^n}{n}. \]

• Тест переменного ряда → сходится.
• Но \(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}\) расходится (гармонический ряд). Значит, ряд условно сходится.

Теорема о перестановке

Для условно сходящегося ряда перестановка членов может изменить сумму — даже заставить ее расходиться или сходиться к другому значению.

Этот удивительный результат показывает деликатную природу условной сходимости.

Почему это важно

• Абсолютная конвергенция сильнее и гарантирует стабильность.
• Условная сходимость подчеркивает важность порядка в бесконечных суммах. — Многие встречающиеся на практике знакопеременные ряды сходятся лишь условно.

Упражнения

1. Покажите, что \(\sum \frac{(-1)^n}{n^3}\) абсолютно сходится.
2. Покажите, что \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\) условно сходится.
3. Проверьте \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) на абсолютную и условную сходимость.
4. Объясните, почему абсолютная сходимость влечет за собой сходимость, а обратное неверно.
5. Исследуйте и изложите своими словами теорему о перегруппировке Римана.

Глава 13. Степенные ряды и разложения

13.1 Серия мощности

Степенной ряд — это бесконечный ряд, в котором каждый член содержит степень переменной. Степенные ряды занимают центральное место в исчислении, поскольку они позволяют нам представлять функции в виде бесконечных многочленов.

Общая форма

Степенной ряд с центром в \(a\) имеет вид

\[ \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n, \]

где \(c_n\) — константы, называемые коэффициентами.

• Если \(a=0\), серия центрируется в начале координат:

  \[ \sum_{n=0}^\infty c_n x^n. \]

Примеры

1. Геометрический ряд

\[ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1. \]

2. Показательная функция

\[e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \]

3. Sine and cosine

\[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. \]

Interval of Convergence

For each power series, there exists a radius of convergence \(R\) such that:

• The series converges if \(|x-a| < R\).
• The series diverges if \(|x-a| > R\).
• At \(|x-a| = R\), convergence must be checked separately.

Why This Matters

• Power series allow us to approximate functions by polynomials.
• They connect calculus with analysis and differential equations.
• Many special functions in mathematics and physics are defined by their power series.

Exercises

1. Write the power series for \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^n}{n!}\).
2. Find the first four terms of the power series for \(e^x\).
3. Express \(\frac{1}{1+x}\) as a power series centered at 0.
4. Determine whether the series \(\sum_{n=0}^\infty n! x^n\) converges at \(x=0.1\).
5. Explain why power series are sometimes called “infinite polynomials.”

13.2 Radius of Convergence

Every power series converges for some values of \(x\) and diverges for others. The boundary between these two behaviors is described by the radius of convergence.

Definition

For a power series

\[ \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n, \]

there exists a number \(R \geq 0\) (possibly infinite) such that:

• The series converges absolutely if \(|x-a| < R\).
• The series diverges if \(|x-a| > R\).
• At \(|x-a| = R\), convergence must be checked separately.

This number \(R\) is called the radius of convergence.

Finding the Radius of Convergence

Two common methods:

1. Ratio Test

\[ R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|. \]

2. Root Test

\[ R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}. \]

Examples

1. Series:

\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \]

Using ratio test:

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n!)}{1/((n+1)!)} = \infty. \]

So \(R = \infty\) (converges for all real \(x\)).

2. Series:

\[ \sum_{n=0}^\infty x^n. \]

Here \(c_n = 1\).

\[ Р = 1. \]

Converges for \(|x| < 1\).

3. Series:

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}. \]

Ratio test:

\[ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x^{n+1}/(n+1))}{(x^n/n)}\right| = |х|. \]

Итак, \(R = 1\). Сходится для \(|x| < 1\), расходится для \(|x| > 1\). В \(x=\pm 1\) проверьте отдельно.

Интервал сближения

Набор значений \(x\), в которых ряд сходится, называется интервалом сходимости.

• Всегда центрируется по адресу \(a\).
• Расширяет блоки \(R\) в обоих направлениях.
• Конечные точки \(x=a\pm R\) необходимо проверять индивидуально.

Почему это важно- Радиус сходимости говорит нам, где степенные ряды ведут себя как функции.

• Необходим для практического использования разложений ряда Тейлора.
• Определяет область применимости рядовых решений в физике и технике.

Упражнения

1. Найдите радиус сходимости \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{n!}\).
2. Вычислите радиус сходимости \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}\).
3. Используйте тест соотношения, чтобы найти \(R\) для \(\sum_{n=0}^\infty n!x^n\).
4. Определите интервал сходимости для \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^n}{n}\).
5. Объясните, почему показательный ряд сходится для всех \(x\), а геометрический ряд сходится только для \(|x|<1\).

13.3 Ряд Тейлора и Маклорена

Степенные ряды становятся особенно эффективными, когда они используются для представления знакомых функций. Это делается с помощью ряда Тейлора, а особый случай с центром в 0 называется рядом Маклорена.

Серия Тейлор

Если функция \(f(x)\) бесконечно дифференцируема в \(x=a\), ее ряд Тейлора относительно \(a\) равен

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. \]

Здесь \(f^{(n)}(a)\) обозначает \(n\)-ю производную от \(f\) по адресу \(a\).

Серия Маклорен

Серия Тейлора с центром в \(a=0\):

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n. \]

Примеры

1. Показательная функция

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

2. Синус и косинус

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

3. Натуральный логарифм (для \(|x|<1\))

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \]

Полиномиальная аппроксимация Тейлора

Конечная сумма первых членов \(n\) представляет собой полином Тейлора степени \(n\):

\[ P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. \]

Этот полином приближается к \(f(x)\) рядом с \(x=a\).

Остаток (термин ошибки)

Разница между функцией и ее полиномом Тейлора равна остатку:

\[ R_n(x) = f(x) - P_n(x). \]

Одна форма (форма Лагранжа)

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \]

для некоторых \(c\) между \(a\) и \(x\).

Почему это важно

• Ряды Тейлора обеспечивают полиномиальную аппроксимацию сложных функций.
• Они необходимы в численном анализе, физике и технике.
• Разложение в ряд Маклорена дает простые формулы для показательных, тригонометрических и логарифмических функций.

Упражнения

1. Найдите серию Маклорена для \(f(x)=\cosh x = \tfrac{e^x+e^{-x}}{2}\).
2. Напишите ряд Тейлора для \(f(x)=e^x\) с центром в \(a=2\).
3. Вычислите полином Тейлора степени 3 для \(f(x)=\ln(1+x)\) в \(a=0\).4. Используйте ряд Маклорена для \(\sin x\), чтобы приблизить \(\sin(0.1)\).
4. Объясните, почему ряды Тейлора часто дают хорошие локальные аппроксимации, но могут расходиться при больших значениях \(|x|\).

13.4 Применение рядов Тейлора

Ряды Тейлора — это не только теоретические инструменты — они используются для аппроксимации функций, решения уравнений и анализа физических систем. Их приложения охватывают математику, естественные науки и инженерию.

Аппроксимация функции

Сложные функции можно аппроксимировать полиномами вблизи точки.

Пример: Приблизительно \(e^x\) рядом с \(x=0\) с использованием полинома Маклорена 3-й степени:

\[ P_3(x) = 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}. \]

Для небольшого \(x\) это дает точные оценки \(e^x\).

Численные методы

Ряды Тейлора составляют основу численных алгоритмов:

• Приближение квадратных корней, логарифмов и тригонометрических значений.
• Оценка ошибки в остаточном члене.
• Используется в итерационных методах, таких как метод Ньютона (где локальная линеаризация происходит из ряда Тейлора).

Решение дифференциальных уравнений

Многие дифференциальные уравнения имеют решения, выраженные в виде рядов Тейлора (или степенных).

Пример: Решением \(y'' + y = 0\) с \(y(0)=0, y'(0)=1\) является \(\sin x\), который естественным образом возникает из серии Маклорена.

Физика и инженерия

• Малоугловое приближение:

  \[ \sin x \approx x, \quad \cos x \approx 1 - \tfrac{x^2}{2}, \quad |x| \ll 1. \]

  Используется в маятниковом движении, оптике и волновой механике.

• Теория относительности и квантовая механика: расширения Тейлора упрощают нелинейные выражения для практического использования.

• Аппроксимация энергетических функций: В механике функции потенциальной энергии разлагаются вблизи точек равновесия.

Вероятность и статистика

• Функции, производящие момент, и характеристические функции используют степенные ряды.
• Аппроксимации вероятностных распределений (например, нормальное приближение к биномиальному) используют разложения Тейлора.

Почему это важно

• Ряды Тейлора служат мостом между точными формулами и практическими вычислениями.
• Они позволяют нам сводить сложные проблемы к управляемым полиномиальным аппроксимациям.
• Приложения делают их одним из важнейших инструментов прикладной математики.

Упражнения

1. Используйте серию Маклорена для \(e^x\), чтобы приблизить \(e^{0.1}\) до четырех десятичных знаков.
2. Примените приближение малого угла для оценки \(\sin(5^\circ)\).
3. Решите дифференциальное уравнение \(y'' = -y\), используя метод степенного ряда.
4. Расширьте \(\ln(1+x)\) до 4-й степени и используйте его для аппроксимации \(\ln(1.1)\).
5. Объясните, почему полиномиальные аппроксимации особенно полезны для компьютеров и калькуляторов.# Приложения

Приложение A. Основы предварительного расчета

A.1 Курс повышения квалификации по алгебре

Прежде чем погрузиться в математический анализ, полезно просмотреть некоторые навыки алгебры, которые будут возникать снова и снова. Это «инструменты», которые вам понадобятся для работы с выражениями, решения уравнений и упрощения результатов.

Показатели и степени

• Основные правила:

  \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}. \]

• Отрицательные показатели:

  \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0. \]

• Дробные показатели:

  \[ a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}. \]

Факторинг

Факторинг упрощает выражения и помогает в решении уравнений.

1. Общий фактор:

   \[ 6x^2+9x = 3x(2x+3). \]

2. Разность квадратов:

   \[ a^2-b^2 = (a-b)(a+b). \]

3. Квадратичные трёхчлены:

   \[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3). \]

Полиномы

• Стандартная форма: \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\).
• Степень: наибольшая степень \(x\).
• Длинное деление и синтетическое деление полезны для упрощения рациональных функций.

Рациональные выражения

Упростите, разложив числитель и знаменатель на множители:

\[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}, \quad x \neq 1. \]

Логарифмы

• Определение: \(\log_a b = c\) означает \(a^c = b\).

• Общие базы: натуральный логарифм (\(\ln x = \log_e x\)) и база 10 (\(\log x\)).

• Правила:

  \[ \log(ab) = \log a + \log b, \quad \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b, \quad \log(a^n) = n\log a. \]

Уравнения

• Линейный: решить \(ax+b=0\) → \(x=-b/a\).

• Квадратичный: \(ax^2+bx+c=0\) имеет решения.

  \[ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

• Экспонента: \(e^x = k\) → \(x = \ln k\).

A.2 Основы тригонометрии

Тригонометрия дает язык углов и периодических явлений. Поскольку исчисление часто имеет дело с колебаниями, движением и волнами, необходимо четкое понимание тригонометрических функций и их свойств.

Единичный круг

• Определяется как круг радиуса 1 с центром в начале координат координатной плоскости.

• Для угла \(\theta\), измеренного от положительной оси \(x\):

  \[ (\cos \theta, \sin \theta) \]

  дает координаты точки на окружности.

Особые значения:

\(\theta\)	\(\sin \theta\)	\(\cos \theta\)	\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(0\)	0	1	0
\(\pi/6\)	1/2	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/\sqrt{3}\)
\(\pi/3\)	\(\sqrt{3}/2\)	1/2	\(\sqrt{3}\)
\(\pi/2\)	1	0	неопределенный

Основные идентичности

1. Пифагорейская идентичность

\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. \]

2. Фактортождества

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \]

3. Взаимные тождества

\[ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}. \]

Формулы сложения углов

\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \]

\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. \]

Особые случаи:

• Двойной угол:

  \[ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta, \quad \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta. \]

Графики

• \(\sin x\): волна начинается с 0, амплитуда 1, период \(2\pi\).
• \(\cos x\): волна, начинающаяся с 1, амплитуда 1, период \(2\pi\).
• \(\tan x\): повторяется каждый \(\pi\), неопределенный, с нечетным кратным \(\pi/2\).

A.3 Координатная геометрия

Координатная геометрия связывает алгебру и геометрию, описывая геометрические объекты (линии, круги, кривые) с помощью уравнений. Исчисление в значительной степени опирается на эту структуру для построения графиков функций, поиска наклонов и анализа кривых.

Декартова плоскость

• Точка представлена координатами \((x,y)\).

• Расстояние между двумя точками \((x_1,y_1)\) и \((x_2,y_2)\):

  \[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. \]

• Середина отрезка:

  \[ M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). \]

Линии

1. Формула наклона

   \[ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]

2. Уравнение линии

   • Точечно-наклонная форма:

     \[ y-y_1 = m(x-x_1). \]

   • Форма пересечения наклона:

     \[ y = mx+b. \]

3. Параллельные и перпендикулярные линии

   • Параллельные линии: одинаковый наклон.
   • Перпендикулярные линии: уклоны соответствуют \(m_1m_2 = -1\).

Круги

Уравнение окружности с центром \((h,k)\) и радиусом \(r\):

\[ (x-h)^2+(y-k)^2 = r^2. \]

Особый случай: единичный круг с центром в начале координат:

\[ x^2+y^2=1. \]

Конические сечения

1. Парабола:

   • Стандартная форма (открытие вверх/вниз):

     \[ y = ax^2+bx+c. \]

2. Эллипс (с центром в начале координат):

   \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. \]

3. Гипербола (с центром в начале координат):

   \[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1. \]

Приложение Б. Основные формулы и таблицы

B.1 Таблица производныхПроизводные измеряют скорость изменения и наклоны функций. Наличие таблицы быстрой справки помогает учащимся избежать повторного вывода формул каждый раз.

Основные правила

1. Постоянное правило

\[ \frac{d}{dx}[c] = 0 \]

2. Правило власти

\[ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}, \quad (n \in \mathbb{R}) \]

3. Постоянное множественное правило

\[ \frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x) \]

4. Правило суммы и разности

\[ \frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)] = f'(x)\pm g'(x) \]

Тригонометрические функции

\[ \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x \]

\[ \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x \]

\[ \frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x, \quad x \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \]

\[ \frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x \]

\[ \frac{d}{dx}[\sec x] = \sec x \tan x \]

\[ \frac{d}{dx}[\csc x] = -\csc x \cot x \]

Экспоненциальные и логарифмические функции

\[ \frac{d}{dx}[e^x] = e^x \]

\[ \frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a, \quad a>0, a\neq 1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}, \quad x>0 \]

\[ \frac{d}{dx}[\log_a x] = \frac{1}{x\ln a}, \quad a>0, a\neq 1 \]

Обратные тригонометрические функции

\[ \frac{d}{dx}[\arcsin x] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\arccos x] = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\arctan x] = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \in \mathbb{R} \]

Правила произведения, частного и цепочки

1. Правило продукта

\[ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

2. Правило частного

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}, \quad g(x)\neq 0 \]

3. Правило цепочки

\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))\cdot g'(x) \]

B.3 Расширения общих серий

Степенные ряды позволяют выразить функции в виде бесконечных многочленов. Эти расширения необходимы для аппроксимации, решения дифференциальных уравнений и построения интуиции о функциях в исчислении.

Геометрическая серия

\[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1 \]

Экспоненциальная функция

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

Действительно для всех \(x\).

Тригонометрические функции

\[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[ \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

\[ \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\leq 1 \]

Логарифм

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1 \]

Биномиальное разложение (обобщенное)

\[ (1+x)^r = \sum_{n=0}^\infty \binom{r}{n} x^n, \quad |x|<1 \]

где

\[\binom{r}{n} = \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)}{n!}. \]

Appendix C. Proof Sketches

C.1 Limit Laws and the \(\varepsilon\)–\(\delta\) Definition

Calculus rests on the precise meaning of a limit. While intuition (“values get closer and closer”) is helpful, a formal definition ensures rigor and avoids paradoxes.

Intuitive Idea

We write

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

to mean that as \(x\) gets arbitrarily close to \(a\), the values of \(f(x)\) get arbitrarily close to \(L\).

Formal (\(\varepsilon\)–\(\delta\)) Definition

We say that

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

if for every \(\varepsilon > 0\), there exists a \(\delta > 0\) such that whenever

\[ 0 < |x-a| <\дельта, \]

we have

\[ |f(x) - L| <\варепсилон. \]

• \(\varepsilon\): how close we want \(f(x)\) to be to \(L\).
• \(\delta\): how close \(x\) must be to \(a\) to achieve that.

Example

Show that

\[ \lim_{x \to 2} (3x+1) = 7. \]

• Let \(\varepsilon > 0\).
• We want \(|(3x+1)-7| < \varepsilon\).
• Simplify: \(|3x-6| = 3|x-2| < \varepsilon\).
• This holds if we choose \(\delta = \varepsilon/3\).

Thus, by the definition, the limit is 7.

Limit Laws

If \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) and \(\lim_{x \to a} g(x) = M\), then:

1. Sum/Difference

\[ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M \]

2. Constant Multiple

\[ \lim_{x \to a} [c f(x)] = cL \]

3. Product

\[ \lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM \]

4. Quotient (if \(M \neq 0\))

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \]

5. Powers and Roots

\[ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n, \quad \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \ (\text{если определено}). \]

C.2 Proof Sketch: The Fundamental Theorem of Calculus

The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) links the two central operations of calculus: differentiation and integration. It shows that they are, in fact, inverse processes.

Statement of the Theorem

Part I (Differentiation of an Integral): If \(f\) is continuous on \([a,b]\) and we define

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \]

then \(F\) is differentiable on \((a,b)\) and

\[ F'(х) = f(x). \]

Part II (Evaluation of a Definite Integral): If \(F\) is any antiderivative of \(f\) on \([a,b]\), then

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). \]

Proof Sketch of Part I

1. Start with the definition of the derivative:

   \[ F'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}. \]

2. Substituting \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\):

   \[ F(x+h)-F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt. \]

3. By the additivity of integrals:

   \[ F(x+h)-F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt. \]

4. Therefore:

   \[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt. \]5. По теореме о среднем значении для интегралов существует \(c \in [x,x+h]\) такой, что

   \[ \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c). \]

5. Поскольку \(h \to 0\), \(c \to x\) и поскольку \(f\) является непрерывным:

   \[ \lim_{h\to 0} f(c) = f(x). \]

Таким образом, \(F'(x) = f(x)\).

Пробный эскиз части II

1. Пусть \(F\) является производной от \(f\), поэтому \(F'(x) = f(x)\).

2. Согласно части I функция

   \[ G(x) = \int_a^x f(t)\,dt \]

   также является производным от \(f\).

3. Поскольку \(F\) и \(G\) отличаются только константой,

   \[ F(x) = G(x) + C. \]

4. Оценка на конечных точках:

   \[ \int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a) = (F(b)+C)-(F(a)+C) = F(b)-F(a). \]

C.3 Схема доказательства: сходимость геометрического ряда

Геометрическая серия — одна из самых простых и важных бесконечных серий. Он служит моделью для понимания конвергенции и является основой для многих последующих результатов в исчислении.

Сериал

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \]

где \(a\) — первый член, а \(r\) — обычное соотношение.

Формула частичной суммы

\(n\)-я частичная сумма равна

\[ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n. \]

Умножьте обе части на \(r\):

\[ rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n+1}. \]

Вычтите два уравнения:

\[ S_n - rS_n = a - ar^{n+1}. \]

\[ S_n(1-r) = a(1-r^{n+1}). \]

Итак

\[ S_n = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}, \quad r \neq 1. \]

Конвергенция

Примите лимит как \(n \to \infty\):

• Если \(|r| < 1\), то \(r^{n+1} \to 0\).

  \[ \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r}. \]

• Если \(|r| \geq 1\), то \(r^{n+1}\) не переходит в 0. Ряд расходится.

Результат

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \begin{cases} \dfrac{a}{1-r}, & |r|<1, \\[6pt] \text{diverges}, & |r|\geq 1. \end{cases} \]

Приложение D. Приложения и подключения

D.1 Физические связи: скорость, ускорение и работа

Исчисление изначально было разработано для решения физических задач, особенно движения и изменений. Вот некоторые из наиболее важных связей.

Положение, скорость и ускорение

• Функция положения: \(s(t)\) определяет местоположение объекта в момент времени \(t\).

• Скорость: производная положения.

  \[ v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt} \]

• Ускорение: производная скорости (или вторая производная положения).

  \[ a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2} \]

Пример: Если \(s(t) = 4t^2\) метров, то:

\[ v(t) = 8t, \quad a(t) = 8. \]

Таким образом, объект движется быстрее, линейно со временем, с постоянным ускорением.

Работа и сила

В физике работа — это произведение силы и расстояния. Если сила меняется в зависимости от положения, расчет дает:

\[W = \int_a^b F(x)\, dx \]

where \(F(x)\) is the force at position \(x\), and the object moves from \(x=a\) to \(x=b\).

Example: A spring with Hooke’s law force \(F(x) = kx\) requires work

\[ W = \int_0^d kx\, dx = \frac{1}{2}kd^2 \]

to stretch the spring a distance \(d\).

Energy and Areas Under Curves

• Kinetic energy: \(E_k = \tfrac{1}{2}mv^2\).
• Potential energy often involves integrals (e.g., gravitational potential energy from force of gravity).
• In general, integrating a force function gives energy stored or work done.

Quick Practice

1. If \(s(t) = t^3 - 3t\), find \(v(t)\) and \(a(t)\).
2. Compute the work done by a constant force of 10 N moving an object 5 m.
3. A spring has constant \(k=200\). How much work is needed to stretch it 0.1 m?
4. Show that acceleration is the second derivative of position.
5. Explain how the integral \(\int v(t)\, dt\) relates to displacement.

D.2 Probability and Statistics Connections

Calculus is deeply connected with probability and statistics, especially when dealing with continuous random variables. Integrals become essential for defining probabilities, averages, and expectations.

Probability Density Functions (PDFs)

For a continuous random variable \(X\), probabilities are described by a probability density function \(f(x)\):

1. \(f(x) \geq 0\) for all \(x\).

2. Total probability equals 1:

   \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1. \]

The probability that \(X\) lies in an interval \([a,b]\) is

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx. \]

Expected Value (Mean)

The expected value (average outcome) is

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\, dx. \]

This is the calculus version of a weighted average.

Variance

Variance measures spread:

\[ \text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\, dx, \]

where \(\mu = E[X]\).

Common Distributions

1. Uniform distribution on \([a,b]\):

   \[ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b. \]

   Mean: \(\frac{a+b}{2}\).

2. Exponential distribution with parameter \(\lambda > 0\):

   \[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0. \]

   Mean: \(1/\lambda\).

3. Normal (Gaussian) distribution:

   \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}. \]

   Интегралы этого распределения связаны с функцией ошибок.

Почему это важно

• Интегралы превращают вероятности в площади под кривыми.
• Ожидание и дисперсия связывают исчисление со средними значениями и изменчивостью.
• Большинство реальных моделей данных (финансы, физика, биология, искусственный интеллект) используют эти непрерывные распределения вероятностей.

Быстрая практика1. Для \(f(x) = \tfrac{1}{2}\) на \([0,2]\) вычислите \(P(0.5 \leq X \leq 1.5)\).

2. Для экспоненциального распределения с \(\lambda = 2\) вычислите \(E[X]\).
3. Докажите, что общая площадь под стандартной нормальной кривой равна 1.
4. Найдите среднее значение равномерного распределения на \([3,7]\).
5. Объясните, почему для непрерывных переменных вероятности вычисляются с помощью интегралов, а не сумм.

D.3 Связь с информатикой: аппроксимации Тейлора в алгоритмах

Исчисление предназначено не только для физики — оно также лежит в основе многих инструментов и методов информатики. Один из самых очевидных мостов — через ряды Тейлора, которые обеспечивают эффективные способы аппроксимации функций в численных вычислениях и алгоритмах.

Аппроксимация функций для вычислений

Компьютеры не могут напрямую хранить или точно вычислять большинство функций (например, \(e^x\), \(\sin x\) или \(\ln x\)). Вместо этого они используют полиномиальные аппроксимации, полученные на основе разложений Тейлора.

Пример: Чтобы приблизить \(e^x\), усеките ряд Маклорена:

\[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}. \]

Для небольшого \(x\) этот полином дает точные результаты всего с несколькими членами.

Эффективность в алгоритмах

• Тригонометрические функции: алгоритмы для калькуляторов и процессоров часто используют разложение в ряд (или его вариации, такие как полиномы Чебышева).
• Экспонента/логарифм: разложения Тейлора являются основой быстрых аппроксимаций в числовых библиотеках.
• Нахождение корня: метод Ньютона основан на линейной аппроксимации, прямом применении ряда Тейлора (первая производная).

Численный анализ

Разложения Тейлора играют центральную роль в анализе ошибок:

• Аппроксимация члена ошибки с использованием формулы остатка:

  \[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \]

• Это говорит нам, сколько терминов необходимо для заданной точности.

Связи с машинным обучением

• Оптимизация на основе градиента (например, градиентный спуск) использует производные для эффективного обновления параметров.
• Функции активации (например, \(\tanh x\) или \(\sigma(x)=1/(1+e^{-x})\)) часто аппроксимируются полиномами или кусочными функциями для повышения скорости.
• Рядовые аппроксимации могут ускорить обучение и вывод в ограниченных средах.

Почему это важно

• Аппроксимации Тейлора соединяют непрерывную математику с дискретными вычислениями.
• Они показывают, как концепции исчисления используются в алгоритмах, численных методах и машинном обучении.
• Понимание приближений помогает избежать ошибок при использовании компьютеров для расчетов.

Быстрая практика

1. Приблизительный \(\sin(0.1)\), используя первые три члена ряда Маклорена.2. Используйте остаточный член, чтобы оценить ошибку при аппроксимации \(e^1\) полиномом 3-й степени.
2. Объясните, как метод Ньютона использует теорему Тейлора.
3. Почему компьютеры могут предпочитать полиномиальные приближения точным формулам для функций?
4. Почему в машинном обучении производная (градиент) так важна для оптимизации?