#الكتاب الصغير في حساب التفاضل والتكامل

مقدمة موجزة وسهلة للمبتدئين للأفكار الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

التنسيقات

• Download PDF – نسخة جاهزة للطباعة
• Download EPUB – صديق للقارئ الإلكتروني
• View LaTeX - مصدر اللاتكس

الجزء 1. الحدود والمشتقات

الفصل 1. الوظائف والحدود

1.1 الوظائف

الدالة هي إحدى الأشياء الأساسية في الرياضيات. الدالة في جوهرها هي قاعدة تأخذ مدخلاً وتنتج مخرجًا واحدًا بالضبط. تتيح لنا الوظائف وصف العلاقات، ونمذجة ظواهر العالم الحقيقي، وبناء آلية حساب التفاضل والتكامل بأكملها.

التعريف

رسميًا، تتم كتابة دالة \(f\) من مجموعة \(X\) (تسمى المجال) إلى مجموعة \(Y\) (تسمى المجال الكودي)

\[ f : X \to Y. \]

لكل عنصر \(x \in X\)، يوجد عنصر فريد \(f(x) \in Y\). القيمة \(f(x)\) تسمى صورة \(x\) ضمن \(f\).

إذا كان \(y = f(x)\)، فإن \(y\) هو الإخراج المطابق للإدخال \(x\). مجموعة جميع المخرجات التي تظهر بالفعل تسمى النطاق (مجموعة فرعية من المجال الكودي).

أمثلة

1. تقوم الدالة \(f(x) = x^2\) بتعيين كل رقم حقيقي \(x\) إلى مربعه.

   • المجال: جميع الأرقام الحقيقية \(\mathbb{R}\).
   • المجال الكودي: جميع الأرقام الحقيقية \(\mathbb{R}\).
   • المدى: جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة \([0, \infty)\).

2. تقوم الدالة \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) بتعيين مقلوبه لكل رقم حقيقي غير صفري.

   • النطاق: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
   • النطاق: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

3. مثال من العالم الحقيقي: افترض أن \(T(t)\) هي درجة الحرارة الخارجية (بالدرجة المئوية) في الوقت \(t\) (بالساعات). هذه دالة من “الوقت من اليوم” إلى “درجة الحرارة”.

طرق تمثيل الوظائف

يمكن تمثيل الوظائف بعدة طرق مفيدة:

• الصيغ: على سبيل المثال، \(f(x) = \sin x + x^2\).- الرسوم البيانية: رسم جميع النقاط \((x, f(x))\) في المستوى الإحداثي.
• الجداول: اقتران المدخلات والمخرجات لمجموعات منفصلة من البيانات.
• الأوصاف اللفظية: “خصص لكل طالب درجاته”.

يسلط كل تمثيل الضوء على جوانب مختلفة من نفس الوظيفة.

المصطلحات

• المتغير المستقل: الإدخال (يكتب عادة \(x\)).
• المتغير التابع: الناتج (يكتب عادة \(y\)، حيث \(y = f(x)\)).
• تدوين الوظيفة: \(f(x)\) تتم قراءته “\(f\) من \(x\).”

أهمية الدوال في حساب التفاضل والتكامل

حساب التفاضل والتكامل هو دراسة كيفية تغير الوظائف. تقيس المشتقات معدلات التغير اللحظية، بينما تقيس التكاملات التأثيرات المتراكمة. لإتقان هذه الأفكار، نحتاج أولاً إلى فهم قوي لماهية الوظائف وكيف تتصرف.

تمارين

1. بالنسبة للوظيفة \(f(x) = 3x - 2\):

   • ابحث عن المجال والمجال الكودي والنطاق.

2. الوظيفة \(h(x) = \sqrt{x-1}\) محددة لأي مدخلات؟ ما هو نطاقها؟

3. أعط مثالاً واقعيًا لوظيفة من حياتك اليومية. اذكر بوضوح المجال والمجال الكودي.

4. ارسم الرسم البياني لـ \(f(x) = |x|\). ما هو النطاق؟

5. افترض أن \(g(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\). اشرح لماذا يكون نطاقه هو الفاصل الزمني \((0, 1]\).

1.2 الرسوم البيانية والتحويلات

يمكن فهم الدالة ليس فقط من خلال الصيغ، ولكن أيضًا من خلال الرسم البياني الخاص بها. الرسم البياني للدالة \(f\) هو مجموعة من جميع الأزواج المرتبة \((x, f(x))\)، حيث ينتمي \(x\) إلى مجال \(f\). إن رسم هذه الأزواج في المستوى الإحداثي يعطي صورة لكيفية تصرف الوظيفة.

الرسوم البيانية الأساسية

بعض الرسوم البيانية أساسية جدًا بحيث يجب حفظها:

• \(f(x) = x\): خط مستقيم يمر بنقطة الأصل.
• \(f(x) = x^2\): قطع مكافئ يفتح لأعلى.
• \(f(x) = |x|\): رسم بياني على شكل حرف “V”.
• \(f(x) = \frac{1}{x}\): قطع زائد ذو فرعين.- \(f(x) = \sin x\): منحنى دوري يشبه الموجة.

هذه بمثابة اللبنات الأساسية لوظائف أكثر تعقيدًا.

التحولات

يمكن إزاحة الرسوم البيانية أو تمديدها أو عكسها باستخدام قواعد بسيطة:

1. التحولات الرأسية: تؤدي إضافة ثابت إلى تحريك الرسم البياني لأعلى أو لأسفل.

   \[ y = f(x) + c \quad \text{is } f(x) \text{ shifted upward by } c. \]

2. التحولات الأفقية: تؤدي الإضافة داخل الوسيطة إلى تحريك الرسم البياني إلى اليسار أو اليمين.

   \[ y = f(x - c) \quad \text{is } f(x) \text{ shifted right by } c. \]

3. القياس الرأسي: الضرب بثابت يمتد أو يضغط الرسم البياني عموديًا.

   \[ y = a f(x), \quad a > 1 \text{ stretches; } 0 < a < 1 \text{ compresses.} \]

4. القياس الأفقي: يؤدي الضرب داخل الوسيطة إلى تمديد الرسم البياني أو ضغطه أفقيًا.

   \[ y = f(bx), \quad b > 1 \text{ compresses toward the } y\text{-axis}. \]

5. التأملات:

   • \(y = -f(x)\): الانعكاس عبر محور \(x\).
   • \(y = f(-x)\): الانعكاس عبر محور \(y\).

الجمع بين التحولات

غالبًا ما تأتي الرسوم البيانية المعقدة من الجمع بين عدة تحويلات بالتسلسل. على سبيل المثال:

\[ y = 2(x-1)^2 + 3 \]

يتم الحصول عليها عن طريق أخذ القطع المكافئ \(y = x^2\)، والتحول إلى اليمين بمقدار 1، والتمدد عموديًا بمقدار 2، والتحول لأعلى بمقدار 3.

تمارين

1. ارسم الرسم البياني لـ \(y = (x+2)^2 - 1\). حدد تسلسل التحويلات من \(y = x^2\).
2. ماذا يحدث للرسم البياني لـ \(y = f(x)\) إذا استبدلنا \(x\) بـ \(-x\)؟ جربه باستخدام \(f(x) = \sqrt{x}\).
3. قم بوصف التحويلات التي تحول \(y = \sin x\) إلى \(y = 3\sin(x - \pi/4)\).
4. ارسم الرسم البياني لـ \(y = |x-1| + 2\). اذكر قمة الرأس وميل كل فرع.
5. بالنسبة إلى \(y = \frac{1}{x-2}\)، اشرح كيف تم تحويل الرسم البياني لـ \(y = \frac{1}{x}\).

1.3 فكرة بديهية للحدودفي العديد من المواقف، تكون قيمة الدالة عند نقطة ما أقل أهمية من القيم التي تأخذها بالقرب من تلك النقطة. مفهوم الحد يجسد هذه الفكرة.

الاقتراب من القيمة

تخيل المشي نحو الحائط. حتى قبل أن تلمسه، فإنك تقترب أكثر فأكثر. بنفس الطريقة، عندما يقترب \(x\) من الرقم \(a\)، قد تقترب قيم \(f(x)\) من رقم ما \(L\). ثم نقول:

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L. \]

يعبر هذا عن فكرة أنه يمكن جعل \(f(x)\) قريبًا بقدر ما نريد من \(L\)، وذلك ببساطة عن طريق تقريب \(x\) بدرجة كافية من \(a\).

أمثلة

1. بالنسبة إلى \(f(x) = 2x + 3\): مثل \(x \to 1\)، \(f(x) \to 5\).

2. بالنسبة إلى \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\): مثل \(x \to 0\)، تقترب الدالة من 1، على الرغم من عدم تعريف \(f(0)\).

3. بالنسبة إلى \(f(x) = \dfrac{1}{x}\): مثل \(x \to 0^+\) (يقترب من اليمين)، \(f(x) \to +\infty\). مثل \(x \to 0^-\) (يقترب من اليسار)، \(f(x) \to -\infty\). نظرًا لاختلاف السلوكيات اليمنى واليسرى، فإن الحد عند 0 غير موجود.

أهمية الحدود

• تسمح لنا بتحديد الوظائف في نقاط لم يتم تعريفها فيها في الأصل.
• يلتقطون السلوك بالقرب من الانقطاعات والتفردات.
• أنها تشكل الأساس للمشتقات (معدلات التغيير اللحظية) والتكاملات (المساحات كحدود للمبالغ).

حدود من جانب واحد

في بعض الأحيان يجب دراسة السلوك من اليسار واليمين بشكل منفصل:

\[ \lim_{x \to a^-} f(x), \quad \lim_{x \to a^+} f(x). \]

إذا اتفق كلاهما، فإن الحد من الجانبين موجود.

تمارين

1. حساب \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - x)\).
2. ما هو \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)؟ استخدم الحدس من الرسم البياني \(\sin x\).
3. قم بتقييم \(\lim_{x \to 0} |x|/x\). هل الحد ذو الوجهين موجود؟
4. ابحث عن \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\). تفسير هذه النتيجة بالكلمات.5. بالنسبة إلى \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\)، ما هو \(\lim_{x \to 1} f(x)\)؟ قارن بقيمة \(f(1)\).

1.4 التعريف الرسمي للحدود

يمكن جعل الفكرة البديهية للحدود دقيقة باستخدام تعريف إبسيلون-دلتا. يمنحنا هذا طريقة صارمة للقول بأن \(f(x)\) يقترب من القيمة \(L\) بينما يقترب \(x\) من \(a\).

التعريف

نحن نكتب

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

إذا تحقق الشرط التالي:

لكل \(\varepsilon > 0\) (مهما كان صغيرًا)، يوجد \(\delta > 0\) بحيث كلما

\[ 0 < |x - a| < \delta, \]

ويترتب على ذلك

\[ |f(x) - L| < \varepsilon. \]

بالكلمات: يمكننا أن نجعل \(f(x)\) أقرب ما يكون إلى \(L\)، بشرط أن يكون \(x\) قريبًا بدرجة كافية من \(a\) (ولكن لا يساوي \(a\)).

مثال 1: الدالة الخطية

بالنسبة إلى \(f(x) = 2x + 1\)، أظهر أن \(\lim_{x \to 3} f(x) = 7\).

• نريد \(|f(x) - 7| < \varepsilon\).
• لكن \(f(x) - 7 = 2x + 1 - 7 = 2(x - 3)\).
• إذن \(|f(x) - 7| = 2|x - 3|\).
• إذا اخترنا \(\delta = \varepsilon / 2\)، فكلما \(|x - 3| < \delta\)، لدينا \(|f(x) - 7| < \varepsilon\). وهذا يثبت الحد.

مثال 2: دالة متبادلة

بالنسبة إلى \(f(x) = \frac{1}{x}\)، فكر في \(\lim_{x \to 2} f(x) = \tfrac{1}{2}\).

• نريد \(\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon\).
• تتطلب هذه المتراجحة معالجة جبرية، ولكن يمكن تلبيتها باختيار \(\delta\) اعتمادًا على \(\varepsilon\). العملية أكثر تعقيدا، ولكن المبدأ هو نفسه.

لماذا هذا مهم

• يضمن تعريف إبسيلون-دلتا أن الحدود ليست غامضة أو مبنية على الحدس فقط.
• وهو أساس الاستمرارية والمشتقات والتكاملات.
• على الرغم من أن المبتدئين قد يجدونها مجردة، إلا أن العمل بأمثلة بسيطة يبني الألفة.

تمارين

1. باستخدام تعريف epsilon-delta، أثبت أن \(\lim_{x \to 4} (x+1) = 5\).2. أظهر أن \(\lim_{x \to 0} 5x = 0\) باستخدام التعريف الرسمي.
2. اشرح سبب عدم وجود \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\).
3. بالنسبة إلى \(f(x) = x^2\)، أظهر أن \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4\).
4. بكلماتك الخاصة، اشرح دور \(\varepsilon\) و\(\delta\) في تعريف الحد.

1.5 الاستمرارية

تكون الدالة متصلة إذا أمكن رسم رسمها البياني دون رفع قلم الرصاص عن الورقة. وبشكل أكثر دقة، تضمن الاستمرارية أن تؤدي التغييرات الصغيرة في المدخلات إلى تغييرات صغيرة في المخرجات.

التعريف

تكون الدالة \(f\) متصلة عند النقطة \(a\) إذا تم استيفاء ثلاثة شروط:

1. تم تعريف \(f(a)\).
2. \(\lim_{x \to a} f(x)\) موجود.
3. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

إذا كانت الدالة متصلة عند كل نقطة في الفترة، نقول إنها متصلة في تلك الفترة.

أمثلة

1. دوال كثيرة الحدود: دوال مثل \(f(x) = x^2 + 3x - 5\) مستمرة في كل مكان على \(\mathbb{R}\).

2. الدوال المنطقية: \(f(x) = \frac{1}{x-1}\) مستمر في كل مكان باستثناء \(x = 1\)، حيث يكون غير محدد.

3. وظائف القطع:

   \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1, \\ 2 & x = 1, \\ x+1 & x > 1, \end{cases} \]

   تحتوي هذه الوظيفة على “قفزة” عند \(x = 1\)، لذا فهي ليست مستمرة هناك.

أنواع الانقطاعات

1. انقطاع قابل للإزالة: “ثغرة” في الرسم البياني. مثال: \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) في \(x=1\).
2. توقف القفز: الحدود اليسرى واليمنى مختلفة.
3. الانقطاع اللانهائي: تنتقل الدالة إلى \(\pm\infty\) بالقرب من نقطة ما، كما هو الحال مع \(f(x) = 1/x\) بالقرب من \(x = 0\).

نظرية القيمة المتوسطة

إذا كانت الدالة متصلة على الفاصل الزمني \([a, b]\)، إذن لأي رقم \(N\) بين \(f(a)\) و\(f(b)\)، يوجد بعض \(c \in [a, b]\) مثل \(f(c) = N\).هذه الخاصية مهمة في إثبات وجود جذور وحلول المعادلات.

تمارين

1. قرر ما إذا كانت الدالة \(f(x) = |x|\) مستمرة عند \(x = 0\).
2. حدد نقاط الانقطاع لـ \(f(x) = \frac{x+2}{x^2-1}\).
3. اشرح لماذا تكون كل دالة كثيرة الحدود متصلة في كل مكان.
4. أعط مثالاً على دالة ذات قفزة متقطعة. رسم الرسم البياني الخاص به.
5. استخدم نظرية القيمة المتوسطة لتوضيح أن المعادلة \(x^3 + x - 1 = 0\) لها حل بين 0 و1.

الفصل 2. المشتقات

2.1 المشتق كمعدل للتغير

المشتق هو أحد الأفكار المركزية في حساب التفاضل والتكامل. فهو يقيس كيفية تغير الوظيفة مع تغير مدخلاتها - وبعبارة أخرى، معدل تغير المخرجات فيما يتعلق بالمدخلات.

متوسط معدل التغيير

بالنسبة للدالة \(f(x)\)، متوسط معدل التغيير بين نقطتين \(x = a\) و\(x = b\) هو

\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

هذا هو ميل الخط القاطع عبر النقطتين \((a, f(a))\) و\((b, f(b))\).

معدل التغير اللحظي

لقياس مدى سرعة تغير \(f(x)\) عند نقطة واحدة، تركنا الفاصل الزمني يتقلص:

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]

هذا الحد، إن وجد، يسمى مشتق \(f\) عند \(a\). هندسيًا، هو ميل خط المماس للرسم البياني \(f\) عند النقطة \((a, f(a))\).

التدوين

• \(f'(x)\): علامة أولية.
• \(\dfrac{dy}{dx}\): تدوين لايبنتز، يُستخدم عند \(y = f(x)\).
• \(Df(x)\): تدوين عامل التشغيل.

كل هذه الرموز تشير إلى نفس المفهوم.

أمثلة

1. بالنسبة إلى \(f(x) = x^2\):

   \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = 2x. \]

   ميل القطع المكافئ عند \(x\) هو \(2x\).

2. بالنسبة إلى \(f(x) = \sin x\):

   \[ f'(x) = \cos x. \]3. بالنسبة إلى \(f(x) = c\) (ثابت):

   \[ f'(x) = 0. \]

   دالة ثابتة لا تتغير أبدًا.

التفسير

• في الفيزياء: إذا كان \(s(t)\) هو الموضع، فإن \(s'(t)\) هو السرعة.
• في الاقتصاد: إذا كان \(C(x)\) يمثل التكلفة، فإن \(C'(x)\) يمثل التكلفة الحدية.
• في علم الأحياء: إذا كان \(P(t)\) هو عدد السكان، فإن \(P'(t)\) هو معدل النمو.

المشتق يجعل “التغيير” دقيقًا في العديد من السياقات.

تمارين

1. قم بحساب \(f'(x)\) لـ \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\).
2. أوجد ميل خط المماس لـ \(f(x) = x^3\) عند \(x = 2\).
3. إذا كان \(s(t) = t^2 + 2t\) يمثل المسافة بالأمتار، فما هي السرعة عند \(t = 5\)؟
4. استخدم تعريف الحد لحساب مشتق \(f(x) = \frac{1}{x}\).
5. ارسم الرسم البياني لـ \(y = x^2\) وارسم خط المماس عند \(x = 1\).

2.2 قواعد التمايز

بمجرد تعريف المشتقة، نحتاج إلى طرق فعالة لحسابها. قواعد التفاضل هي اختصارات تمنعنا من تطبيق تعريف الحد بشكل متكرر.

القاعدة الثابتة

إذا كان \(f(x) = c\) حيث \(c\) ثابتًا، إذن

\[ f'(x) = 0. \]

قاعدة القوة

بالنسبة إلى \(f(x) = x^n\) حيث \(n\) رقم حقيقي،

\[ \frac{d}{dx} \big( x^n \big) = n x^{n-1}. \]

أمثلة:

• \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).
• \(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4\).
• \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

قاعدة التعدد الثابت

إذا كان \(f(x) = c \cdot g(x)\)، إذن

\[ f'(x) = c \cdot g'(x). \]

قواعد المجموع والفرق

• \((f + g)' = f' + g'\).
• \((f - g)' = f' - g'\).

قاعدة المنتج

بالنسبة إلى \(f(x)\) و\(g(x)\):

\[ (fg)' = f'g + fg'. \]

مثال: إذا كان \(f(x) = x^2\)، \(g(x) = \sin x\):

\[ (fg)' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x). \]

قاعدة القسمة

بالنسبة إلى \(f(x)\) و\(g(x)\):

\[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g(x) \neq 0. \]

مثال: إذا كان \(f(x) = x^2\)، \(g(x) = x+1\):

\[\left(\frac{x^2}{x+1}\right)' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2}. \]

Derivatives of Common Functions

• \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\).
• \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\).
• \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\).
• \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0\).

Exercises

1. Differentiate \(f(x) = 7x^3 - 4x + 9\).
2. Use the product rule to find the derivative of \(f(x) = x^2 e^x\).
3. Apply the quotient rule to \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\).
4. Compute \(\frac{d}{dx}(\ln(x^2))\) using the chain of rules.
5. Show that the derivative of \(f(x) = \frac{1}{x}\) is \(-\frac{1}{x^2}\).

2.3 The Chain Rule

Often, functions are built by combining simpler functions together. To differentiate such composite functions, we use the chain rule.

The Rule

If \(y = f(g(x))\), then

\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x). \]

In words: differentiate the outer function, keep the inside unchanged, then multiply by the derivative of the inside.

Examples

1. Square of a linear function

   \[ ص = (3س+2)^2 \]

   Outer function: \(f(u) = u^2\), inner function: \(g(x) = 3x+2\).

   \[ y' = 2(3x+2) \cdot 3 = 6(3x+2). \]

2. Exponential with quadratic inside

   \[ ص = ه^{س^2} \]

   Outer function: \(f(u) = e^u\), inner function: \(g(x) = x^2\).

   \[ y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}. \]

3. Logarithm with root inside

   \[ ص = \ln(\sqrt{x}) \]

   Outer: \(f(u) = \ln u\), inner: \(g(x) = \sqrt{x}\).

   \[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x}. \]

Generalized Chain Rule

For multiple nested functions \(y = f(g(h(x)))\):

\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x). \]

يمتد هذا بشكل طبيعي إلى التراكيب الأعمق.

لماذا تعتبر قاعدة السلسلة مهمة؟- يتعامل مع جميع نماذج العالم الحقيقي تقريبًا حيث تعتمد كمية ما على أخرى بشكل غير مباشر.

• يربط حساب التفاضل والتكامل مع الفيزياء (على سبيل المثال، السرعة تعتمد على الوقت من خلال الموقع).
• لا غنى عنه في التمايز الضمني والمواضيع المتقدمة.

تمارين

1. التمييز بين \(y = (5x^2 + 1)^3\).
2. ابحث عن \(\frac{d}{dx}(\sin(3x))\).
3. حساب \(\frac{d}{dx}(\ln(1+x^2))\).
4. التمييز بين \(y = \cos^2(x)\).
5. قم بتطبيق قاعدة السلسلة المعممة على \(y = e^{\sin(x^2)}\).

2.4 التمايز الضمني

لا يتم تقديم جميع الوظائف في النموذج \(y = f(x)\). في بعض الأحيان، يرتبط \(x\) و\(y\) بمعادلة، ويكون حل \(y\) بشكل صريح أمرًا صعبًا أو مستحيلًا. في مثل هذه الحالات، نستخدم التمايز الضمني.

الفكرة

إذا كانت المعادلة تتضمن كلا من \(x\) و\(y\)، فيمكننا التفريق بين الطرفين فيما يتعلق بـ \(x\)، مع التعامل مع \(y\) كدالة لـ \(x\). في كل مرة نفرق فيها مصطلحًا يتضمن \(y\)، نضرب في \(\frac{dy}{dx}\).

مثال 1: دائرة

المعادلة:

\[ x^2 + y^2 = 25 \]

التفريق فيما يتعلق بـ \(x\):

\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0. \]

حل لـ \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}. \]

وهذا يعطي ميل المماس للدائرة عند أي نقطة.

مثال 2: منتج المتغيرات

المعادلة:

\[ xy = 1 \]

التفريق:

\[ x \frac{dy}{dx} + y = 0. \]

لذا،

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}. \]

مثال 3: العلاقة المثلثية

المعادلة:

\[ \sin(xy) = x \]

التفريق:

\[ \cos(xy) \cdot \Big(y + x\frac{dy}{dx}\Big) = 1. \]

حل لـ \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}. \]

لماذا يعتبر التمايز الضمني مفيدًا

• يتم تعريف العديد من المنحنيات المهمة (الدوائر، القطع الناقص، القطع الزائدة) بشكل طبيعي ضمنيًا.
• يتيح لنا تفريق المعادلات دون حل \(y\) أولاً.- إنها خطوة أساسية في موضوعات أكثر تقدمًا مثل المعدلات ذات الصلة والمعادلات التفاضلية.

تمارين

1. بالنسبة للمنحنى \(x^2 + xy + y^2 = 7\)، ابحث عن \(\frac{dy}{dx}\).
2. ميّز \(\cos(x) + \cos(y) = 1\) ضمنيًا.
3. أوجد ميل خط المماس لـ \(x^3 + y^3 = 9\) عند النقطة \((1, 2)\).
4. بالنظر إلى \(x^2 + y^2 = 10\)، قم بحساب \(\frac{dy}{dx}\) عندما يكون \((x, y) = (1, 3)\).
5. اشتق \(e^{xy} = x + y\) للعثور على \(\frac{dy}{dx}\).

2.5 المشتقات ذات الرتبة الأعلى

لقد درسنا حتى الآن المشتقة الأولى، التي تقيس معدل تغير الدالة. ولكن يمكن أيضًا التمييز بين المشتقات نفسها، مما يؤدي إلى ظهور مشتقات ذات ترتيب أعلى.

التعريف

• المشتق الثاني لـ \(f\) هو مشتق المشتق:

  \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(f'(x)\right). \]

• بشكل عام، يتم كتابة المشتق \(n\) على النحو التالي

  \[ f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x). \]

أمثلة

1. \(f(x) = x^3\)

   • المشتق الأول: \(f'(x) = 3x^2\).
   • المشتق الثاني: \(f''(x) = 6x\).
   • المشتق الثالث: \(f^{(3)}(x) = 6\).
   • المشتق الرابع: \(f^{(4)}(x) = 0\).

2. \(f(x) = \sin x\)

   • \(f'(x) = \cos x\).
   • \(f''(x) = -\sin x\).
   • \(f^{(3)}(x) = -\cos x\).
   • \(f^{(4)}(x) = \sin x\). تتكرر المشتقات في دورة طولها 4.

3. \(f(x) = e^x\)

   • كل مشتق هو \(e^x\).

التطبيقات

• التقعر: تشير علامة \(f''(x)\) إلى ما إذا كان الرسم البياني لـ \(f\) مقعرًا لأعلى (\(f'' > 0\)) أو مقعرًا لأسفل (\(f'' < 0\)).

• نقاط الانعطاف: النقاط التي يتغير فيها \(f''(x) = 0\) والتقعر.

• الحركة: في الفيزياء، إذا كان \(s(t)\) هو الموضع:

  • \(s'(t)\) = السرعة،
  • \(s''(t)\) = التسارع،
  • \(s^{(3)}(t)\) = الرعشة (معدل تغير التسارع).

• التقريبات: تظهر المشتقات ذات الترتيب الأعلى في متسلسلة تايلور، وتستخدم لتقريب الدوال.### تمارين

1. احسب المشتقات الأربعة الأولى لـ \(f(x) = \cos x\).
2. ابحث عن \(f''(x)\) لـ \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\).
3. بالنسبة إلى \(f(x) = e^{2x}\)، أظهر أن \(f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}\).
4. حدد الفترات التي يكون فيها \(f(x) = x^3 - 3x\) مقعرًا لأعلى ومقعرًا لأسفل.
5. إذا كان \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)، فأوجد السرعة المتجهة والتسارع عند \(t = 2\).

الفصل 3. تطبيقات المشتقات

3.1 الظلال والأعراف

أحد التطبيقات الأولى للمشتقات هو إيجاد معادلات الخطوط المماسية والعادية للمنحنى. تلتقط هذه الخطوط الشكل الهندسي المحلي للدالة عند نقطة معينة.

خط الظل

خط المماس لمنحنى \(y = f(x)\) عند نقطة \((a, f(a))\) هو الخط الذي “يلامس” الرسم البياني هناك وله نفس ميل المنحنى.

يتم إعطاء ميل خط المماس بواسطة المشتق:

\[ m_{\text{tangent}} = f'(a). \]

وبالتالي، فإن معادلة خط المماس عند \((a, f(a))\) هي

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a). \]

خط عادي

الخط العادي يكون عموديا على خط المماس عند نفس النقطة. ميله هو المقلوب السلبي لمنحدر الظل:

\[ m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}. \]

إذن معادلة الخط الطبيعي هي

\[ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} (x - a), \quad f'(a) \neq 0. \]

أمثلة

1. \(f(x) = x^2\) في \(x = 1\).

   • \(f(1) = 1\)، \(f'(x) = 2x\)، إذن \(f'(1) = 2\).
   • الظل: \(y - 1 = 2(x - 1)\)، أو \(y = 2x - 1\).
   • عادي: الميل = \(-\tfrac{1}{2}\)، إذن المعادلة هي \(y - 1 = -\tfrac{1}{2}(x - 1)\).

2. \(f(x) = \sin x\) في \(x = \tfrac{\pi}{4}\).

   • \(f(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\)، \(f'(\tfrac{\pi}{4}) = \cos(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\).
   • الظل: \(y - \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(x - \tfrac{\pi}{4})\).

سبب أهمية الظلال والمعايير- المماسات تقريب المنحنى محليا (تقريب خطي).

• تعتبر القيم الطبيعية مفيدة في الهندسة والبصريات (الانعكاس/الانكسار) والميكانيكا (اتجاهات القوة).
• كلاهما يلعب دورًا في دراسات التحسين والانحناء.

تمارين

1. ابحث عن خطوط المماس والخطوط العادية لـ \(y = x^3\) في \(x = 2\).
2. حدد خطوط المماس والخطوط العادية لـ \(y = e^x\) عند \(x = 0\).
3. بالنسبة إلى \(y = \ln x\)، احسب خط المماس عند \(x = 1\).
4. يتم إعطاء الدائرة بواسطة \(x^2 + y^2 = 9\). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد ميل المماس عند \((0,3)\).
5. ارسم الرسم البياني لـ \(y = \sqrt{x}\) وارسم خطوط المماس والعادية عند \(x = 4\).

3.2 الأسعار ذات الصلة

في العديد من مسائل العالم الحقيقي، تتغير كميتان أو أكثر بالنسبة للزمن، وتكون معدلات تغيرهما مرتبطة ببعضها البعض. تستخدم مشكلات الأسعار ذات الصلة المشتقات لوصف هذه العلاقات.

النهج العام

1. التعرف على المتغيرات التي تعتمد على الزمن \(t\).
2. اكتب معادلة تتعلق بالمتغيرات.
3. قم بالتفريق بين الطرفين فيما يتعلق بـ \(t\)، بتطبيق قاعدة السلسلة.
4. استبدل القيم المعروفة في اللحظة المحددة.
5. أوجد المعدل المجهول.

مثال 1: توسيع الدائرة

دائرة نصف قطرها \(r\)، والذي يزداد بمعدل \(\frac{dr}{dt} = 2 \,\text{cm/s}\). أوجد المعدل الذي تزيد به المساحة \(A = \pi r^2\) عندما \(r = 5\).

التفريق:

\[ \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}. \]

البديل:

\[ \frac{dA}{dt} = 2\pi (5)(2) = 20\pi \,\text{cm}^2/\text{s}. \]

مثال 2: سلم منزلق

سلم طوله ١٠ أقدام يميل على الحائط. ينزلق الجزء السفلي بعيدًا عند \(\frac{dx}{dt} = 1 \,\text{ft/s}\). ما مدى سرعة انزلاق الجزء العلوي للأسفل عندما يكون الجزء السفلي على بعد 6 أقدام من الحائط؟

المعادلة: \(x^2 + y^2 = 100\)، حيث \(y\) هو الارتفاع.

التفريق:

\[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0. \]في \(x = 6\)، \(y = 8\). البديل:

\[ 2(6)(1) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt} = -\tfrac{6}{8} = -\tfrac{3}{4}. \]

ومن ثم ينزلق الجزء العلوي للأسفل عند \(0.75 \,\text{ft/s}\).

مثال 3: الماء في المخروط

يُسكب الماء في مخروط ارتفاعه 12 سم ونصف قطره 6 سم. عندما يصل عمق الماء إلى 4 سم، يرتفع مستوى الماء عند \(2 \,\text{cm/s}\). بأي معدل يزداد الحجم؟

المعادلة: \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\). باستخدام التشابه، \(r = \tfrac{h}{2}\). الاستبدال:

\[ V = \tfrac{1}{12}\pi h^3. \]

التفريق:

\[ \frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi h^2 \frac{dh}{dt}. \]

في \(h = 4\)، \(\frac{dh}{dt} = 2\):

\[ \frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi (16)(2) = 8\pi \,\text{cm}^3/\text{s}. \]

لماذا تعتبر الأسعار ذات الصلة مهمة؟

• يصفون الحركة والتغير في الفيزياء والهندسة والأحياء.
• يربطون الهندسة بحساب التفاضل والتكامل من خلال عمليات تعتمد على الوقت.
• يقومون بتدريبنا على نمذجة الأنظمة الديناميكية رياضياً.

تمارين

1. تم نفخ البالون بحيث يزيد نصف قطره عند \(0.5 \,\text{cm/s}\). أوجد مدى سرعة زيادة حجمه عندما يكون نصف قطره ١٠ سم.
2. تسير سيارة شمالًا بسرعة 40 km/h، وأخرى شرقًا بسرعة 30 km/h. ما مدى سرعة زيادة المسافة بينهما بعد ساعتين؟
3. يسطع ضوء موجه على مسافة 20 m من الحائط على رجل طوله 2 m يمشي بسرعة 1.5 m/s. ما مدى سرعة تغير طول ظله على الحائط عندما يكون على بعد 5 m من الضوء؟
4. يزداد طول ضلع المكعب بمعدل 2 سم/ث. ما مدى سرعة زيادة مساحة السطح عندما يكون طول الضلع 3 سم؟
5. يتم صب الرمل على كومة مكونة مخروطًا نصف قطره يساوي الارتفاع دائمًا. إذا زاد الارتفاع بمقدار 5 سم/ث، فما معدل زيادة الحجم عندما يكون الارتفاع 10 سم؟

3.3 مشاكل التحسينتستخدم مشكلات التحسين المشتقات للعثور على القيم القصوى أو الدنيا للدالة، غالبًا تحت قيود معينة. تمثل هذه المشكلات المواقف التي نريد فيها تعظيم الكفاءة أو الربح أو المساحة، أو تقليل التكلفة أو المسافة أو الوقت.

خطوات عامة

1. افهم المشكلة: حدد الكمية المطلوب تحسينها.
2. نموذج مع دالة: اكتب الدالة الهدف بدلالة متغير واحد.
3. تطبيق القيود: استخدم شروطًا معينة لتقليل المتغيرات.
4. التفريق: حساب مشتقة الدالة الهدف.
5. ابحث عن النقاط الحرجة: قم بحل \(f'(x) = 0\) أو حيث يكون \(f'(x)\) غير محدد.
6. اختبار الحد الأقصى/الحد الأدنى: استخدم اختبار المشتق الثاني أو تحقق من نقاط النهاية.
7. فسّر النتيجة: اذكر الإجابة في السياق الأصلي.

مثال 1: أقصى مساحة للمستطيل

مستطيل محيطه 40. ما الأبعاد التي تزيد مساحته إلى أقصى حد؟

• الطول \(x\)، العرض \(y\). القيد: \(2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 - x\).
• المنطقة: \(A = xy = x(20 - x) = 20x - x^2\).
• المشتق: \(A'(x) = 20 - 2x\). تعيين يساوي 0: \(x = 10\).
• ثم \(y = 10\).
• المساحة القصوى: \(100\). المستطيل عبارة عن مربع.

مثال 2: تقليل المسافة

ابحث عن النقطة على القطع المكافئ \(y = x^2\) الأقرب إلى \((0,3)\).

• مربع المسافة: \(D(x) = (x-0)^2 + (x^2 - 3)^2\).
• توسيع: \(D(x) = x^2 + (x^2 - 3)^2 = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9\).
• المشتق: \(D'(x) = 4x^3 - 10x\). حل: \(x(4x^2 - 10) = 0\).
• الحلول: \(x = 0\), \(x = \pm \sqrt{2.5}\).
• الفحص يعطي الحد الأدنى للمسافة عند \(x = \pm \sqrt{2.5}\).

مثال 3: صندوق ذو حجم أقصى

يُصنع صندوق بدون سطح من قطعة مربعة من الورق المقوى طول كل جانب منها 20 سم، وذلك بقطع مربعات متساوية من الزوايا وطي الجوانب. ابحث عن حجم القطع الذي يزيد الحجم.- دع حجم القطع = \(x\). ثم الأبعاد: \((20 - 2x) \times (20 - 2x) \times x\). - المجلد: \(V(x) = x(20 - 2x)^2\). - المشتق: \(V'(x) = (20 - 2x)(20 - 6x)\). - النقاط الحرجة: \(x = 10\) (يعطي حجمًا صفرًا) أو \(x = \tfrac{20}{6} \approx 3.33\). - في \(x \approx 3.33\)، تم رفع مستوى الصوت إلى الحد الأقصى.

سبب أهمية التحسين

• يستخدمه المهندسون لتصميم الهياكل الفعالة.
• تستخدمه الشركات لتعظيم الربح أو تقليل التكاليف.
• يستخدمه العلماء لنمذجة النظم الطبيعية التي تسعى إلى التوازن.

تمارين

1. لدى مزارع سياج بطول 100 متر لإحاطة حقل مستطيل على طول النهر (لذلك تحتاج 3 جوانب فقط إلى سياج). البحث عن أبعاد تعظيم المساحة.
2. ابحث عن رقمين موجبين مجموعهما 20 وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن.
3. تصنع الاسطوانة من مادة مقاس 100 سم\(^2\). البحث عن أبعاد الحد الأقصى للحجم.
4. تم قطع سلك طوله 10 أمتار إلى قطعتين، إحداهما منحنية على شكل مربع، والأخرى على شكل دائرة. كيف ينبغي قطعها لتعظيم المساحة الإجمالية المغلقة؟
5. سيتم بناء صندوق مغلق ذو قاعدة مربعة وحجم 32 م\(^3\). البحث عن أبعاد التقليل من مساحة السطح.

3.4 التقعر ونقاط الانعطاف

لا تخبرنا المشتقات عن المنحدرات فحسب، بل تخبرنا أيضًا عن شكل الرسم البياني. المشتق الثاني مفيد بشكل خاص في فهم التقعر وتحديد نقاط الانقلاب.

التقعر

• تكون الدالة \(f(x)\) مقعرة لأعلى على الفاصل الزمني إذا كان \(f''(x) > 0\). ينحني الرسم البياني للأعلى، مثل الكأس.

• تكون الدالة \(f(x)\) مقعرة لأسفل على فترة إذا كان \(f''(x) < 0\). ينحني الرسم البياني للأسفل، مثل العبوس.

يصف التقعر كيفية تغير ميل الدالة: إذا زادت المنحدرات، يكون الرسم البياني مقعرًا للأعلى؛ إذا كانت المنحدرات تتناقص، يكون الرسم البياني مقعرًا للأسفل.

نقاط انعطافنقطة الانعطاف هي نقطة على الرسم البياني حيث يتغير التقعر.

• إذا كان \(f''(x) = 0\) أو \(f''(x)\) غير محدد، فإن النقطة تكون مرشحة لنقطة انعطاف.
• للتأكيد يجب أن تتغير إشارة التقعر على جانبي النقطة.

أمثلة

1. \(f(x) = x^3\)

   • \(f''(x) = 6x\).
   • في \(x = 0\)، \(f''(0) = 0\).
   • بالنسبة إلى \(x < 0\)، \(f''(x) < 0\) → مقعر للأسفل.
   • بالنسبة إلى \(x > 0\)، \(f''(x) > 0\) → مقعر للأعلى.
   • وبالتالي، \((0,0)\) هي نقطة انعطاف.

2. \(f(x) = x^4\)

   • \(f''(x) = 12x^2\).
   • عند \(x = 0\)، \(f''(0) = 0\)، لكن التقعر لا يغير الإشارة (دائمًا ≥ 0).
   • عدم وجود نقطة انعطاف.

رسم التقعر والمنحنى

• إذا كان \(f'(x) = 0\) و\(f''(x) > 0\)، فإن \(f\) لديه حد أدنى محلي.
• إذا كان \(f'(x) = 0\) و\(f''(x) < 0\)، فإن \(f\) له حد أقصى محلي.
• ويعرف هذا باختبار المشتقة الثانية.

لماذا هذا مهم

تساعدنا نقاط التقعر والانعطاف على فهم “شكل” الرسوم البيانية: حيث تنحني أو تتسطح أو تدور. تعتبر هذه الأفكار أساسية في رسم المنحنى، والفيزياء (التسارع)، والاقتصاد (تناقص العائدات).

تمارين

1. تحديد فترات التقعر لـ \(f(x) = x^3 - 3x\). أوجد نقاط انعطافها.
2. بالنسبة إلى \(f(x) = \ln(x)\)، حدد التقعر ونقاط الانقلاب المحتملة.
3. قم بتطبيق اختبار المشتقة الثانية على \(f(x) = x^2 e^{-x}\) لتصنيف النقاط الحرجة.
4. رسم تخطيطي \(f(x) = \sin x\)، مع تحديد فترات التقعر ونقاط الانعطاف.
5. اشرح لماذا لا يحتوي \(f(x) = e^x\) على نقاط انعطاف.

3.5 رسم المنحنى

رسم المنحنى هو عملية رسم الرسم البياني للدالة باستخدام المعلومات من مشتقاتها. بدلاً من رسم العديد من النقاط، نقوم بتحليل السمات الرئيسية: التقاطعات، والخطوط المقاربة، والفواصل الزمنية المتزايدة/المتناقصة، والتقعر.

خطوات رسم المنحنى1. المجال: تحديد مكان تعريف الوظيفة.

2. الاعتراضات: ابحث عن مكان تقاطع الرسم البياني مع المحاور.

3. الخطوط المقاربة:

   • الخطوط المقاربة الرأسية تحدث عندما تكون الدالة غير محددة وتميل إلى اللانهاية.
   • الخطوط المقاربة الأفقية أو المائلة تصف السلوك النهائي كـ \(x \to \pm\infty\).

4. المشتق الأول \(f'(x)\):

   • الوظيفة → الإيجابية آخذة في الازدياد.
   • وظيفة → سلبية آخذة في التناقص.
   • أصفار \(f'(x)\) → النقاط الحرجة (الحد الأقصى/الحد الأدنى المحتمل).

5. المشتق الثاني \(f''(x)\):

   • موجب → مقعر للأعلى.
   • سلبي → مقعر للأسفل.
   • أصفار أو غير محددة → نقاط انعطاف محتملة.

6. دمج المعلومات: استخدم جميع النتائج لرسم رسم بياني واضح ودقيق.

المثال 1: \(f(x) = x^3 - 3x\)

• المجال: جميع الأعداد الحقيقية.

• الاعتراضات: عند \((0,0)\).

• المشتق: \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\).

  • زيادة: \((-\infty, -1) \cup (1, \infty)\).
  • متناقص: \((-1, 1)\).

• المشتق الثاني: \(f''(x) = 6x\).

  • مقعر للأسفل لـ \(x < 0\)، مقعر للأعلى لـ \(x > 0\).
  • نقطة الانعطاف عند \((0,0)\).

• الشكل: منحنى على شكل حرف S، الحد الأقصى المحلي عند \((-1, 2)\)، والحد الأدنى المحلي عند \((1, -2)\).

المثال 2: \(f(x) = \frac{1}{x}\)

• النطاق: \(x \neq 0\).

• الخط المقارب العمودي: \(x = 0\).

• الخط المقارب الأفقي: \(y = 0\).

• المشتق: \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) (سلبي دائمًا). الوظيفة تتناقص دائمًا.

• المشتق الثاني: \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\).

  • مقعر لـ \(x > 0\).
  • مقعر للأسفل لـ \(x < 0\).

• الرسم البياني: القطع الزائد بفرعين.

لماذا يعد رسم المنحنى مفيدًا

• يوفر نظرة ثاقبة للسلوك العام للوظائف دون حساب شامل.
• ضروري في امتحانات حساب التفاضل والتكامل والمسائل التطبيقية.
• تحليل الجسور الجبرية والفهم الهندسي.

تمارين

1. ارسم منحنى \(f(x) = x^4 - 2x^2\). تحديد النقاط القصوى والصغرى ونقاط الانعطاف.2. تحليل ورسم \(f(x) = \ln(x)\). إظهار الاعتراضات والخطوط المقاربة والتقعر.
2. بالنسبة إلى \(f(x) = e^{-x}\)، قم بوصف النمو/الاضمحلال، والخطوط المقاربة، والتقعر.
3. ارسم الرسم البياني لـ \(f(x) = \tan x\) على الفاصل الزمني \((- \pi, \pi)\). وضع علامة على الخطوط المقاربة.
4. استخدم اختبارات المشتقة الأولى والثانية لتصنيف النقاط الحرجة لـ \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\).

#الجزء الثاني. التكاملات

الفصل الرابع. المشتقات العكسية والتكاملات المحددة

4.1 التكاملات غير المحددة

التكامل غير المحدد هو عملية عكسية للتمايز. إذا تغيرت قياسات المشتقة، فإن التكامل يستعيد الوظيفة الأصلية من معدل تغيره.

التعريف

إذا كان \(F'(x) = f(x)\)، إذن

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C, \]

حيث \(C\) هو ثابت التكامل.

يمثل كل تكامل غير محدد مجموعة من الدوال التي تختلف فقط بثابت، حيث أن التمايز يلغي الثوابت.

القواعد الأساسية

1. القاعدة الثابتة

\[ \int c\,dx = cx + C. \]

2. قاعدة القوة

\[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1. \]

3. حكم المجموع

\[ \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx. \]

4. قاعدة متعددة ثابتة

\[ \int c f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx. \]

التكاملات المشتركة

• \(\int e^x dx = e^x + C\)
• \(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
• \(\int \cos x dx = \sin x + C\)
• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)

أمثلة

1. \(\int (3x^2 - 4)\,dx = x^3 - 4x + C\).

2. \(\int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x) + C\).

3. \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\).

التفسير

• التكاملات غير المحددة هي مشتقات عكسية.
• إنها أساس التكاملات المحددة التي تقيس الكميات المتراكمة مثل المساحة والمسافة والكتلة.
• في السياقات التطبيقية، يسمح لنا التكامل بالانتقال من المعدلات إلى الإجماليات.

تمارين

1. ابحث عن \(\int (5x^4 + 2x)\,dx\).2. حساب \(\int (e^x + 3)\,dx\).
2. أوجد الحل العام لـ \(f'(x) = 6x\) باستخدام التكامل.
3. قم بتقييم \(\int \frac{2}{x}\,dx\).
4. إذا كانت السرعة \(v(t) = 4t\)، فابحث عن دالة الموضع \(s(t)\).

4.2 التكامل المحدد كمساحة

بينما تمثل التكاملات غير المحددة عائلات من المشتقات العكسية، فإن التكامل المحدد يعطي قيمة عددية: المساحة المتراكمة تحت المنحنى بين نقطتين.

التعريف

بالنسبة للدالة \(f(x)\) المعرفة في \([a, b]\)، التكامل المحدد هو

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^-) \,\Delta x, \]

حيث يتم تقسيم الفاصل الزمني \([a, b]\) إلى \(n\) فترات فرعية بعرض \(\Delta x\)، و\(x_i^-\) هي نقطة عينة في كل فترة فرعية.

هذه هي نهاية مجاميع ريمان.

التفسير الهندسي

• إذا كان \(f(x) \geq 0\) على \([a, b]\)، فإن \(\int_a^b f(x)\,dx\) يساوي المساحة الموجودة أسفل المنحنى \(y = f(x)\) من \(x=a\) إلى \(x=b\).
• إذا انخفض \(f(x)\) أسفل المحور \(x\)، فإن التكامل يحسب المنطقة الموقعة: المناطق الموجودة أسفل المحور تعتبر سلبية.

خواص التكامل المحدد

1. الإضافة على فترات

\[ \int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx. \]

2. عكس الحدود

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]

3. الفاصل الزمني للعرض صفر

\[ \int_a^a f(x)\,dx = 0. \]

4. الخطية

\[ \int_a^b \big( cf(x) + g(x)\big)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx. \]

أمثلة

1. \(\int_0^2 x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^2 = 2.\) هذه هي مساحة المثلث القائم أسفل الخط \(y=x\).

2. \(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\) تحتوي الدالة الفردية \(x^3\) على مساحات متماثلة يمكن إلغاؤها.

3. \(\int_0^\pi \sin x\,dx = 2.\) وهذا يساوي المساحة الواقعة تحت أحد قوسي منحنى الجيب.

لماذا هذا مهم

• التكاملات المحددة تقيس الكميات المتراكمة: المسافة، الكتلة، الطاقة، الاحتمال.- يربطون بين الحسابات الجبرية والحدس الهندسي.
• الخطوة التالية هي النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، والتي تربط التكاملات المحددة بالمشتقات العكسية.

تمارين

1. حساب \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\).
2. ابحث عن المنطقة الواقعة بين \(y = x^2\) ومحور \(x\) من \(x = 0\) إلى \(x = 2\).
3. قم بتقييم \(\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\,dx\).
4. أظهر أن \(\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0\) إذا كان \(f(x)\) فرديًا.
5. قم بتقريب \(\int_0^1 e^x\,dx\) باستخدام مجموع ريمان مع \(n=4\) الفترات الفرعية ونقاط النهاية اليمنى.

4.3 النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (FTC) توحد الفكرتين الرئيسيتين لحساب التفاضل والتكامل: التفاضل والتكامل. ويبين أن إيجاد المساحات وإيجاد معدلات التغير وجهان لعملة واحدة.

الجزء الأول: اشتقاق التكامل

إذا كان \(f\) مستمرًا على \([a, b]\)، فحدد

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt. \]

ثم \(F\) قابل للتمييز، و

\[ F'(x) = f(x). \]

بمعنى: مشتق دالة المساحة المتراكمة هو الدالة الأصلية نفسها.

الجزء الثاني: تقييم التكاملات المحددة

إذا كان \(f\) مستمرًا على \([a, b]\) وكان \(F\) أي مشتق عكسي لـ \(f\)، إذن

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \]

يخبرنا هذا أنه يمكننا تقييم التكاملات المحددة ببساطة عن طريق إيجاد المشتقة العكسية، بدلًا من حساب حدود مجاميع ريمان.

أمثلة

1. \(\int_0^2 x^2\,dx\).

   • المشتق العكسي: \(F(x) = \tfrac{1}{3}x^3\).
   • تطبيق FTC: \(F(2) - F(0) = \tfrac{8}{3} - 0 = \tfrac{8}{3}.\)

2. إذا كان \(F(x) = \int_1^x \cos t \, dt\)، فإن \(F'(x) = \cos x\).

3. \(\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx\).

   • المشتق العكسي: \(\ln|x|\).
   • تطبيق FTC: \(\ln 4 - \ln 1 = \ln 4.\)

سبب أهمية لجنة التجارة الفيدرالية (FTC).

• يحول التكامل من عملية محدودة إلى حساب عملي.- يؤكد أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان.
• إنها النظرية المركزية التي تجعل حساب التفاضل والتكامل مفيدا في الرياضيات والعلوم والهندسة.

تمارين

1. قم بتقييم \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\) باستخدام FTC.
2. إذا كان \(F(x) = \int_0^x e^t\,dt\)، فابحث عن \(F'(x)\).
3. حساب \(\int_0^\pi \sin x \, dx\).
4. أظهر أنه إذا كان \(f'(x) = g(x)\)، فإن \(\int_a^b g(x)\,dx = f(b) - f(a)\).
5. استخدم FTC لتوضيح سبب تساوي المنطقة الموجودة تحت \(y = \cos x\) من \(0\) إلى \(\pi/2\) 1.

4.4 خصائص التكاملات

يتمتع التكامل المحدد بالعديد من الخصائص المهمة التي تجعله مرنًا وقويًا في التطبيقات. تتبع هذه الخصائص التعريف كحد للمجاميع ومن النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

الخطية

بالنسبة للوظائف \(f(x)\) و\(g(x)\) والثوابت \(c, d\):

\[ \int_a^b \big(c f(x) + d g(x)\big)\,dx = c \int_a^b f(x)\,dx + d \int_a^b g(x)\,dx. \]

وهذا يسمح لنا بتقسيم التكاملات المعقدة إلى أجزاء أبسط.

الجمع على فترات

إذا كان \(a < c < b\)، إذن

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx. \]

يمكننا حساب التكاملات قطعة قطعة.

عكس الحدود

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]

تبديل الحدود يغير إشارة التكامل.

خاصية المقارنة

إذا كان \(f(x) \leq g(x)\) لجميع \(x\) في \([a, b]\)، فعندئذٍ

\[ \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx. \]

وهذا يتيح لنا مقارنة المناطق دون حساب مباشر.

عدم المساواة في القيمة المطلقة

\[ \left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx. \]

هذه الخاصية ضرورية في اختبارات التحليل والتقارب.

التماثل

• إذا كان \(f(x)\) زوجيًا (متماثل حول محور \(y\)):

  \[ \int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]

• إذا كان \(f(x)\) فرديًا (متماثل بالنسبة إلى الأصل):

  \[ \int_{-a}^a f(x)\,dx = 0. \]### أمثلة

1. \(\int_0^2 (3x^2 + 4)\,dx = \int_0^2 3x^2\,dx + \int_0^2 4\,dx = 8 + 8 = 16.\)

2. بما أن \(f(x) = x^3\) أمر غريب، \(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\)

3. بما أن \(f(x) = x^2\) زوجي، فإن \(\int_{-2}^2 x^2\,dx = 2\int_0^2 x^2\,dx = 2\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}.\)

سبب أهمية هذه الخصائص

• يبسطون الحسابات.
• تكشف عن السمات الهندسية والتناظرية للوظائف.
• أنها توفر الأدوات النظرية لتحليل أكثر تقدما.

تمارين

1. استخدم التماثل لتقييم \(\int_{-5}^5 (x^4 - x^3)\,dx\).
2. أظهر أن \(\int_1^4 (2x+3)\,dx = \int_1^2 (2x+3)\,dx + \int_2^4 (2x+3)\,dx\).
3. قم بتقييم \(\int_0^\pi \sin(x)\,dx\) ومقارنته بـ \(\int_{-\pi}^\pi \sin(x)\,dx\).
4. أثبت أنه إذا كان \(f(x) \geq 0\) على \([a, b]\)، فإن \(\int_a^b f(x)\,dx \geq 0\).
5. قم بحساب \(\int_{-3}^3 (x^2 + 1)\,dx\) باستخدام الخصائص الزوجية/الفردية.

الفصل الخامس. تقنيات التكامل

5.1 الاستبدال

إحدى أكثر تقنيات التكامل فائدة هي طريقة الاستبدال، وتسمى أيضًا -u-substitution-. إنها العملية العكسية لقاعدة السلسلة للمشتقات.

الفكرة

إذا كان التكامل يحتوي على دالة مركبة، فيمكننا تبسيطه عن طريق تغيير المتغيرات.

رسميًا، إذا كانت \(u = g(x)\) دالة قابلة للتفاضل، إذن

\[ \int f(g(x)) g'(x)\,dx = \int f(u)\,du. \]

هذا الاستبدال يجعل تقييم التكامل أسهل.

خطوات الاستبدال

1. حدد دالة داخلية \(u = g(x)\) والتي تظهر مشتقتها أيضًا في التكامل.
2. حساب \(du = g'(x)\,dx\).
3. أعد كتابة التكامل بدلالة \(u\).
4. التكامل فيما يتعلق بـ \(u\).
5. استبدل \(u = g(x)\) بالخلف.

أمثلة

1. استبدال بسيط

   \[ \int 2x \cos(x^2)\,dx \]

   دع \(u = x^2\)، إذن \(du = 2x\,dx\). ثم يصبح التكامل \(\int \cos u \,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C\).

2. حالة لوغاريتمية

   \[\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx \]

   Let \(u = x^2 + 1\), so \(du = 2x\,dx\). Then integral becomes \(\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C\).

3. Trigonometric substitution

   \[ \int \sin(3x)\,dx \]

   Let \(u = 3x\), so \(du = 3\,dx\), hence \(dx = \frac{du}{3}\). Integral becomes \(\tfrac{1}{3}\int \sin u\,du = -\tfrac{1}{3}\cos u + C = -\tfrac{1}{3}\cos(3x) + C\).

Definite Integrals with Substitution

When evaluating definite integrals, we must also change the limits:

\[ \int_a^b f(g(x)) g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du. \]

Example:

\[ \int_0^1 2x e^{x^2}\,dx. \]

Let \(u = x^2\), \(du = 2x\,dx\). Limits: when \(x=0, u=0\); when \(x=1, u=1\). So the integral becomes

\[ \int_0^1 e^u\,du = e - 1. \]

Exercises

1. Evaluate \(\int (x^2+1)^5 (2x)\,dx\).
2. Compute \(\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx\).
3. Evaluate \(\int_0^\pi \sin(2x)\,dx\) using substitution.
4. Find \(\int e^{3x}\,dx\).
5. Compute \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\) by letting \(u = 1+x^2\).

5.2 Integration by Parts

Integration by parts is a technique that comes from the product rule for derivatives. It helps evaluate integrals involving products of functions that are not easily handled by substitution alone.

The Formula

From the product rule:

\[ \frac{d}{dx[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). \]

Integrating both sides gives the integration by parts formula:

\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du. \]

Here:

• \(u\) = a function chosen to be differentiated,
• \(dv\) = the remaining part of the integrand to be integrated.

Choosing \(u\) and \(dv\)

A common guideline is LIATE (Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential).

• Choose \(u\) from the earliest category present.
• Choose \(dv\) as the rest.

Examples

1. Polynomial × Exponential

\[ \int x e^x\,dx \]دع \(u = x\)، \(dv = e^x dx\). ثم \(du = dx\)، \(v = e^x\).

\[ \int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C. \]

2. كثير الحدود × علم حساب المثلثات

\[ \int x \cos x\,dx \]

دع \(u = x\)، \(dv = \cos x dx\). ثم \(du = dx\)، \(v = \sin x\).

\[ \int x \cos x\,dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. \]

3. اللوغاريتم

\[ \int \ln x\,dx \]

دع \(u = \ln x\)، \(dv = dx\). ثم \(du = \frac{1}{x}dx\)، \(v = x\).

\[ \int \ln x\,dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C. \]

مثال على التكامل المحدد

\[ \int_0^1 x e^x\,dx \]

باستخدام النتيجة السابقة: \(\int x e^x dx = (x-1)e^x\). تقييم:

\[ \big[(x-1)e^x\big]_0^1 = (0)e^1 - (-1)e^0 = 0 + 1 = 1. \]

لماذا هذا مهم

يعد التكامل بالأجزاء أمرًا بالغ الأهمية عندما يفشل الاستبدال، خاصة مع اللوغاريتمات والدوال المثلثية العكسية والمنتجات التي تتضمن كثيرات الحدود ذات الدوال الأسية أو المثلثية.

تمارين

1. قم بتقييم \(\int x \sin x\,dx\).
2. ابحث عن \(\int e^x \cos x\,dx\).
3. حساب \(\int_1^2 \ln x\,dx\).
4. قم بتقييم \(\int x^2 e^x\,dx\).
5. استخدم التكامل بالأجزاء لإظهار \(\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\).

5.3 التكاملات والبدائل المثلثية

تشتمل العديد من التكاملات على دوال مثلثية. ويمكن في كثير من الأحيان تبسيط هذه الأمور باستخدام الهويات أو عن طريق إجراء بدائل خاصة.

التكاملات المثلثية

1. قوى الجيب وجيب التمام

• إذا كان أس الجيب فرديًا: احفظ واحدًا \(\sin x\)، وحول الباقي بـ \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\)، واستبدل \(u = \cos x\).
• إذا كانت قوة جيب التمام فردية: احفظ واحدًا \(\cos x\)، وقم بتحويل الباقي بـ \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\)، واستبدل \(u = \sin x\).
• إذا كان كلاهما متساويًا: استخدم متطابقات نصف الزاوية.

مثال:

\[ \int \sin^3x \cos x \, dx \]

دع \(u = \sin x\)، \(du = \cos x\,dx\):

\[ \int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \tfrac{\sin^4x}{4} + C.\]

2. Products of sine and cosine with different angles Use product-to-sum formulas:

\[ \sin A \cos B = \tfrac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]. \]

Example:

\[ \int \sin(2x)\cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{2}\int [\sin(5x) - \sin(x)]\,dx. \]

3. Powers of secant and tangent

• If the power of secant is even: save \(\sec^2x\), convert the rest with \(\sec^2x = 1 + \tan^2x\), and substitute \(u = \tan x\).
• If the power of tangent is odd: save \(\sec^2x\), convert the rest with \(\tan^2x = \sec^2x - 1\), and substitute \(u = \tan x\).

Example:

\[ \int \tan^3x \sec^2x \, dx \]

Let \(u = \tan x\), \(du = \sec^2x\,dx\):

\[ \int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \tfrac{\tan^4x}{4} + C. \]

Trigonometric Substitutions

For integrals involving \(\sqrt{a^2 - x^2}\), \(\sqrt{a^2 + x^2}\), or \(\sqrt{x^2 - a^2}\), use special substitutions:

1. \(x = a \sin \theta\), for \(\sqrt{a^2 - x^2}\).
2. \(x = a \tan \theta\), for \(\sqrt{a^2 + x^2}\).
3. \(x = a \sec \theta\), for \(\sqrt{x^2 - a^2}\).

Example:

\[ \int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \]

Let \(x = a\sin\theta\), so \(dx = a\cos\theta\,d\theta\):

\[ \int \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta}(a\cos\theta\,d\theta) = \int a^2 \cos^2\theta \, d\theta. \]

تبسيط باستخدام متطابقات نصف الزاوية.

سبب أهمية هذه التقنيات

• يحولون الأشكال الجبرية الصعبة إلى أشكال مثلثية يمكن التحكم فيها.
• إنها مفيدة بشكل خاص في المسائل المتعلقة بالمساحات والأحجام وأطوال القوس.
• أنها تضع الأساس لأساليب التكامل المتقدمة.

تمارين

1. قم بتقييم \(\int \sin^4x \cos^2x \, dx\).
2. حساب \(\int \sin(5x)\cos(2x)\,dx\).
3. قم بتقييم \(\int \tan^2x \sec^2x \, dx\).
4. ابحث عن \(\int \sqrt{9 - x^2}\,dx\) باستخدام الاستبدال.
5. أظهر أن \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C\) باستخدام \(x = a\tan\theta\).

5.4 الكسور الجزئيةعند دمج الدوال الكسرية (نسب كثيرات الحدود)، إحدى الطرق القوية هي تحليل الكسور الجزئية. تعبر هذه التقنية عن الكسر المعقد كمجموع الكسور الأبسط التي يسهل دمجها.

الفكرة

إذا كانت \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) دالة كسرية، حيث تكون درجة \(P(x)\) أقل من درجة \(Q(x)\)، فيمكننا تحليل \(R(x)\) إلى كسور أبسط.

تتوافق هذه القطع الأبسط مع عوامل المقام \(Q(x)\).

النماذج المشتركة

1. العوامل الخطية المميزة إذا

\[ \frac{1}{(x-a)(x-b)}, \]

ثم تتحلل كما

\[ \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}. \]

2. العوامل الخطية المتكررة إذا كان المقام يحتوي على \((x-a)^n\)، فالحدود هي

\[ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x-a)^n}. \]

3. العوامل التربيعية غير القابلة للاختزال إذا كان المقام يحتوي على \((x^2+bx+c)\)، فإن البسط خطي:

\[ \frac{Ax+B}{x^2+bx+c}. \]

مثال 1: العوامل الخطية المميزة

\[ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx \]

مقام العامل: \((x-1)(x+1)\). تتحلل:

\[ \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right). \]

دمج:

\[ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C. \]

مثال 2: العامل الخطي المتكرر

\[ \int \frac{1}{(x-1)^2}\,dx \]

هذا بسيط بالفعل:

\[ \int (x-1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x-1} + C. \]

مثال 3: العامل التربيعي غير القابل للاختزال

\[ \int \frac{x}{x^2+1}\,dx \]

استبدل \(u = x^2+1\)، أو تعرف على أن البسط مشتق من المقام.

\[ \int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C. \]

خطوات تحليل الكسور الجزئية

1. عامل المقام.
2. اكتب صيغة الكسر الجزئي العام.
3. اضرب بالمقام لمسح الكسور.
4. حل الثوابت المجهولة.
5. دمج كل مصطلح.### لماذا هذا مهم

• تحويل الوظائف العقلانية المعقدة إلى أشكال لوغاريتمية أو ظلية بسيطة.
• مفيدة بشكل خاص في المعادلات التفاضلية وتحويلات لابلاس.
• أساسيات في حساب التفاضل والتكامل المتقدم والهندسة.

تمارين

1. قم بتحليل ودمج \(\int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx\).
2. قم بتقييم \(\int \frac{1}{x^2(x+1)}\,dx\).
3. حساب \(\int \frac{2x+1}{x^2+2x+2}\,dx\).
4. ابحث عن \(\int \frac{1}{x^3 - x}\,dx\).
5. أظهر أن \(\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C\) باستخدام الكسور الجزئية أو التعويض.

5.5 التكاملات غير الصحيحة

لا يمكن تقييم بعض التكاملات بشكل مباشر لأن الفاصل الزمني لا نهائي أو أن التكامل يصبح غير محدود. وتسمى هذه التكاملات غير لائقة. يتم تعريفها باستخدام الحدود.

التعريف

1. الفاصل الزمني اللانهائي

\[ \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx. \]

\[ \int_{-\infty}^a f(x)\,dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^a f(x)\,dx. \]

2. التكامل غير المحدود إذا كان \(f(x)\) يحتوي على خط تقارب عمودي عند \(c\)، إذن

\[ \int_a^c f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)\,dx, \]

\[ \int_c^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x)\,dx. \]

التقارب والاختلاف

• إذا كانت النهاية موجودة ومنتهية فإن التكامل غير الصحيح يتقارب.
• إذا كانت النهاية غير موجودة أو لا نهائية، فإن التكامل غير الصحيح يتباعد.

أمثلة

1. الاضمحلال الأسي

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \Big[-\tfrac{1}{x}\Big]_1^b = 1. \]

هذا يتقارب.

2. الوظيفة التوافقية

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \ln b. \]

وهذا يتباعد إلى ما لا نهاية.

3. الخط المقارب عند 0

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx. \]

\[ = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1 = 2. \]

هذا يتقارب.

4. الخط المقارب عند 0 (متباعد)

\[\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \ln(1) - \ln(t). \]

This diverges since \(\ln(t) \to -\infty\).

Comparison Test for Improper Integrals

• If \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) for large \(x\), and \(\int g(x)\,dx\) converges, then \(\int f(x)\,dx\) also converges.
• If \(\int f(x)\,dx\) diverges and \(f(x) \geq g(x) \geq 0\), then \(\int g(x)\,dx\) also diverges.

Why Improper Integrals Matter

• They extend integration to infinite domains and unbounded functions.
• They are essential in probability (continuous distributions), physics (gravitational/electric fields), and Fourier analysis.

Exercises

1. Determine whether \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx\) converges for various values of \(p\).
2. Evaluate \(\int_0^\infty e^{-x}\,dx\).
3. Test convergence of \(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx\) depending on \(p\).
4. Compute \(\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx\).
5. Use the comparison test to show that \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}\,dx\) converges.

Chapter 6. Applications of Integration

6.1 Areas and Volumes

One of the most important applications of integration is finding areas under curves and volumes of solids.

Area Between Curves

If \(f(x) \geq g(x)\) on \([a, b]\), then the area between the curves \(y=f(x)\) and \(y=g(x)\) is

\[ A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx. \]

Example: Find the area between \(y=x^2\) and \(y=x\) on \([0,1]\).

\[ A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \tfrac{1}{6}. \]

Volumes by Slicing

If a solid has cross-sectional area \(A(x)\) at position \(x\), then the volume is

\[ V = \int_a^b A(x)\,dx. \]

مجلدات الثورة

عندما تدور منطقة ما حول محور، يمكن إيجاد حجم المادة الصلبة الناتجة عن طريق التكامل.

1. طريقة القرصإذا كانت المنطقة الموجودة ضمن \(y=f(x)\)، \(x\in[a,b]\)، تدور حول محور \(x\):

\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx. \]

2. طريقة الغسالة إذا كانت المنطقة الواقعة بين \(y=f(x)\) و\(y=g(x)\) تدور حول محور \(x\):

\[ V = \pi \int_a^b \Big([f(x)]^2 - [g(x)]^2\Big)\,dx. \]

3. طريقة شل إذا كانت المنطقة الموجودة ضمن \(y=f(x)\) تدور حول محور \(y\):

\[ V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx. \]

أمثلة

1. طريقة القرص تدور \(y=\sqrt{x}\)، \(0 \leq x \leq 4\)، حول محور \(x\):

\[ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^4 = 8\pi. \]

2. طريقة الغسالة المنطقة الدائرية بين \(y=\sqrt{x}\) و \(y=1\)، \(0 \leq x \leq 1\)، حول \(x\)-المحور:

\[ V = \pi \int_0^1 \big((\sqrt{x})^2 - (1)^2\big)\,dx = \pi \int_0^1 (x-1)\,dx = -\tfrac{\pi}{2}. \]

(خذ القيمة المطلقة للحجم: \(V = \tfrac{\pi}{2}\)).

3. طريقة شل المنطقة الدائرية ضمن \(y=x\)، \(0 \leq x \leq 1\)، حول محور \(y\):

\[ V = 2\pi \int_0^1 x(x)\,dx = 2\pi \int_0^1 x^2\,dx = 2\pi \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2\pi}{3}. \]

لماذا هذا مهم

• يوفر طرقًا دقيقة لحساب المساحات والأحجام في الهندسة.
• أساسي في الفيزياء والهندسة والاحتمالات.
• يقدم التفكير الهندسي مع التكامل.

تمارين

1. ابحث عن المنطقة الواقعة بين \(y=\cos x\) و\(y=\sin x\) على \([0, \pi/2]\).
2. احسب حجم المادة الصلبة المتكونة عن طريق الدوران \(y=x^2\)، \(0 \leq x \leq 1\)، حول المحور \(x\).
3. أوجد حجم المادة الصلبة المتكونة من خلال دوران المنطقة بين \(y=x\) و \(y=\sqrt{x}\) على \([0,1]\) حول المحور \(y\).
4. استخدم طريقة الحلقة لحساب حجم المادة الصلبة المتكونة بتدوير \(y=\sqrt{1-x^2}\) (نصف دائرة) حول محور \(x\).
5. ابحث عن المنطقة المحصورة بين \(y=x^2+1\) و\(y=3x\).

6.2 طول القوس ومساحة السطحيمكن أيضًا استخدام التكامل لقياس طول المنحنيات ومساحة سطح المواد الصلبة الناتجة عن المنحنيات الدوارة.

طول القوس

للحصول على منحنى سلس \(y=f(x)\) على الفاصل الزمني \([a,b]\)، يكون طول المنحنى

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

يأتي هذا من تقريب المنحنى بأجزاء خطية وأخذ النهاية.

مثال: أوجد طول \(y=\tfrac{1}{2}x^{3/2}\) من \(x=0\) إلى \(x=4\).

• المشتق: \(f'(x) = \tfrac{3}{4}\sqrt{x}\).
• الصيغة:

\[ L = \int_0^4 \sqrt{1 + \Big(\tfrac{3}{4}\sqrt{x}\Big)^2}\,dx = \int_0^4 \sqrt{1 + \tfrac{9}{16}x}\,dx. \]

يمكن تقييم هذا التكامل باستخدام الاستبدال.

المساحة السطحية للثورة

إذا كان المنحنى \(y=f(x)\)، \(a \leq x \leq b\)، يدور حول محور \(x\)، فإن مساحة سطح المادة الصلبة الناتجة هي

\[ S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

إذا كان يدور حول محور \(y\):

\[ S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

أمثلة

1. طول قوس الخط بالنسبة إلى \(y=x\)، \(0 \leq x \leq 3\):

\[ L = \int_0^3 \sqrt{1+(1)^2}\,dx = \int_0^3 \sqrt{2}\,dx = 3\sqrt{2}. \]

2. مساحة سطح الكرة خذ \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\)، \(-r \leq x \leq r\)، وقم بالدوران حول محور \(x\).

\[ S = 2\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\,dx. \]

التبسيط يعطي \(S = 4\pi r^2\)، الصيغة المألوفة لمساحة سطح الكرة.

لماذا هذا مهم

• طول القوس يمتد فكرة المسافة إلى المسارات المنحنية.
• مساحة سطح الثورة لها تطبيقات في الفيزياء والهندسة والتصميم.
• يوفر جسرا بين حساب التفاضل والتكامل والهندسة.

تمارين

1. أوجد طول قوس \(y=\sqrt{x}\) من \(x=0\) إلى \(x=4\).2. احسب مساحة سطح المادة الصلبة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير \(y=x^2\)، \(0 \leq x \leq 1\)، حول محور \(x\).
2. أوجد طول قوس \(y=\ln(\cosh x)\) من \(x=0\) إلى \(x=1\).
3. أظهر أن دوران \(y=\sqrt{r^2 - x^2}\) من \(0\) إلى \(r\) حول محور \(x\) يعطي نصف مساحة سطح الكرة.
4. اشتق صيغة مساحة سطح المخروط عن طريق تدوير الخط.

6.3 العمل والمتوسطات

التكامل لا يقتصر على الهندسة. كما أنه يساعد في حساب الشغل الذي تبذله القوة ومتوسط ​​قيمة الدالة خلال فترة زمنية.

العمل

إذا قامت قوة متغيرة \(F(x)\) بتحريك جسم على طول خط مستقيم من \(x=a\) إلى \(x=b\)، فإن الشغل الإجمالي هو

\[ W = \int_a^b F(x)\,dx. \]

تعمل هذه الصيغة على تعميم الحالة البسيطة \(W = F \cdot d\) للقوة الثابتة.

المثال 1: قوة الزنبرك (قانون هوك) لزنبرك ممتد من الطول \(a\) إلى \(b\)، بقوة \(F(x) = kx\):

\[ W = \int_a^b kx\,dx = \tfrac{1}{2}k(b^2-a^2). \]

مثال 2: ضخ المياه إذا تم ضخ الماء من الخزان، فإن الشغل المطلوب يساوي

\[ W = \int_a^b \text{(weight density)} \times \text{(cross-sectional area)} \times \text{(distance lifted)} \, dx. \]

متوسط قيمة الدالة

القيمة المتوسطة للدالة المستمرة \(f(x)\) على \([a,b]\) هي

\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx. \]

هذا هو التناظرية المستمرة لحساب متوسط قائمة الأرقام.

مثال 1: بالنسبة إلى \(f(x)=x^2\) على \([0,2]\):

\[ f_{\text{avg}} = \tfrac{1}{2-0}\int_0^2 x^2 dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}. \]

مثال 2: إذا كانت سرعة الجسيم هي \(v(t)\)، فإن متوسط السرعة على \([a,b]\) هو

\[ v_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt. \]

لماذا هذا مهم

• تظهر تكاملات العمل في حسابات الفيزياء والهندسة والطاقة.- القيمة المتوسطة تعطي رقم تمثيلي واحد لكميات متفاوتة.
• كلاهما يربط حساب التفاضل والتكامل بمشاكل العالم الحقيقي المتعلقة بالحركة والقوة والكفاءة.

تمارين

1. احسب الشغل المطلوب لمد زنبرك من 2 م إلى 5 م إذا كان \(k=10\).
2. تم رفع جسم كتلته 100 كجم عموديًا مسافة 5 أمتار في مجال الجاذبية (\(g=9.8 \,\text{m/s}^2\)). التعبير عن العمل باعتباره جزءا لا يتجزأ وتقييمه.
3. ابحث عن متوسط ​​قيمة \(f(x)=\sin x\) على \([0,\pi]\).
4. احسب متوسط ​​درجة الحرارة إذا كان \(T(t)=20+5\cos(\tfrac{\pi t}{12})\) على مدار 24 ساعة في اليوم.
5. خزان عمقه 10 m مملوء بالماء . احسب الشغل المطلوب لضخ كل الماء إلى الأعلى، بمعلومية وزن الماء \(9800 \,\text{N/m}^3\).

##6.4 الكثافات الاحتمالية والتوزيعات المستمرة

يلعب التكامل أيضًا دورًا مركزيًا في نظرية الاحتمالات، خاصة بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة. بدلاً من النتائج المنفصلة، ​​نقوم بوصف الاحتمالات باستخدام وظائف تسمى وظائف كثافة الاحتمال (pdfs).

دوال الكثافة الاحتمالية

يجب أن تستوفي دالة الكثافة الاحتمالية \(f(x)\) شرطين:

1. \(f(x) \geq 0\) لجميع \(x\).

2. المساحة الإجمالية تحت المنحنى هي 1:

   \[ \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1. \]

إذا كان \(X\) متغيرًا عشوائيًا مستمرًا بتنسيق pdf \(f(x)\)، فإن احتمال أن يقع \(X\) بين \(a\) و\(b\) هو

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx. \]

دالة التوزيع التراكمي

يتم تعريف دالة التوزيع التراكمي (cdf) على أنها

\[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt. \]

إنه يعطي احتمال أن يكون المتغير العشوائي أقل من أو يساوي \(x\).

القيمة المتوقعة (المتوسط)

القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي المستمر هي المتوسط المرجح:

\[ E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\,dx. \]

أمثلة

1. التوزيع الموحدبالنسبة إلى \(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) على \([a,b]\):

• احتمال الفاصل الزمني \([c,d]\):

  \[ P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}. \]

• القيمة المتوقعة: \(E[X] = \tfrac{a+b}{2}\).

2. التوزيع الأسي بالنسبة إلى \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)، \(x \geq 0\):

• \(\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1\).
• يعني: \(E[X] = \tfrac{1}{\lambda}\).

3. التوزيع الطبيعي منحنى الجرس:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}. \]

إنه يتكامل مع 1، ولكنه يتطلب تقنيات متقدمة.

لماذا هذا مهم

• تصف كثافات الاحتمال عدم اليقين في العلوم والهندسة والإحصاء.
• التكاملات تربط المناطق الواقعة تحت المنحنيات بالاحتمالات.
• التوزيعات المستمرة تعمم فكرة عد النتائج لقياس الاحتمالات على فترات.

تمارين

1. أظهر أن الكثافة الموحدة \(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) على \([a,b]\) تتكامل مع 1.
2. بالنسبة للتوزيع الأسي باستخدام \(\lambda = 2\)، قم بحساب \(P(0 \leq X \leq 1)\).
3. ابحث عن القيمة المتوقعة لـ \(X\) إذا كان \(f(x) = 3x^2\) على \([0,1]\).
4. تحقق من أن التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​0 وتباين 1 له احتمال إجمالي 1 (لا حاجة لإثبات كامل، ولكن اشرح سبب صحة ذلك).
5. قم بحساب cdf للتوزيع الموحد على \([0,1]\).

#الجزء الثالث. حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

الفصل السابع. وظائف المتجهات والمنحنيات

7.1 وظائف المتجهات ومنحنيات الفضاء

في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، يمكن للوظائف إخراج المتجهات بدلاً من الأرقام. وتسمى هذه الدوال ذات القيمة المتجهة، وهي ضرورية لوصف المنحنيات في الفضاء.

التعريف

وظيفة المتجهات هي وظيفة النموذج

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

حيث \(x(t), y(t), z(t)\) هي وظائف ذات قيمة حقيقية.

• غالبًا ما يُطلق على الإدخال \(t\) اسم المعلمة.- الإخراج عبارة عن متجه في مساحة ثنائية أو ثلاثية الأبعاد.
• الرسم البياني للدالة المتجهة ثلاثي الأبعاد هو منحنى فضائي.

أمثلة

1. الخط

\[ \mathbf{r}(t) = \langle 1+2t, \; 3-t, \; 4+5t \rangle. \]

يصف هذا خطًا مستقيمًا عبر النقطة \((1,3,4)\) مع متجه الاتجاه \(\langle 2,-1,5 \rangle\).

2. دائرة في الطائرة

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 0 \rangle, \quad 0 \leq t < 2\pi. \]

3. اللولب

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; t \rangle. \]

هذا شكل حلزوني يرتفع حول محور \(z\).

الحدود والاستمرارية

تكون الدالة المتجهة مستمرة عند \(t=a\) إذا كان كل مكون \(x(t), y(t), z(t)\) مستمرًا عند \(t=a\).

\[ \lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} x(t), \; \lim_{t \to a} y(t), \; \lim_{t \to a} z(t) \rangle. \]

هندسة منحنيات الفضاء

• كل منحنى له اتجاه مماس يعطى بواسطة المشتق.
• يمكن لمنحنيات الفضاء أن تصمم مسارات الحركة، ومسارات الجسيمات، والأشكال الهندسية.

لماذا هذا مهم

الدوال المتجهة هي الأساس لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، مما يسمح لنا بتوسيع أفكار المشتقات والتكاملات إلى أبعاد أعلى. كما أنها تظهر بشكل طبيعي في الفيزياء (الحركة ثلاثية الأبعاد، والكهرومغناطيسية، وديناميكيات الموائع).

تمارين

1. اكتب دالة متجهة لخط يمر عبر \((0,1,2)\) موازيًا للمتجه \(\langle 3,-2,1 \rangle\).
2. قم بوصف المنحنى المعطى بواسطة \(\mathbf{r}(t) = \langle 2\cos t, \; 2\sin t, \; 3 \rangle\).
3. حدد ما إذا كان \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \; \ln t, \; t^2 \rangle\) مستمرًا عند \(t=1\).
4. ارسم الحلزون \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 2t \rangle\).
5. أوجد النقطة على المنحنى \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \; t^2, \; t^3 \rangle\) عند \(t=2\).

7.2 مشتقات وتكاملات الدوال المتجهةيمكن تمييز الوظائف المتجهة وتكاملها تمامًا مثل الوظائف العادية - فنحن ببساطة نطبق العملية على كل مكون. وهذا يسمح لنا بدراسة الحركة والسرعة والتسارع والتراكم في أبعاد أعلى.

مشتق من دالة المتجهات

إذا

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

ثم

\[ \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle. \]

يشير هذا المتجه المشتق في اتجاه الظل للمنحنى عند المعلمة \(t\).

• السرعة: إذا كان \(\mathbf{r}(t)\) يعطي موضع الجسيم في الزمن \(t\)، فإن \(\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)\) هو متجه سرعته.
• السرعة: الحجم \(|\mathbf{v}(t)|\) هو سرعة الجسيم.
• التسارع: \(\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t)\).

أمثلة

1. اللولب

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle. \]

• السرعة: \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• السرعة: \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
• التسارع: \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).

2. حركة المقذوفات

\[ \mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cdot t, \; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle. \]

وهذا يمثل المسار المكافئ للقذيفة تحت الجاذبية.

تكامل دالة المتجهات

إذا

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

ثم

\[ \int \mathbf{r}(t)\,dt = \left\langle \int x(t)\,dt, \; \int y(t)\,dt, \; \int z(t)\,dt \right\rangle + \mathbf{C}, \]

حيث \(\mathbf{C}\) هو متجه ثابت.

مثال

\[ \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle. \]

• المشتق: \(\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 2t, 3t^2 \rangle\).
• لا يتجزأ:

\[ \int \mathbf{r}(t)\,dt = \langle \tfrac{1}{2}t^2, \tfrac{1}{3}t^3, \tfrac{1}{4}t^4 \rangle + \mathbf{C}. \]

لماذا هذا مهم- مشتقات الدوال المتجهة تصف الحركة والقوى في الفضاء.

• التكاملات تعطي الإزاحة والشغل والكميات المتراكمة.
• تربط هذه الأدوات حساب التفاضل والتكامل مباشرة بالفيزياء والهندسة.

تمارين

1. بالنسبة إلى \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\)، أوجد السرعة المتجهة والسرعة والتسارع.
2. قم بحساب \(\mathbf{r}'(t)\) لـ \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \ln t, t^2 \rangle\).
3. دمج \(\mathbf{r}(t) = \langle 1, t, t^2 \rangle\).
4. سرعة الجسيم هي \(\mathbf{v}(t) = \langle t, 2, 0 \rangle\). ابحث عن متجه موضعه إذا كان \(\mathbf{r}(0) = \langle 1, 0, 0 \rangle\).
5. أظهر أن سرعة \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle\) ثابتة.

7.3 طول القوس والانحناء

يوفر حساب التفاضل والتكامل المتجه أدوات ليس فقط لقياس المسار الذي يرسمه المنحنى ولكن أيضًا مدى حدة انحناءه. يتم التعبير عنها من خلال طول القوس والانحناء.

طول قوس منحنى الفضاء

إذا تم إعطاء منحنى بواسطة

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \quad a \leq t \leq b, \]

ثم طول القوس هو

\[ L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt, \]

أين

\[ |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}. \]

مثال: بالنسبة للحلزون \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle, \, 0 \leq t \leq 2\pi\):

• السرعة: \(\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• السرعة: \(|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
• طول القوس:

\[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2}\,dt = 2\pi\sqrt{2}. \]

انحناء

يقيس الانحناء مدى سرعة تغيير المنحنى لاتجاهه.

للحصول على منحنى سلس \(\mathbf{r}(t)\):

\[ \kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}. \]

• \(\kappa = 0\): خط مستقيم.
• \(\kappa\) أكبر: ينحني المنحنى بشكل أكثر حدة.

مثال: للحصول على دائرة نصف قطرها \(r\):\[ \mathbf{r}(t) = \langle r\cos t, r\sin t \rangle. \]

ثم \(\kappa = \tfrac{1}{r}\). إذن الانحناء ثابت ويتناسب عكسيًا مع نصف القطر.

وحدة الظل والمتجهات العادية

• ناقل الظل:

\[ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}. \]

• المتجه العادي: يشير إلى مركز الانحناء، ويعرف بـ

\[ \mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}. \]

تصف هذه المتجهات هندسة الحركة: اتجاه السفر واتجاه الدوران.

لماذا هذا مهم

• طول القوس يعمم مفهوم المسافة على المنحنيات في الفضاء.
• يصف الانحناء الانحناء، وهو أمر بالغ الأهمية في الفيزياء (تسارع الجاذبية)، والهندسة (الطرق، والأفعوانيات)، ورسومات الكمبيوتر.

تمارين

1. أوجد طول قوس \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, 0 \rangle\) من \(t=0\) إلى \(t=1\).
2. احسب انحناء الدائرة \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\).
3. بالنسبة إلى \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\)، احسب \(|\mathbf{r}'(t)|\).
4. أظهر أن الخط المستقيم له انحناء \(\kappa = 0\).
5. ابحث عن المتجه المماس لـ \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\) في \(t=0\).

7.4 الحركة في الفضاء

تعتبر الدوال المتجهة فعالة بشكل خاص في وصف الحركة في بعدين أو ثلاثة أبعاد. يتم التعبير عن الموضع والسرعة والتسارع بشكل طبيعي باستخدام مشتقات وتكاملات الدوال ذات القيمة المتجهة.

الموضع والسرعة والتسارع

• ناقل الموقف:

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \]

• ناقل السرعة (مشتق من الموضع):

\[ \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle \]

• السرعة (حجم السرعة):

\[ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \]

• متجه التسارع (مشتق السرعة):

\[\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t). \]

Tangential and Normal Components

Acceleration can be decomposed into two components:

\[ \mathbf{a}(t) = a_T \mathbf{T}(t) + a_N \mathbf{N}(t), \]

where:

• \(\mathbf{T}(t)\) = unit tangent vector,
• \(\mathbf{N}(t)\) = principal normal vector,
• \(a_T = \frac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)|\) = tangential acceleration (change in speed),
• \(a_N = \kappa |\mathbf{v}(t)|^2\) = normal acceleration (change in direction).

Projectile Motion in 3D

With gravity acting in the \(-z\) direction:

\[ \mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cos\phi \cdot t,\; v_0 \cos\theta \sin\phi \cdot t,\; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle, \]

where \(v_0\) is initial speed, \(\theta\) launch angle, and \(\phi\) azimuthal direction.

Example: Helical Motion

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle \]

• السرعة: \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• السرعة: \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{2}\).
• التسارع: \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).
• الحركة منتظمة في سرعتها، وتتصاعد إلى الأعلى.

لماذا هذا مهم

• يوفر لغة رياضية للحركة في العالم الحقيقي.
• أساسي في الفيزياء (القوى، المسارات، الحركة الدائرية).
• مؤسسة الميكانيكا المتقدمة والنماذج الهندسية.

تمارين

1. يتحرك الجسيم على طول \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle\). أوجد السرعة والتسارع عند \(t=1\).
2. أظهر أن السرعة ثابتة للحلزون \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle\).
3. تم إطلاق مقذوف يحمل \(v_0 = 20 \,\text{m/s}\) بزاوية \(45^\circ\). اكتب متجه موضعه مفترضًا الحركة في مستوى رأسي.
4. بالنسبة إلى \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\)، ابحث عن \(\mathbf{v}(t)\) و\(\mathbf{a}(t)\).5. قم بتحليل متجه التسارع إلى مكونات عرضية وطبيعية للحركة على طول دائرة نصف قطرها \(r\).

الفصل 8. وظائف العديد من المتغيرات

8.1 الحدود والاستمرارية في عدة متغيرات

في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، قد تعتمد الوظائف على متغيرين أو أكثر، مثل \(f(x,y)\) أو \(f(x,y,z)\). يمتد مفهوما الحدود والاستمرارية بشكل طبيعي من حساب التفاضل والتكامل ذو المتغير الواحد، لكنها أكثر دقة لأنه يجب علينا أن نأخذ في الاعتبار جميع مسارات النهج الممكنة.

الحدود في متغيرين

بالنسبة للدالة \(f(x,y)\)، نقول

\[ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L \]

إذا اقترب \(f(x,y)\) عشوائيًا من \(L\) بينما يقترب \((x,y)\) من \((a,b)\) على طول أي مسار.

إذا كانت المسارات المختلفة تعطي قيمًا نهائية مختلفة، فهذا يعني أن الحد غير موجود.

مثال 1 (الحد موجود):

\[ f(x,y) = x^2 + y^2, \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0. \]

المثال 2 (الحد غير موجود):

\[ f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}, \quad (x,y) \to (0,0). \]

• على طول \(y=0\)، الدالة هي 0.
• على طول \(y=x\)، الوظيفة هي \(\tfrac{1}{2}\). نتائج مختلفة → الحد غير موجود.

###الاستمرارية

تكون الدالة \(f(x,y)\) متصلة عند \((a,b)\) إذا

\[ \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b). \]

كثيرات الحدود والوظائف العقلانية (حيث المقام ≠ 0) مستمرة في كل مكان في مجالاتها.

تمديد لثلاثة متغيرات أو أكثر

بالنسبة إلى \(f(x,y,z)\)، يتم تعريف الحدود والاستمرارية بنفس الطريقة، ولكن يجب الاقتراب من النقطة \((a,b,c)\) من اتجاهات عديدة لا نهائية في الفضاء.

لماذا هذا مهم

• تضمن الاستمرارية عدم وجود قفزات أو ثقوب أو خطوط مقاربة في الوظائف متعددة المتغيرات.
• النهايات أساسية لتعريف المشتقات الجزئية والتكاملات المتعددة.
• هذه المفاهيم هي اللبنات الأساسية لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.

تمارين1. حدد ما إذا كان \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\) موجودًا أم لا.

2. أظهر أن \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0\) على طول جميع المسارات المستقيمة \(y=mx\).
3. هل الحد الأقصى لـ \(f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) هو \((x,y)\to(0,0)\)؟
4. اشرح لماذا تكون كثيرات الحدود في متغيرين متصلة في كل مكان.
5. أعط مثالاً لدالة مكونة من متغيرين غير متصلة عند نقطة ما، واشرح السبب.

8.2 المشتقات الجزئية

في الدوال ذات المتغيرات المتعددة، غالبًا ما نرغب في قياس كيفية تغير الدالة عندما يتغير متغير واحد فقط بينما تبقى المتغيرات الأخرى ثابتة. وهذا يؤدي إلى فكرة المشتقات الجزئية.

التعريف

بالنسبة للدالة \(f(x,y)\)، المشتق الجزئي بالنسبة إلى \(x\) عند النقطة \((a,b)\) هو

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h}. \]

وبالمثل، فإن المشتق الجزئي فيما يتعلق بـ \(y\) هو

\[ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a,b)}{h}. \]

نحن نتعامل مع جميع المتغيرات الأخرى كثوابت عند التفاضل.

التدوين

• \(\frac{\partial f}{\partial x}\)، \(f_x\)، \(\partial_x f\).
• \(\frac{\partial f}{\partial y}\)، \(f_y\)، \(\partial_y f\).

بالنسبة للمتغيرات الثلاثة \(f(x,y,z)\)، لدينا أيضًا \(f_x, f_y, f_z\).

أمثلة

1. \(f(x,y) = x^2y + y^3\)

• \(f_x = 2xy\).
• \(f_y = x^2 + 3y^2\).

2. \(f(x,y) = e^{xy}\)

• \(f_x = y e^{xy}\).
• \(f_y = x e^{xy}\).

3. \(f(x,y,z) = x^2 + yz\)

• \(f_x = 2x\).
• \(f_y = z\).
• \(f_z = y\).

المشتقات الجزئية ذات الترتيب الأعلى

يمكننا أن نأخذ المشتقات الجزئية مرارا وتكرارا:

• \(f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Big(f_x\Big)\).
• \(f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\)، وما إلى ذلك.

نظرية كليروت: إذا كان \(f\) يحتوي على مشتقات جزئية ثانية متصلة، إذن

\[ f_{xy} = f_{yx}. \]

المعنى الهندسي- \(f_x\): ميل السطح في اتجاه \(x\).

• \(f_y\): ميل السطح في اتجاه \(y\).
• يصفان معًا كيفية ميل السطح.

لماذا هذا مهم

• المشتقات الجزئية هي أساس التدرجات ومستويات الظل والتحسين في متغيرات متعددة.
• تُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة والاقتصاد لنمذجة الأنظمة ذات المدخلات المتعددة.

تمارين

1. ابحث عن \(f_x\) و\(f_y\) لـ \(f(x,y) = x^3y^2\).
2. قم بحساب \(f_x, f_y, f_z\) لـ \(f(x,y,z) = xyz + x^2\).
3. تحقق من نظرية كليروت لـ \(f(x,y) = x^2y + y^3\).
4. فسر هندسيًا ما يعنيه \(f_x\) و\(f_y\) لـ \(f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\).
5. ابحث عن جميع المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية لـ \(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\).

8.3 مشتقات التدرج والاتجاه

تقيس المشتقات الجزئية التغير على طول محاور الإحداثيات، لكن في بعض الأحيان نريد معرفة معدل تغير الدالة في أي اتجاه. وهذا يؤدي إلى مفاهيم التدرج ومشتقات الاتجاه.

ناقل التدرج

بالنسبة للدالة \(f(x,y)\)، فإن التدرج هو المتجه

\[ \nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle. \]

لثلاثة متغيرات \(f(x,y,z)\):

\[ \nabla f(x,y,z) = \left\langle f_x, f_y, f_z \right\rangle. \]

يشير التدرج في اتجاه الزيادة القصوى للدالة، وحجمه يعطي المنحدر الأكثر انحدارًا.

المشتقات الاتجاهية

معدل تغير \(f(x,y)\) عند نقطة في اتجاه متجه الوحدة \(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) هو

\[ D_{\mathbf{u}} f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}. \]

هذا هو المنتج النقطي للتدرج مع متجه الاتجاه.

أمثلة

1. \(f(x,y) = x^2 + y^2\)

• التدرج: \(\nabla f = \langle 2x, 2y \rangle\).
• عند (1,2): \(\nabla f = \langle 2,4 \rangle\).- مشتق الاتجاه على طول \(\mathbf{u} = \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle\):

\[ D_{\mathbf{u}} f(1,2) = \langle 2,4 \rangle \cdot \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle = \tfrac{26}{5}. \]

2. \(f(x,y,z) = x y z\)

• التدرج: \(\nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle\).
• عند (1,1,1): \(\nabla f = \langle 1,1,1 \rangle\).
• أقصى اتجاه للزيادة هو على طول \(\langle 1,1,1 \rangle\).

التفسير الهندسي

• يكون متجه التدرج عموديًا (عاديًا) على منحنيات المستوى أو الأسطح المستوية لـ \(f\).
• المشتقات الاتجاهية تعميم الميل في اتجاهات تعسفية.

لماذا هذا مهم

• في عملية التحسين، يخبرنا التدرج بالاتجاه الذي يجب التحرك فيه للوصول إلى أقصى درجات الصعود أو الهبوط.
• في الفيزياء، تصف التدرجات مجالات مثل التدفق الحراري والإمكانات الكهربائية.
• المشتقات الاتجاهية توحد معدلات التغيير ذات المتغير الواحد والمتعددة المتغيرات.

تمارين

1. قم بحساب \(\nabla f(x,y)\) لـ \(f(x,y) = e^{xy}\).
2. ابحث عن التدرج اللوني لـ \(f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\) وقم بتقييمه عند (1,1,1).
3. احسب المشتق الاتجاهي لـ \(f(x,y) = x^2-y\) عند (2,1) في اتجاه \(\mathbf{u} = \langle 0,1 \rangle\).
4. أظهر أن التدرج اللوني لـ \(f(x,y) = x^2+y^2\) عمودي على الدائرة \(x^2+y^2=1\).
5. ابحث عن اتجاه متجه الوحدة الذي يزيد من مشتق الاتجاه لـ \(f(x,y) = xy\) عند (1,2).

8.4 المستويات المماسية والتقريبات الخطية

في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير، يقترب خط المماس من منحنى بالقرب من نقطة ما. في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، المفهوم المماثل هو مستوى الظل، والذي يوفر تقريبًا خطيًا لسطح بالقرب من نقطة ما.

المستوى المماس للسطح

لنفترض أن \(z = f(x,y)\) قابل للتمييز في \((a,b)\). يتم إعطاء مستوى الظل عند \((a,b,f(a,b))\) بواسطة

\[ z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b). \]تلامس هذه الطائرة السطح عند هذه النقطة وتقترب منه بالقرب منها.

مثال 1: القطع المكافئ

بالنسبة إلى \(f(x,y) = x^2 + y^2\) على \((1,2)\):

• \(f(1,2) = 1^2+2^2=5\).
• \(f_x = 2x\)، إذن \(f_x(1,2) = 2\).
• \(f_y = 2y\)، إذن \(f_y(1,2) = 4\).

معادلة المستوى المماس:

\[ z = 5 + 2(x-1) + 4(y-2). \]

التقريب الخطي

يمكن استخدام مستوى الظل لتقريب \(f(x,y)\) بالقرب من \((a,b)\):

\[ f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b). \]

هذه هي الخطية لـ \(f\) في \((a,b)\).

مثال 2: التقريب الخطي

\(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) تقريبي بالقرب من \((4,5)\).

• \(f(4,5) = \sqrt{9} = 3\).
• \(f_x = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}, \quad f_y = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}\).
• عند (4,5): \(f_x = f_y = \tfrac{1}{6}\).

لذا،

\[ f(x,y) \approx 3 + \tfrac{1}{6}(x-4) + \tfrac{1}{6}(y-5). \]

لماذا هذا مهم

• تعطي المستويات المماسية أفضل تقريب خطي للسطح.
• الخطي يبسط الوظائف المعقدة للحساب.
• تستخدم على نطاق واسع في الطرق العددية، والفيزياء، والاقتصاد.

تمارين

1. ابحث عن مستوى المماس لـ \(z = x^2y + y^2\) عند \((1,1)\).
2. \(f(x,y) = e^{x+y}\) تقريبي بالقرب من \((0,0)\).
3. اشتق معادلة مستوى الظل لـ \(z = \ln(x^2+y^2)\) عند \((1,1)\).
4. استخدم التقريب الخطي لتقدير \(\sqrt{10.1}\) باستخدام \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) بالقرب من (4,6).
5. اشرح سبب تحسن تقريب مستوى الظل مع اقتراب \((x,y)\) من \((a,b)\).

8.5 التحسين في العديد من المتغيرات

يؤدي التحسين في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات إلى توسيع أفكار الحد الأقصى والحد الأدنى من وظائف ذات متغير واحد إلى وظائف ذات متغيرين أو أكثر.

النقاط الحرجة

بالنسبة إلى \(f(x,y)\)، تحدث نقطة حرجة حيث

\[ f_x(x,y) = 0 \quad \text{and} \quad f_y(x,y) = 0, \]

أو في حالة عدم وجود المشتقات الجزئية.

اختبار المشتقة الثانيةلتصنيف النقاط الحرجة، حساب المشتقات الجزئية الثانية:

\[ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - \big(f_{xy}(a,b)\big)^2. \]

• إذا كان \(D > 0\) و\(f_{xx}(a,b) > 0\): الحد الأدنى المحلي.
• إذا كان \(D > 0\) و\(f_{xx}(a,b) < 0\): الحد الأقصى المحلي.
• إذا كان \(D < 0\): نقطة السرج.
• إذا كان \(D = 0\): الاختبار غير حاسم.

مثال 1: القطع المكافئ

\(f(x,y) = x^2 + y^2\).

• \(f_x = 2x, f_y = 2y\). النقطة الحرجة عند (0,0).
• \(f_{xx} = 2, f_{yy} = 2, f_{xy} = 0\).
• \(D = (2)(2) - 0 = 4 > 0\)، و\(f_{xx} > 0\).
• إذًا (0,0) هو الحد الأدنى المحلي.

مثال 2: نقطة السرج

\(f(x,y) = x^2 - y^2\).

• \(f_x = 2x, f_y = -2y\). النقطة الحرجة عند (0,0).
• \(f_{xx} = 2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0\).
• \(D = (2)(-2) - 0 = -4 < 0\).
• إذًا (0,0) هي نقطة سرج.

التحسين المقيد ومضاعفات لاغرانج

في بعض الأحيان، نريد تحسين \(f(x,y)\) مع مراعاة القيد \(g(x,y) = c\).

طريقة مضاعفات لاغرانج: حل

\[ \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y). \]

مثال: تكبير \(f(x,y) = xy\) مع مراعاة \(x^2+y^2=1\).

• التدرجات: \(\nabla f = \langle y,x \rangle, \quad \nabla g = \langle 2x,2y \rangle\).
• المعادلات: \(y = 2\lambda x, \, x = 2\lambda y\).
• تؤدي الحلول إلى الحد الأقصى عند \((\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}})\).

لماذا هذا مهم

• يعد التحسين أمرًا ضروريًا في الاقتصاد والهندسة والتعلم الآلي والفيزياء.
• تسمح مضاعفات لاغرانج بالتحسين مع القيود، وهي أداة رئيسية في الرياضيات التطبيقية.

تمارين

1. ابحث عن النقاط الحرجة في \(f(x,y) = x^2+xy+y^2\) وصنفها.
2. صنف النقطة (0,0) لـ \(f(x,y) = x^3-y^3\).
3. استخدم اختبار المشتقة الثانية لـ \(f(x,y) = x^4+y^4-4xy\).
4. قم بتكبير \(f(x,y) = x+y\) الخاضع لـ \(x^2+y^2=1\).
5. قم بتصغير \(f(x,y) = x^2+2y^2\) الخاضع لـ \(x+y=1\).

الفصل 9. التكاملات المتعددة

9.1 التكاملات المزدوجةفي حساب التفاضل والتكامل ذو المتغير الواحد، يعطي التكامل المحدد المساحة تحت المنحنى. في متغيرين، يحسب التكامل المزدوج الحجم تحت السطح (أو بشكل أعم، تراكم القيم على المنطقة).

التعريف

إذا كان \(f(x,y)\) مستمرًا في منطقة \(R\)، فإن التكامل المزدوج هو

\[ \iint_R f(x,y)\, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^-, y_{ij}^-) \Delta A, \]

حيث يتم تقسيم \(R\) إلى مستطيلات صغيرة بمساحة \(\Delta A\).

التكاملات المتكررة

بواسطة نظرية فوبيني، يمكننا حساب التكامل المزدوج باعتباره تكاملًا متكررًا:

\[ \iint_R f(x,y)\, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\, dy\, dx, \]

إذا كان \(R\) مستطيلًا \([a,b] \times [c,d]\).

غالبًا ما يمكن تبديل ترتيب التكامل:

\[ \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. \]

أمثلة

1. منطقة المستطيل

\[ \iint_R (x+y)\, dA, \quad R=[0,1]\times[0,2]. \]

\[ = \int_0^1 \int_0^2 (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1 \Big[xy+\tfrac{1}{2}y^2\Big]_0^2 dx = \int_0^1 (2x+2)dx = 3. \]

2. المنطقة المثلثة

\[ R = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}. \]

\[ \iint_R (x+y)\, dA = \int_0^1 \int_0^x (x+y)\,dy\,dx. \]

التقييم يعطي \(\tfrac{2}{3}\).

التطبيقات

• الحجم تحت السطح:

\[ V = \iint_R f(x,y)\, dA. \]

• متوسط قيمة الدالة على المنطقة:

\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x,y)\, dA. \]

لماذا هذا مهم

تعمل التكاملات المزدوجة على توسيع التكامل إلى بعدين. فهي ضرورية في الفيزياء (الكتلة، التوزيعات الاحتمالية)، والاقتصاد (القيم المتوقعة)، والهندسة (النقط الوسطى، والتدفق).

تمارين

1. قم بتقييم \(\iint_R (x^2+y^2)\, dA\) حيث \(R=[0,1]\times[0,1]\).
2. قم بحساب \(\iint_R xy\, dA\) حيث \(R=\{(x,y):0\leq x\leq2,0\leq y\leq x\}\).3. أوجد متوسط ​​قيمة \(f(x,y) = x+y\) على مربع الوحدة \([0,1]\times[0,1]\).
3. قم بتفسير \(\iint_R f(x,y)\, dA\) من حيث الاحتمالية إذا كان \(f(x,y)\) دالة كثافة الاحتمالية.
4. أظهر أن تبديل ترتيب التكامل يعطي نفس النتيجة لـ \(\iint_{[0,1]\times[0,2]} (x+y)\,dA\).

9.2 التكاملات الثلاثية

تعمل التكاملات الثلاثية على توسيع فكرة التكامل لتشمل ثلاثة متغيرات، مما يسمح لنا بحساب الأحجام والكتل والكميات الأخرى في مناطق ثلاثية الأبعاد.

التعريف

إذا كان \(f(x,y,z)\) متصلاً على منطقة صلبة \(E\)، فإن التكامل الثلاثي هو

\[ \iiint_E f(x,y,z)\, dV = \lim_{m,n,p \to \infty} \sum f(x_{ijk}^-, y_{ijk}^-, z_{ijk}^-) \Delta V, \]

حيث يتم تقسيم المنطقة إلى مربعات من الحجم \(\Delta V\).

التكاملات المتكررة

بواسطة نظرية فوبيني، يمكن حساب التكامل الثلاثي كتكامل متكرر:

\[ \iiint_E f(x,y,z)\, dV = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z)\, dz\, dy\, dx, \]

لصندوق مستطيل \(E = [a,b]\times[c,d]\times[e,f]\).

يمكن اختيار ترتيب التكامل للراحة.

أمثلة

1. صندوق مستطيل

\[ \iiint_E xyz\, dV, \quad E=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]. \]

\[ = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 xyz\,dz\,dy\,dx. \]

التكامل أولاً عبر \(z\):

\[ \int_0^3 xyz\,dz = xy \left[\tfrac{1}{2}z^2\right]_0^3 = \tfrac{9}{2}xy. \]

التكامل الآن عبر \(y\):

\[ \int_0^2 \tfrac{9}{2}xy\,dy = \tfrac{9}{2}x \cdot \left[\tfrac{1}{2}y^2\right]_0^2 = 9x. \]

أخيرًا التكامل عبر \(x\):

\[ \int_0^1 9x\,dx = \tfrac{9}{2}. \]

2. المنطقة التي تحدها الطائرات دع \(E = \{(x,y,z) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq y\}\).

\[ \iiint_E 1\,dV = \int_0^1 \int_0^x \int_0^y 1\,dz\,dy\,dx. \]

تقييم:

\[ = \int_0^1 \int_0^x y\,dy\,dx = \int_0^1 \tfrac{1}{2}x^2\,dx = \tfrac{1}{6}. \]إذن حجم هذه المنطقة المثلثة هو \(\tfrac{1}{6}\).

التطبيقات

• المجلد: \(V = \iiint_E 1 \, dV\).

• الكتلة: إذا كانت الكثافة \(\rho(x,y,z)\)، إذن

  \[ M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV. \]

• متوسط القيمة:

  \[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{V(E)} \iiint_E f(x,y,z)\,dV. \]

لماذا هذا مهم

تعمل التكاملات الثلاثية على تعميم حسابات المساحة والحجم على المواد الصلبة العشوائية. يتم استخدامها في الفيزياء (التوزيعات الجماعية، ومركز الكتلة، ومجالات الجاذبية)، والهندسة، والاحتمالات.

تمارين

1. قم بحساب \(\iiint_E (x+y+z)\,dV\) فوق المكعب \(E=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\).
2. أوجد حجم الشكل الرباعي المحدود بـ \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\).
3. قم بتقييم \(\iiint_E x^2 \, dV\) حيث \(E=[0,2]\times[0,1]\times[0,1]\).
4. أظهر أن \(\iiint_E 1\,dV\) يساوي الحجم الهندسي لـ \(E\).
5. إذا كانت الكثافة \(\rho(x,y,z)=x+y+z\)، فاحسب كتلة مكعب الوحدة.

9.3 تطبيقات: الحجم، الكتلة، الاحتمال

التكاملات الثلاثية قوية لأنها تسمح لنا بحساب الكميات في ثلاثة أبعاد من خلال تجميع القيم على منطقة صلبة.

الحجم

أبسط تطبيق هو العثور على حجم المنطقة \(E\):

\[ V = \iiint_E 1 \, dV. \]

مثال: أوجد حجم المجسم المحصور بين المستويات الإحداثية والمستوى \(x+y+z=1\).

\[ V = \iiint_E 1 \, dV = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 1 \, dz\, dy\, dx. \]

التقييم يعطي \(V = \tfrac{1}{6}\).

الكتلة والكثافة

إذا كانت المادة الصلبة لها دالة الكثافة \(\rho(x,y,z)\)، فإن كتلتها تكون

\[ M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV. \]

يتم إعطاء مركز الكتلة بواسطة

\[ \bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_E x\rho(x,y,z)\,dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M}\iiint_E y\rho(x,y,z)\,dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M}\iiint_E z\rho(x,y,z)\,dV. \]

مثال:بالنسبة لمكعب الوحدة ذو الكثافة الثابتة \(\rho=1\)، يكون مركز الكتلة عند \((0.5,0.5,0.5)\).

الاحتمالية

إذا كانت \(f(x,y,z)\) عبارة عن دالة كثافة احتمالية ثلاثية الأبعاد، فإن احتمال وجود المتغير العشوائي في منطقة \(E\) هو

\[ P(E) = \iiint_E f(x,y,z)\, dV, \]

حيث \(f(x,y,z) \geq 0\) و

\[ \iiint_{\mathbb{R}^3} f(x,y,z)\,dV = 1. \]

مثال: إذا كان \(f(x,y,z) = \tfrac{3}{4}z^2\) لـ \(0 \leq z \leq 1\)، بشكل موحد في \(x,y\)، إذن

\[ P(0 \leq z \leq 0.5) = \int_0^{0.5} \tfrac{3}{4}z^2 \, dz = \tfrac{1}{32}. \]

لماذا هذا مهم

• الأحجام تعمم الهندسة على المواد الصلبة غير المنتظمة.
• تكاملات الكتلة والكثافة تربط حساب التفاضل والتكامل بالفيزياء والهندسة.
• تُستخدم دوال الكثافة الاحتمالية في الأبعاد العليا على نطاق واسع في الإحصاء وعلوم البيانات.

تمارين

1. أوجد حجم المادة الصلبة المحصورة بـ \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\) (كرة الوحدة).
2. احسب كتلة المخروط الذي تتناسب كثافته مع \(z\).
3. أوجد مركز كتلة شكل رباعي منتظم يحده \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\).
4. إذا كان \(f(x,y,z) = \frac{1}{8}\) على المكعب \([0,2]\times[0,2]\times[0,2]\)، فتحقق من أنها دالة كثافة احتمالية.
5. استخدم التكامل الثلاثي لحساب احتمال أن يكون لنقطة مختارة عشوائيًا في كرة الوحدة \(z > 0\).

9.4 تغيير المتغيرات: الإحداثيات القطبية والأسطوانية والكروية

تصبح العديد من التكاملات أسهل عند التعبير عنها في أنظمة إحداثية تتوافق مع تناظر المنطقة. بدلاً من الإحداثيات الديكارتية \((x,y,z)\)، يمكننا استخدام الإحداثيات القطبية أو الأسطوانية أو الكروية.

الإحداثيات القطبية (ثنائية الأبعاد)

بالنسبة للدوال ذات المتغيرين، يمكننا التبديل إلى الإحداثيات القطبية:

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r \geq 0, \; 0 \leq \theta < 2\pi. \]

يتحول عنصر المنطقة كـ

\[ dA = r\,dr\,d\theta. \]

مثال:أوجد مساحة دائرة الوحدة.

\[ A = \iint_{x^2+y^2\leq 1} 1\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 r\,dr\,d\theta = \pi. \]

الإحداثيات الأسطوانية (ثلاثية الأبعاد)

في الوضع ثلاثي الأبعاد، تعمل الإحداثيات الأسطوانية على توسيع الإحداثيات القطبية باستخدام \(z\):

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z. \]

عنصر الحجم هو

\[ dV = r\,dr\,d\theta\,dz. \]

مثال: حجم الأسطوانة نصف القطر \(R\) والارتفاع \(h\):

\[ V = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R r\,dr\,d\theta\,dz = \pi R^2 h. \]

الإحداثيات الكروية (ثلاثية الأبعاد)

للتناظر الكروي، استخدم:

\[ x = \rho \sin\phi \cos\theta, \quad y = \rho \sin\phi \sin\theta, \quad z = \rho \cos\phi, \]

أين

• \(\rho \geq 0\) هي المسافة من نقطة الأصل،
• \(0 \leq \phi \leq \pi\) هي الزاوية من المحور الموجب \(z\)،
• \(0 \leq \theta < 2\pi\) هي الزاوية في المستوى \(xy\).

عنصر الحجم هو

\[ dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

مثال: حجم وحدة الكرة:

\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

التقييم:

\[ V = \left(\int_0^1 \rho^2 d\rho\right)\left(\int_0^\pi \sin\phi d\phi\right)\left(\int_0^{2\pi} d\theta\right) = \tfrac{1}{3}(2)(2\pi) = \tfrac{4\pi}{3}. \]

لماذا هذا مهم

• الإحداثيات القطبية تبسط المناطق الدائرية.
• الإحداثيات الأسطوانية تتعامل مع الأسطوانات والتماثل الدوراني.
• الإحداثيات الكروية تبسط المجالات والأقماع والمسائل الشعاعية.
• هذه التغييرات في المتغيرات تجعل التكاملات المستحيلة قابلة للإدارة.

تمارين

1. قم بحساب \(\iint_{x^2+y^2\leq 4} (x^2+y^2)\,dA\) باستخدام الإحداثيات القطبية.
2. أوجد حجم المخروط الذي ارتفاعه \(h\) ونصف قطره \(R\) باستخدام الإحداثيات الأسطوانية.
3. استخدم الإحداثيات الكروية لتقييم حجم كرة نصف قطرها \(R\).
4. بيّن أن العامل اليعقوبي للإحداثيات القطبية هو \(r\).5. أوجد كتلة كرة صلبة نصف قطرها \(R\) وكثافتها متناسبة مع المسافة من نقطة الأصل باستخدام الإحداثيات الكروية.

الفصل 10. حساب التفاضل والتكامل المتجه

10.1 الحقول المتجهة

يقوم الحقل المتجه بتعيين متجه لكل نقطة في الفضاء، مثلما تقوم الدالة العددية بتعيين رقم. تُستخدم حقول المتجهات لنمذجة التدفقات والقوى والكميات الاتجاهية الأخرى.

التعريف

في البعدين، يكون الحقل المتجه دالة

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle, \]

حيث \(P\) و \(Q\) دالتان عدديتان.

في ثلاثة أبعاد،

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = \langle P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) \rangle. \]

أمثلة

1. المجال الشعاعي

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle x, y \rangle. \]

تشير المتجهات إلى الخارج من نقطة الأصل.

2. مجال التناوب

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle. \]

ناقلات تدور حول الأصل.

3. مجال الجاذبية

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = -\frac{GM}{r^3}\langle x,y,z \rangle, \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

تصور حقول المتجهات

• ارسم أسهمًا صغيرة عند نقاط العينة للإشارة إلى الاتجاه والحجم.
• أسهم أكثر كثافة حيث تكون الأحجام أكبر.
• مفيد في تفسير خطوط التدفق والمسارات والقوى.

خطوط التدفق

خط التدفق (أو المنحنى المتكامل) لحقل المتجه هو منحنى \(\mathbf{r}(t)\) الذي يتطابق متجه الظل عند كل نقطة مع الحقل:

\[ \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)). \]

تصف خطوط التدفق مسارات الجسيمات في مجال السرعة.

لماذا هذا مهم

• الحقول المتجهة أساسية في الفيزياء (تدفق الموائع، الكهرومغناطيسية، الجاذبية).
• أنها تشكل أساس التكاملات الخطية، والتكاملات السطحية، والنظريات الكبرى لحساب التفاضل والتكامل المتجه (جرين، ستوكس، التباعد).
• توفير طريقة هندسية لتمثيل الكميات الاتجاهية.

تمارين1. ارسم حقل المتجه \(\mathbf{F}(x,y) = \langle y, -x \rangle\).

2. حدد ما إذا كانت متجهات \(\mathbf{F}(x,y) = \langle x,y \rangle\) تشير إلى نقطة الأصل أم بعيدًا عنها.
3. بالنسبة إلى \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\)، قم بحساب \(\mathbf{F}(1,2,3)\).
4. وصف خطوط التدفق لـ \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\).
5. اشرح لماذا تعد مجالات الجاذبية والكهرباء أمثلة على حقول المتجهات الشعاعية.

10.2 تكاملات الخط

يوسع التكامل الخطي فكرة التكامل إلى الوظائف التي يتم تقييمها على طول المنحنى. بدلًا من التكامل على فترة أو منطقة، فإننا نتكامل على مسار في الفضاء.

التعريف: تكامل الخط العددي

إذا كانت \(f(x,y)\) عبارة عن دالة عددية و\(C\) عبارة عن منحنى تم تحديد معلماته بواسطة \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle, \; a \leq t \leq b\)، فإن التكامل الخطي هو

\[ \int_C f(x,y)\, ds = \int_a^b f(x(t),y(t)) \, |\mathbf{r}'(t)|\, dt, \]

حيث \(ds\) هو طول القوس.

يقيس هذا تراكم \(f\) على طول المنحنى.

التعريف: تكامل الخط المتجه

بالنسبة للحقل المتجه \(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\)، فإن تكامل الخط على طول \(C\) هو

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, dt. \]

هذا يقيس العمل الذي يبذله المجال على طول المنحنى.

أمثلة

1. تكامل الخط العددي

\[ f(x,y) = x+y, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1. \]

ثم

\[ \int_C f(x,y)\, ds = \int_0^1 (t+t^2)\sqrt{(1)^2+(2t)^2}\, dt. \]

2. الشغل الذي تقوم به القوة

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle y, x \rangle, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1. \]

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \langle t^2, t \rangle \cdot \langle 1, 2t \rangle\, dt = \int_0^1 (t^2 + 2t^2)\, dt = \int_0^1 3t^2\, dt = 1.\]

Physical Interpretation

• Scalar line integral: accumulation of density along a wire.
• Vector line integral: work done by a force moving an object along a path.

Why This Matters

• Line integrals connect vector fields with physical quantities like work and circulation.
• They are building blocks for Green’s Theorem and Stokes’ Theorem.
• Appear in physics (electric potential, fluid flow, mechanics).

Exercises

1. Compute \(\int_C (x^2+y^2)\, ds\) where \(C\) is the line segment from (0,0) to (1,1).
2. Evaluate \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) for \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) along the unit circle \(x^2+y^2=1\).
3. Interpret the meaning of \(\int_C 1\,ds\).
4. For \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z,0,x \rangle\), compute the line integral along \(\mathbf{r}(t) = \langle t,t,1 \rangle, 0 \leq t \leq 1\).
5. Explain the difference between scalar and vector line integrals.

10.3 Surface Integrals

A surface integral generalizes line integrals to two-dimensional surfaces in three-dimensional space. They allow us to compute flux through surfaces and accumulation of scalar fields over curved surfaces.

Scalar Surface Integral

If a surface \(S\) is parameterized by

\[ \mathbf{r}(u,v) = \langle x(u,v), y(u,v), z(u,v) \rangle, \]

then the surface integral of a scalar function \(f(x,y,z)\) is

\[ \iint_S f(x,y,z)\, dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) \, |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, دو\,دف, \]

where \(\mathbf{r}_u\) and \(\mathbf{r}_v\) are partial derivatives of \(\mathbf{r}(u,v)\), and \(D\) is the parameter domain.

Vector Surface Integral (Flux)

For a vector field \(\mathbf{F}(x,y,z)\), the flux through a surface \(S\) is

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS, \]حيث \(\mathbf{n}\) هو متجه الوحدة العادي. باستخدام المعلمة،

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv. \]

أمثلة

1. تكامل السطح العددي السطح: المستوى \(z=1\) فوق قرص الوحدة \(x^2+y^2 \leq 1\).

\[ \iint_S 1\, dS = \text{area of the disk} = \pi. \]

2. التدفق عبر المجال دع \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) و \(S\) = مجال نصف القطر \(R\). المتجه العادي هو \(\mathbf{n} = \frac{1}{R}\langle x,y,z \rangle\).

\[ \mathbf{F}\cdot \mathbf{n} = \frac{x^2+y^2+z^2}{R} = R. \]

هكذا

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S R\, dS = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3. \]

لماذا هذا مهم

• التكاملات السطحية العددية تقيس المساحة وتوزيعات السطح.
• تكاملات السطح المتجه تقيس التدفق: مقدار المجال الذي يمر عبر السطح.
• التطبيقات: الكهرومغناطيسية، وتدفق السوائل، ونقل الحرارة، وأكثر من ذلك.

تمارين

1. احسب \(\iint_S 1\, dS\) لسطح مكعب طول ضلعه 2.
2. أوجد تدفق \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) عبر كرة الوحدة.
3. قم بتقييم \(\iint_S z\, dS\) للشكل المكافئ \(z = x^2+y^2, \, z \leq 1\).
4. بالنسبة إلى \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y,0,0 \rangle\)، حساب التدفق عبر المستوى \(x=1\)، \(0 \leq y,z \leq 1\).
5. اشرح ماديًا ما الذي يعنيه إذا كان تدفق المجال المتجه عبر سطح مغلق يساوي صفرًا.

10.4 نظرية جرين

نظرية جرين هي نتيجة أساسية في حساب التفاضل والتكامل المتجه الذي يربط التكامل الخطي حول منحنى مغلق بالتكامل المزدوج فوق المنطقة التي يحيط بها. إنها نسخة ثنائية الأبعاد من نظرية ستوكس.

بيان نظرية جريناجعل \(C\) منحنى إيجابيًا وبسيطًا ومغلقًا في المستوى، ودع \(R\) هو المنطقة التي يحيط بها. إذا كان \(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\) يحتوي على مشتقات جزئية متصلة في منطقة مفتوحة تحتوي على \(R\)، إذن

\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\, dA. \]

التفسير

• يقيس الخط المتكامل حول \(C\) دوران حقل المتجه على طول الحدود.
• التكامل المزدوج على \(R\) يقيس الالتفاف الكلي (الدوران) للحقل داخل المنطقة.

مثال 1: صيغة المساحة

إذا كان \(\mathbf{F} = \langle -y/2, x/2 \rangle\)، إذن

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1. \]

وبالتالي، فإن نظرية جرين تعطي

\[ \text{Area}(R) = \iint_R 1\,dA = \oint_C \left(-\tfrac{y}{2}\,dx + \tfrac{x}{2}\,dy\right). \]

يوفر هذا طريقة لحساب المساحة باستخدام تكامل خطي.

مثال 2: التداول

اجعل \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) و\(C\) دائرة الوحدة.

• \(P=-y, Q=x\).
• \(Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2\).
• تكامل مزدوج على قرص الوحدة:

\[ \iint_R 2\,dA = 2\pi (1^2) = 2\pi. \]

وبالتالي فإن الدوران حول الدائرة هو \(2\pi\).

لماذا هذا مهم

• تحويل التكاملات الخطية الصعبة إلى تكاملات مزدوجة، أو العكس.
• يوفر جسرا بين الخصائص المحلية (الضفيرة) والخصائص العالمية (التداول).
• يستخدم على نطاق واسع في الفيزياء لتدفق السوائل، والكهرومغناطيسية، ومجالات المتجهات المستوية.

تمارين

1. استخدم نظرية جرين لحساب المساحة داخل القطع الناقص \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).
2. تحقق من نظرية جرين لـ \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) على طول المربع ذو الرؤوس (0,0)، (1,0)، (1,1)، (0,1).3. احسب دوران \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) حول دائرة الوحدة.
3. أظهر أنه إذا كان \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\)، فإن التكامل الخطي لـ \(\mathbf{F}\) حول أي منحنى مغلق هو صفر.
4. استخدم نظرية جرين لإظهار ذلك

\[ \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx \]

لأي منحنى مغلق \(C\).

10.5 نظرية ستوكس

تعمل نظرية ستوكس على تعميم نظرية جرين على ثلاثة أبعاد. إنه يربط تكامل السطح من حليقة حقل المتجه على سطح ما بخط متكامل من حقل المتجه حول حدود ذلك السطح.

بيان نظرية ستوكس

دع \(S\) يكون سطحًا أملسًا موجهًا مع منحنى حدودي \(C\) (موجه بشكل إيجابي). إذا كان \(\mathbf{F}(x,y,z)\) حقلًا متجهًا بمشتقات جزئية مستمرة، إذن

\[ \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. \]

• الجانب الأيسر: تدفق تجعيد \(\mathbf{F}\) عبر السطح.
• الجانب الأيمن: تداول \(\mathbf{F}\) على طول المنحنى الحدودي.

التفسير

• التكامل الخطي حول الحد يساوي إجمالي “الدوران” داخل السطح.
• تمديد نظرية جرين (حالة خاصة عندما يكون السطح في المستوى).

مثال 1: نظرية جرين كحالة خاصة

إذا كانت \(S\) منطقة مسطحة في المستوى \(xy\)، فإن نظرية ستوكس تُختزل إلى نظرية جرين.

مثال 2: الدورة الدموية في نصف الكرة الأرضية

دع \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, 0 \rangle\) و\(S\) يكونان نصف الكرة العلوي من نصف القطر 1.

• الحد \(C\): دائرة الوحدة في المستوى \(xy\).
• حسب نظرية ستوكس:

\[ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}. \]

• الضفيرة: \(\nabla \times \mathbf{F} = \langle 0,0,2 \rangle\).
• من الطبيعي أن يشير نصف الكرة الأرضية إلى الخارج: \(\mathbf{n} = \langle 0,0,1 \rangle\).
• إذن التكامل = 2.- مساحة نصف الكرة الأرضية = \(2\pi (1^2)\).

\[ \iint_S 2\, dS = 2 \cdot 2\pi = 4\pi. \]

وبالتالي، فإن الدوران حول خط الاستواء هو \(4\pi\).

لماذا هذا مهم

• يوفر اتصالاً عميقًا بين التكاملات السطحية والتكاملات الخطية.
• يبسط العمليات الحسابية من خلال السماح باختيار الأسطح المناسبة.
• يستخدم على نطاق واسع في الكهرومغناطيسية (قانون فاراداي) وديناميكيات الموائع.

تمارين

1. تحقق من نظرية ستوكس لـ \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, -x, 0 \rangle\) على قرص الوحدة في المستوى \(xy\).
2. قم بحساب \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) حيث \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z, 0, x \rangle\)، و\(C\) هي حدود المثلث ذو الرؤوس (0,0,0)، (1,0,0)، (0,1,0).
3. وضح أنه إذا كان \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\)، فإن الدوران حول أي منحنى مغلق يكون صفرًا.
4. طبّق نظرية ستوكس لحساب دوران \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, z \rangle\) حول حدود مربع الوحدة في المستوى \(z=0\).
5. اشرح كيف تعمل نظرية ستوكس على تعميم نظرية جرين.

##10.6 نظرية التباعد

تربط نظرية التباعد (وتسمى أيضًا نظرية غاوس) تدفق المجال المتجه عبر سطح مغلق بالتكامل الثلاثي لتباعد المجال داخل السطح.

بيان نظرية التباعد

اجعل \(E\) منطقة صلبة في \(\mathbb{R}^3\) مع سطح حدودي \(S\) (موجه نحو الخارج). إذا كان \(\mathbf{F}(x,y,z)\) حقلًا متجهًا بمشتقات جزئية مستمرة في \(E\)، إذن

\[ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV. \]

• الجانب الأيسر: تدفق \(\mathbf{F}\) عبر السطح المغلق \(S\).
• الجانب الأيمن: التكامل الثلاثي للتباعد داخل المنطقة.

الاختلاف

تباعد حقل المتجه \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle P, Q, R \rangle\) هو

\[\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}. \]

It measures the “net outflow” per unit volume at each point.

Example 1: Flux of a Radial Field

Let \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x, y, z \rangle\), and let \(E\) be the unit ball \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\).

• Divergence: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1+1+1 = 3\).
• Volume of unit ball: \(\tfrac{4}{3}\pi\). So

\[ \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV = 3 \cdot \tfrac{4}{3}\pi = 4\pi. \]

وبالتالي، فإن التدفق عبر كرة الوحدة هو \(4\pi\).

مثال 2: حقل ثابت

دع \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle 1, 0, 0 \rangle\).

• التباعد: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\).
• لذا فإن التدفق عبر أي سطح مغلق يكون صفرًا، وهو ما يتوافق مع الحدس (لا يوجد تدفق خارجي صافي).

لماذا هذا مهم

• تحويل التكاملات السطحية إلى تكاملات حجمية أبسط.

• يستخدم في الفيزياء: قانون غاوس في الكهرومغناطيسية، وتدفق الموائع، وانتقال الحرارة.

• استكمال الإطار الموحد:

  • نظرية جرين (الالتفاف ثنائي الأبعاد ↔︎ الدوران)
  • نظرية ستوكس (التجعيد ثلاثي الأبعاد ↔︎ الدوران على الأسطح)
  • نظرية التباعد (التباعد ثلاثي الأبعاد ↔︎ التدفق على الأسطح المغلقة)

تمارين

1. استخدم نظرية التباعد لحساب تدفق \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) عبر سطح كرة نصف قطرها \(R\).
2. تحقق من نظرية التباعد لـ \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\) على مكعب الوحدة \([0,1]^3\).
3. أظهر أنه إذا كان \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\)، فإن التدفق الإجمالي عبر أي سطح مغلق يساوي صفرًا.
4. احسب تدفق \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x^2, y^2, z^2 \rangle\) عبر كرة الوحدة.
5. اشرح كيف تعمل نظرية التباعد على تعميم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ذات البعد الواحد.

#الجزء الرابع. العمليات اللانهائية

الفصل 11. المتتابعات والتقارب## 11.1 تعريفات وأمثلة

التسلسل عبارة عن قائمة مرتبة من الأرقام، وعادة ما يتم كتابتها كـ

\[ a_1, a_2, a_3, \dots \]

أو بشكل أعم \((a_n)_{n=1}^\infty\). يُسمى كل \(a_n\) بالحد n من التسلسل.

تحديد التسلسل

يمكن تعريف التسلسل بطريقتين:

1. الصيغة الصريحة - تعطي قاعدة مباشرة للحد n.

   • مثال: \(a_n = \frac{1}{n}\) يحدد التسلسل

     \[ 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots \]

2. التعريف العودي – يحدد المصطلحات باستخدام المصطلحات السابقة.

   • مثال: تسلسل فيبوناتشي:

     \[ a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3). \]

أمثلة على التسلسلات

1. التسلسل الحسابي:

   \[ a_n = a_1 + (n-1)d. \]

   مثال: \(a_n = 2n+1\) → تسلسل الأرقام الفردية.

2. التسلسل الهندسي:

   \[ a_n = a_1 r^{n-1}. \]

   مثال: \(a_n = 2^n\) → قوى الرقم 2.

3. التسلسل التوافقي:

   \[ a_n = \frac{1}{n}. \]

4. التسلسل المتناوب:

   \[ a_n = (-1)^n. \]

المتتابعات في حساب التفاضل والتكامل

التسلسلات هي الأساس للعمليات اللانهائية:

• حدود المتتابعات → تعريف التقارب.
• سلسلة → مبالغ لا حصر لها مبنية على تسلسلات.
• وظائف تقريبية عن طريق التسلسلات والسلاسل.

لماذا هذا مهم

• توفر التسلسلات اللبنات الأساسية للسلاسل والتقريبات اللانهائية.
• إنها تسمح لنا بتعريف “الاقتراب من اللانهاية” والتقارب بدقة.
• يمكن التعبير عن العديد من الدوال المهمة (الأسية، المثلثية) من خلال المتتابعات والمتسلسلات.

تمارين

1. اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل \(a_n = \frac{n}{n+1}\).
2. حدد ما إذا كان \(a_n = (-1)^n n\) محددًا أم لا.
3. أعط تعريفًا متكررًا للتسلسل \(2,4,8,16,\dots\).
4. أوجد الحد العاشر من المتتابعة الحسابية باستخدام \(a_1=3\) و\(d=5\).5. اكتب صيغة صريحة للتسلسل المحدد بواسطة \(a_1=1\)، \(a_{n+1}=2a_n\).

11.2 التسلسلات الرتيبة والمحدودة

لفهم ما إذا كان التسلسل يتقارب، نحتاج إلى دراسة سلوكه: هل يزيد أم ينقص أم يظل ضمن الحدود أم ينمو بلا حدود؟ هناك مفهومان مهمان هما الرتابة والحدود.

تسلسلات رتيبة

يسمى التسلسل \((a_n)\) رتيبًا إذا كان يتزايد دائمًا أو يتناقص دائمًا.

• زيادة الرتابة:

  \[ a_{n+1} \geq a_n \quad \text{for all } n. \]

• التناقص الرتيب:

  \[ a_{n+1} \leq a_n \quad \text{for all } n. \]

أمثلة:

1. \(a_n = n\) يزداد رتيبة.
2. \(a_n = \frac{1}{n}\) يتناقص رتيبًا.

تسلسلات محدودة

يتم تحديد التسلسل أعلاه إذا كان هناك رقم \(M\) بحيث يكون \(a_n \leq M\) لجميع \(n\). يتم تحديده أدناه إذا كان هناك \(m\) بحيث يكون \(a_n \geq m\) لجميع \(n\).

إذا تحقق كلا الشرطين، فإن التسلسل محدود.

أمثلة:

1. \(a_n = \frac{1}{n}\) محصور بين 0 و1.
2. \(a_n = (-1)^n\) محصور بين -1 و1.
3. \(a_n = n\) غير محدود.

نظرية التقارب الرتيب

نتيجة أساسية في التحليل:

• كل تسلسل رتيب متزايد يحده أعلاه يتقارب.
• كل تسلسل رتيب تنازلي يحده أدناه يتقارب.

تضمن هذه النظرية التقارب دون إيجاد النهاية بشكل صريح.

مثال

1. التسلسل: \(a_n = 1 - \frac{1}{n}\).

   • متزايد: منذ \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} > 0\).
   • يحدها من الأعلى 1.
   • ولذلك فهو متقارب.
   • الحد: \(\lim_{n\to\infty} a_n = 1\).

لماذا هذا مهم

• الرتابة والحدود تعطي اختبارات سريعة للتقارب.
• أنها ضرورية في البراهين وفي إقامة الحدود على نحو صارم.
• تمتد هذه الأفكار بشكل طبيعي إلى الوظائف والسلاسل.### تمارين

1. حدد ما إذا كان \(a_n = \frac{n}{n+1}\) رتيبًا ومحدودًا.
2. أظهر أن \(a_n = \sqrt{n}\) رتابة متزايدة ولكنها غير محدودة.
3. أثبت أن \(a_n = 2 - \frac{1}{n}\) يتقارب، وأوجد حده.
4. أعط مثالاً على تسلسل محدد غير رتيب.
5. قم بتطبيق نظرية التقارب الرتيب على \(a_n = \ln\!\big(1+\frac{1}{n}\big)\).

11.3 حدود التسلسلات

السؤال المركزي حول التسلسل هو ما إذا كانت حدوده تقترب من قيمة واحدة مع نمو \(n\). وهذا يؤدي إلى مفهوم الحد من التسلسل.

التعريف

التسلسل \((a_n)\) له حد \(L\) إذا كان لكل \(\varepsilon > 0\) عدد صحيح \(N\) بحيث يكون ذلك

\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \text{whenever } n > N. \]

ثم نكتب

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L. \]

إذا لم يكن هناك مثل \(L\)، فسيختلف التسلسل.

الحدس

• تقترب شروط التسلسل بشكل تعسفي من \(L\) عندما يصبح \(n\) كبيرًا.
• بخلاف بعض الفهرس \(N\)، تظل جميع المصطلحات ضمن نطاق صغير حول \(L\).

أمثلة

1. \(a_n = \frac{1}{n}\). مع نمو \(n\)، تتقلص المصطلحات نحو 0.

   \[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0. \]

2. \(a_n = (-1)^n\). تتناوب المصطلحات بين -1 و1، لذلك لا يوجد حد واحد. التسلسل يختلف.

3. \(a_n = \frac{n}{n+1}\). بما أن \(n \to \infty\)، فإن البسط والمقام متساويان تقريبًا، لذا

   \[ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1. \]

خصائص الحدود

إذا كان \(\lim a_n = A\) و\(\lim b_n = B\):

• \(\lim (a_n+b_n) = A+B\).

• \(\lim (a_n b_n) = AB\).

• \(\lim (c a_n) = cA\) للثابت \(c\).

• إذا كان \(b_n \neq 0\) و\(B \neq 0\)، فحينئذٍ

  \[ \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]

النظرية: مبدأ الضغط

إذا كان \(a_n \leq b_n \leq c_n\) لجميع \(n\) الكبيرة، و

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L, \]

ثم

\[\lim_{n\to\infty} b_n = L. \]

Example:

\[ a_n = -\tfrac{1}{n}، \quad b_n = \tfrac{\sin n}{n}، \quad c_n = \tfrac{1}{n}. \]

Since \(-\tfrac{1}{n} \leq \tfrac{\sin n}{n} \leq \tfrac{1}{n}\) and both bounding sequences go to 0,

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0. \]

Why This Matters

• Limits make rigorous the idea of sequences “approaching” a value.
• Convergence of sequences underpins infinite series and continuity.
• These concepts are essential in defining real numbers via limits.

Exercises

1. Find \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{3n+4}\).
2. Determine if \(a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\) converges.
3. Does \(a_n = \cos n\) converge? Why or why not?
4. Use the Squeeze Principle to show \(\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0\).
5. Prove that if \(\lim a_n = L\), then \(\lim |a_n| = |L|\).

Chapter 12. Infinite series

12.1 Series and Convergence

A series is the sum of the terms of a sequence. Instead of just listing numbers, we add them together and study whether the infinite sum approaches a finite value.

Definition

Given a sequence \((a_n)\), the corresponding series is

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \]

We define the nth partial sum as

\[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k. \]

If the sequence \((S_n)\) converges to a finite limit \(S\), then the series converges and

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = S. \]

If \((S_n)\) diverges, then the series diverges.

Examples

1. Geometric series

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1. \]

Example:

\[ 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots = 2. \]

2. Harmonic series

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}. \]

This series diverges, even though the terms go to 0.

3. p-series

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}. \]

• يتقارب إذا كان \(p > 1\).
• يتباعد إذا كان \(p \leq 1\).### شرط ضروري للتقارب

إذا تقارب \(\sum a_n\)، فمن الضروري

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = 0. \]

إذا كان \(\lim a_n \neq 0\)، فإن المتسلسلة تتباعد. لكن العكس غير صحيح: \(\lim a_n = 0\) لا يضمن التقارب (على سبيل المثال، المتسلسلة التوافقية).

لماذا هذا مهم

• توسع السلسلة الإضافة المحدودة للعمليات اللانهائية.
• تستخدم المتسلسلات المتقاربة لتقريب الدوال وحساب المناطق ونمذجة العمليات الفيزيائية.
• دراسة المتسلسلة تؤدي إلى اختبارات تقارب قوية.

تمارين

1. حدد ما إذا كان \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{3^n}\) متقاربًا، ثم ابحث عن مجموعه.
2. أظهر أن \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) يتقارب.
3. هل يتقارب \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\)؟
4. اكتب أول أربعة مجاميع جزئية من السلسلة \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\).
5. اشرح لماذا يعد \(\lim a_n = 0\) ضروريًا ولكنه غير كافٍ للتقارب.

12.2 اختبارات التقارب

نظرًا لأن العديد من المتسلسلات لا يمكن جمعها بشكل مباشر، فقد طور علماء الرياضيات اختبارات لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. هذه الاختبارات هي أدوات لتحليل المبالغ اللانهائية.

1. اختبار الفصل التاسع للتباعد

إذا

\[ \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \quad \text{or does not exist}, \]

ثم

\[ \sum a_n \]

يتباعد.

إذا كان \(\lim a_n = 0\)، فإن الاختبار غير حاسم.

2. اختبار المقارنة

لنفترض أن \(0 \leq a_n \leq b_n\) لجميع \(n\).

• إذا تقارب \(\sum b_n\)، فإن \(\sum a_n\) يتقارب أيضًا.
• إذا تباعد \(\sum a_n\)، فإن \(\sum b_n\) يتباعد أيضًا.

3. اختبار مقارنة الحدود

إذا كان \(a_n, b_n > 0\) و

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c, \]

حيث \(0 < c < \infty\)، ثم \(\sum a_n\) و\(\sum b_n\) إما يتقاربان أو يتباعدان.

4. اختبار النسبة

بالنسبة إلى \(\sum a_n\)، قم بالحساب

\[ L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|. \]- إذا كان \(L < 1\)، فإن المتسلسلة تتقارب تمامًا. - إذا كان \(L > 1\) أو \(L = \infty\)، فإن المتسلسلة تتباعد. - إذا كان \(L = 1\)، فإن الاختبار غير حاسم.

5. اختبار الجذر

بالنسبة إلى \(\sum a_n\)، قم بالحساب

\[ L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}. \]

• إذا كان \(L < 1\)، فإن المتسلسلة تتقارب تمامًا.
• إذا كان \(L > 1\) فإن المتسلسلة تتباعد.
• إذا كان \(L = 1\)، فإن الاختبار غير حاسم.

6. اختبار المتسلسلات المتناوبة (اختبار لايبنتز)

لسلسلة من النموذج

\[ \sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n, \]

إذا

1. \(b_{n+1} \leq b_n\) (متناقص)، و
2. \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\),

ثم تتقارب السلسلة.

أمثلة

1. \(\sum \frac{1}{n^2}\): اختبار المقارنة → يتقارب.
2. \(\sum \frac{1}{n}\): المتسلسلة التوافقية → المتباعدة.
3. \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\): اختبار المتسلسلات المتناوبة ← التقارب.
4. \(\sum \frac{n!}{n^n}\): اختبار النسبة → يتقارب.
5. \(\sum \frac{2^n}{n}\): اختبار الجذر → يتباعد.

لماذا هذا مهم

• تتيح لنا اختبارات التقارب تصنيف المتسلسلات دون الحاجة إلى مجاميع صريحة.
• أنها توفر طرق منهجية للتعامل مع العمليات اللانهائية في حساب التفاضل والتكامل.
• إنها مهمة لمواضيع لاحقة مثل متسلسلة القوى ومتسلسلة فورييه.

تمارين

1. اختبار تقارب \(\sum \frac{1}{n^3}\).
2. استخدم اختبار النسبة لـ \(\sum \frac{3^n}{n!}\).
3. قم بتطبيق اختبار الجذر على \(\sum \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
4. تحديد تقارب \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).
5. استخدم اختبار مقارنة الحدود مع \(\frac{1}{n^2}\) لاختبار \(\sum \frac{1}{n^2+1}\).

12.3 التقارب المطلق مقابل التقارب الشرطي

لا تتصرف كل السلاسل بنفس الطريقة عندما تتناوب العلامات. ولمعالجة ذلك نميز بين التقارب المطلق والتقارب المشروط.

التقارب المطلق

المتسلسلة \(\sum a_n\) متقاربة تمامًا إذا

\[ \sum |a_n| \]

يتقارب.النظرية: إذا كانت المتسلسلة متقاربة تقاربا مطلقا، ​​فإنها تتقارب أيضا.

مثال:

\[ \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. \]

هنا يتقارب \(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \sum \frac{1}{n^2}\) (سلسلة p، \(p=2\)). وبالتالي فإن المتسلسلة متقاربة تمامًا.

التقارب الشرطي

تكون المتسلسلة \(\sum a_n\) متقاربة شرطيًا إذا تقاربت، ولكن ليس بشكل مطلق.

مثال:

\[ \sum \frac{(-1)^n}{n}. \]

• اختبار المتسلسلات المتناوبة → المتقاربة.
• لكن \(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}\) يتباعد (السلسلة التوافقية). وبالتالي فإن المتسلسلة متقاربة شرطيًا.

نظرية إعادة الترتيب

بالنسبة للمتسلسلات المتقاربة بشكل مشروط، فإن إعادة ترتيب الحدود يمكن أن تغير المجموع - بل وتجعله يتباعد أو يتقارب إلى قيمة مختلفة.

تظهر هذه النتيجة المدهشة الطبيعة الدقيقة للتقارب الشرطي.

لماذا هذا مهم

• التقارب المطلق أقوى ويضمن الاستقرار.
• التقارب الشرطي يسلط الضوء على أهمية النظام في المبالغ اللانهائية.
• العديد من المتسلسلات المتناوبة التي نواجهها عمليًا تكون متقاربة بشكل مشروط فقط.

تمارين

1. أظهر أن \(\sum \frac{(-1)^n}{n^3}\) يتقارب تمامًا.
2. أظهر أن \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\) متقارب بشكل مشروط.
3. اختبار \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) للتقارب المطلق والشرطي.
4. اشرح لماذا التقارب المطلق يعني التقارب، ولكن العكس ليس صحيحا.
5. ابحث ولخص نظرية إعادة ترتيب ريمان بكلماتك الخاصة.

الفصل 13. سلسلة القوى والتوسعات

##13.1 سلسلة الطاقة

متسلسلة القوى هي متسلسلة لا نهائية حيث يتضمن كل حد قوة المتغير. تعد متسلسلة القوى عنصرًا أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل لأنها تتيح لنا تمثيل الدوال كمتعددات حدود لا نهائية.

النموذج العام

سلسلة الطاقة المتمركزة في \(a\) لها الشكل

\[\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n, \]

where \(c_n\) are constants called the coefficients.

• If \(a=0\), the series is centered at the origin:

  \[ \sum_{n=0}^\infty c_n x^n. \]

Examples

1. Geometric series

\[ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1. \]

2. Exponential function

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \]

3. Sine and cosine

\[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. \]

Interval of Convergence

For each power series, there exists a radius of convergence \(R\) such that:

• The series converges if \(|x-a| < R\).
• The series diverges if \(|x-a| > R\).
• At \(|x-a| = R\), convergence must be checked separately.

Why This Matters

• Power series allow us to approximate functions by polynomials.
• They connect calculus with analysis and differential equations.
• Many special functions in mathematics and physics are defined by their power series.

Exercises

1. Write the power series for \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^n}{n!}\).
2. Find the first four terms of the power series for \(e^x\).
3. Express \(\frac{1}{1+x}\) as a power series centered at 0.
4. Determine whether the series \(\sum_{n=0}^\infty n! x^n\) converges at \(x=0.1\).
5. Explain why power series are sometimes called “infinite polynomials.”

13.2 Radius of Convergence

Every power series converges for some values of \(x\) and diverges for others. The boundary between these two behaviors is described by the radius of convergence.

Definition

For a power series

\[ \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n, \]

يوجد رقم \(R \geq 0\) (ربما لا نهائي) مثل:

• تتقارب المتسلسلة بشكل مطلق إذا كان \(|x-a| < R\).
• تتباعد السلسلة إذا كان \(|x-a| > R\).- عند \(|x-a| = R\)، يجب التحقق من التقارب بشكل منفصل.

هذا الرقم \(R\) يسمى نصف قطر التقارب.

إيجاد نصف قطر التقارب

طريقتان شائعتان:

1. اختبار النسبة

\[ R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|. \]

2. اختبار الجذر

\[ R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}. \]

أمثلة

1. السلسلة:

\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \]

باستخدام اختبار النسبة:

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n!)}{1/((n+1)!)} = \infty. \]

إذن \(R = \infty\) (يتقارب مع كل \(x\) الحقيقي).

2. السلسلة:

\[ \sum_{n=0}^\infty x^n. \]

هنا \(c_n = 1\).

\[ R = 1. \]

يتقارب مع \(|x| < 1\).

3. السلسلة:

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}. \]

اختبار النسبة:

\[ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x^{n+1}/(n+1))}{(x^n/n)}\right| = |x|. \]

إذن \(R = 1\). يتقارب مع \(|x| < 1\)، ويتباعد مع \(|x| > 1\). في \(x=\pm 1\)، اختبر بشكل منفصل.

فترة التقارب

مجموعة قيم \(x\) التي تتقارب فيها المتسلسلة تسمى فترة التقارب.

• يتم التركيز دائمًا على \(a\).
• يمتد \(R\) وحدة في كلا الاتجاهين.
• يجب التحقق من نقاط النهاية \(x=a\pm R\) بشكل فردي.

لماذا هذا مهم

• نصف قطر التقارب يخبرنا أين تتصرف متسلسلة القوى مثل الدوال.
• ضروري لاستخدام توسعات سلسلة تايلور في الممارسة العملية.
• تحديد مجال صلاحية حلول المتسلسلة في الفيزياء والهندسة.

تمارين

1. أوجد نصف قطر التقارب لـ \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{n!}\).
2. احسب نصف قطر تقارب \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}\).
3. استخدم اختبار النسبة للعثور على \(R\) لـ \(\sum_{n=0}^\infty n!x^n\).
4. تحديد فترة التقارب لـ \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^n}{n}\).
5. اشرح سبب تقارب المتسلسلة الأسية عند جميع \(x\)، بينما تتقارب المتسلسلة الهندسية عند \(|x|<1\) فقط.## 13.3 سلسلة تايلور وماكلورين

تصبح متسلسلة الطاقة قوية بشكل خاص عندما يتم استخدامها لتمثيل وظائف مألوفة. ويتم ذلك من خلال متسلسلة تايلور، والحالة الخاصة المتمركزة عند 0 تسمى متسلسلة ماكلورين.

سلسلة تايلور

إذا كانت الدالة \(f(x)\) قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي عند \(x=a\)، فإن متسلسلة تايلور الخاصة بها حول \(a\) هي

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. \]

هنا يشير \(f^{(n)}(a)\) إلى المشتق \(n\) من \(f\) عند \(a\).

سلسلة ماكلورين

سلسلة تايلور تتمحور حول \(a=0\):

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n. \]

أمثلة

1. الدالة الأسية

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

2. الجيب وجيب التمام

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

3. اللوغاريتم الطبيعي (لـ \(|x|<1\))

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \]

تقريب تايلور متعدد الحدود

المجموع المحدود لحدود \(n\) الأولى هو كثيرة حدود تايلور من الدرجة \(n\):

\[ P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. \]

يقترب كثير الحدود هذا من \(f(x)\) بالقرب من \(x=a\).

الباقي (مصطلح الخطأ)

الفرق بين الدالة ومتعددة حدود تايلور هو الباقي:

\[ R_n(x) = f(x) - P_n(x). \]

أحد النماذج (نموذج لاغرانج) هو

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \]

لبعض \(c\) بين \(a\) و\(x\).

لماذا هذا مهم

• توفر متسلسلة تايلور تقريبيات متعددة الحدود للدوال المعقدة.
• إنها ضرورية في التحليل العددي والفيزياء والهندسة.
• تعطي توسعات متسلسلة ماكلورين صيغًا بسيطة للدوال الأسية والمثلثية واللوغاريتمية.

تمارين

1. ابحث عن سلسلة Maclaurin لـ \(f(x)=\cosh x = \tfrac{e^x+e^{-x}}{2}\).2. اكتب سلسلة تايلور لـ \(f(x)=e^x\) المتمركزة في \(a=2\).
2. احسب كثيرة حدود تايلور من الدرجة 3 لـ \(f(x)=\ln(1+x)\) في \(a=0\).
3. استخدم سلسلة Maclaurin لـ \(\sin x\) لتقريب \(\sin(0.1)\).
4. اشرح لماذا توفر متسلسلة تايلور في كثير من الأحيان تقديرات محلية جيدة ولكنها قد تتباين بالنسبة إلى \(|x|\) الكبيرة.

13.4 تطبيقات سلسلة تايلور

متسلسلة تايلور ليست أدوات نظرية فحسب، بل تُستخدم لتقريب الدوال وحل المعادلات وتحليل الأنظمة الفيزيائية. وتشمل تطبيقاتها الرياضيات والعلوم والهندسة.

تقريب الوظيفة

يمكن تقريب الوظائف المعقدة عن طريق كثيرات الحدود بالقرب من نقطة ما.

مثال: \(e^x\) تقريبي بالقرب من \(x=0\) باستخدام متعددة حدود Maclaurin من الدرجة 3:

\[ P_3(x) = 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}. \]

بالنسبة إلى \(x\) الصغيرة، يوفر هذا تقديرات دقيقة لـ \(e^x\).

الطرق العددية

توفر سلسلة تايلور الأساس للخوارزميات العددية:

• تقريب الجذور التربيعية واللوغاريتمات والقيم المثلثية.
• تقدير الخطأ خلال المدة المتبقية.
• تستخدم في الطرق التكرارية مثل طريقة نيوتن (حيث تأتي الخطية المحلية من متسلسلة تايلور).

حل المعادلات التفاضلية

العديد من المعادلات التفاضلية لها حلول معبر عنها بمتسلسلة تايلور (أو القوة).

مثال: حل \(y'' + y = 0\) مع \(y(0)=0, y'(0)=1\) هو \(\sin x\)، والذي ينشأ بشكل طبيعي من سلسلة Maclaurin الخاصة بها.

الفيزياء والهندسة

• تقريب الزاوية الصغيرة:

  \[ \sin x \approx x, \quad \cos x \approx 1 - \tfrac{x^2}{2}, \quad |x| \ll 1. \]

  تستخدم في حركة البندول، والبصريات، وميكانيكا الموجات.

• النسبية وميكانيكا الكم: توسعات تايلور تبسط التعبيرات غير الخطية للاستخدام العملي.- تقريب وظائف الطاقة: في الميكانيكا، يتم توسيع وظائف الطاقة المحتملة بالقرب من نقاط التوازن.

الاحتمالات والإحصائيات

• دوال توليد العزوم والدوال المميزة تستخدم متسلسلة القوى.
• تقريب التوزيعات الاحتمالية (على سبيل المثال، التقريب الطبيعي إلى الحدين) يستخدم توسعات تايلور.

لماذا هذا مهم

• توفر متسلسلة تايلور جسرًا بين الصيغ الدقيقة والحسابات العملية.
• إنها تسمح لنا بتقليص المشكلات المعقدة إلى تقديرات تقريبية متعددة الحدود يمكن التحكم فيها.
• التطبيقات تجعلها من أهم الأدوات في الرياضيات التطبيقية.

تمارين

1. استخدم سلسلة Maclaurin لـ \(e^x\) لتقريب \(e^{0.1}\) بما يصل إلى أربع منازل عشرية.
2. قم بتطبيق تقريب الزاوية الصغيرة لتقدير \(\sin(5^\circ)\).
3. حل المعادلة التفاضلية \(y'' = -y\) باستخدام طريقة متسلسلة القوى.
4. قم بتوسيع \(\ln(1+x)\) حتى الدرجة الرابعة واستخدمه لتقريب \(\ln(1.1)\).
5. اشرح لماذا تعتبر التقريبات متعددة الحدود مفيدة بشكل خاص لأجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة.

#الملاحق

الملحق أ. أساسيات ما قبل حساب التفاضل والتكامل

أ.1 تنشيطية للجبر

قبل الغوص في حساب التفاضل والتكامل، من المفيد مراجعة بعض مهارات الجبر التي ستظهر مرارًا وتكرارًا. هذه هي “الأدوات” التي ستحتاجها لمعالجة التعبيرات وحل المعادلات وتبسيط النتائج.

الأسس والقوى

• القواعد الأساسية:

  \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}. \]

• الأسس السلبية:

  \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0. \]

• الأسس الكسرية:

  \[ a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}. \]

التخصيم

التخصيم يبسط التعبيرات ويساعد في حل المعادلات.

1. العامل المشترك:

   \[ 6x^2+9x = 3x(2x+3). \]

2. اختلاف المربعات:

   \[أ^2-ب^2 = (أ-ب)(أ+ب). \]

3. Quadratic trinomials:

   \[ س^2+5س+6 = (س+2)(س+3). \]

Polynomials

• Standard form: \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\).
• Degree: the largest power of \(x\).
• Long division and synthetic division are useful for simplifying rational functions.

Rational Expressions

Simplify by factoring numerator and denominator:

\[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}, \quad x \neq 1. \]

Logarithms

• Definition: \(\log_a b = c\) means \(a^c = b\).

• Common bases: natural log (\(\ln x = \log_e x\)) and base 10 (\(\log x\)).

• Rules:

  \[ \log(ab) = \log a + \log b, \quad \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b, \quad \log(a^n) = n\log a. \]

Equations

• Linear: solve \(ax+b=0\) → \(x=-b/a\).

• Quadratic: \(ax^2+bx+c=0\) has solutions

  \[ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

• Exponential: \(e^x = k\) → \(x = \ln k\).

A.2 Trigonometry Basics

Trigonometry provides the language of angles and periodic phenomena. Since calculus often deals with oscillations, motion, and waves, a solid grasp of trigonometric functions and their properties is essential.

The Unit Circle

• Defined as the circle of radius 1 centered at the origin in the coordinate plane.

• For an angle \(\theta\) measured from the positive \(x\)-axis:

  \[ (\كوس \ثيتا، \سين \ثيتا) \]

  يعطي إحداثيات النقطة على الدائرة.

القيم الخاصة:

\(\theta\)	\(\sin \theta\)	\(\cos \theta\)	\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(0\)	0	1	0
\(\pi/6\)	1/2	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/\sqrt{3}\)
\(\pi/3\)	\(\sqrt{3}/2\)	1/2	\(\sqrt{3}\)
\(\pi/2\)	1	0	غير محدد

الهويات الأساسية

1. هوية فيثاغورس

\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. \]

2. الهويات الحاصلة

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \]

3. الهويات المتبادلة

\[ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}. \]

صيغ إضافة الزوايا

\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \]

\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. \]

حالات خاصة:

• زاوية مزدوجة:

  \[ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta, \quad \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta. \]

الرسوم البيانية

• \(\sin x\): موجة تبدأ عند 0، سعة 1، الفترة \(2\pi\).
• \(\cos x\): موجة تبدأ عند 1، سعة 1، الفترة \(2\pi\).
• \(\tan x\): يتكرر كل \(\pi\)، غير محدد عند المضاعفات الفردية لـ \(\pi/2\).

أ.3 الهندسة الإحداثية

تربط الهندسة الإحداثية بين الجبر والهندسة من خلال وصف الكائنات الهندسية (الخطوط والدوائر والمنحنيات) باستخدام المعادلات. يعتمد حساب التفاضل والتكامل بشكل كبير على هذا الإطار لرسم الوظائف وإيجاد المنحدرات وتحليل المنحنيات.

الطائرة الديكارتية

• يتم تمثيل النقطة بالإحداثيات \((x,y)\).

• المسافة بين النقطتين \((x_1,y_1)\) و \((x_2,y_2)\):

  \[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. \]

• منتصف القطعة المستقيمة:

  \[ M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). \]

خطوط

1. صيغة المنحدر

   \[ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]

2. معادلة الخط

   • شكل نقطة الميل:

     \[ص-y_1 = م(س-x_1). \]

   • Slope-intercept form:

     \[ ص = مكس+ب. \]

3. Parallel and perpendicular lines

   • Parallel lines: same slope.
   • Perpendicular lines: slopes satisfy \(m_1m_2 = -1\).

Circles

Equation of a circle with center \((h,k)\) and radius \(r\):

\[ (س-ح)^2+(ص-ك)^2 = ص^2. \]

Special case: unit circle centered at origin:

\[ س^2+ص^2=1. \]

Conic Sections

1. Parabola:

   • Standard form (opening up/down):

     \[ ص = الفأس^2+بكس+ج. \]

2. Ellipse (centered at origin):

   \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. \]

3. Hyperbola (centered at origin):

   \[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1. \]

Appendix B. Key Formulas and Tables

B.1 Derivative Table

Derivatives measure rates of change and slopes of functions. Having a quick-reference table helps learners avoid re-deriving formulas each time.

Basic Rules

1. Constant rule

\[ \frac{d}{dx[c] = 0 \]

2. Power rule

\[ \frac{d}{dx[x^n] = nx^{n-1}, \quad (n \in \mathbb{R}) \]

3. Constant multiple rule

\[ \frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x) \]

4. Sum and difference rule

\[ \frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)] = f'(x)\pm g'(x) \]

Trigonometric Functions

\[ \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x \]

\[ \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x \]

\[ \frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x, \quad x \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \]

\[ \frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x \]

\[ \frac{d}{dx}[\sec x] = \sec x \tan x \]

\[ \frac{d}{dx}[\csc x] = -\csc x \cot x \]

Exponential and Logarithmic Functions

\[ \frac{d}{dx[e^x] = e^x \]

\[ \frac{d}{dx[a^x] = a^x \ln a, \quad a>0, a\neq 1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}, \quad x>0 \]

\[ \frac{d}{dx}[\log_a x] = \frac{1}{x\ln a}, \quad a>0, a\neq 1 \]

Inverse Trigonometric Functions

\[\frac{d}{dx}[\arcsin x] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\arccos x] = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\arctan x] = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \in \mathbb{R} \]

Product, Quotient, and Chain Rules

1. Product Rule

\[ \frac{d}{dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

2. Quotient Rule

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}, \quad g(x)\neq 0 \]

3. Chain Rule

\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))\cdot g'(x) \]

B.3 Common Series Expansions

Power series let us express functions as infinite polynomials. These expansions are essential for approximations, solving differential equations, and building intuition about functions in calculus.

Geometric Series

\[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1 \]

Exponential Function

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

Valid for all \(x\).

Trigonometric Functions

\[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[ \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

\[ \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\leq 1 \]

Logarithm

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1 \]

Binomial Expansion (Generalized)

\[ (1+x)^r = \sum_{n=0}^\infty \binom{r}{n} x^n, \quad |x|<1 \]

where

\[ \binom{r}{n} = \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)}{n!}. \]

الملحق ج. الرسومات التوضيحية

ج.1 قوانين الحدود وتعريف \(\varepsilon\)–\(\delta\)حساب التفاضل والتكامل يعتمد على المعنى الدقيق للحد. في حين أن الحدس (“القيم تقترب أكثر فأكثر”) مفيد، فإن التعريف الرسمي يضمن الدقة ويتجنب المفارقات.

فكرة بديهية

نحن نكتب

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

هذا يعني أنه عندما يقترب \(x\) بشكل عشوائي من \(a\)، فإن قيم \(f(x)\) تقترب بشكل عشوائي من \(L\).

التعريف الرسمي (\(\varepsilon\)–\(\delta\)) التعريف

نحن نقول ذلك

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

إذا كان لكل \(\varepsilon > 0\)، يوجد \(\delta > 0\) بحيث كلما

\[ 0 < |x-a| < \delta, \]

لدينا

\[ |f(x) - L| < \varepsilon. \]

• \(\varepsilon\): إلى أي مدى نريد أن يكون \(f(x)\) قريبًا من \(L\).
• \(\delta\): ما مدى قرب \(x\) من \(a\) لتحقيق ذلك.

مثال

أظهر ذلك

\[ \lim_{x \to 2} (3x+1) = 7. \]

• دع \(\varepsilon > 0\).
• نريد \(|(3x+1)-7| < \varepsilon\).
• تبسيط: \(|3x-6| = 3|x-2| < \varepsilon\).
• ينطبق هذا إذا اخترنا \(\delta = \varepsilon/3\).

وبالتالي، حسب التعريف، الحد هو 7.

قوانين الحدود

إذا كان \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) و\(\lim_{x \to a} g(x) = M\)، فحينئذٍ:

1. المجموع/الفرق

\[ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M \]

2. متعددة ثابتة

\[ \lim_{x \to a} [c f(x)] = cL \]

3. المنتج

\[ \lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM \]

4. القسمة (إذا كان \(M \neq 0\))

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \]

5. القوى والجذور

\[ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n, \quad \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \ (\text{if defined}). \]

ج.2 رسم البرهان: النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل

تربط النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (FTC) بين العمليتين المركزيتين لحساب التفاضل والتكامل: التفاضل والتكامل. ويظهر أنها في الواقع عمليات عكسية.

بيان النظرية

الجزء الأول (تمايز التكامل): إذا كان \(f\) مستمرًا على \([a,b]\) وقمنا بتعريفه

\[F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \]

then \(F\) is differentiable on \((a,b)\) and

\[ F '(س) = و(خ). \]

Part II (Evaluation of a Definite Integral): If \(F\) is any antiderivative of \(f\) on \([a,b]\), then

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). \]

Proof Sketch of Part I

1. Start with the definition of the derivative:

   \[ F'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}. \]

2. Substituting \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\):

   \[ F(x+h)-F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt. \]

3. By the additivity of integrals:

   \[ F(x+h)-F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt. \]

4. Therefore:

   \[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt. \]

5. By the Mean Value Theorem for integrals, there exists \(c \in [x,x+h]\) such that

   \[ \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c). \]

6. As \(h \to 0\), \(c \to x\), and since \(f\) is continuous:

   \[ \lim_{h\to 0} f(c) = f(x). \]

Thus, \(F'(x) = f(x)\).

Proof Sketch of Part II

1. Let \(F\) be an antiderivative of \(f\), so \(F'(x) = f(x)\).

2. By Part I, the function

   \[ G(x) = \int_a^x f(t)\,dt \]

   is also an antiderivative of \(f\).

3. Since \(F\) and \(G\) differ only by a constant,

   \[ F(x) = G(x) + C. \]

4. Evaluating at the endpoints:

   \[ \int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a) = (F(b)+C)-(F(a)+C) = F(b)-F(a). \]

C.3 Proof Sketch: Convergence of the Geometric Series

The geometric series is one of the simplest and most important infinite series. It serves as a model for understanding convergence and is the foundation for many later results in calculus.

The Series

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \]

where \(a\) is the first term and \(r\) is the common ratio.

Partial Sum Formula

The \(n\)-th partial sum is

\[S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n. \]

Multiply both sides by \(r\):

\[ rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n+1}. \]

Subtract the two equations:

\[ S_n - rS_n = أ - ar^{n+1}. \]

\[ S_n(1-r) = أ(1-r^{n+1}). \]

So

\[ S_n = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}, \quad r \neq 1. \]

Convergence

Take the limit as \(n \to \infty\):

• If \(|r| < 1\), then \(r^{n+1} \to 0\).

  \[ \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r}. \]

• If \(|r| \geq 1\), then \(r^{n+1}\) does not go to 0. The series diverges.

Result

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \بداية{الحالات} \dfrac{a}{1-r}, & |r|<1, \\[6pt] \text{يتباعد}، & |r|\geq 1. \النهاية{الحالات} \]

Appendix D. Applications and Connections

D.1 Physics Connections: Velocity, Acceleration, and Work

Calculus was originally developed to solve problems in physics - especially motion and change. Here are some of the most important connections.

Position, Velocity, and Acceleration

• Position function: \(s(t)\) gives the location of an object at time \(t\).

• Velocity: the derivative of position.

  \[ v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt} \]

• Acceleration: the derivative of velocity (or second derivative of position).

  \[ أ(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2} \]

Example: If \(s(t) = 4t^2\) meters, then:

\[ v(t) = 8t، \quad a(t) = 8. \]

So the object moves faster linearly with time, under constant acceleration.

Work and Force

In physics, work is the product of force and distance. If force varies with position, calculus gives:

\[ W = \int_a^b F(x)\, dx \]

where \(F(x)\) is the force at position \(x\), and the object moves from \(x=a\) to \(x=b\).

Example: A spring with Hooke’s law force \(F(x) = kx\) requires work

\[ W = \int_0^d kx\, dx = \frac{1}{2}kd^2 \]

لتمديد الربيع مسافة \(d\).

الطاقة والمساحات تحت المنحنيات- الطاقة الحركية: \(E_k = \tfrac{1}{2}mv^2\).

• تتضمن الطاقة الكامنة في كثير من الأحيان تكاملات (على سبيل المثال، طاقة الجاذبية الناتجة عن قوة الجاذبية).
• بشكل عام، تكامل دالة القوة يعطي الطاقة المخزنة أو الشغل المنجز.

الممارسة السريعة

1. إذا كان \(s(t) = t^3 - 3t\)، فابحث عن \(v(t)\) و\(a(t)\).
2. احسب الشغل الذي تبذله قوة ثابتة مقدارها 10 N لتحريك جسم مسافة 5 m.
3. الربيع له ثابت \(k=200\). ما مقدار الشغل اللازم لتمديده بمقدار 0.1 م؟
4. أثبت أن التسارع هو المشتقة الثانية للموضع.
5. اشرح كيفية ارتباط التكامل \(\int v(t)\, dt\) بالإزاحة.

د.2 اتصالات الاحتمالية والإحصائيات

يرتبط حساب التفاضل والتكامل ارتباطًا وثيقًا بالاحتمالات والإحصائيات، خاصة عند التعامل مع المتغيرات العشوائية المستمرة. تصبح التكاملات ضرورية لتحديد الاحتمالات والمتوسطات والتوقعات.

دوال الكثافة الاحتمالية (PDFs)

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر \(X\)، يتم وصف الاحتمالات بواسطة دالة كثافة الاحتمال \(f(x)\):

1. \(f(x) \geq 0\) لجميع \(x\).

2. الاحتمال الإجمالي يساوي 1:

   \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1. \]

احتمال أن يقع \(X\) في الفاصل الزمني \([a,b]\) هو

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx. \]

القيمة المتوقعة (المتوسط)

القيمة المتوقعة (متوسط النتيجة) هي

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\, dx. \]

هذه هي النسخة الحسابية للمتوسط المرجح.

####التباين

انتشار مقاييس التباين:

\[ \text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\, dx, \]

حيث \(\mu = E[X]\).

التوزيعات الشائعة

1. التوزيع الموحد على \([a,b]\):

   \[ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b. \]

   يعني: \(\frac{a+b}{2}\).

2. التوزيع الأسي مع المعلمة \(\lambda > 0\):

   \[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0.\]

   Mean: \(1/\lambda\).

3. Normal (Gaussian) distribution:

   \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}. \]

   Integrals of this distribution connect to the error function.

Why This Matters

• Integrals turn probabilities into areas under curves.
• Expectation and variance link calculus to averages and variability.
• Most real-world data models (finance, physics, biology, AI) use these continuous probability distributions.

Quick Practice

1. For \(f(x) = \tfrac{1}{2}\) on \([0,2]\), compute \(P(0.5 \leq X \leq 1.5)\).
2. For exponential distribution with \(\lambda = 2\), compute \(E[X]\).
3. Show that the total area under the standard normal curve equals 1.
4. Find the mean of a uniform distribution on \([3,7]\).
5. Explain why probabilities are computed with integrals, not sums, for continuous variables.

D.3 Computer Science Connections: Taylor Approximations in Algorithms

Calculus is not only for physics - it also underpins many tools and techniques in computer science. One of the clearest bridges is through Taylor series, which provide efficient ways to approximate functions in numerical computing and algorithms.

Function Approximation for Computing

Computers cannot directly store or calculate most functions exactly (like \(e^x\), \(\sin x\), or \(\ln x\)). Instead, they use polynomial approximations derived from Taylor expansions.

Example: To approximate \(e^x\), truncate the Maclaurin series:

\[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}. \]

بالنسبة إلى \(x\) الصغيرة، فإن كثير الحدود هذا يعطي نتائج دقيقة بعدد قليل من الحدود فقط.

الكفاءة في الخوارزميات

• الدوال المثلثية: غالبًا ما تستخدم خوارزميات الآلات الحاسبة ووحدات المعالجة المركزية (CPU) توسعات متسلسلة (أو أشكال مختلفة مثل كثيرات حدود تشيبيشيف).- الأسي/اللوغاريتم: توسعات تايلور هي أساس التقريب السريع في المكتبات الرقمية.
• إيجاد الجذر: تعتمد طريقة نيوتن على التقريب الخطي، وهو تطبيق مباشر لمتسلسلة تايلور (المشتقة الأولى).

التحليل العددي

تعتبر توسعات تايلور أساسية في تحليل الأخطاء:

• تقريب حد الخطأ باستخدام صيغة الباقي:

  \[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \]

• يخبرنا هذا بعدد المصطلحات المطلوبة للحصول على دقة معينة.

اتصالات التعلم الآلي

• يستخدم التحسين القائم على التدرج (مثل نزول التدرج) المشتقات لتحديث المعلمات بكفاءة.
• غالبًا ما يتم تقريب وظائف التنشيط (مثل \(\tanh x\) أو \(\sigma(x)=1/(1+e^{-x})\)) بواسطة متعددات الحدود أو وظائف متعددة التعريف للسرعة.
• يمكن لتقريب السلسلة تسريع التدريب والاستدلال في البيئات المقيدة.

لماذا هذا مهم

• تربط تقديرات تايلور بين الرياضيات المستمرة والحوسبة المنفصلة.
• توضح كيفية استخدام مفاهيم حساب التفاضل والتكامل في الخوارزميات والأساليب العددية والتعلم الآلي.
• فهم التقريبات يساعد على تجنب المخاطر عند الاعتماد على أجهزة الكمبيوتر لإجراء العمليات الحسابية.

الممارسة السريعة

1. تقريب \(\sin(0.1)\) باستخدام الحدود الثلاثة الأولى من سلسلة ماكلورين.
2. استخدم الحد المتبقي لتقدير الخطأ في تقريب \(e^1\) مع كثير الحدود من الدرجة 3.
3. اشرح كيف تستخدم طريقة نيوتن نظرية تايلور.
4. لماذا قد تفضل أجهزة الكمبيوتر التقريبية متعددة الحدود على الصيغ الدقيقة للوظائف؟
5. في التعلم الآلي، لماذا يعتبر المشتق (التدرج) بالغ الأهمية للتحسين؟