Il piccolo libro di calcolo

Un’introduzione concisa e adatta ai principianti alle idee fondamentali del calcolo infinitesimale.

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Parte 1. Limiti e derivati

Capitolo 1. Funzioni e limiti

1.1 Funzioni

Una funzione è uno degli oggetti più basilari della matematica. Fondamentalmente, una funzione è una regola che accetta un input e produce esattamente un output. Le funzioni ci consentono di descrivere relazioni, modellare fenomeni del mondo reale e costruire l’intero meccanismo del calcolo.

Definizione

Formalmente, viene scritta una funzione \(f\) da un insieme \(X\) (chiamato dominio) a un insieme \(Y\) (chiamato codominio)

\[ f : X \to Y. \]

Per ogni elemento \(x \in X\), esiste un elemento univoco \(f(x) \in Y\). Il valore \(f(x)\) è chiamato immagine di \(x\) in \(f\).

Se \(y = f(x)\), allora \(y\) è l’output corrispondente all’input \(x\). L’insieme di tutti gli output che effettivamente appaiono è chiamato intervallo (un sottoinsieme del codominio).

Esempi

1. La funzione \(f(x) = x^2\) associa ogni numero reale \(x\) al suo quadrato.

   • Dominio: tutti i numeri reali \(\mathbb{R}\).
   • Codominio: tutti i numeri reali \(\mathbb{R}\).
   • Intervallo: tutti i numeri reali non negativi \([0, \infty)\).

2. La funzione \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) assegna a ciascun numero reale diverso da zero il suo reciproco.

   • Dominio: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
   • Intervallo: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

3. Un esempio reale: Sia \(T(t)\) la temperatura esterna (in °C) al tempo \(t\) (in ore). Questa è una funzione che va dall’”ora del giorno” alla “temperatura”.

Modi di rappresentare le funzioni

Le funzioni possono essere rappresentate in diversi modi utili:

• Formule: ad esempio, \(f(x) = \sin x + x^2\).- Grafici: tracciamento di tutti i punti \((x, f(x))\) nel piano delle coordinate.
• Tabelle: abbinamento di input e output per insiemi discreti di dati.
• Descrizioni verbali: “Assegna a ciascuno studente il suo voto”.

Ciascuna rappresentazione evidenzia aspetti diversi della stessa funzione.

Terminologia

• Variabile indipendente: l’input (normalmente scritto \(x\)).
• Variabile dipendente: l’output (solitamente scritto \(y\), dove \(y = f(x)\)).
• Notazione della funzione: \(f(x)\) viene letto “\(f\) di \(x\).”

Perché le funzioni sono importanti nel calcolo infinitesimale

Il calcolo infinitesimale è lo studio di come cambiano le funzioni. I derivati ​​misurano i tassi di cambiamento istantanei, mentre gli integrali misurano gli effetti accumulati. Per padroneggiare queste idee, abbiamo prima bisogno di una solida comprensione di cosa sono le funzioni e come si comportano.

Esercizi

1. Per la funzione \(f(x) = 3x - 2\):

   • Trova il dominio, il codominio e l’intervallo.

2. Per quali ingressi è definita la funzione \(h(x) = \sqrt{x-1}\)? Qual è la sua portata?

3. Fornisci un esempio reale di una funzione della tua vita quotidiana. Indicare chiaramente il dominio e il codominio.

4. Disegna il grafico di \(f(x) = |x|\). Qual è la portata?

5. Supponiamo che \(g(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\). Spiega perché il suo intervallo è l’intervallo \((0, 1]\).

1.2 Grafici e trasformazioni

Una funzione può essere compresa non solo dalle formule ma anche dal suo grafico. Il grafico di una funzione \(f\) è l’insieme di tutte le coppie ordinate \((x, f(x))\), dove \(x\) appartiene al dominio di \(f\). Tracciare queste coppie nel piano delle coordinate fornisce un’immagine di come si comporta la funzione.

Grafici di base

Alcuni grafici sono così fondamentali che dovrebbero essere memorizzati:

• \(f(x) = x\): una linea retta passante per l’origine.
• \(f(x) = x^2\): una parabola che si apre verso l’alto.
• \(f(x) = |x|\): un grafico a forma di “V”.
• \(f(x) = \frac{1}{x}\): un’iperbole con due rami.- \(f(x) = \sin x\): una curva periodica a forma di onda.

Questi servono come elementi costitutivi per funzioni più complicate.

Trasformazioni

I grafici possono essere spostati, allungati o riflessi utilizzando semplici regole:

1. Spostamenti verticali: l’aggiunta di una costante sposta il grafico verso l’alto o verso il basso.

   \[ y = f(x) + c \quad \text{is } f(x) \text{ shifted upward by } c. \]

2. Spostamenti orizzontali: l’aggiunta all’interno dell’argomento sposta il grafico a sinistra o a destra.

   \[ y = f(x - c) \quad \text{is } f(x) \text{ shifted right by } c. \]

3. Ridimensionamento verticale: moltiplicando per una costante si allunga o si comprime il grafico verticalmente.

   \[ y = a f(x), \quad a > 1 \text{ stretches; } 0 < a < 1 \text{ compresses.} \]

4. Ridimensionamento orizzontale: la moltiplicazione all’interno dell’argomento allunga o comprime il grafico orizzontalmente.

   \[ y = f(bx), \quad b > 1 \text{ compresses toward the } y\text{-axis}. \]

5. Riflessioni:

   • \(y = -f(x)\): riflessione lungo l’asse \(x\).
   • \(y = f(-x)\): riflessione lungo l’asse \(y\).

Combinazione di trasformazioni

I grafici complessi spesso derivano dalla combinazione di diverse trasformazioni in sequenza. Ad esempio:

\[ y = 2(x-1)^2 + 3 \]

si ottiene prendendo la parabola \(y = x^2\), spostandola verso destra di 1, allungandola verticalmente di 2 e spostandola verso l’alto di 3.

Esercizi

1. Disegna il grafico di \(y = (x+2)^2 - 1\). Identificare la sequenza di trasformazioni da \(y = x^2\).
2. Cosa succede al grafico di \(y = f(x)\) se sostituiamo \(x\) con \(-x\)? Provalo con \(f(x) = \sqrt{x}\).
3. Descrivi le trasformazioni che trasformano \(y = \sin x\) in \(y = 3\sin(x - \pi/4)\).
4. Disegna il grafico di \(y = |x-1| + 2\). Indica il vertice e la pendenza di ciascun ramo.
5. Per \(y = \frac{1}{x-2}\), spiegare come è stato trasformato il grafico di \(y = \frac{1}{x}\).

1.3 Idea intuitiva di limiteIn molte situazioni, il valore di una funzione in un punto è meno importante dei valori che assume vicino a quel punto. Il concetto di limite cattura questa idea.

Avvicinarsi a un valore

Immagina di camminare verso un muro. Ancor prima di toccarlo, ti avvicini sempre di più. Allo stesso modo, quando \(x\) si avvicina a un numero \(a\), i valori di \(f(x)\) possono avvicinarsi a un numero \(L\). Diciamo allora:

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L. \]

Ciò esprime l’idea che \(f(x)\) può essere avvicinato quanto vogliamo a \(L\), semplicemente portando \(x\) abbastanza vicino a \(a\).

Esempi

1. Per \(f(x) = 2x + 3\): Come \(x \to 1\), \(f(x) \to 5\).

2. Per \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\): Come \(x \to 0\), la funzione si avvicina a 1, anche se \(f(0)\) non è definito.

3. Per \(f(x) = \dfrac{1}{x}\): Come \(x \to 0^+\) (avvicinandosi da destra), \(f(x) \to +\infty\). Come \(x \to 0^-\) (avvicinandosi da sinistra), \(f(x) \to -\infty\). Poiché i comportamenti sinistro e destro differiscono, il limite a 0 non esiste.

Importanza dei limiti

• Ci permettono di definire funzioni nei punti in cui non sono originariamente definite.
• Catturano il comportamento in prossimità di discontinuità e singolarità.
• Costituiscono la base per i derivati ​​(tassi di variazione istantanei) e gli integrali (aree come limiti di somme).

Limiti unilaterali

A volte il comportamento di sinistra e di destra deve essere studiato separatamente:

\[ \lim_{x \to a^-} f(x), \quad \lim_{x \to a^+} f(x). \]

Se entrambi concordano, allora esiste il limite bilaterale.

Esercizi

1. Calcola \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - x)\).
2. Cos’è \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)? Usa l’intuizione dal grafico di \(\sin x\).
3. Valuta \(\lim_{x \to 0} |x|/x\). Esiste il limite bilaterale?
4. Trova \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\). Interpreta questo risultato in parole.5. Per \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\), cos’è \(\lim_{x \to 1} f(x)\)? Confronta con il valore di \(f(1)\).

1.4 Definizione formale dei limiti

L’idea intuitiva di limite può essere precisata utilizzando la definizione epsilon-delta. Questo ci fornisce un modo rigoroso per dire che \(f(x)\) si avvicina a un valore \(L\) quando \(x\) si avvicina a \(a\).

La definizione

Scriviamo

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

se vale la seguente condizione:

Per ogni \(\varepsilon > 0\) (non importa quanto piccolo), esiste un \(\delta > 0\) tale che ogni volta

\[ 0 < |x - a| < \delta, \]

ne consegue che

\[ |f(x) - L| < \varepsilon. \]

In parole: possiamo rendere \(f(x)\) il più vicino possibile a \(L\), a condizione che \(x\) sia abbastanza vicino a \(a\) (ma non uguale a \(a\)).

Esempio 1: funzione lineare

Per \(f(x) = 2x + 1\), mostra che \(\lim_{x \to 3} f(x) = 7\).

• Vogliamo \(|f(x) - 7| < \varepsilon\).
• Ma \(f(x) - 7 = 2x + 1 - 7 = 2(x - 3)\).
• Quindi \(|f(x) - 7| = 2|x - 3|\).
• Se scegliamo \(\delta = \varepsilon / 2\), ogni volta che \(|x - 3| < \delta\), avremo \(|f(x) - 7| < \varepsilon\). Ciò dimostra il limite.

Esempio 2: Funzione reciproca

Per \(f(x) = \frac{1}{x}\), considera \(\lim_{x \to 2} f(x) = \tfrac{1}{2}\).

• Vogliamo \(\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon\).
• Questa disuguaglianza richiede una manipolazione algebrica, ma può essere soddisfatta scegliendo \(\delta\) a seconda di \(\varepsilon\). Il processo è più complicato, ma il principio è lo stesso.

Perché è importante

• La definizione epsilon-delta garantisce che i limiti non siano vaghi o basati solo sull’intuizione.
• È il fondamento della continuità, delle derivate e degli integrali.
• Sebbene i principianti possano trovarlo astratto, lavorare con esempi semplici crea familiarità.

Esercizi

1. Utilizzando la definizione epsilon–delta, dimostrare che \(\lim_{x \to 4} (x+1) = 5\).2. Mostra che \(\lim_{x \to 0} 5x = 0\) utilizzando la definizione formale.
2. Spiega perché \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) non esiste.
3. Per \(f(x) = x^2\), mostra che \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4\).
4. Con parole tue, spiega il ruolo di \(\varepsilon\) e \(\delta\) nella definizione di un limite.

##1.5 Continuità

Una funzione è continua se il suo grafico può essere disegnato senza staccare la matita dal foglio. Più precisamente, la continuità garantisce che piccoli cambiamenti nell’input producano piccoli cambiamenti nell’output.

Definizione

Una funzione \(f\) è continua in un punto \(a\) se tre condizioni sono soddisfatte:

1. \(f(a)\) è definito.
2. \(\lim_{x \to a} f(x)\) esiste.
3. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

Se una funzione è continua in ogni punto di un intervallo, si dice che è continua in quell’intervallo.

Esempi

1. Funzioni polinomiali: funzioni come \(f(x) = x^2 + 3x - 5\) sono continue ovunque su \(\mathbb{R}\).

2. Funzioni razionali: \(f(x) = \frac{1}{x-1}\) è continuo ovunque tranne che in \(x = 1\), dove è indefinito.

3. Funzioni a tratti:

   \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1, \\ 2 & x = 1, \\ x+1 & x > 1, \end{cases} \]

   Questa funzione ha un “salto” in \(x = 1\), quindi non è continua lì.

Tipi di discontinuità

1. Discontinuità rimovibile: un “buco” nel grafico. Esempio: \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) in \(x=1\).
2. Discontinuità del salto: i limiti di sinistra e di destra sono diversi.
3. Discontinuità infinita: la funzione va a \(\pm\infty\) vicino a un punto, come con \(f(x) = 1/x\) vicino a \(x = 0\).

Il Teorema del Valore Intermedio

Se una funzione è continua su un intervallo \([a, b]\), allora per qualsiasi numero \(N\) compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\), esiste un \(c \in [a, b]\) tale che \(f(c) = N\).Questa proprietà è cruciale per dimostrare l’esistenza di radici e soluzioni alle equazioni.

Esercizi

1. Decidi se la funzione \(f(x) = |x|\) è continua in \(x = 0\).
2. Identificare i punti di discontinuità per \(f(x) = \frac{x+2}{x^2-1}\).
3. Spiega perché ogni funzione polinomiale è continua ovunque.
4. Fornisci un esempio di funzione con discontinuità di salto. Disegnane il grafico.
5. Utilizza il Teorema del Valore Intermedio per dimostrare che l’equazione \(x^3 + x - 1 = 0\) ha una soluzione compresa tra 0 e 1.

Capitolo 2. Derivati

2.1 Il derivato come tasso di cambiamento

La derivata è una delle idee centrali del calcolo infinitesimale. Misura il modo in cui una funzione cambia al variare del suo input, in altre parole, il tasso di variazione dell’output rispetto all’input.

Tasso medio di variazione

Per una funzione \(f(x)\), il tasso medio di variazione tra due punti \(x = a\) e \(x = b\) è

\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

Questa è la pendenza della linea secante che passa per i punti \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\).

Tasso di cambiamento istantaneo

Per misurare la velocità con cui \(f(x)\) cambia in un singolo punto, lasciamo che l’intervallo si riduca:

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]

Questo limite, se esiste, è chiamato derivata di \(f\) in \(a\). Geometricamente, è la pendenza della linea tangente al grafico di \(f\) nel punto \((a, f(a))\).

Notazione

• \(f'(x)\): notazione primaria.
• \(\dfrac{dy}{dx}\): notazione Leibniz, utilizzata quando \(y = f(x)\).
• \(Df(x)\): notazione dell’operatore.

Tutti questi simboli si riferiscono allo stesso concetto.

Esempi

1. Per \(f(x) = x^2\):

   \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = 2x. \]

   La pendenza della parabola in \(x\) è \(2x\).

2. Per \(f(x) = \sin x\):

   \[ f'(x) = \cos x. \]3. Per \(f(x) = c\) (una costante):

   \[ f'(x) = 0. \]

   Una funzione costante non cambia mai.

Interpretazione

• In fisica: se \(s(t)\) è la posizione, allora \(s'(t)\) è la velocità.
• In economia: se \(C(x)\) è il costo, allora \(C'(x)\) è il costo marginale.
• In biologia: se \(P(t)\) è la popolazione, allora \(P'(t)\) è il tasso di crescita.

Il derivato rende il “cambiamento” preciso in molti contesti.

Esercizi

1. Calcola \(f'(x)\) per \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\).
2. Trova la pendenza della linea tangente a \(f(x) = x^3\) in \(x = 2\).
3. Se \(s(t) = t^2 + 2t\) rappresenta la distanza in metri, qual è la velocità a \(t = 5\)?
4. Utilizzare la definizione del limite per calcolare la derivata di \(f(x) = \frac{1}{x}\).
5. Disegna il grafico di \(y = x^2\) e traccia la linea tangente in \(x = 1\).

2.2 Regole di differenziazione

Una volta definita la derivata, abbiamo bisogno di metodi efficienti per calcolarla. Le regole di differenziazione sono scorciatoie che ci evitano di applicare ripetutamente la definizione di limite.

La regola costante

Se \(f(x) = c\) dove \(c\) è una costante, allora

\[ f'(x) = 0. \]

La regola del potere

Per \(f(x) = x^n\) dove \(n\) è un numero reale,

\[ \frac{d}{dx} \big( x^n \big) = n x^{n-1}. \]

Esempi:

• \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).
• \(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4\).
• \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

La regola del multiplo costante

Se \(f(x) = c \cdot g(x)\), allora

\[ f'(x) = c \cdot g'(x). \]

Le regole di somma e differenza

• \((f + g)' = f' + g'\).
• \((f - g)' = f' - g'\).

La regola del prodotto

Per \(f(x)\) e \(g(x)\):

\[ (fg)' = f'g + fg'. \]

Esempio: Se \(f(x) = x^2\), \(g(x) = \sin x\):

\[ (fg)' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x). \]

La regola del quoziente

Per \(f(x)\) e \(g(x)\):

\[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g(x) \neq 0. \]

Esempio: Se \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x+1\):

\[\left(\frac{x^2}{x+1}\right)' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2}. \]

Derivatives of Common Functions

• \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\).
• \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\).
• \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\).
• \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0\).

Exercises

1. Differentiate \(f(x) = 7x^3 - 4x + 9\).
2. Use the product rule to find the derivative of \(f(x) = x^2 e^x\).
3. Apply the quotient rule to \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\).
4. Compute \(\frac{d}{dx}(\ln(x^2))\) using the chain of rules.
5. Show that the derivative of \(f(x) = \frac{1}{x}\) is \(-\frac{1}{x^2}\).

2.3 The Chain Rule

Often, functions are built by combining simpler functions together. To differentiate such composite functions, we use the chain rule.

The Rule

If \(y = f(g(x))\), then

\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x). \]

In words: differentiate the outer function, keep the inside unchanged, then multiply by the derivative of the inside.

Examples

1. Square of a linear function

   \[ y = (3x+2)^2 \]

   Outer function: \(f(u) = u^2\), inner function: \(g(x) = 3x+2\).

   \[ y' = 2(3x+2) \cdot 3 = 6(3x+2). \]

2. Exponential with quadratic inside

   \[ y = e^{x^2} \]

   Outer function: \(f(u) = e^u\), inner function: \(g(x) = x^2\).

   \[ y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}. \]

3. Logarithm with root inside

   \[ y = \ln(\sqrt{x}) \]

   Outer: \(f(u) = \ln u\), inner: \(g(x) = \sqrt{x}\).

   \[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x}. \]

Generalized Chain Rule

For multiple nested functions \(y = f(g(h(x)))\):

\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x). \]

Ciò si estende naturalmente alle composizioni più profonde.

Perché la regola della catena è importante- Gestisce quasi tutti i modelli del mondo reale in cui una quantità dipende indirettamente da un’altra.

• Collega il calcolo con la fisica (ad esempio, la velocità dipende dal tempo attraverso la posizione).
• È essenziale nella differenziazione implicita e negli argomenti avanzati.

Esercizi

1. Differenziare \(y = (5x^2 + 1)^3\).
2. Trova \(\frac{d}{dx}(\sin(3x))\).
3. Calcola \(\frac{d}{dx}(\ln(1+x^2))\).
4. Differenziare \(y = \cos^2(x)\).
5. Applicare la regola della catena generalizzata a \(y = e^{\sin(x^2)}\).

2.4 Differenziazione implicita

Non tutte le funzioni sono fornite nella forma \(y = f(x)\). A volte \(x\) e \(y\) sono correlati da un’equazione e risolvere esplicitamente per \(y\) è difficile o impossibile. In questi casi, usiamo la differenziazione implicita.

L’idea

Se un’equazione coinvolge sia \(x\) che \(y\), possiamo differenziare entrambi i lati rispetto a \(x\), trattando \(y\) come una funzione di \(x\). Ogni volta che differenziamo un termine che coinvolge \(y\), moltiplichiamo per \(\frac{dy}{dx}\).

Esempio 1: un cerchio

Equazione:

\[ x^2 + y^2 = 25 \]

Differenziare rispetto a \(x\):

\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0. \]

Risolvi per \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}. \]

Questo dà la pendenza della tangente alla circonferenza in ogni punto.

Esempio 2: un prodotto di variabili

Equazione:

\[ xy = 1 \]

Differenziare:

\[ x \frac{dy}{dx} + y = 0. \]

quindi,

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}. \]

Esempio 3: Relazione trigonometrica

Equazione:

\[ \sin(xy) = x \]

Differenziare:

\[ \cos(xy) \cdot \Big(y + x\frac{dy}{dx}\Big) = 1. \]

Risolvi per \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}. \]

Perché la differenziazione implicita è utile

• Molte curve importanti (cerchi, ellissi, iperboli) sono naturalmente definite implicitamente.
• Ci consente di differenziare le equazioni senza prima risolvere \(y\).- È un passo fondamentale in argomenti più avanzati come i tassi correlati e le equazioni differenziali.

Esercizi

1. Per la curva \(x^2 + xy + y^2 = 7\), trovare \(\frac{dy}{dx}\).
2. Differenziare \(\cos(x) + \cos(y) = 1\) in modo implicito.
3. Trova la pendenza della linea tangente a \(x^3 + y^3 = 9\) nel punto \((1, 2)\).
4. Dato \(x^2 + y^2 = 10\), calcola \(\frac{dy}{dx}\) quando \((x, y) = (1, 3)\).
5. Differenziare \(e^{xy} = x + y\) per trovare \(\frac{dy}{dx}\).

2.5 Derivati di ordine superiore

Finora abbiamo studiato la derivata prima, che misura la velocità di variazione di una funzione. Ma anche i derivati ​​stessi possono essere differenziati, dando origine a derivati ​​di ordine superiore.

Definizione

• La derivata seconda di \(f\) è la derivata della derivata:

  \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(f'(x)\right). \]

• Più in generale, la derivata \(n\)-esima è scritta come

  \[ f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x). \]

Esempi

1. \(f(x) = x^3\)

   • Derivata prima: \(f'(x) = 3x^2\).
   • Derivata seconda: \(f''(x) = 6x\).
   • Derivata terza: \(f^{(3)}(x) = 6\).
   • Derivata quarta: \(f^{(4)}(x) = 0\).

2. \(f(x) = \sin x\)

   • \(f'(x) = \cos x\).
   • \(f''(x) = -\sin x\).
   • \(f^{(3)}(x) = -\cos x\).
   • \(f^{(4)}(x) = \sin x\). Le derivate si ripetono in un ciclo di lunghezza 4.

3. \(f(x) = e^x\)

   • Ogni derivata è \(e^x\).

Applicazioni

• Concavità: il segno di \(f''(x)\) indica se il grafico di \(f\) è concavo verso l’alto (\(f'' > 0\)) o concavo verso il basso (\(f'' < 0\)).

• Punti di flesso: punti in cui cambia \(f''(x) = 0\) e la concavità.

• Movimento: in fisica, se \(s(t)\) è la posizione:

  • \(s'(t)\) = velocità,
  • \(s''(t)\) = accelerazione,
  • \(s^{(3)}(t)\) = jerk (velocità di variazione dell’accelerazione).

• Approssimazioni: le derivate di ordine superiore compaiono nelle serie di Taylor, utilizzate per approssimare le funzioni.### Esercizi

1. Calcola le prime quattro derivate di \(f(x) = \cos x\).
2. Trova \(f''(x)\) per \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\).
3. Per \(f(x) = e^{2x}\), mostra che \(f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}\).
4. Determinare gli intervalli in cui \(f(x) = x^3 - 3x\) è concavo verso l’alto e concavo verso il basso.
5. Se \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\), trova la velocità e l’accelerazione in \(t = 2\).

Capitolo 3. Applicazioni dei derivati

3.1 Tangenti e normali

Una delle prime applicazioni delle derivate è trovare le equazioni delle rette tangenti e normali a una curva. Queste linee catturano la geometria locale di una funzione in un dato punto.

Retta tangente

La linea tangente a una curva \(y = f(x)\) in un punto \((a, f(a))\) è la linea che “tocca” semplicemente il grafico in quel punto e ha la stessa pendenza della curva.

La pendenza della retta tangente è data dalla derivata:

\[ m_{\text{tangent}} = f'(a). \]

Pertanto, l’equazione della linea tangente in \((a, f(a))\) è

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a). \]

Linea normale

La retta normale è perpendicolare alla retta tangente nello stesso punto. La sua pendenza è il reciproco negativo della pendenza tangente:

\[ m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}. \]

Quindi l’equazione della retta normale è

\[ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} (x - a), \quad f'(a) \neq 0. \]

Esempi

1. \(f(x) = x^2\) a \(x = 1\).

   • \(f(1) = 1\), \(f'(x) = 2x\), quindi \(f'(1) = 2\).
   • Tangente: \(y - 1 = 2(x - 1)\) o \(y = 2x - 1\).
   • Normale: pendenza = \(-\tfrac{1}{2}\), quindi l’equazione è \(y - 1 = -\tfrac{1}{2}(x - 1)\).

2. \(f(x) = \sin x\) a \(x = \tfrac{\pi}{4}\).

   • \(f(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(f'(\tfrac{\pi}{4}) = \cos(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\).
   • Tangente: \(y - \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(x - \tfrac{\pi}{4})\).

Perché le tangenti e le normali sono importanti- Le tangenti approssimano localmente la curva (approssimazione lineare).

• Le normali sono utili in geometria, ottica (riflessione/rifrazione) e meccanica (direzioni della forza).
• Entrambi svolgono un ruolo negli studi di ottimizzazione e curvatura.

Esercizi

1. Trova le linee tangente e normale a \(y = x^3\) in \(x = 2\).
2. Determinare le linee tangente e normale a \(y = e^x\) in \(x = 0\).
3. Per \(y = \ln x\), calcolare la linea tangente in \(x = 1\).
4. Un cerchio è dato da \(x^2 + y^2 = 9\). Utilizza la differenziazione implicita per trovare la pendenza della tangente in \((0,3)\).
5. Disegna il grafico di \(y = \sqrt{x}\) e disegna le linee tangente e normale in \(x = 4\).

3.2 Tariffe correlate

In molti problemi del mondo reale, due o più quantità cambiano rispetto al tempo e i loro tassi di cambiamento sono collegati. I problemi relativi ai tassi correlati utilizzano i derivati ​​per descrivere queste relazioni.

Approccio generale

1. Identificare le variabili che dipendono dal tempo \(t\).
2. Scrivi un’equazione che metta in relazione le variabili.
3. Differenziare entrambi i lati rispetto a \(t\), applicando la regola della catena.
4. Sostituisci i valori noti nell’istante dato.
5. Risolvere per il tasso sconosciuto.

Esempio 1: cerchio in espansione

Un cerchio ha un raggio \(r\), che aumenta al ritmo di \(\frac{dr}{dt} = 2 \,\text{cm/s}\). Trova la velocità con cui l’area \(A = \pi r^2\) aumenta quando \(r = 5\).

Differenziare:

\[ \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}. \]

Sostituisci:

\[ \frac{dA}{dt} = 2\pi (5)(2) = 20\pi \,\text{cm}^2/\text{s}. \]

Esempio 2: scala scorrevole

Una scala di 10 piedi è appoggiata a un muro. Il fondo scivola via a \(\frac{dx}{dt} = 1 \,\text{ft/s}\). Quanto velocemente la parte superiore scivola verso il basso quando la parte inferiore è a 6 piedi dal muro?

Equazione: \(x^2 + y^2 = 100\), dove \(y\) è l’altezza.

Differenziare:

\[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0. \]A \(x = 6\), \(y = 8\). Sostituisci:

\[ 2(6)(1) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt} = -\tfrac{6}{8} = -\tfrac{3}{4}. \]

Quindi la parte superiore scorre verso il basso in \(0.75 \,\text{ft/s}\).

Esempio 3: Acqua in un cono

Si versa l’acqua in un cono di altezza 12 cm e raggio 6 cm. Quando l’acqua è profonda 4 cm, il livello dell’acqua aumenta a \(2 \,\text{cm/s}\). A che ritmo aumenta il volume?

Equazione: \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\). Utilizzando la somiglianza, \(r = \tfrac{h}{2}\). Sostituendo:

\[ V = \tfrac{1}{12}\pi h^3. \]

Differenziare:

\[ \frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi h^2 \frac{dh}{dt}. \]

A \(h = 4\), \(\frac{dh}{dt} = 2\):

\[ \frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi (16)(2) = 8\pi \,\text{cm}^3/\text{s}. \]

Perché le tariffe correlate sono importanti

• Descrivono il movimento e il cambiamento in fisica, ingegneria e biologia.
• Connettono la geometria con il calcolo attraverso processi dipendenti dal tempo.
• Ci addestrano a modellare matematicamente i sistemi dinamici.

Esercizi

1. Un palloncino viene gonfiato in modo che il suo raggio aumenti a \(0.5 \,\text{cm/s}\). Trova quanto velocemente aumenta il suo volume quando il raggio è 10 cm.
2. Un’auto guida verso nord a 40 km/h e un’altra verso est a 30 km/h. Quanto velocemente aumenta la distanza tra loro 2 ore dopo?
3. Un faretto a 20 m da un muro illumina un uomo alto 2 m che si allontana a 1,5 m/s. Quanto velocemente cambia la lunghezza della sua ombra sul muro quando si trova a 5 m dalla luce?
4. La lunghezza del lato di un cubo cresce di 2 cm/s. Quanto velocemente aumenta la superficie quando il lato è 3 cm?
5. Si versa la sabbia su un mucchio formando un cono di raggio sempre uguale all’altezza. Se l’altezza aumenta a 5 cm/s, a quale velocità aumenta il volume quando l’altezza è 10 cm?

3.3 Problemi di ottimizzazioneI problemi di ottimizzazione utilizzano le derivate per trovare i valori massimi o minimi di una funzione, spesso sotto determinati vincoli. Questi problemi modellano situazioni in cui vogliamo massimizzare l’efficienza, il profitto o l’area o minimizzare i costi, la distanza o il tempo.

Passaggi generali

1. Comprendere il problema: identificare la quantità da ottimizzare.
2. Modello con una funzione: Scrivi la funzione obiettivo in termini di una variabile.
3. Applicare vincoli: utilizzare determinate condizioni per ridurre le variabili.
4. Differenziare: calcolare la derivata della funzione obiettivo.
5. Trova i punti critici: risolvi \(f'(x) = 0\) o dove \(f'(x)\) non è definito.
6. Test per i massimi/minimi: utilizzare il test della derivata seconda o verificare gli endpoint.
7. Interpreta il risultato: formula la risposta nel contesto originale.

Esempio 1: area massima di un rettangolo

Un rettangolo ha perimetro 40. Quali dimensioni massimizzano la sua area?

• Sia la lunghezza \(x\), la larghezza \(y\). Vincolo: \(2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 - x\).
• Area: \(A = xy = x(20 - x) = 20x - x^2\).
• Derivato: \(A'(x) = 20 - 2x\). Imposta uguale a 0: \(x = 10\).
• Quindi \(y = 10\).
• Area massima: \(100\). Il rettangolo è un quadrato.

Esempio 2: minimizzare la distanza

Trova il punto sulla parabola \(y = x^2\) più vicino a \((0,3)\).

• Distanza al quadrato: \(D(x) = (x-0)^2 + (x^2 - 3)^2\).
• Espandi: \(D(x) = x^2 + (x^2 - 3)^2 = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9\).
• Derivato: \(D'(x) = 4x^3 - 10x\). Risolvi: \(x(4x^2 - 10) = 0\).
• Soluzioni: \(x = 0\), \(x = \pm \sqrt{2.5}\).
• Il controllo fornisce la distanza minima a \(x = \pm \sqrt{2.5}\).

Esempio 3: Scatola con volume massimo

Una scatola senza coperchio deve essere realizzata con un pezzo di cartone quadrato di 20 cm di lato ritagliando quadrati uguali dagli angoli e ripiegando i lati. Trova la dimensione del taglio che massimizza il volume.- Lascia che la dimensione del taglio sia = \(x\). Quindi dimensioni: \((20 - 2x) \times (20 - 2x) \times x\). - Volume: \(V(x) = x(20 - 2x)^2\). - Derivato: \(V'(x) = (20 - 2x)(20 - 6x)\). - Punti critici: \(x = 10\) (riduce il volume a zero) o \(x = \tfrac{20}{6} \approx 3.33\). - A \(x \approx 3.33\), il volume è massimizzato.

Perché l’ottimizzazione è importante

• Gli ingegneri lo usano per progettare strutture efficienti.
• Le aziende lo utilizzano per massimizzare i profitti o minimizzare i costi.
• Gli scienziati lo usano per modellare i sistemi naturali che cercano l’equilibrio.

Esercizi

1. Un agricoltore ha 100 m di recinzione per recintare un campo rettangolare lungo un fiume (quindi solo 3 lati necessitano di recinzione). Trova l’area che massimizza le dimensioni.
2. Trova due numeri positivi la cui somma sia 20 e il cui prodotto sia il più grande possibile.
3. Un cilindro deve essere realizzato con 100 cm\(^2\) di materiale. Trova le dimensioni del volume massimo.
4. Un filo lungo 10 m viene tagliato in due pezzi, uno piegato a forma di quadrato, l’altro a forma di cerchio. Come dovrebbe essere tagliato per massimizzare l’area totale racchiusa?
5. Si dovrà realizzare una scatola chiusa a base quadrata e volume 32 m\(^3\). Trova le dimensioni che minimizzano la superficie.

3.4 Concavità e punti di flesso

I derivati non ci parlano solo delle pendenze ma anche della forma di un grafico. La derivata seconda è particolarmente utile per comprendere la concavità e identificare i punti di flesso.

Concavità

• Una funzione \(f(x)\) è concava su un intervallo se \(f''(x) > 0\). Il grafico si piega verso l’alto, come una tazza.

• Una funzione \(f(x)\) è concava su un intervallo se \(f''(x) < 0\). Il grafico si piega verso il basso, come un cipiglio.

La concavità descrive come cambia la pendenza di una funzione: se le pendenze aumentano, il grafico è concavo verso l’alto; se le pendenze sono decrescenti il ​​grafico è concavo verso il basso.

Punti di flessoUn punto di flesso è un punto sul grafico in cui cambia la concavità.

• Se \(f''(x) = 0\) o \(f''(x)\) non è definito, il punto è un candidato per un punto di flesso.
• Per confermare, la concavità deve cambiare segno da una parte e dall’altra della punta.

Esempi

1. \(f(x) = x^3\)

   • \(f''(x) = 6x\).
   • A \(x = 0\), \(f''(0) = 0\).
   • Per \(x < 0\), \(f''(x) < 0\) → concavo verso il basso.
   • Per \(x > 0\), \(f''(x) > 0\) → concavo verso l’alto.
   • Pertanto, \((0,0)\) è un punto di flesso.

2. \(f(x) = x^4\)

   • \(f''(x) = 12x^2\).
   • A \(x = 0\), \(f''(0) = 0\), ma la concavità non cambia segno (sempre ≥ 0).
   • Nessun punto di flesso.

Schizzi di concavità e curve

• Se \(f'(x) = 0\) e \(f''(x) > 0\), allora \(f\) ha un minimo locale.
• Se \(f'(x) = 0\) e \(f''(x) < 0\), allora \(f\) ha un massimo locale.
• Questo è noto come test della derivata seconda.

Perché è importante

La concavità e i punti di flesso ci aiutano a comprendere la “forma” dei grafici: dove si piegano, si appiattiscono o girano. Queste idee sono centrali nel disegno delle curve, nella fisica (accelerazione) e nell’economia (rendimenti decrescenti).

Esercizi

1. Determinare gli intervalli di concavità per \(f(x) = x^3 - 3x\). Trova i suoi punti di flesso.
2. Per \(f(x) = \ln(x)\), identificare la concavità e i possibili punti di flesso.
3. Applicare il test della derivata seconda a \(f(x) = x^2 e^{-x}\) per classificare i punti critici.
4. Disegna \(f(x) = \sin x\), segnando gli intervalli di concavità e i punti di flesso.
5. Spiega perché \(f(x) = e^x\) non ha punti di flesso.

3.5 Schizzo di curve

Lo sketch di curve è il processo di disegno del grafico di una funzione utilizzando le informazioni delle sue derivate. Invece di tracciare molti punti, analizziamo le caratteristiche chiave: intercetta, asintoti, intervalli crescenti/diminuenti e concavità.

Passaggi per il disegno di curve1. Dominio: identifica dove è definita la funzione.

2. Intercette: trova il punto in cui il grafico incrocia gli assi.

3. Asintoti:

   • Gli asintoti verticali si verificano dove la funzione non è definita e tende all’infinito.
   • Gli asintoti orizzontali o inclinati descrivono il comportamento finale come \(x \to \pm\infty\).

4. Derivata prima \(f'(x)\):

   • Positivo → la funzione è in aumento.
   • Negativo → la funzione diminuisce.
   • Zeri di \(f'(x)\) → punti critici (possibili massimi/minimi).

5. Derivata seconda \(f''(x)\):

   • Positivo → concavo verso l’alto.
   • Negativo → concavo verso il basso.
   • Zeri o indefiniti → possibili punti di flesso.

6. Combina le informazioni: utilizza tutti i risultati per tracciare un grafico chiaro e accurato.

Esempio 1: \(f(x) = x^3 - 3x\)

• Dominio: tutti i numeri reali.

• Intercettazioni: a \((0,0)\).

• Derivato: \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\).

  • Crescente: \((-\infty, -1) \cup (1, \infty)\).
  • Decrescente: \((-1, 1)\).

• Derivata seconda: \(f''(x) = 6x\).

  • Concavo verso il basso per \(x < 0\), concavo verso l’alto per \(x > 0\).
  • Punto di flesso in \((0,0)\).

• Forma: una curva a S con massimo locale in \((-1, 2)\), minimo locale in \((1, -2)\).

Esempio 2: \(f(x) = \frac{1}{x}\)

• Dominio: \(x \neq 0\).

• Asintoto verticale: \(x = 0\).

• Asintoto orizzontale: \(y = 0\).

• Derivato: \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) (sempre negativo). La funzione è sempre decrescente.

• Derivata seconda: \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\).

  • Concavo per \(x > 0\).
  • Concavo verso il basso per \(x < 0\).

• Grafico: iperbole con due rami.

Perché è utile il disegno di curve

• Fornisce informazioni dettagliate sul comportamento generale delle funzioni senza calcoli esaustivi.
• Indispensabile negli esami di calcolo infinitesimale e nei problemi applicativi.
• Collega l’analisi algebrica e la comprensione geometrica.

Esercizi

1. Disegna la curva di \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Identificare massimi, minimi e punti di flesso.2. Analizza e disegna \(f(x) = \ln(x)\). Mostra intercetta, asintoti e concavità.
2. Per \(f(x) = e^{-x}\), descrivere crescita/decadimento, asintoti e concavità.
3. Disegna il grafico di \(f(x) = \tan x\) sull’intervallo \((- \pi, \pi)\). Segna gli asintoti.
4. Utilizzare i test della derivata prima e seconda per classificare i punti critici di \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\).

Parte II. Integrali

Capitolo 4. Antiderivative e integrali definiti

4.1 Integrali indefiniti

Un integrale indefinito è il processo inverso di differenziazione. Se una derivata misura il cambiamento, allora un integrale recupera la funzione originale dal suo tasso di cambiamento.

Definizione

Se \(F'(x) = f(x)\), allora

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C, \]

dove \(C\) è la costante di integrazione.

Ogni integrale indefinito rappresenta una famiglia di funzioni che differiscono solo per una costante, poiché la differenziazione elimina le costanti.

Regole di base

1. Regola costante

\[ \int c\,dx = cx + C. \]

2. Regola del potere

\[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1. \]

3. Regola della somma

\[ \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx. \]

4. Regola multipla costante

\[ \int c f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx. \]

Integrali comuni

• \(\int e^x dx = e^x + C\)
• \(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
• \(\int \cos x dx = \sin x + C\)
• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)

Esempi

1. \(\int (3x^2 - 4)\,dx = x^3 - 4x + C\).

2. \(\int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x) + C\).

3. \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\).

Interpretazione

• Gli integrali indefiniti sono antiderivative.
• Sono la base per gli integrali definiti, che misurano quantità accumulate come area, distanza e massa.
• Nei contesti applicativi, l’integrazione ci consente di passare dai tassi ai totali.

Esercizi

1. Trova \(\int (5x^4 + 2x)\,dx\).2. Calcola \(\int (e^x + 3)\,dx\).
2. Trova la soluzione generale di \(f'(x) = 6x\) utilizzando l’integrazione.
3. Valuta \(\int \frac{2}{x}\,dx\).
4. Se la velocità è \(v(t) = 4t\), trovare la funzione di posizione \(s(t)\).

4.2 L’integrale definito come area

Mentre gli integrali indefiniti rappresentano famiglie di antiderivative, l’integrale definito fornisce un valore numerico: l’area accumulata sotto una curva tra due punti.

Definizione

Per una funzione \(f(x)\) definita su \([a, b]\), l’integrale definito è

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^-) \,\Delta x, \]

dove l’intervallo \([a, b]\) è diviso in \(n\) sottointervalli di larghezza \(\Delta x\) e \(x_i^-\) è un punto campione in ciascun sottointervallo.

Questo è il limite delle somme di Riemann.

Interpretazione geometrica

• Se \(f(x) \geq 0\) su \([a, b]\), allora \(\int_a^b f(x)\,dx\) è uguale all’area sotto la curva \(y = f(x)\) da \(x=a\) a \(x=b\).
• Se \(f(x)\) scende al di sotto dell’asse \(x\), l’integrale calcola l’area con segno: le regioni sotto l’asse contano come negative.

Proprietà dell’integrale definito

1. Additività negli intervalli

\[ \int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx. \]

2. Inversione dei limiti

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]

3. Intervallo di larghezza zero

\[ \int_a^a f(x)\,dx = 0. \]

4. Linearità

\[ \int_a^b \big( cf(x) + g(x)\big)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx. \]

Esempi

1. \(\int_0^2 x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^2 = 2.\) Questa è l’area di un triangolo rettangolo sotto la linea \(y=x\).

2. \(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\) La funzione dispari \(x^3\) ha aree simmetriche che si annullano.

3. \(\int_0^\pi \sin x\,dx = 2.\) Ciò equivale all’area sotto un arco della curva sinusoidale.

Perché è importante

• Gli integrali definiti misurano quantità accumulate: distanza, massa, energia, probabilità.- Collegano il calcolo algebrico con l’intuizione geometrica.
• Il passo successivo è il Teorema Fondamentale del Calcolo infinitesimale, che collega gli integrali definiti con le antiderivative.

Esercizi

1. Calcola \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\).
2. Trova l’area tra \(y = x^2\) e l’asse \(x\) da \(x = 0\) a \(x = 2\).
3. Valuta \(\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\,dx\).
4. Mostra che \(\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0\) se \(f(x)\) è dispari.
5. Approssima \(\int_0^1 e^x\,dx\) utilizzando una somma di Riemann con sottointervalli \(n=4\) ed estremi destri.

4.3 Il Teorema Fondamentale del Calcolo

Il Teorema Fondamentale del Calcolo (FTC) unisce le due idee principali del calcolo: differenziazione e integrazione. Dimostra che individuare le aree e individuare i tassi di cambiamento sono due facce della stessa medaglia.

Parte 1: Differenziazione di un integrale

Se \(f\) è continuo su \([a, b]\), definire

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt. \]

Quindi \(F\) è differenziabile e

\[ F'(x) = f(x). \]

In parole: la derivata della funzione area accumulata è la funzione originaria stessa.

Parte 2: Valutazione degli integrali definiti

Se \(f\) è continuo su \([a, b]\) e \(F\) è un qualsiasi antiderivativo di \(f\), allora

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \]

Questo ci dice che possiamo valutare gli integrali definiti semplicemente trovando una antiderivativa, piuttosto che calcolando i limiti delle somme di Riemann.

Esempi

1. \(\int_0^2 x^2\,dx\).

   • Antiderivativa: \(F(x) = \tfrac{1}{3}x^3\).
   • Applica FTC: \(F(2) - F(0) = \tfrac{8}{3} - 0 = \tfrac{8}{3}.\)

2. Se \(F(x) = \int_1^x \cos t \, dt\), allora \(F'(x) = \cos x\).

3. \(\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx\).

   • Antiderivativa: \(\ln|x|\).
   • Applica FTC: \(\ln 4 - \ln 1 = \ln 4.\)

Perché la FTC è importante

• Trasforma l’integrazione da un processo limite in un calcolo pratico.- Si conferma che differenziazione e integrazione sono operazioni inverse.
• È il teorema centrale che rende il calcolo infinitesimale utile in matematica, scienze e ingegneria.

Esercizi

1. Valuta \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\) utilizzando la FTC.
2. Se \(F(x) = \int_0^x e^t\,dt\), trova \(F'(x)\).
3. Calcola \(\int_0^\pi \sin x \, dx\).
4. Mostra che se \(f'(x) = g(x)\), allora \(\int_a^b g(x)\,dx = f(b) - f(a)\).
5. Utilizzare la FTC per spiegare perché l’area sotto \(y = \cos x\) da \(0\) a \(\pi/2\) è uguale a 1.

4.4 Proprietà degli integrali

L’integrale definito ha diverse proprietà importanti che lo rendono flessibile e potente nelle applicazioni. Queste proprietà derivano dalla definizione di limite di somme e dal Teorema Fondamentale dell’Calcolo.

Linearità

Per le funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) e costanti \(c, d\):

\[ \int_a^b \big(c f(x) + d g(x)\big)\,dx = c \int_a^b f(x)\,dx + d \int_a^b g(x)\,dx. \]

Ciò ci consente di scomporre gli integrali complicati in parti più semplici.

Additività negli intervalli

Se \(a < c < b\), allora

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx. \]

Possiamo calcolare gli integrali pezzo per pezzo.

Inversione dei limiti

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]

Scambiando i limiti si cambia il segno dell’integrale.

Proprietà di confronto

Se \(f(x) \leq g(x)\) per tutti \(x\) in \([a, b]\), allora

\[ \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx. \]

Ciò ci consente di confrontare le aree senza calcolo diretto.

Disuguaglianza dei valori assoluti

\[ \left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx. \]

Questa proprietà è essenziale nelle analisi e nei test di convergenza.

Simmetria

• Se \(f(x)\) è pari (simmetrico rispetto all’asse \(y\)):

  \[ \int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]

• Se \(f(x)\) è dispari (simmetrico rispetto all’origine):

  \[ \int_{-a}^a f(x)\,dx = 0. \]### Esempi

1. \(\int_0^2 (3x^2 + 4)\,dx = \int_0^2 3x^2\,dx + \int_0^2 4\,dx = 8 + 8 = 16.\)

2. Poiché \(f(x) = x^3\) è dispari, \(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\)

3. Poiché \(f(x) = x^2\) è pari, \(\int_{-2}^2 x^2\,dx = 2\int_0^2 x^2\,dx = 2\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}.\)

Perché queste proprietà sono importanti

• Semplificano i calcoli.
• Rivelano caratteristiche geometriche e di simmetria delle funzioni.
• Forniscono strumenti teorici per analisi più avanzate.

Esercizi

1. Utilizza la simmetria per valutare \(\int_{-5}^5 (x^4 - x^3)\,dx\).
2. Mostra che \(\int_1^4 (2x+3)\,dx = \int_1^2 (2x+3)\,dx + \int_2^4 (2x+3)\,dx\).
3. Valuta \(\int_0^\pi \sin(x)\,dx\) e confronta con \(\int_{-\pi}^\pi \sin(x)\,dx\).
4. Dimostra che se \(f(x) \geq 0\) su \([a, b]\), allora \(\int_a^b f(x)\,dx \geq 0\).
5. Calcola \(\int_{-3}^3 (x^2 + 1)\,dx\) utilizzando le proprietà pari/dispari.

Capitolo 5. Tecniche di integrazione

5.1 Sostituzione

Una delle tecniche di integrazione più utili è il metodo di sostituzione, chiamato anche -u-substitution-. È il processo inverso della regola della catena per i derivati.

L’idea

Se un integrale contiene una funzione composta, possiamo semplificarla modificando le variabili.

Formalmente, se \(u = g(x)\) è una funzione differenziabile, allora

\[ \int f(g(x)) g'(x)\,dx = \int f(u)\,du. \]

Questa sostituzione rende l’integrale più facile da valutare.

Passaggi per la sostituzione

1. Identificare una funzione interna \(u = g(x)\) la cui derivata appare anche nell’integrando.
2. Calcola \(du = g'(x)\,dx\).
3. Riscrivere l’integrale in termini di \(u\).
4. Integra rispetto a \(u\).
5. Sostituisci con \(u = g(x)\).

Esempi

1. Sostituzione semplice

   \[ \int 2x \cos(x^2)\,dx \]

   Sia \(u = x^2\), quindi \(du = 2x\,dx\). Quindi l’integrale diventa \(\int \cos u \,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C\).

2. Caso logaritmico

   \[\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx \]

   Let \(u = x^2 + 1\), so \(du = 2x\,dx\). Then integral becomes \(\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C\).

3. Trigonometric substitution

   \[ \int \sin(3x)\,dx \]

   Let \(u = 3x\), so \(du = 3\,dx\), hence \(dx = \frac{du}{3}\). Integral becomes \(\tfrac{1}{3}\int \sin u\,du = -\tfrac{1}{3}\cos u + C = -\tfrac{1}{3}\cos(3x) + C\).

Definite Integrals with Substitution

When evaluating definite integrals, we must also change the limits:

\[ \int_a^b f(g(x)) g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du. \]

Example:

\[ \int_0^1 2x e^{x^2}\,dx. \]

Let \(u = x^2\), \(du = 2x\,dx\). Limits: when \(x=0, u=0\); when \(x=1, u=1\). So the integral becomes

\[ \int_0^1 e^u\,du = e - 1. \]

Exercises

1. Evaluate \(\int (x^2+1)^5 (2x)\,dx\).
2. Compute \(\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx\).
3. Evaluate \(\int_0^\pi \sin(2x)\,dx\) using substitution.
4. Find \(\int e^{3x}\,dx\).
5. Compute \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\) by letting \(u = 1+x^2\).

5.2 Integration by Parts

Integration by parts is a technique that comes from the product rule for derivatives. It helps evaluate integrals involving products of functions that are not easily handled by substitution alone.

The Formula

From the product rule:

\[ \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). \]

Integrating both sides gives the integration by parts formula:

\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du. \]

Here:

• \(u\) = a function chosen to be differentiated,
• \(dv\) = the remaining part of the integrand to be integrated.

Choosing \(u\) and \(dv\)

A common guideline is LIATE (Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential).

• Choose \(u\) from the earliest category present.
• Choose \(dv\) as the rest.

Examples

1. Polynomial × Exponential

\[ \intxe^x\,dx \]Lascia che \(u = x\), \(dv = e^x dx\). Quindi \(du = dx\), \(v = e^x\).

\[ \int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C. \]

2. Polinomio × Trig

\[ \int x \cos x\,dx \]

Lascia che \(u = x\), \(dv = \cos x dx\). Quindi \(du = dx\), \(v = \sin x\).

\[ \int x \cos x\,dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. \]

3. Logaritmo

\[ \int \ln x\,dx \]

Lascia che \(u = \ln x\), \(dv = dx\). Quindi \(du = \frac{1}{x}dx\), \(v = x\).

\[ \int \ln x\,dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C. \]

Esempio di integrale definito

\[ \int_0^1 x e^x\,dx \]

Utilizzando il risultato precedente: \(\int x e^x dx = (x-1)e^x\). Valutare:

\[ \big[(x-1)e^x\big]_0^1 = (0)e^1 - (-1)e^0 = 0 + 1 = 1. \]

Perché è importante

L’integrazione per parti è cruciale quando la sostituzione fallisce, specialmente con logaritmi, funzioni trigonometriche inverse e prodotti che coinvolgono polinomi con esponenziali o funzioni trigonometriche.

Esercizi

1. Valuta \(\int x \sin x\,dx\).
2. Trova \(\int e^x \cos x\,dx\).
3. Calcola \(\int_1^2 \ln x\,dx\).
4. Valuta \(\int x^2 e^x\,dx\).
5. Utilizzare l’integrazione per parti per mostrare \(\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\).

5.3 Integrali trigonometrici e sostituzioni

Molti integrali coinvolgono funzioni trigonometriche. Questi possono spesso essere semplificati utilizzando le identità o effettuando sostituzioni speciali.

Integrali trigonometrici

1. Potenze di seno e coseno

• Se la potenza del seno è dispari: salva uno \(\sin x\), converti il resto con \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\) e sostituisci \(u = \cos x\).
• Se la potenza del coseno è dispari: salva uno \(\cos x\), converti il ​​resto con \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\) e sostituisci \(u = \sin x\).
• Se entrambi sono pari: utilizza identità a semiangolo.

Esempio:

\[ \int \sin^3x \cos x \, dx \]

Lascia che \(u = \sin x\), \(du = \cos x\,dx\):

\[ \int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \tfrac{\sin^4x}{4} + C.\]

2. Products of sine and cosine with different angles Use product-to-sum formulas:

\[ \sin A \cos B = \tfrac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]. \]

Example:

\[ \int \sin(2x)\cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{2}\int [\sin(5x) - \sin(x)]\,dx. \]

3. Powers of secant and tangent

• If the power of secant is even: save \(\sec^2x\), convert the rest with \(\sec^2x = 1 + \tan^2x\), and substitute \(u = \tan x\).
• If the power of tangent is odd: save \(\sec^2x\), convert the rest with \(\tan^2x = \sec^2x - 1\), and substitute \(u = \tan x\).

Example:

\[ \int \tan^3x \sec^2x \, dx \]

Let \(u = \tan x\), \(du = \sec^2x\,dx\):

\[ \int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \tfrac{\tan^4x}{4} + C. \]

Trigonometric Substitutions

For integrals involving \(\sqrt{a^2 - x^2}\), \(\sqrt{a^2 + x^2}\), or \(\sqrt{x^2 - a^2}\), use special substitutions:

1. \(x = a \sin \theta\), for \(\sqrt{a^2 - x^2}\).
2. \(x = a \tan \theta\), for \(\sqrt{a^2 + x^2}\).
3. \(x = a \sec \theta\), for \(\sqrt{x^2 - a^2}\).

Example:

\[ \int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \]

Let \(x = a\sin\theta\), so \(dx = a\cos\theta\,d\theta\):

\[ \int \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta}(a\cos\theta\,d\theta) = \int a^2 \cos^2\theta \, d\theta. \]

Semplificare utilizzando identità a mezzo angolo.

Perché queste tecniche sono importanti

• Convertono forme algebriche difficili in forme trigonometriche gestibili.
• Sono particolarmente utili nei problemi che coinvolgono aree, volumi e lunghezze d’arco.
• Gettano le basi per metodi di integrazione avanzati.

Esercizi

1. Valuta \(\int \sin^4x \cos^2x \, dx\).
2. Calcola \(\int \sin(5x)\cos(2x)\,dx\).
3. Valuta \(\int \tan^2x \sec^2x \, dx\).
4. Trova \(\int \sqrt{9 - x^2}\,dx\) utilizzando la sostituzione.
5. Mostra che \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C\) utilizzando \(x = a\tan\theta\).

5.4 Frazioni parzialiQuando si integrano funzioni razionali (rapporti di polinomi), un metodo potente è la scomposizione di frazioni parziali. Questa tecnica esprime una frazione complicata come somma di frazioni più semplici che sono più facili da integrare.

L’idea

Se \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) è una funzione razionale, dove il grado di \(P(x)\) è inferiore al grado di \(Q(x)\), possiamo scomporre \(R(x)\) in frazioni più semplici.

Questi pezzi più semplici corrispondono ai fattori del denominatore \(Q(x)\).

Forme comuni

1. Fattori lineari distinti Se

\[ \frac{1}{(x-a)(x-b)}, \]

quindi decomporre come

\[ \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}. \]

2. Fattori lineari ripetuti Se il denominatore ha \((x-a)^n\), i termini lo sono

\[ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x-a)^n}. \]

3. Fattori quadratici irriducibili Se il denominatore ha \((x^2+bx+c)\), il numeratore è lineare:

\[ \frac{Ax+B}{x^2+bx+c}. \]

Esempio 1: Fattori lineari distinti

\[ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx \]

Denominatore del fattore: \((x-1)(x+1)\). Decomporre:

\[ \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right). \]

Integra:

\[ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C. \]

Esempio 2: fattore lineare ripetuto

\[ \int \frac{1}{(x-1)^2}\,dx \]

Questo è già semplice:

\[ \int (x-1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x-1} + C. \]

Esempio 3: Fattore quadratico irriducibile

\[ \int \frac{x}{x^2+1}\,dx \]

Sostituisci \(u = x^2+1\) o riconosci che il numeratore è derivato del denominatore.

\[ \int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C. \]

Passaggi nella scomposizione parziale delle frazioni

1. Fattorizzare il denominatore.
2. Scrivi la forma generale delle frazioni parziali.
3. Moltiplicare per il denominatore per eliminare le frazioni.
4. Risolvere per costanti sconosciute.
5. Integra ogni termine.### Perché è importante

• Converte funzioni razionali complesse in semplici forme logaritmiche o arcotangenti.
• Particolarmente utile nelle equazioni differenziali e nelle trasformate di Laplace.
• Fondamentali nel calcolo avanzato e nell’ingegneria.

Esercizi

1. Scomporre e integrare \(\int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx\).
2. Valuta \(\int \frac{1}{x^2(x+1)}\,dx\).
3. Calcola \(\int \frac{2x+1}{x^2+2x+2}\,dx\).
4. Trova \(\int \frac{1}{x^3 - x}\,dx\).
5. Mostra che \(\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C\) utilizzando frazioni parziali o sostituzioni.

5.5 Integrali impropri

Alcuni integrali non possono essere valutati direttamente perché l’intervallo è infinito o l’integrando diventa illimitato. Questi sono detti integrali impropri. Sono definiti utilizzando i limiti.

Definizione

1. Intervallo infinito

\[ \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx. \]

\[ \int_{-\infty}^a f(x)\,dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^a f(x)\,dx. \]

2. Integrando illimitato Se \(f(x)\) ha un asintoto verticale in \(c\), allora

\[ \int_a^c f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)\,dx, \]

\[ \int_c^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x)\,dx. \]

Convergenza e divergenza

• Se il limite esiste ed è finito, l’integrale improprio converge.
• Se il limite non esiste o è infinito, l’integrale improprio diverge.

Esempi

1. Decadimento esponenziale

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \Big[-\tfrac{1}{x}\Big]_1^b = 1. \]

Questo converge.

2. Funzione armonica

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \ln b. \]

Questo diverge all’infinito.

3. Asintoto a 0

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx. \]

\[ = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1 = 2. \]

Questo converge.

4. Asintoto a 0 (divergente)

\[\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \ln(1) - \ln(t). \]

This diverges since \(\ln(t) \to -\infty\).

Comparison Test for Improper Integrals

• If \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) for large \(x\), and \(\int g(x)\,dx\) converges, then \(\int f(x)\,dx\) also converges.
• If \(\int f(x)\,dx\) diverges and \(f(x) \geq g(x) \geq 0\), then \(\int g(x)\,dx\) also diverges.

Why Improper Integrals Matter

• They extend integration to infinite domains and unbounded functions.
• They are essential in probability (continuous distributions), physics (gravitational/electric fields), and Fourier analysis.

Exercises

1. Determine whether \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx\) converges for various values of \(p\).
2. Evaluate \(\int_0^\infty e^{-x}\,dx\).
3. Test convergence of \(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx\) depending on \(p\).
4. Compute \(\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx\).
5. Use the comparison test to show that \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}\,dx\) converges.

Chapter 6. Applications of Integration

6.1 Areas and Volumes

One of the most important applications of integration is finding areas under curves and volumes of solids.

Area Between Curves

If \(f(x) \geq g(x)\) on \([a, b]\), then the area between the curves \(y=f(x)\) and \(y=g(x)\) is

\[ A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx. \]

Example: Find the area between \(y=x^2\) and \(y=x\) on \([0,1]\).

\[ A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \sinistra[\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \tfrac{1}{6}. \]

Volumes by Slicing

If a solid has cross-sectional area \(A(x)\) at position \(x\), then the volume is

\[ V = \int_a^b A(x)\,dx. \]

Volumi della Rivoluzione

Quando una regione viene ruotata attorno a un asse, il volume del solido risultante può essere trovato con l’integrazione.

1. Metodo del discoSe la regione in \(y=f(x)\), \(x\in[a,b]\), ruota attorno all’asse \(x\):

\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx. \]

2. Metodo della rondella Se la regione tra \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) ruota attorno all’asse \(x\):

\[ V = \pi \int_a^b \Big([f(x)]^2 - [g(x)]^2\Big)\,dx. \]

3. Metodo della shell Se la regione in \(y=f(x)\) ruota attorno all’asse \(y\):

\[ V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx. \]

Esempi

1. Metodo del disco Ruota \(y=\sqrt{x}\), \(0 \leq x \leq 4\), attorno all’asse \(x\):

\[ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^4 = 8\pi. \]

2. Metodo della rondella Ruota la regione tra \(y=\sqrt{x}\) e \(y=1\), \(0 \leq x \leq 1\), attorno all’asse \(x\):

\[ V = \pi \int_0^1 \big((\sqrt{x})^2 - (1)^2\big)\,dx = \pi \int_0^1 (x-1)\,dx = -\tfrac{\pi}{2}. \]

(Prendi il valore assoluto per il volume: \(V = \tfrac{\pi}{2}\)).

3. Metodo della shell Ruota la regione sotto \(y=x\), \(0 \leq x \leq 1\), attorno all’asse \(y\):

\[ V = 2\pi \int_0^1 x(x)\,dx = 2\pi \int_0^1 x^2\,dx = 2\pi \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2\pi}{3}. \]

Perché è importante

• Fornisce modi esatti per calcolare aree e volumi in geometria.
• Essenziale in fisica, ingegneria e probabilità.
• Introduce il pensiero geometrico con l’integrazione.

Esercizi

1. Trova l’area tra \(y=\cos x\) e \(y=\sin x\) su \([0, \pi/2]\).
2. Calcolare il volume del solido formato ruotando \(y=x^2\), \(0 \leq x \leq 1\), attorno all’asse \(x\).
3. Trova il volume del solido formato ruotando la regione tra \(y=x\) e \(y=\sqrt{x}\) su \([0,1]\) attorno all’asse \(y\).
4. Utilizzare il metodo della rondella per calcolare il volume del solido formato ruotando \(y=\sqrt{1-x^2}\) (un semicerchio) attorno all’asse \(x\).
5. Trova l’area racchiusa tra \(y=x^2+1\) e \(y=3x\).

6.2 Lunghezza dell’arco e area della superficieL’integrazione può essere utilizzata anche per misurare la lunghezza delle curve e l’area superficiale dei solidi generati dalle curve rotanti.

Lunghezza dell’arco

Per una curva uniforme \(y=f(x)\) nell’intervallo \([a,b]\), la lunghezza della curva è

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

Ciò deriva dall’approssimazione della curva con segmenti di linea e dal calcolo del limite.

Esempio: Trova la lunghezza di \(y=\tfrac{1}{2}x^{3/2}\) da \(x=0\) a \(x=4\).

• Derivato: \(f'(x) = \tfrac{3}{4}\sqrt{x}\). -Formula:

\[ L = \int_0^4 \sqrt{1 + \Big(\tfrac{3}{4}\sqrt{x}\Big)^2}\,dx = \int_0^4 \sqrt{1 + \tfrac{9}{16}x}\,dx. \]

Questo integrale può essere valutato utilizzando la sostituzione.

Area superficiale di rivoluzione

Se una curva \(y=f(x)\), \(a \leq x \leq b\), viene fatta ruotare attorno all’asse \(x\), l’area della superficie del solido risultante è

\[ S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

Se ruotato attorno all’asse \(y\):

\[ S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

Esempi

1. Lunghezza dell’arco di una linea Per \(y=x\), \(0 \leq x \leq 3\):

\[ L = \int_0^3 \sqrt{1+(1)^2}\,dx = \int_0^3 \sqrt{2}\,dx = 3\sqrt{2}. \]

2. Area superficiale di una sfera Prendi \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\), \(-r \leq x \leq r\) e ruota attorno all’asse \(x\).

\[ S = 2\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\,dx. \]

La semplificazione fornisce \(S = 4\pi r^2\), la formula familiare per la superficie di una sfera.

Perché è importante

• La lunghezza dell’arco estende l’idea di distanza ai percorsi curvi.
• L’area superficiale di rivoluzione ha applicazioni in fisica, ingegneria e design.
• Fornisce un ponte tra calcolo e geometria.

Esercizi

1. Trova la lunghezza dell’arco di \(y=\sqrt{x}\) da \(x=0\) a \(x=4\).2. Calcola la superficie del solido ottenuto ruotando \(y=x^2\), \(0 \leq x \leq 1\), attorno all’asse \(x\).
2. Trova la lunghezza dell’arco di \(y=\ln(\cosh x)\) da \(x=0\) a \(x=1\).
3. Dimostra che ruotando \(y=\sqrt{r^2 - x^2}\) da \(0\) a \(r\) attorno all’asse \(x\) si ottiene metà della superficie di una sfera.
4. Deriva la formula per la superficie di un cono ruotando una linea.

6.3 Lavoro e medie

L’integrazione non si limita alla geometria. Aiuta anche a calcolare il lavoro svolto da una forza e il valore medio di una funzione in un intervallo.

Lavoro

Se una forza variabile \(F(x)\) sposta un oggetto lungo una linea retta da \(x=a\) a \(x=b\), il lavoro totale è

\[ W = \int_a^b F(x)\,dx. \]

Questa formula generalizza il caso semplice \(W = F \cdot d\) per forza costante.

Esempio 1: Forza elastica (Legge di Hooke) Per una molla allungata dalla lunghezza \(a\) a \(b\), con forza \(F(x) = kx\):

\[ W = \int_a^b kx\,dx = \tfrac{1}{2}k(b^2-a^2). \]

Esempio 2: pompaggio dell’acqua Se l’acqua viene pompata da un serbatoio, il lavoro richiesto è uguale

\[ W = \int_a^b \text{(weight density)} \times \text{(cross-sectional area)} \times \text{(distance lifted)} \, dx. \]

Valore medio di una funzione

Il valore medio di una funzione continua \(f(x)\) su \([a,b]\) è

\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx. \]

Questo è l’analogo continuo della media di un elenco di numeri.

Esempio 1: Per \(f(x)=x^2\) su \([0,2]\):

\[ f_{\text{avg}} = \tfrac{1}{2-0}\int_0^2 x^2 dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}. \]

Esempio 2: Se la velocità di una particella è \(v(t)\), la velocità media su \([a,b]\) è

\[ v_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt. \]

Perché è importante

• Gli integrali del lavoro compaiono nei calcoli di fisica, ingegneria e energia.- Il valore medio fornisce un unico numero rappresentativo per quantità variabili.
• Entrambi collegano il calcolo infinitesimale ai problemi del mondo reale di movimento, forza ed efficienza.

Esercizi

1. Calcola il lavoro richiesto per allungare una molla da 2 m a 5 m se \(k=10\).
2. Un oggetto di 100 kg viene sollevato verticalmente per 5 m in un campo gravitazionale (\(g=9.8 \,\text{m/s}^2\)). Esprimere il lavoro come integrale e valutare.
3. Trova il valore medio di \(f(x)=\sin x\) su \([0,\pi]\).
4. Calcola la temperatura media se \(T(t)=20+5\cos(\tfrac{\pi t}{12})\) nell’arco di 24 ore.
5. Un serbatoio profondo 10 m è pieno d’acqua. Calcola il lavoro richiesto per pompare tutta l’acqua verso l’alto, dato che l’acqua pesa \(9800 \,\text{N/m}^3\).

6.4 Densità di probabilità e distribuzioni continue

L’integrazione gioca un ruolo centrale anche nella teoria della probabilità, soprattutto per le variabili casuali continue. Invece di risultati discreti, descriviamo le probabilità con funzioni chiamate funzioni di densità di probabilità (pdf).

Funzioni di densità di probabilità

Una funzione di densità di probabilità \(f(x)\) deve soddisfare due condizioni:

1. \(f(x) \geq 0\) per tutti i \(x\).

2. L’area totale sotto la curva è 1:

   \[ \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1. \]

Se \(X\) è una variabile casuale continua con pdf \(f(x)\), allora la probabilità che \(X\) sia compresa tra \(a\) e \(b\) è

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx. \]

Funzione di distribuzione cumulativa

La funzione di distribuzione cumulativa (cdf) è definita come

\[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt. \]

Fornisce la probabilità che la variabile casuale sia inferiore o uguale a \(x\).

Valore atteso (media)

Il valore atteso di una variabile casuale continua è la media ponderata:

\[ E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\,dx. \]

Esempi

1. Distribuzione uniformePer \(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) su \([a,b]\):

• Probabilità dell’intervallo \([c,d]\):

  \[ P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}. \]

• Valore previsto: \(E[X] = \tfrac{a+b}{2}\).

2. Distribuzione esponenziale Per \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\), \(x \geq 0\):

• \(\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1\).
• Significa: \(E[X] = \tfrac{1}{\lambda}\).

3. Distribuzione normale La curva a campana:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}. \]

Si integra a 1, ma richiede tecniche avanzate.

Perché è importante

• Le densità di probabilità descrivono l’incertezza nella scienza, nell’ingegneria e nella statistica.
• Gli integrali collegano le aree sotto le curve alle probabilità.
• Le distribuzioni continue generalizzano l’idea di contare i risultati per misurare le probabilità su intervalli.

Esercizi

1. Mostra che la densità uniforme \(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) su \([a,b]\) si integra con 1.
2. Per la distribuzione esponenziale con \(\lambda = 2\), calcolare \(P(0 \leq X \leq 1)\).
3. Trova il valore previsto di \(X\) se \(f(x) = 3x^2\) su \([0,1]\).
4. Verifica che la distribuzione normale con media 0 e varianza 1 ha probabilità totale 1 (non è necessaria una prova completa, ma spiega perché vale).
5. Calcola il cdf della distribuzione uniforme su \([0,1]\).

Parte III. Calcolo multivariabile

Capitolo 7. Funzioni vettoriali e curve

7.1 Funzioni vettoriali e curve spaziali

Nel calcolo multivariabile, le funzioni possono restituire vettori anziché numeri. Queste sono chiamate funzioni a valori vettoriali e sono essenziali per descrivere le curve nello spazio.

Definizione

Una funzione vettoriale è una funzione della forma

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

dove \(x(t), y(t), z(t)\) sono funzioni a valori reali.

• L’input \(t\) è spesso chiamato parametro.- L’output è un vettore nello spazio 2D o 3D.
• Il grafico di una funzione vettoriale in 3D è una curva spaziale.

Esempi

1. Linea

\[ \mathbf{r}(t) = \langle 1+2t, \; 3-t, \; 4+5t \rangle. \]

Descrive una linea retta che passa per il punto \((1,3,4)\) con il vettore di direzione \(\langle 2,-1,5 \rangle\).

2. Cerchio nell’aereo

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 0 \rangle, \quad 0 \leq t < 2\pi. \]

3. Elica

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; t \rangle. \]

Questa è una spirale che sale attorno all’asse \(z\).

Limiti e continuità

Una funzione vettoriale è continua in \(t=a\) se ciascun componente \(x(t), y(t), z(t)\) è continuo in \(t=a\).

\[ \lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} x(t), \; \lim_{t \to a} y(t), \; \lim_{t \to a} z(t) \rangle. \]

Geometria delle curve spaziali

• Ogni curva ha una direzione tangente data dalla derivata.
• Le curve spaziali possono modellare percorsi di movimento, traiettorie di particelle e forme geometriche.

Perché è importante

Le funzioni vettoriali sono la base del calcolo multivariabile, consentendoci di estendere le idee di derivate e integrali a dimensioni più elevate. Appaiono naturalmente anche in fisica (movimento in 3D, elettromagnetismo, fluidodinamica).

Esercizi

1. Scrivi una funzione vettoriale per una linea passante per \((0,1,2)\) parallela al vettore \(\langle 3,-2,1 \rangle\).
2. Descrivi la curva data da \(\mathbf{r}(t) = \langle 2\cos t, \; 2\sin t, \; 3 \rangle\).
3. Determina se \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \; \ln t, \; t^2 \rangle\) è continuo in \(t=1\).
4. Disegna l’elica \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 2t \rangle\).
5. Trova il punto sulla curva \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \; t^2, \; t^3 \rangle\) quando \(t=2\).

7.2 Derivate e integrali di funzioni vettorialiLe funzioni vettoriali possono essere differenziate e integrate proprio come le funzioni ordinarie: applichiamo semplicemente l’operazione a ciascun componente. Ciò ci consente di studiare il movimento, la velocità, l’accelerazione e l’accumulo in dimensioni superiori.

Derivato di una funzione vettoriale

Se

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

allora

\[ \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle. \]

Questo vettore derivato punta nella direzione tangente alla curva nel parametro \(t\).

• Velocità: se \(\mathbf{r}(t)\) fornisce la posizione di una particella nel momento \(t\), allora \(\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)\) è il suo vettore di velocità.
• Velocità: la grandezza \(|\mathbf{v}(t)|\) è la velocità della particella.
• Accelerazione: \(\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t)\).

Esempi

1. Elica

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle. \]

• Velocità: \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• Velocità: \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
• Accelerazione: \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).

2. Movimento del proiettile

\[ \mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cdot t, \; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle. \]

Questo modella il percorso parabolico di un proiettile soggetto a gravità.

Integrale di una funzione vettoriale

Se

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

allora

\[ \int \mathbf{r}(t)\,dt = \left\langle \int x(t)\,dt, \; \int y(t)\,dt, \; \int z(t)\,dt \right\rangle + \mathbf{C}, \]

dove \(\mathbf{C}\) è un vettore costante.

Esempio

\[ \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle. \]

• Derivato: \(\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 2t, 3t^2 \rangle\).
• Integrale:

\[ \int \mathbf{r}(t)\,dt = \langle \tfrac{1}{2}t^2, \tfrac{1}{3}t^3, \tfrac{1}{4}t^4 \rangle + \mathbf{C}. \]

Perché è importante- Le derivate delle funzioni vettoriali descrivono il movimento e le forze nello spazio.

• Gli integrali danno spostamento, lavoro e quantità accumulate.
• Questi strumenti collegano il calcolo infinitesimale direttamente alla fisica e all’ingegneria.

Esercizi

1. Per \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\), trova velocità, velocità e accelerazione.
2. Calcola \(\mathbf{r}'(t)\) per \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \ln t, t^2 \rangle\).
3. Integra \(\mathbf{r}(t) = \langle 1, t, t^2 \rangle\).
4. Una particella ha velocità \(\mathbf{v}(t) = \langle t, 2, 0 \rangle\). Trova il suo vettore di posizione se \(\mathbf{r}(0) = \langle 1, 0, 0 \rangle\).
5. Mostra che la velocità di \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle\) è costante.

7.3 Lunghezza e curvatura dell’arco

Il calcolo vettoriale fornisce strumenti per misurare non solo il percorso tracciato da una curva ma anche la sua curvatura. Questi sono espressi attraverso la lunghezza dell’arco e la curvatura.

Lunghezza dell’arco di una curva spaziale

Se una curva è data da

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \quad a \leq t \leq b, \]

allora la lunghezza dell’arco è

\[ L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt, \]

dove

\[ |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}. \]

Esempio: Per l’elica \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle, \, 0 \leq t \leq 2\pi\):

• Velocità: \(\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• Velocità: \(|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
• Lunghezza dell’arco:

\[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2}\,dt = 2\pi\sqrt{2}. \]

Curvatura

La curvatura misura la velocità con cui una curva cambia direzione.

Per una curva morbida \(\mathbf{r}(t)\):

\[ \kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}. \]

• \(\kappa = 0\): linea retta.
• Più grande \(\kappa\): la curva si piega più bruscamente.

Esempio: Per un cerchio di raggio \(r\):\[ \mathbf{r}(t) = \langle r\cos t, r\sin t \rangle. \]

Quindi \(\kappa = \tfrac{1}{r}\). Quindi la curvatura è costante e inversamente proporzionale al raggio.

Unità tangenti e vettori normali

• Vettore tangente:

\[ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}. \]

• Vettore normale: punta verso il centro di curvatura, definito come

\[ \mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}. \]

Questi vettori descrivono la geometria del movimento: direzione di viaggio e direzione di svolta.

Perché è importante

• La lunghezza dell’arco generalizza il concetto di distanza dalle curve nello spazio.
• La curvatura descrive la flessione, cruciale in fisica (accelerazione centripeta), ingegneria (strade, montagne russe) e grafica computerizzata.

Esercizi

1. Trova la lunghezza dell’arco di \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, 0 \rangle\) da \(t=0\) a \(t=1\).
2. Calcola la curvatura del cerchio \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\).
3. Per \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\), calcolare \(|\mathbf{r}'(t)|\).
4. Mostra che una linea retta ha curvatura \(\kappa = 0\).
5. Trova il vettore tangente a \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\) in \(t=0\).

7.4 Movimento nello spazio

Le funzioni vettoriali sono particolarmente potenti nel descrivere il movimento in due o tre dimensioni. Posizione, velocità e accelerazione sono naturalmente espresse utilizzando derivate e integrali di funzioni a valori vettoriali.

Posizione, velocità e accelerazione

• Vettore di posizione:

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \]

• Vettore velocità (derivata della posizione):

\[ \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle \]

• Velocità (entità della velocità):

\[ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \]

• Vettore accelerazione (derivata della velocità):

\[\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t). \]

Tangential and Normal Components

Acceleration can be decomposed into two components:

\[ \mathbf{a}(t) = a_T \mathbf{T}(t) + a_N \mathbf{N}(t), \]

where:

• \(\mathbf{T}(t)\) = unit tangent vector,
• \(\mathbf{N}(t)\) = principal normal vector,
• \(a_T = \frac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)|\) = tangential acceleration (change in speed),
• \(a_N = \kappa |\mathbf{v}(t)|^2\) = normal acceleration (change in direction).

Projectile Motion in 3D

With gravity acting in the \(-z\) direction:

\[ \mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cos\phi \cdot t,\; v_0 \cos\theta \sin\phi \cdot t,\; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle, \]

where \(v_0\) is initial speed, \(\theta\) launch angle, and \(\phi\) azimuthal direction.

Example: Helical Motion

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle \]

• Velocità: \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• Velocità: \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{2}\).
• Accelerazione: \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).
• Il movimento ha una velocità uniforme e procede a spirale verso l’alto.

Perché è importante

• Fornisce il linguaggio matematico per il movimento nel mondo reale.
• Essenziale in fisica (forze, traiettorie, moto circolare).
• Fondamenti per la meccanica avanzata e modelli ingegneristici.

Esercizi

1. Una particella si muove lungo \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle\). Trova velocità e accelerazione in \(t=1\).
2. Mostra che la velocità è costante per l’elica \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle\).
3. Un proiettile viene lanciato con \(v_0 = 20 \,\text{m/s}\) con un angolo \(45^\circ\). Scrivi il suo vettore posizione assumendo il moto su un piano verticale.
4. Per \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\), trovare \(\mathbf{v}(t)\) e \(\mathbf{a}(t)\).5. Scomporre il vettore accelerazione in componenti tangenziali e normali per il movimento lungo un cerchio di raggio \(r\).

Capitolo 8. Funzioni di più variabili

8.1 Limiti e continuità in più variabili

Nel calcolo multivariabile, le funzioni possono dipendere da due o più variabili, come \(f(x,y)\) o \(f(x,y,z)\). I concetti di limite e continuità si estendono naturalmente dal calcolo a variabile singola, ma sono più sottili perché dobbiamo considerare tutti i possibili percorsi di approccio.

Limiti in due variabili

Per una funzione \(f(x,y)\), diciamo

\[ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L \]

se \(f(x,y)\) si avvicina arbitrariamente a \(L\) mentre \((x,y)\) si avvicina a \((a,b)\) lungo qualsiasi percorso.

Se percorsi diversi danno valori limite diversi, allora il limite non esiste.

Esempio 1 (il limite esiste):

\[ f(x,y) = x^2 + y^2, \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0. \]

Esempio 2 (il limite non esiste):

\[ f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}, \quad (x,y) \to (0,0). \]

• Insieme a \(y=0\), la funzione è 0.
• Insieme a \(y=x\), la funzione è \(\tfrac{1}{2}\). Risultati diversi → il limite non esiste.

Continuità

Una funzione \(f(x,y)\) è continua in \((a,b)\) se

\[ \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b). \]

I polinomi e le funzioni razionali (dove denominatore ≠ 0) sono continui ovunque nei loro domini.

Estensione a tre o più variabili

Per \(f(x,y,z)\), limiti e continuità sono definiti allo stesso modo, ma il punto \((a,b,c)\) deve essere avvicinato da infinite direzioni nello spazio.

Perché è importante

• La continuità garantisce l’assenza di salti, buchi o asintoti nelle funzioni multivariabili.
• I limiti sono fondamentali per definire le derivate parziali e gli integrali multipli.
• Questi concetti sono elementi costitutivi del calcolo multivariabile.

Esercizi1. Determina se \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\) esiste.

2. Mostra che \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0\) lungo tutti i percorsi rettilinei \(y=mx\).
3. Esiste il limite per \(f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) come \((x,y)\to(0,0)\)?
4. Spiega perché i polinomi in due variabili sono continui ovunque.
5. Fornisci un esempio di funzione di due variabili che è discontinua in un punto e spiega il motivo.

8.2 Derivate parziali

Nelle funzioni con più variabili, spesso vogliamo misurare come cambia la funzione quando cambia solo una variabile mentre le altre vengono mantenute costanti. Ciò porta all’idea delle derivate parziali.

Definizione

Per una funzione \(f(x,y)\), la derivata parziale rispetto a \(x\) in un punto \((a,b)\) è

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h}. \]

Allo stesso modo, la derivata parziale rispetto a \(y\) è

\[ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a,b)}{h}. \]

Trattiamo tutte le altre variabili come costanti durante la differenziazione.

Notazione

• \(\frac{\partial f}{\partial x}\), \(f_x\), \(\partial_x f\).
• \(\frac{\partial f}{\partial y}\), \(f_y\), \(\partial_y f\).

Per tre variabili \(f(x,y,z)\), abbiamo anche \(f_x, f_y, f_z\).

Esempi

1. \(f(x,y) = x^2y + y^3\)

• \(f_x = 2xy\).
• \(f_y = x^2 + 3y^2\).

2. \(f(x,y) = e^{xy}\)

• \(f_x = y e^{xy}\).
• \(f_y = x e^{xy}\).

3. \(f(x,y,z) = x^2 + yz\)

• \(f_x = 2x\).
• \(f_y = z\).
• \(f_z = y\).

Derivate parziali di ordine superiore

Possiamo prendere ripetutamente le derivate parziali:

• \(f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Big(f_x\Big)\).
• \(f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\), ecc.

Teorema di Clairaut: se \(f\) ha derivate seconde parziali continue, allora

\[ f_{xy} = f_{yx}. \]

Significato geometrico- \(f_x\): pendenza della superficie nella direzione \(x\).

• \(f_y\): pendenza della superficie nella direzione \(y\).
• Insieme descrivono come si inclina la superficie.

Perché è importante

• Le derivate parziali sono il fondamento di gradienti, piani tangenti e ottimizzazione in più variabili.
• Sono ampiamente utilizzati in fisica, ingegneria ed economia per modellare sistemi con diversi input.

Esercizi

1. Trova \(f_x\) e \(f_y\) per \(f(x,y) = x^3y^2\).
2. Calcola \(f_x, f_y, f_z\) per \(f(x,y,z) = xyz + x^2\).
3. Verifica il teorema di Clairaut per \(f(x,y) = x^2y + y^3\).
4. Interpretare geometricamente cosa significano \(f_x\) e \(f_y\) per \(f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\).
5. Trova tutte le derivate parziali del secondo ordine di \(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\).

8.3 Derivate dei gradienti e direzionali

Le derivate parziali misurano il cambiamento lungo gli assi delle coordinate, ma a volte vogliamo conoscere la velocità di cambiamento di una funzione in qualsiasi direzione. Ciò porta ai concetti di gradiente e derivate direzionali.

Vettore gradiente

Per una funzione \(f(x,y)\), il gradiente è il vettore

\[ \nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle. \]

Per tre variabili \(f(x,y,z)\):

\[ \nabla f(x,y,z) = \left\langle f_x, f_y, f_z \right\rangle. \]

Il gradiente punta nella direzione del massimo aumento della funzione e la sua grandezza dà la pendenza più ripida.

Derivati direzionali

Il tasso di variazione di \(f(x,y)\) in un punto nella direzione di un vettore unitario \(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) è

\[ D_{\mathbf{u}} f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}. \]

Questo è il prodotto scalare del gradiente con il vettore di direzione.

Esempi

1. \(f(x,y) = x^2 + y^2\)

• Gradiente: \(\nabla f = \langle 2x, 2y \rangle\).
• A (1,2): \(\nabla f = \langle 2,4 \rangle\).- Derivata direzionale lungo \(\mathbf{u} = \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle\):

\[ D_{\mathbf{u}} f(1,2) = \langle 2,4 \rangle \cdot \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle = \tfrac{26}{5}. \]

2. \(f(x,y,z) = x y z\)

• Gradiente: \(\nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle\).
• A (1,1,1): \(\nabla f = \langle 1,1,1 \rangle\).
• La direzione di aumento massima è lungo \(\langle 1,1,1 \rangle\).

Interpretazione geometrica

• Il vettore del gradiente è perpendicolare (normale) alle curve di livello o alle superfici livellate di \(f\).
• Le derivate direzionali generalizzano la pendenza in direzioni arbitrarie.

Perché è importante

• Nell’ottimizzazione, la pendenza ci dice la direzione in cui muoversi per la salita o la discesa più ripida.
• In fisica, i gradienti descrivono campi come il flusso di calore e il potenziale elettrico.
• I derivati ​​direzionali uniscono i tassi di cambiamento a variabile singola e multivariabile.

Esercizi

1. Calcola \(\nabla f(x,y)\) per \(f(x,y) = e^{xy}\).
2. Trova il gradiente di \(f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\) e valuta in (1,1,1).
3. Calcola la derivata direzionale di \(f(x,y) = x^2-y\) in (2,1) nella direzione di \(\mathbf{u} = \langle 0,1 \rangle\).
4. Mostra che il gradiente di \(f(x,y) = x^2+y^2\) è perpendicolare al cerchio \(x^2+y^2=1\).
5. Trova la direzione del vettore unitario che massimizza la derivata direzionale di \(f(x,y) = xy\) in (1,2).

8.4 Piani tangenti e approssimazioni lineari

Nel calcolo a variabile singola, la linea tangente approssima una curva vicino a un punto. Nel calcolo multivariabile, il concetto analogo è il piano tangente, che fornisce un’approssimazione lineare a una superficie vicino a un punto.

Piano tangente ad una superficie

Supponiamo che \(z = f(x,y)\) sia differenziabile in \((a,b)\). Il piano tangente a \((a,b,f(a,b))\) è dato da

\[ z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b). \]Questo piano tocca la superficie in quel punto e la avvicina nelle vicinanze.

Esempio 1: paraboloide

Per \(f(x,y) = x^2 + y^2\) alle \((1,2)\):

• \(f(1,2) = 1^2+2^2=5\).
• \(f_x = 2x\), quindi \(f_x(1,2) = 2\).
• \(f_y = 2y\), quindi \(f_y(1,2) = 4\).

Equazione del piano tangente:

\[ z = 5 + 2(x-1) + 4(y-2). \]

Approssimazione lineare

Il piano tangente può essere utilizzato per approssimare \(f(x,y)\) vicino a \((a,b)\):

\[ f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b). \]

Questa è la linearizzazione di \(f\) in \((a,b)\).

Esempio 2: Approssimazione lineare

Approssimativo \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) vicino a \((4,5)\).

• \(f(4,5) = \sqrt{9} = 3\).
• \(f_x = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}, \quad f_y = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}\).
• A (4,5): \(f_x = f_y = \tfrac{1}{6}\).

quindi,

\[ f(x,y) \approx 3 + \tfrac{1}{6}(x-4) + \tfrac{1}{6}(y-5). \]

Perché è importante

• I piani tangenti danno la migliore approssimazione lineare ad una superficie.
• La linearizzazione semplifica le funzioni complesse per il calcolo.
• Ampiamente usato nei metodi numerici, nella fisica e nell’economia.

Esercizi

1. Trova il piano tangente a \(z = x^2y + y^2\) in \((1,1)\).
2. Approssimativo \(f(x,y) = e^{x+y}\) vicino a \((0,0)\).
3. Derivare l’equazione del piano tangente per \(z = \ln(x^2+y^2)\) in \((1,1)\).
4. Utilizzare l’approssimazione lineare per stimare \(\sqrt{10.1}\) utilizzando \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) vicino a (4,6).
5. Spiega perché l’approssimazione del piano tangente migliora man mano che \((x,y)\) si avvicina a \((a,b)\).

8.5 Ottimizzazione in più variabili

L’ottimizzazione nel calcolo multivariabile estende le idee di massimi e minimi da funzioni a variabile singola a funzioni di due o più variabili.

Punti critici

Per \(f(x,y)\), si verifica un punto critico dove

\[ f_x(x,y) = 0 \quad \text{and} \quad f_y(x,y) = 0, \]

o dove le derivate parziali non esistono.

Test della derivata secondaPer classificare i punti critici, calcolare le derivate parziali seconde:

\[ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - \big(f_{xy}(a,b)\big)^2. \]

• Se \(D > 0\) e \(f_{xx}(a,b) > 0\): minimo locale.
• Se \(D > 0\) e \(f_{xx}(a,b) < 0\): massimo locale.
• Se \(D < 0\): punto di sella.
• Se \(D = 0\): il test non è conclusivo.

Esempio 1: paraboloide

\(f(x,y) = x^2 + y^2\).

• \(f_x = 2x, f_y = 2y\). Punto critico in (0,0).
• \(f_{xx} = 2, f_{yy} = 2, f_{xy} = 0\).
• \(D = (2)(2) - 0 = 4 > 0\) e \(f_{xx} > 0\).
• Quindi (0,0) è un minimo locale.

Esempio 2: Punto di sella

\(f(x,y) = x^2 - y^2\).

• \(f_x = 2x, f_y = -2y\). Punto critico in (0,0).
• \(f_{xx} = 2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0\).
• \(D = (2)(-2) - 0 = -4 < 0\).
• Quindi (0,0) è un punto di sella.

Ottimizzazione vincolata e moltiplicatori di Lagrange

A volte, vogliamo ottimizzare \(f(x,y)\) soggetto a un vincolo \(g(x,y) = c\).

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange: risolvere

\[ \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y). \]

Esempio: Massimizza \(f(x,y) = xy\) soggetto a \(x^2+y^2=1\).

• Gradienti: \(\nabla f = \langle y,x \rangle, \quad \nabla g = \langle 2x,2y \rangle\).
• Equazioni: \(y = 2\lambda x, \, x = 2\lambda y\).
• Le soluzioni portano al massimo a \((\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}})\).

Perché è importante

• L’ottimizzazione è essenziale in economia, ingegneria, apprendimento automatico e fisica.
• I moltiplicatori di Lagrange consentono l’ottimizzazione con vincoli, uno strumento chiave nella matematica applicata.

Esercizi

1. Trova e classifica i punti critici di \(f(x,y) = x^2+xy+y^2\).
2. Classificare il punto (0,0) per \(f(x,y) = x^3-y^3\).
3. Utilizzare il test della derivata seconda per \(f(x,y) = x^4+y^4-4xy\).
4. Ingrandisci \(f(x,y) = x+y\) soggetto a \(x^2+y^2=1\).
5. Riduci al minimo \(f(x,y) = x^2+2y^2\) soggetto a \(x+y=1\).

Capitolo 9. Integrali multipli

9.1 Integrali doppiNel calcolo a variabile singola, un integrale definito fornisce l’area sotto una curva. In due variabili, un integrale doppio calcola il volume sotto una superficie (o, più in generale, l’accumulo di valori su una regione).

Definizione

Se \(f(x,y)\) è continuo su una regione \(R\), il doppio integrale è

\[ \iint_R f(x,y)\, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^-, y_{ij}^-) \Delta A, \]

dove \(R\) è diviso in piccoli rettangoli di area \(\Delta A\).

Integrali iterati

Per il Teorema di Fubini possiamo calcolare un integrale doppio come integrale iterato:

\[ \iint_R f(x,y)\, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\, dy\, dx, \]

se \(R\) è un rettangolo \([a,b] \times [c,d]\).

L’ordine di integrazione può spesso essere invertito:

\[ \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. \]

Esempi

1. Regione del rettangolo

\[ \iint_R (x+y)\, dA, \quad R=[0,1]\times[0,2]. \]

\[ = \int_0^1 \int_0^2 (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1 \Big[xy+\tfrac{1}{2}y^2\Big]_0^2 dx = \int_0^1 (2x+2)dx = 3. \]

2. Regione triangolare

\[ R = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}. \]

\[ \iint_R (x+y)\, dA = \int_0^1 \int_0^x (x+y)\,dy\,dx. \]

La valutazione dà \(\tfrac{2}{3}\).

Applicazioni

• Volume sotto una superficie:

\[ V = \iint_R f(x,y)\, dA. \]

• Valore medio di una funzione su una regione:

\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x,y)\, dA. \]

Perché è importante

Gli integrali doppi estendono l’integrazione a due dimensioni. Sono essenziali in fisica (massa, distribuzioni di probabilità), economia (valori attesi) e ingegneria (centroidi, flusso).

Esercizi

1. Valuta \(\iint_R (x^2+y^2)\, dA\) dove \(R=[0,1]\times[0,1]\).
2. Calcola \(\iint_R xy\, dA\) dove \(R=\{(x,y):0\leq x\leq2,0\leq y\leq x\}\).3. Trova il valore medio di \(f(x,y) = x+y\) sull’unità quadrata \([0,1]\times[0,1]\).
3. Interpretare \(\iint_R f(x,y)\, dA\) in termini di probabilità se \(f(x,y)\) è una funzione di densità di probabilità.
4. Mostra che il cambio dell’ordine di integrazione dà lo stesso risultato per \(\iint_{[0,1]\times[0,2]} (x+y)\,dA\).

9.2 Integrali tripli

Gli integrali tripli estendono l’idea di integrazione a tre variabili, permettendoci di calcolare volumi, masse e altre quantità in regioni tridimensionali.

Definizione

Se \(f(x,y,z)\) è continuo su una regione solida \(E\), l’integrale triplo è

\[ \iiint_E f(x,y,z)\, dV = \lim_{m,n,p \to \infty} \sum f(x_{ijk}^-, y_{ijk}^-, z_{ijk}^-) \Delta V, \]

dove la regione è suddivisa in riquadri di volume \(\Delta V\).

Integrali iterati

Per il Teorema di Fubini, un integrale triplo può essere calcolato come integrale iterato:

\[ \iiint_E f(x,y,z)\, dV = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z)\, dz\, dy\, dx, \]

per una scatola rettangolare \(E = [a,b]\times[c,d]\times[e,f]\).

L’ordine di integrazione può essere scelto per comodità.

Esempi

1. Scatola rettangolare

\[ \iiint_E xyz\, dV, \quad E=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]. \]

\[ = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 xyz\,dz\,dy\,dx. \]

Prima integra su \(z\):

\[ \int_0^3 xyz\,dz = xy \left[\tfrac{1}{2}z^2\right]_0^3 = \tfrac{9}{2}xy. \]

Ora integra su \(y\):

\[ \int_0^2 \tfrac{9}{2}xy\,dy = \tfrac{9}{2}x \cdot \left[\tfrac{1}{2}y^2\right]_0^2 = 9x. \]

Infine integra su \(x\):

\[ \int_0^1 9x\,dx = \tfrac{9}{2}. \]

2. Regione delimitata da aerei Lascia che \(E = \{(x,y,z) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq y\}\).

\[ \iiint_E 1\,dV = \int_0^1 \int_0^x \int_0^y 1\,dz\,dy\,dx. \]

Valutare:

\[ = \int_0^1 \int_0^x y\,dy\,dx = \int_0^1 \tfrac{1}{2}x^2\,dx = \tfrac{1}{6}. \]Quindi il volume di questa regione triangolare è \(\tfrac{1}{6}\).

Applicazioni

• Volume: \(V = \iiint_E 1 \, dV\).

• Massa: se la densità è \(\rho(x,y,z)\), allora

  \[ M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV. \]

• Valore medio:

  \[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{V(E)} \iiint_E f(x,y,z)\,dV. \]

Perché è importante

Gli integrali tripli generalizzano i calcoli di area e volume a solidi arbitrari. Sono utilizzati in fisica (distribuzioni di massa, centro di massa, campi gravitazionali), ingegneria e probabilità.

Esercizi

1. Calcola \(\iiint_E (x+y+z)\,dV\) sul cubo \(E=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\).
2. Trova il volume del tetraedro delimitato da \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\).
3. Valuta \(\iiint_E x^2 \, dV\) dove \(E=[0,2]\times[0,1]\times[0,1]\).
4. Mostra che \(\iiint_E 1\,dV\) è uguale al volume geometrico di \(E\).
5. Se la densità è \(\rho(x,y,z)=x+y+z\), calcola la massa del cubo unitario.

9.3 Applicazioni: volume, massa, probabilità

Gli integrali tripli sono potenti perché ci consentono di calcolare quantità in tre dimensioni accumulando valori su una regione solida.

Volume

L’applicazione più semplice è trovare il volume di una regione \(E\):

\[ V = \iiint_E 1 \, dV. \]

Esempio: Trova il volume del solido delimitato dai piani delle coordinate e dal piano \(x+y+z=1\).

\[ V = \iiint_E 1 \, dV = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 1 \, dz\, dy\, dx. \]

La valutazione dà \(V = \tfrac{1}{6}\).

Massa e densità

Se un solido ha la funzione di densità \(\rho(x,y,z)\), la sua massa è

\[ M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV. \]

Il centro di massa è dato da

\[ \bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_E x\rho(x,y,z)\,dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M}\iiint_E y\rho(x,y,z)\,dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M}\iiint_E z\rho(x,y,z)\,dV. \]

Esempio:Per un cubo unitario con densità costante \(\rho=1\), il centro di massa si trova in \((0.5,0.5,0.5)\).

Probabilità

Se \(f(x,y,z)\) è una funzione di densità di probabilità in 3D, allora la probabilità che la variabile casuale si trovi in una regione \(E\) è

\[ P(E) = \iiint_E f(x,y,z)\, dV, \]

dove \(f(x,y,z) \geq 0\) e

\[ \iiint_{\mathbb{R}^3} f(x,y,z)\,dV = 1. \]

Esempio: Se \(f(x,y,z) = \tfrac{3}{4}z^2\) per \(0 \leq z \leq 1\), uniformemente in \(x,y\), allora

\[ P(0 \leq z \leq 0.5) = \int_0^{0.5} \tfrac{3}{4}z^2 \, dz = \tfrac{1}{32}. \]

Perché è importante

• I volumi generalizzano la geometria a solidi irregolari.
• Gli integrali di massa e densità collegano il calcolo infinitesimale alla fisica e all’ingegneria.
• Le funzioni di densità di probabilità in dimensioni superiori sono ampiamente utilizzate in statistica e scienza dei dati.

Esercizi

1. Trova il volume del solido delimitato da \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\) (la sfera unitaria).
2. Calcola la massa di un cono con densità proporzionale a \(z\).
3. Trova il centro di massa di un tetraedro uniforme delimitato da \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\).
4. Se \(f(x,y,z) = \frac{1}{8}\) sul cubo \([0,2]\times[0,2]\times[0,2]\), verificare che si tratti di una funzione di densità di probabilità.
5. Utilizzare un integrale triplo per calcolare la probabilità che un punto scelto a caso nella sfera unitaria abbia \(z > 0\).

9.4 Cambio di variabili: coordinate polari, cilindriche, sferiche

Molti integrali diventano più semplici se espressi in sistemi di coordinate che corrispondono alla simmetria della regione. Invece delle coordinate cartesiane \((x,y,z)\), possiamo utilizzare coordinate polari, cilindriche o sferiche.

Coordinate polari (2D)

Per le funzioni di due variabili, possiamo passare alle coordinate polari:

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r \geq 0, \; 0 \leq \theta < 2\pi. \]

L’elemento area si trasforma come

\[ dA = r\,dr\,d\theta. \]

Esempio:Trova l’area del cerchio unitario.

\[ A = \iint_{x^2+y^2\leq 1} 1\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 r\,dr\,d\theta = \pi. \]

Coordinate cilindriche (3D)

In 3D, le coordinate cilindriche estendono le coordinate polari con \(z\):

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z. \]

L’elemento volume è

\[ dV = r\,dr\,d\theta\,dz. \]

Esempio: Volume di un cilindro di raggio \(R\) e altezza \(h\):

\[ V = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R r\,dr\,d\theta\,dz = \pi R^2 h. \]

Coordinate sferiche (3D)

Per la simmetria sferica, utilizzare:

\[ x = \rho \sin\phi \cos\theta, \quad y = \rho \sin\phi \sin\theta, \quad z = \rho \cos\phi, \]

dove

• \(\rho \geq 0\) è la distanza dall’origine,
• \(0 \leq \phi \leq \pi\) è l’angolo dall’asse positivo \(z\),
• \(0 \leq \theta < 2\pi\) è l’angolo nel piano \(xy\).

L’elemento volume è

\[ dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

Esempio: Volume della sfera unitaria:

\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

Valutazione:

\[ V = \left(\int_0^1 \rho^2 d\rho\right)\left(\int_0^\pi \sin\phi d\phi\right)\left(\int_0^{2\pi} d\theta\right) = \tfrac{1}{3}(2)(2\pi) = \tfrac{4\pi}{3}. \]

Perché è importante

• Le coordinate polari semplificano le regioni circolari.
• Le coordinate cilindriche gestiscono i cilindri e la simmetria rotazionale.
• Le coordinate sferiche semplificano sfere, coni e problemi radiali.
• Questi cambiamenti di variabili rendono gestibili integrali altrimenti impossibili.

Esercizi

1. Calcola \(\iint_{x^2+y^2\leq 4} (x^2+y^2)\,dA\) utilizzando le coordinate polari.
2. Trova il volume di un cono di altezza \(h\) e raggio \(R\) utilizzando le coordinate cilindriche.
3. Utilizza le coordinate sferiche per valutare il volume di una palla di raggio \(R\).
4. Mostra che il fattore Jacobiano per le coordinate polari è \(r\).5. Trova la massa di una sfera solida di raggio \(R\) con densità proporzionale alla distanza dall’origine utilizzando le coordinate sferiche.

Capitolo 10. Calcolo vettoriale

10.1 Campi vettoriali

Un campo vettoriale assegna un vettore a ciascun punto nello spazio, proprio come una funzione scalare assegna un numero. I campi vettoriali vengono utilizzati per modellare flussi, forze e altre quantità direzionali.

Definizione

In due dimensioni, un campo vettoriale è una funzione

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle, \]

dove \(P\) e \(Q\) sono funzioni scalari.

In tre dimensioni,

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = \langle P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) \rangle. \]

Esempi

1. Campo radiale

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle x, y \rangle. \]

I vettori puntano verso l’esterno rispetto all’origine.

2. Campo rotazionale

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle. \]

I vettori circolano attorno all’origine.

3. Campo gravitazionale

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = -\frac{GM}{r^3}\langle x,y,z \rangle, \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

Visualizzazione dei campi vettoriali

• Disegna piccole frecce nei punti campione per indicare la direzione e la magnitudo.
• Frecce più dense dove le magnitudini sono maggiori.
• Utile per interpretare linee di flusso, traiettorie e forze.

Linee di flusso

Una linea di flusso (o curva integrale) di un campo vettoriale è una curva \(\mathbf{r}(t)\) il cui vettore tangente in ogni punto corrisponde al campo:

\[ \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)). \]

Le linee di flusso descrivono i percorsi delle particelle in un campo di velocità.

Perché è importante

• I campi vettoriali sono fondamentali in fisica (flusso dei fluidi, elettromagnetismo, gravitazione).
• Costituiscono la base degli integrali di linea, degli integrali di superficie e dei grandi teoremi del calcolo vettoriale (Green, Stokes, Divergenza).
• Fornire un modo geometrico per rappresentare le quantità direzionali.

Esercizi1. Disegna il campo vettoriale \(\mathbf{F}(x,y) = \langle y, -x \rangle\).

2. Determina se i vettori di \(\mathbf{F}(x,y) = \langle x,y \rangle\) puntano verso o lontano dall’origine.
3. Per \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\), calcolare \(\mathbf{F}(1,2,3)\).
4. Descrivi le linee di flusso di \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\).
5. Spiega perché i campi gravitazionali ed elettrici sono esempi di campi vettoriali radiali.

10.2 Integrali di linea

Un integrale di linea estende l’idea di integrale alle funzioni valutate lungo una curva. Invece di integrare su un intervallo o regione, integriamo su un percorso nello spazio.

Definizione: integrale scalare

Se \(f(x,y)\) è una funzione scalare e \(C\) è una curva parametrizzata da \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle, \; a \leq t \leq b\), l’integrale di linea è

\[ \int_C f(x,y)\, ds = \int_a^b f(x(t),y(t)) \, |\mathbf{r}'(t)|\, dt, \]

dove \(ds\) è la lunghezza dell’arco.

Questo misura l’accumulo di \(f\) lungo la curva.

Definizione: integrale di linea vettoriale

Per un campo vettoriale \(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\), la linea integrale lungo \(C\) è

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, dt. \]

Questo misura il lavoro svolto dal campo lungo la curva.

Esempi

1. Integrale di linea scalare

\[ f(x,y) = x+y, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1. \]

Poi

\[ \int_C f(x,y)\, ds = \int_0^1 (t+t^2)\sqrt{(1)^2+(2t)^2}\, dt. \]

2. Lavoro compiuto da una forza

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle y, x \rangle, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1. \]

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \langle t^2, t \rangle \cdot \langle 1, 2t \rangle\, dt = \int_0^1 (t^2 + 2t^2)\, dt = \int_0^1 3t^2\, dt = 1.\]

Physical Interpretation

• Scalar line integral: accumulation of density along a wire.
• Vector line integral: work done by a force moving an object along a path.

Why This Matters

• Line integrals connect vector fields with physical quantities like work and circulation.
• They are building blocks for Green’s Theorem and Stokes’ Theorem.
• Appear in physics (electric potential, fluid flow, mechanics).

Exercises

1. Compute \(\int_C (x^2+y^2)\, ds\) where \(C\) is the line segment from (0,0) to (1,1).
2. Evaluate \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) for \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) along the unit circle \(x^2+y^2=1\).
3. Interpret the meaning of \(\int_C 1\,ds\).
4. For \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z,0,x \rangle\), compute the line integral along \(\mathbf{r}(t) = \langle t,t,1 \rangle, 0 \leq t \leq 1\).
5. Explain the difference between scalar and vector line integrals.

10.3 Surface Integrals

A surface integral generalizes line integrals to two-dimensional surfaces in three-dimensional space. They allow us to compute flux through surfaces and accumulation of scalar fields over curved surfaces.

Scalar Surface Integral

If a surface \(S\) is parameterized by

\[ \mathbf{r}(u,v) = \langle x(u,v), y(u,v), z(u,v) \rangle, \]

then the surface integral of a scalar function \(f(x,y,z)\) is

\[ \iint_S f(x,y,z)\, dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) \, |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du\,dv, \]

where \(\mathbf{r}_u\) and \(\mathbf{r}_v\) are partial derivatives of \(\mathbf{r}(u,v)\), and \(D\) is the parameter domain.

Vector Surface Integral (Flux)

For a vector field \(\mathbf{F}(x,y,z)\), the flux through a surface \(S\) is

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS, \]dove \(\mathbf{n}\) è il vettore normale all’unità. Utilizzando la parametrizzazione,

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv. \]

Esempi

1. Integrale di superficie scalare Superficie: piano \(z=1\) sopra il disco dell’unità \(x^2+y^2 \leq 1\).

\[ \iint_S 1\, dS = \text{area of the disk} = \pi. \]

2. Flusso attraverso una sfera Sia \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) e \(S\) = sfera di raggio \(R\). Il vettore normale è \(\mathbf{n} = \frac{1}{R}\langle x,y,z \rangle\).

\[ \mathbf{F}\cdot \mathbf{n} = \frac{x^2+y^2+z^2}{R} = R. \]

Quindi

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S R\, dS = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3. \]

Perché è importante

• Gli integrali scalari di superficie misurano l’area e le distribuzioni superficiali.
• Gli integrali di superficie vettoriali misurano il flusso: la quantità di un campo che passa attraverso una superficie.
• Applicazioni: elettromagnetismo, flusso di fluidi, trasferimento di calore e altro.

Esercizi

1. Calcola \(\iint_S 1\, dS\) per la superficie di un cubo di lato lungo 2.
2. Trova il flusso di \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) attraverso la sfera unitaria.
3. Valutare \(\iint_S z\, dS\) per il paraboloide \(z = x^2+y^2, \, z \leq 1\).
4. Per \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y,0,0 \rangle\), calcolare il flusso attraverso il piano \(x=1\), \(0 \leq y,z \leq 1\).
5. Spiega fisicamente cosa significa se il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa è zero.

10.4 Teorema di Green

Il Teorema di Green è un risultato fondamentale nel calcolo vettoriale che collega un integrale lineare attorno a una curva chiusa a un integrale doppio sulla regione che racchiude. È una versione bidimensionale del teorema di Stokes.

Enunciato del Teorema di GreenSia \(C\) una curva semplice, chiusa e orientata positivamente nel piano e sia \(R\) la regione che racchiude. Se \(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\) ha derivate parziali continue su una regione aperta contenente \(R\), allora

\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\, dA. \]

Interpretazione

• L’integrale di linea attorno a \(C\) misura la circolazione del campo vettoriale lungo il confine.
• Il doppio integrale su \(R\) misura l’arricciatura totale (rotazione) del campo all’interno della regione.

Esempio 1: formula dell’area

Se \(\mathbf{F} = \langle -y/2, x/2 \rangle\), allora

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1. \]

Quindi il Teorema di Green dà

\[ \text{Area}(R) = \iint_R 1\,dA = \oint_C \left(-\tfrac{y}{2}\,dx + \tfrac{x}{2}\,dy\right). \]

Ciò fornisce un modo per calcolare l’area utilizzando un integrale di linea.

Esempio 2: Circolazione

Sia \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) e \(C\) il cerchio unitario.

• \(P=-y, Q=x\).
• \(Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2\).
• Integrale doppio sul disco unitario:

\[ \iint_R 2\,dA = 2\pi (1^2) = 2\pi. \]

Quindi la circolazione attorno al cerchio è \(2\pi\).

Perché è importante

• Converte integrali di linea difficili in integrali doppi o viceversa.
• Fornisce un ponte tra proprietà locali (curl) e proprietà globali (circolazione).
• Ampiamente usato in fisica per il flusso dei fluidi, l’elettromagnetismo e i campi vettoriali planari.

Esercizi

1. Utilizza il Teorema di Green per calcolare l’area all’interno dell’ellisse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).
2. Verifica il Teorema di Green per \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) lungo il quadrato con vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).3. Calcola la circolazione di \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) attorno al cerchio unitario.
3. Mostra che se \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), allora l’integrale di linea di \(\mathbf{F}\) attorno a qualsiasi curva chiusa è zero.
4. Usa il Teorema di Green per dimostrarlo

\[ \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx \]

per qualsiasi curva chiusa \(C\).

10.5 Teorema di Stokes

Il Teorema di Stokes generalizza il Teorema di Green a tre dimensioni. Mette in relazione un integrale di superficie del ricciolo di un campo vettoriale su una superficie con una linea integrale del campo vettoriale attorno al confine di quella superficie.

Enunciato del Teorema di Stokes

Sia \(S\) una superficie orientata e liscia con curva di confine \(C\) (orientata positivamente). Se \(\mathbf{F}(x,y,z)\) è un campo vettoriale con derivate parziali continue, allora

\[ \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. \]

• Lato sinistro: flusso del ricciolo di \(\mathbf{F}\) attraverso la superficie.
• Lato destro: circolazione di \(\mathbf{F}\) lungo la curva di confine.

Interpretazione

• La linea integrale attorno al confine equivale alla “rotazione” totale all’interno della superficie.
• Estende il Teorema di Green (un caso speciale quando la superficie giace nel piano).

Esempio 1: il teorema di Green come caso speciale

Se \(S\) è una regione piatta nel piano \(xy\), il Teorema di Stokes si riduce al Teorema di Green.

Esempio 2: Circolazione su un emisfero

Sia \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, 0 \rangle\) e \(S\) l’emisfero superiore di raggio 1.

• Confine \(C\): circonferenza unitaria nel piano \(xy\).
• Per il Teorema di Stokes:

\[ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}. \]

• Ricciolo: \(\nabla \times \mathbf{F} = \langle 0,0,2 \rangle\).
• Normale all’emisfero punta verso l’esterno: \(\mathbf{n} = \langle 0,0,1 \rangle\).
• Quindi integrando = 2.- Area dell’emisfero = \(2\pi (1^2)\).

\[ \iint_S 2\, dS = 2 \cdot 2\pi = 4\pi. \]

Pertanto, la circolazione attorno all’equatore è \(4\pi\).

Perché è importante

• Fornisce una connessione profonda tra integrali di superficie e integrali di linea.
• Semplifica i calcoli consentendo la scelta di superfici convenienti.
• Ampiamente usato nell’elettromagnetismo (legge di Faraday) e nella fluidodinamica.

Esercizi

1. Verifica il teorema di Stokes per \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, -x, 0 \rangle\) sul disco unitario nel piano \(xy\).
2. Calcola \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) dove \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z, 0, x \rangle\) e \(C\) è il confine del triangolo con vertici (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).
3. Mostra che se \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), allora la circolazione attorno a qualsiasi curva chiusa è zero.
4. Applica il Teorema di Stokes per calcolare la circolazione di \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, z \rangle\) attorno al confine del quadrato unitario nel piano \(z=0\).
5. Spiega come il Teorema di Stokes generalizza il Teorema di Green.

10.6 Teorema della divergenza

Il Teorema della Divergenza (chiamato anche Teorema di Gauss) mette in relazione il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa con l’integrale triplo della divergenza del campo all’interno della superficie.

Enunciato del Teorema della Divergenza

Sia \(E\) una regione solida in \(\mathbb{R}^3\) con la superficie di confine \(S\) (orientata verso l’esterno). Se \(\mathbf{F}(x,y,z)\) è un campo vettoriale con derivate parziali continue su \(E\), allora

\[ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV. \]

• Lato sinistro: flusso di \(\mathbf{F}\) attraverso la superficie chiusa \(S\).
• Lato destro: integrale triplo della divergenza all’interno della regione.

Divergenza

La divergenza di un campo vettoriale \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle P, Q, R \rangle\) è

\[\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}. \]

It measures the “net outflow” per unit volume at each point.

Example 1: Flux of a Radial Field

Let \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x, y, z \rangle\), and let \(E\) be the unit ball \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\).

• Divergence: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1+1+1 = 3\).
• Volume of unit ball: \(\tfrac{4}{3}\pi\). So

\[ \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV = 3 \cdot \tfrac{4}{3}\pi = 4\pi. \]

Pertanto, il flusso attraverso la sfera unitaria è \(4\pi\).

Esempio 2: Campo costante

Lascia che \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle 1, 0, 0 \rangle\).

• Divergenza: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\).
• Quindi il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa è zero, coerentemente con l’intuizione (nessun deflusso netto).

Perché è importante

• Converte gli integrali di superficie in integrali di volume più semplici.

• Utilizzato in fisica: legge di Gauss in elettromagnetismo, flusso di fluidi e trasferimento di calore.

• Completa il quadro unificante:

  • Teorema di Green (arricciatura 2D ↔︎ circolazione)
  • Teorema di Stokes (arricciatura 3D ↔︎ circolazione sulle superfici)
  • Teorema della divergenza (divergenza 3D ↔︎ flusso su superfici chiuse)

Esercizi

1. Utilizza il Teorema della Divergenza per calcolare il flusso di \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) attraverso la superficie di una sfera di raggio \(R\).
2. Verifica il teorema della divergenza per \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\) sul cubo unitario \([0,1]^3\).
3. Mostra che se \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\), allora il flusso totale attraverso qualsiasi superficie chiusa è zero.
4. Calcola il flusso di \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x^2, y^2, z^2 \rangle\) attraverso la sfera unitaria.
5. Spiegare come il Teorema della Divergenza generalizza il Teorema Fondamentale unidimensionale del Calcolo infinitesimale.

Parte IV. Processi infiniti

Capitolo 11. Successioni e convergenza## 11.1 Definizioni ed esempi

Una sequenza è un elenco ordinato di numeri, solitamente scritto come

\[ a_1, a_2, a_3, \dots \]

o più in generale \((a_n)_{n=1}^\infty\). Ciascun \(a_n\) è chiamato l’ennesimo termine della sequenza.

Definizione di una sequenza

Una sequenza può essere definita in due modi:

1. Formula esplicita: fornisce una regola diretta per l’ennesimo termine.

   • Esempio: \(a_n = \frac{1}{n}\) definisce la sequenza

     \[ 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots \]

2. Definizione ricorsiva: definisce i termini utilizzando termini precedenti.

   • Esempio: sequenza di Fibonacci:

     \[ a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3). \]

Esempi di sequenze

1. Sequenza aritmetica:

   \[ a_n = a_1 + (n-1)d. \]

   Esempio: \(a_n = 2n+1\) → sequenza di numeri dispari.

2. Sequenza geometrica:

   \[ a_n = a_1 r^{n-1}. \]

   Esempio: \(a_n = 2^n\) → potenze di 2.

3. Sequenza armonica:

   \[ a_n = \frac{1}{n}. \]

4. Sequenza alternata:

   \[ a_n = (-1)^n. \]

Successioni nel calcolo infinitesimale

Le sequenze sono la base per processi infiniti:

• Limiti di successioni → definire la convergenza.
• Serie → somme infinite costruite da successioni.
• Funzioni approssimate da sequenze e serie.

Perché è importante

• Le successioni forniscono gli elementi costitutivi per serie infinite e approssimazioni.
• Permettono di definire rigorosamente l’“avvicinamento all’infinito” e la convergenza.
• Molte funzioni importanti (esponenziale, trigonometrica) possono essere espresse attraverso sequenze e serie.

Esercizi

1. Scrivi i primi cinque termini della sequenza \(a_n = \frac{n}{n+1}\).
2. Determina se \(a_n = (-1)^n n\) è limitato.
3. Fornire una definizione ricorsiva per la sequenza \(2,4,8,16,\dots\).
4. Trova il decimo termine della sequenza aritmetica con \(a_1=3\) e \(d=5\).5. Scrivere una formula esplicita per la sequenza definita da \(a_1=1\), \(a_{n+1}=2a_n\).

11.2 Sequenze monotone e limitate

Per capire se una sequenza converge, dobbiamo studiarne il comportamento: aumenta, diminuisce, resta entro dei limiti o cresce senza limiti? Due concetti importanti sono monotonia e limitatezza.

Sequenze monotone

Una sequenza \((a_n)\) si dice monotona se è sempre crescente o sempre decrescente.

• Aumento monotono:

  \[ a_{n+1} \geq a_n \quad \text{for all } n. \]

• Decrescente monotono:

  \[ a_{n+1} \leq a_n \quad \text{for all } n. \]

Esempi:

1. \(a_n = n\) è monotono crescente.
2. \(a_n = \frac{1}{n}\) è monotono decrescente.

Successioni limitate

Una sequenza è limitata sopra se esiste un numero \(M\) tale che \(a_n \leq M\) per tutti \(n\). È delimitato di seguito se esiste \(m\) tale che \(a_n \geq m\) per tutti \(n\).

Se valgono entrambe le condizioni la successione è limitata.

Esempi:

1. \(a_n = \frac{1}{n}\) è compreso tra 0 e 1.
2. \(a_n = (-1)^n\) è compreso tra -1 e 1.
3. \(a_n = n\) non è limitato.

Teorema della convergenza monotona

Un risultato fondamentale in analisi:

• Ogni successione monotona crescente limitata superiormente converge.
• Ogni successione monotona decrescente limitata inferiormente converge.

Questo teorema garantisce la convergenza senza trovare esplicitamente il limite.

Esempio

1. Sequenza: \(a_n = 1 - \frac{1}{n}\).

   • In aumento: dal \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} > 0\).
   • Limitato sopra da 1.
   • Quindi converge.
   • Limite: \(\lim_{n\to\infty} a_n = 1\).

Perché è importante

• Monotonia e limitatezza forniscono test rapidi per la convergenza.
• Sono essenziali nelle dimostrazioni e nella costruzione rigorosa dei limiti.
• Queste idee si estendono naturalmente alle funzioni e alle serie.### Esercizi

1. Determina se \(a_n = \frac{n}{n+1}\) è monotono e limitato.
2. Mostra che \(a_n = \sqrt{n}\) è monotono crescente ma non limitato.
3. Dimostra che \(a_n = 2 - \frac{1}{n}\) converge e trova il suo limite.
4. Fornisci un esempio di una successione limitata che non sia monotona.
5. Applica il teorema della convergenza monotona a \(a_n = \ln\!\big(1+\frac{1}{n}\big)\).

11.3 Limiti delle sequenze

La domanda centrale su una sequenza è se i suoi termini si avvicinano a un singolo valore man mano che \(n\) cresce. Ciò porta al concetto di limite di una successione.

Definizione

Una sequenza \((a_n)\) ha un limite \(L\) se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste un intero \(N\) tale che

\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \text{whenever } n > N. \]

Scriviamo allora

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L. \]

Se non esiste alcun \(L\), la sequenza diverge.

Intuizione

• I termini della sequenza si avvicinano arbitrariamente a \(L\) man mano che \(n\) diventa grande.
• Al di là dell’indice \(N\), tutti i termini rimangono all’interno di una piccola fascia attorno a \(L\).

Esempi

1. \(a_n = \frac{1}{n}\). Man mano che \(n\) cresce, i termini si riducono verso 0.

   \[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0. \]

2. \(a_n = (-1)^n\). I termini si alternano tra -1 e 1, quindi non esiste un limite unico. La sequenza diverge.

3. \(a_n = \frac{n}{n+1}\). Poiché \(n \to \infty\), numeratore e denominatore sono quasi uguali, quindi

   \[ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1. \]

Proprietà dei limiti

Se \(\lim a_n = A\) e \(\lim b_n = B\):

• \(\lim (a_n+b_n) = A+B\).

• \(\lim (a_n b_n) = AB\).

• \(\lim (c a_n) = cA\) per la costante \(c\).

• Se \(b_n \neq 0\) e \(B \neq 0\), allora

  \[ \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]

Teorema: Principio di compressione

Se \(a_n \leq b_n \leq c_n\) per tutti i grandi \(n\) e

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L, \]

allora

\[\lim_{n\to\infty} b_n = L. \]

Example:

\[ a_n = -\tfrac{1}{n}, \quad b_n = \tfrac{\sin n}{n}, \quad c_n = \tfrac{1}{n}. \]

Since \(-\tfrac{1}{n} \leq \tfrac{\sin n}{n} \leq \tfrac{1}{n}\) and both bounding sequences go to 0,

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0. \]

Why This Matters

• Limits make rigorous the idea of sequences “approaching” a value.
• Convergence of sequences underpins infinite series and continuity.
• These concepts are essential in defining real numbers via limits.

Exercises

1. Find \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{3n+4}\).
2. Determine if \(a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\) converges.
3. Does \(a_n = \cos n\) converge? Why or why not?
4. Use the Squeeze Principle to show \(\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0\).
5. Prove that if \(\lim a_n = L\), then \(\lim |a_n| = |L|\).

Chapter 12. Infinite series

12.1 Series and Convergence

A series is the sum of the terms of a sequence. Instead of just listing numbers, we add them together and study whether the infinite sum approaches a finite value.

Definition

Given a sequence \((a_n)\), the corresponding series is

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \]

We define the nth partial sum as

\[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k. \]

If the sequence \((S_n)\) converges to a finite limit \(S\), then the series converges and

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = S. \]

If \((S_n)\) diverges, then the series diverges.

Examples

1. Geometric series

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}, \quad |r| <1. \]

Example:

\[ 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots = 2. \]

2. Harmonic series

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}. \]

This series diverges, even though the terms go to 0.

3. p-series

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}. \]

• Converge se \(p > 1\).
• Diverge se \(p \leq 1\).### Condizione necessaria per la convergenza

Se \(\sum a_n\) converge, allora necessariamente

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = 0. \]

Se \(\lim a_n \neq 0\), la serie diverge. Ma non è vero il contrario: \(\lim a_n = 0\) non garantisce la convergenza (ad esempio, la serie armonica).

Perché è importante

• Le serie estendono l’addizione finita a processi infiniti.
• Le serie convergenti vengono utilizzate per approssimare funzioni, calcolare aree e modellare processi fisici.
• Lo studio delle serie porta a potenti test di convergenza.

Esercizi

1. Determina se \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{3^n}\) converge e trova la sua somma.
2. Mostra che \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) converge.
3. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\) converge?
4. Scrivi le prime quattro somme parziali della serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\).
5. Spiega perché \(\lim a_n = 0\) è necessario ma non sufficiente per la convergenza.

12.2 Test di convergenza

Poiché molte serie non possono essere sommate direttamente, i matematici hanno sviluppato dei test per decidere se una serie converge o diverge. Questi test sono strumenti per analizzare somme infinite.

1. Il test all’ennesimo termine per la divergenza

Se

\[ \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \quad \text{or does not exist}, \]

allora

\[ \sum a_n \]

diverge.

Se \(\lim a_n = 0\), il test non è conclusivo.

2. Test comparativo

Supponiamo che \(0 \leq a_n \leq b_n\) per tutti i \(n\).

• Se \(\sum b_n\) converge, allora converge anche \(\sum a_n\).
• Se \(\sum a_n\) diverge, allora anche \(\sum b_n\) diverge.

3. Test di confronto dei limiti

Se \(a_n, b_n > 0\) e

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c, \]

dove \(0 < c < \infty\), quindi \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\) convergono entrambi o divergono entrambi.

4. Test del rapporto

Per \(\sum a_n\), calcola

\[ L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|. \]- Se \(L < 1\), la serie converge assolutamente. - Se \(L > 1\) o \(L = \infty\), la serie diverge. - Se \(L = 1\), il test non è conclusivo.

5. Test della radice

Per \(\sum a_n\), calcola

\[ L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}. \]

• Se \(L < 1\), la serie converge assolutamente.
• Se \(L > 1\), la serie diverge.
• Se \(L = 1\), il test non è conclusivo.

6. Test delle serie alternate (test di Leibniz)

Per le serie del modulo

\[ \sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n, \]

se

1. \(b_{n+1} \leq b_n\) (diminuente) e
2. \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\),

allora la serie converge.

Esempi

1. \(\sum \frac{1}{n^2}\): Test comparativo → converge.
2. \(\sum \frac{1}{n}\): Serie armonica → diverge.
3. \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\): test in serie alternata → converge.
4. \(\sum \frac{n!}{n^n}\): Test del rapporto → converge.
5. \(\sum \frac{2^n}{n}\): Test radice → diverge.

Perché è importante

• I test di convergenza permettono di classificare le serie senza bisogno di somme esplicite.
• Forniscono modi sistematici per gestire infiniti processi nel calcolo.
• Sono fondamentali per argomenti successivi come le serie di potenze e le serie di Fourier.

Esercizi

1. Testare la convergenza di \(\sum \frac{1}{n^3}\).
2. Utilizzare il test del rapporto per \(\sum \frac{3^n}{n!}\).
3. Applica il test root a \(\sum \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
4. Determinare la convergenza di \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).
5. Utilizzare il test di confronto dei limiti con \(\frac{1}{n^2}\) per testare \(\sum \frac{1}{n^2+1}\).

12.3 Convergenza assoluta vs condizionale

Non tutte le serie si comportano allo stesso modo quando i segni si alternano. Per gestire questo, distinguiamo tra convergenza assoluta e convergenza condizionale.

Convergenza assoluta

Una serie \(\sum a_n\) è assolutamente convergente se

\[ \sum |a_n| \]

converge.Teorema: Se una serie converge assolutamente, allora converge anche.

Esempio:

\[ \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. \]

Qui \(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \sum \frac{1}{n^2}\) converge (serie p, \(p=2\)). Quindi la serie è assolutamente convergente.

Convergenza condizionale

Una serie \(\sum a_n\) è condizionatamente convergente se converge, ma non assolutamente.

Esempio:

\[ \sum \frac{(-1)^n}{n}. \]

• Test delle serie alternate → converge.
• Ma \(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}\) diverge (serie armonica). Quindi la serie è condizionatamente convergente.

Teorema del riarrangiamento

Per le serie condizionatamente convergenti, la riorganizzazione dei termini può modificare la somma, persino farla divergere o convergere a un valore diverso.

Questo risultato sorprendente mostra la natura delicata della convergenza condizionale.

Perché è importante

• La convergenza assoluta è più forte e garantisce stabilità.
• La convergenza condizionale evidenzia l’importanza dell’ordine nelle somme infinite.
• Molte serie alterne incontrate nella pratica sono convergenti solo condizionatamente.

Esercizi

1. Mostra che \(\sum \frac{(-1)^n}{n^3}\) converge assolutamente.
2. Mostra che \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\) è condizionatamente convergente.
3. Testare \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) per la convergenza assoluta e condizionale.
4. Spiega perché la convergenza assoluta implica convergenza, ma non è vero il contrario.
5. Ricerca e riassumi il teorema del riarrangiamento di Riemann con parole tue.

Capitolo 13. Serie di potenze ed espansioni

13.1 Serie di potenze

Una serie di potenze è una serie infinita in cui ogni termine implica una potenza della variabile. Le serie di potenze sono centrali nel calcolo perché ci permettono di rappresentare le funzioni come polinomi infiniti.

Modulo generale

Una serie di potenze centrata su \(a\) ha la forma

\[\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n, \]

where \(c_n\) are constants called the coefficients.

• If \(a=0\), the series is centered at the origin:

  \[ \sum_{n=0}^\infty c_n x^n. \]

Examples

1. Geometric series

\[ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1. \]

2. Exponential function

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \]

3. Sine and cosine

\[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. \]

Interval of Convergence

For each power series, there exists a radius of convergence \(R\) such that:

• The series converges if \(|x-a| < R\).
• The series diverges if \(|x-a| > R\).
• At \(|x-a| = R\), convergence must be checked separately.

Why This Matters

• Power series allow us to approximate functions by polynomials.
• They connect calculus with analysis and differential equations.
• Many special functions in mathematics and physics are defined by their power series.

Exercises

1. Write the power series for \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^n}{n!}\).
2. Find the first four terms of the power series for \(e^x\).
3. Express \(\frac{1}{1+x}\) as a power series centered at 0.
4. Determine whether the series \(\sum_{n=0}^\infty n! x^n\) converges at \(x=0.1\).
5. Explain why power series are sometimes called “infinite polynomials.”

13.2 Radius of Convergence

Every power series converges for some values of \(x\) and diverges for others. The boundary between these two behaviors is described by the radius of convergence.

Definition

For a power series

\[ \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n, \]

esiste un numero \(R \geq 0\) (possibilmente infinito) tale che:

• La serie converge assolutamente se \(|x-a| < R\).
• La serie diverge se \(|x-a| > R\).- A \(|x-a| = R\), la convergenza deve essere verificata separatamente.

Questo numero \(R\) è chiamato raggio di convergenza.

Trovare il raggio di convergenza

Due metodi comuni:

1. Prova del rapporto

\[ R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|. \]

2. Prova della radice

\[ R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}. \]

Esempi

1. Serie:

\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \]

Utilizzando il test del rapporto:

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n!)}{1/((n+1)!)} = \infty. \]

Quindi \(R = \infty\) (converge per tutti i reali \(x\)).

2. Serie:

\[ \sum_{n=0}^\infty x^n. \]

Qui \(c_n = 1\).

\[ R = 1. \]

Converge per \(|x| < 1\).

3. Serie:

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}. \]

Prova del rapporto:

\[ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x^{n+1}/(n+1))}{(x^n/n)}\right| = |x|. \]

Quindi \(R = 1\). Converge per \(|x| < 1\), diverge per \(|x| > 1\). A \(x=\pm 1\), prova separatamente.

Intervallo di convergenza

L’insieme dei valori \(x\) in cui la serie converge è chiamato intervallo di convergenza.

• Sempre centrato su \(a\).
• Estende le unità \(R\) in entrambe le direzioni.
• Gli endpoint \(x=a\pm R\) devono essere controllati individualmente.

Perché è importante

• Il raggio di convergenza ci dice dove le serie di potenze si comportano come funzioni.
• Essenziale per utilizzare nella pratica le espansioni della serie Taylor.
• Determina il dominio di validità delle soluzioni in serie in fisica e ingegneria.

Esercizi

1. Trova il raggio di convergenza di \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{n!}\).
2. Calcola il raggio di convergenza di \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}\).
3. Utilizzare il test del rapporto per trovare \(R\) per \(\sum_{n=0}^\infty n!x^n\).
4. Determinare l’intervallo di convergenza per \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^n}{n}\).
5. Spiega perché la serie esponenziale converge per tutti i \(x\), mentre la serie geometrica converge solo per \(|x|<1\).## 13.3 Serie di Taylor e Maclaurin

Le serie di potenze diventano particolarmente potenti quando vengono utilizzate per rappresentare funzioni familiari. Questo viene fatto attraverso la serie di Taylor, e il caso speciale centrato su 0 è chiamato serie di Maclaurin.

Serie Taylor

Se una funzione \(f(x)\) è infinitamente differenziabile in \(x=a\), la sua serie di Taylor su \(a\) è

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. \]

Qui \(f^{(n)}(a)\) denota il \(n\)-esimo derivato di \(f\) in \(a\).

Serie Maclaurin

Una serie Taylor incentrata su \(a=0\):

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n. \]

Esempi

1. Funzione esponenziale

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

2. Seno e coseno

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

3. Logaritmo naturale (per \(|x|<1\))

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \]

Approssimazione polinomiale di Taylor

La somma finita dei primi termini \(n\) è il polinomio di Taylor di grado \(n\):

\[ P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. \]

Questo polinomio si avvicina a \(f(x)\) vicino a \(x=a\).

Resto (termine di errore)

La differenza tra la funzione e il suo polinomio di Taylor è il resto:

\[ R_n(x) = f(x) - P_n(x). \]

Una forma (la forma di Lagrange) è

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \]

per alcuni \(c\) compresi tra \(a\) e \(x\).

Perché è importante

• Le serie di Taylor forniscono approssimazioni polinomiali a funzioni complicate.
• Sono essenziali nell’analisi numerica, nella fisica e nell’ingegneria.
• Gli espansioni in serie di Maclaurin forniscono formule semplici per funzioni esponenziali, trigonometriche e logaritmiche.

Esercizi

1. Trova la serie Maclaurin per \(f(x)=\cosh x = \tfrac{e^x+e^{-x}}{2}\).2. Scrivi la serie di Taylor per \(f(x)=e^x\) centrata su \(a=2\).
2. Calcola il polinomio di Taylor di grado 3 per \(f(x)=\ln(1+x)\) in \(a=0\).
3. Utilizzare la serie Maclaurin per \(\sin x\) per approssimare \(\sin(0.1)\).
4. Spiegare perché le serie di Taylor spesso forniscono buone approssimazioni locali ma possono divergere per \(|x|\) grandi.

13.4 Applicazioni della serie di Taylor

Le serie di Taylor non sono solo strumenti teorici: vengono utilizzate per approssimare funzioni, risolvere equazioni e analizzare sistemi fisici. Le loro applicazioni spaziano dalla matematica, alla scienza e all’ingegneria.

Approssimazione di funzioni

Le funzioni complicate possono essere approssimate mediante polinomi vicino a un punto.

Esempio: approssimare \(e^x\) vicino a \(x=0\) utilizzando il polinomio di Maclaurin di grado 3:

\[ P_3(x) = 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}. \]

Per \(x\) piccolo, fornisce stime accurate di \(e^x\).

Metodi numerici

Le serie di Taylor forniscono la base per gli algoritmi numerici:

• Approssimazione di radici quadrate, logaritmi e valori trigonometrici.
• Stima dell’errore tramite il termine residuo.
• Utilizzato in metodi iterativi come il metodo di Newton (dove la linearizzazione locale deriva dalla serie di Taylor).

Risoluzione di equazioni differenziali

Molte equazioni differenziali hanno soluzioni espresse come serie di Taylor (o di potenze).

Esempio: La soluzione di \(y'' + y = 0\) con \(y(0)=0, y'(0)=1\) è \(\sin x\), che deriva naturalmente dalla sua serie Maclaurin.

Fisica e Ingegneria

• Approssimazione a piccolo angolo:

  \[ \sin x \approx x, \quad \cos x \approx 1 - \tfrac{x^2}{2}, \quad |x| \ll 1. \]

  Utilizzato nel movimento del pendolo, nell’ottica e nella meccanica delle onde.

• Relatività e meccanica quantistica: gli sviluppi di Taylor semplificano le espressioni non lineari per l’uso pratico.- Approssimazione delle funzioni energetiche: in meccanica, le funzioni energetiche potenziali vengono espanse vicino ai punti di equilibrio.

Probabilità e Statistica

• Le funzioni generatrici dei momenti e le funzioni caratteristiche utilizzano le serie di potenze.
• Le approssimazioni delle distribuzioni di probabilità (ad esempio, l’approssimazione normale alla binomiale) utilizzano le espansioni di Taylor.

Perché è importante

• Le serie di Taylor forniscono un ponte tra le formule esatte e il calcolo pratico.
• Permettono di ridurre problemi complessi ad approssimazioni polinomiali gestibili.
• Le applicazioni li rendono uno degli strumenti più importanti nella matematica applicata.

Esercizi

1. Utilizzare la serie Maclaurin per \(e^x\) per approssimare \(e^{0.1}\) fino a quattro cifre decimali.
2. Applicare l’approssimazione del piccolo angolo per stimare \(\sin(5^\circ)\).
3. Risolvi l’equazione differenziale \(y'' = -y\) utilizzando un approccio in serie di potenze.
4. Espandi \(\ln(1+x)\) fino al 4° grado e usalo per approssimare \(\ln(1.1)\).
5. Spiegare perché le approssimazioni polinomiali sono particolarmente utili per computer e calcolatrici.

Appendici

Appendice A. Elementi essenziali del precalcolo

A.1 Ripasso di algebra

Prima di immergersi nel calcolo, è utile rivedere alcune abilità di algebra che appariranno ancora e ancora. Questi sono gli “strumenti” di cui avrai bisogno per manipolare espressioni, risolvere equazioni e semplificare i risultati.

Esponenti e potenze

• Regole di base:

  \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}. \]

• Esponenti negativi:

  \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0. \]

• Esponenti frazionari:

  \[ a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}. \]

Fattorizzazione

La fattorizzazione semplifica le espressioni e aiuta a risolvere le equazioni.

1. Fattore comune:

   \[ 6x^2+9x = 3x(2x+3). \]

2. Differenza di quadrati:

   \[a^2-b^2 = (a-b)(a+b). \]

3. Quadratic trinomials:

   \[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3). \]

Polynomials

• Standard form: \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\).
• Degree: the largest power of \(x\).
• Long division and synthetic division are useful for simplifying rational functions.

Rational Expressions

Simplify by factoring numerator and denominator:

\[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}, \quad x \neq 1. \]

Logarithms

• Definition: \(\log_a b = c\) means \(a^c = b\).

• Common bases: natural log (\(\ln x = \log_e x\)) and base 10 (\(\log x\)).

• Rules:

  \[ \log(ab) = \log a + \log b, \quad \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b, \quad \log(a^n) = n\log a. \]

Equations

• Linear: solve \(ax+b=0\) → \(x=-b/a\).

• Quadratic: \(ax^2+bx+c=0\) has solutions

  \[ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

• Exponential: \(e^x = k\) → \(x = \ln k\).

A.2 Trigonometry Basics

Trigonometry provides the language of angles and periodic phenomena. Since calculus often deals with oscillations, motion, and waves, a solid grasp of trigonometric functions and their properties is essential.

The Unit Circle

• Defined as the circle of radius 1 centered at the origin in the coordinate plane.

• For an angle \(\theta\) measured from the positive \(x\)-axis:

  \[ (\cos \theta, \sin \theta) \]

  dà le coordinate del punto sulla circonferenza.

Valori speciali:

\(\theta\)	\(\sin \theta\)	\(\cos \theta\)	\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(0\)	0	1	0
\(\pi/6\)	1/2	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/\sqrt{3}\)
\(\pi/3\)	\(\sqrt{3}/2\)	1/2	\(\sqrt{3}\)
\(\pi/2\)	1	0	indefinito

Identità Fondamentali

1. Identità pitagorica

\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. \]

2. Identità quoziente

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \]

3. Identità reciproche

\[ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}. \]

Formule di addizione degli angoli

\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \]

\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. \]

Casi particolari:

• Doppio angolo:

  \[ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta, \quad \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta. \]

Grafici

• \(\sin x\): onda che inizia da 0, ampiezza 1, periodo \(2\pi\).
• \(\cos x\): onda che inizia da 1, ampiezza 1, periodo \(2\pi\).
• \(\tan x\): ripete ogni \(\pi\), indefinito a multipli dispari di \(\pi/2\).

A.3 Geometria delle coordinate

La geometria delle coordinate collega l’algebra e la geometria descrivendo oggetti geometrici (linee, cerchi, curve) utilizzando equazioni. Il calcolo fa molto affidamento su questa struttura per rappresentare graficamente le funzioni, trovare pendenze e analizzare le curve.

Il piano cartesiano

• Un punto è rappresentato dalle coordinate \((x,y)\).

• Distanza tra due punti \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\):

  \[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. \]

• Punto medio di un segmento di linea:

  \[ M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). \]

Righe

1. Formula della pendenza

   \[ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]

2. Equazione di una linea

   • Forma punto-pendenza:

     \[y-y_1 = m(x-x_1). \]

   • Slope-intercept form:

     \[ y = mx+b. \]

3. Parallel and perpendicular lines

   • Parallel lines: same slope.
   • Perpendicular lines: slopes satisfy \(m_1m_2 = -1\).

Circles

Equation of a circle with center \((h,k)\) and radius \(r\):

\[ (xh)^2+(yk)^2 = r^2. \]

Special case: unit circle centered at origin:

\[ x^2+y^2=1. \]

Conic Sections

1. Parabola:

   • Standard form (opening up/down):

     \[ y = ascia^2+bx+c. \]

2. Ellipse (centered at origin):

   \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. \]

3. Hyperbola (centered at origin):

   \[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1. \]

Appendix B. Key Formulas and Tables

B.1 Derivative Table

Derivatives measure rates of change and slopes of functions. Having a quick-reference table helps learners avoid re-deriving formulas each time.

Basic Rules

1. Constant rule

\[ \frac{d}{dx}[c] = 0 \]

2. Power rule

\[ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}, \quad (n \in \mathbb{R}) \]

3. Constant multiple rule

\[ \frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x) \]

4. Sum and difference rule

\[ \frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)] = f'(x)\pm g'(x) \]

Trigonometric Functions

\[ \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x \]

\[ \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x \]

\[ \frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x, \quad x \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \]

\[ \frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x \]

\[ \frac{d}{dx}[\sec x] = \sec x \tan x \]

\[ \frac{d}{dx}[\csc x] = -\csc x \cot x \]

Exponential and Logarithmic Functions

\[ \frac{d}{dx}[e^x] = e^x \]

\[ \frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a, \quad a>0, a\neq 1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}, \quad x>0 \]

\[ \frac{d}{dx}[\log_a x] = \frac{1}{x\ln a}, \quad a>0, a\neq 1 \]

Inverse Trigonometric Functions

\[\frac{d}{dx}[\arcsin x] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\arccos x] = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\arctan x] = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \in \mathbb{R} \]

Product, Quotient, and Chain Rules

1. Product Rule

\[ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

2. Quotient Rule

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}, \quad g(x)\neq 0 \]

3. Chain Rule

\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))\cdot g'(x) \]

B.3 Common Series Expansions

Power series let us express functions as infinite polynomials. These expansions are essential for approximations, solving differential equations, and building intuition about functions in calculus.

Geometric Series

\[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| <1 \]

Exponential Function

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

Valid for all \(x\).

Trigonometric Functions

\[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[ \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

\[ \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\leq 1 \]

Logarithm

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1 \]

Binomial Expansion (Generalized)

\[ (1+x)^r = \sum_{n=0}^\infty \binom{r}{n} x^n, \quad |x|<1 \]

where

\[ \binom{r}{n} = \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)}{n!}. \]

Appendice C. Schizzi di prova

C.1 Leggi sui limiti e \(\varepsilon\)–\(\delta\) DefinizioneIl calcolo si basa sul significato preciso di un limite. Mentre l’intuizione (“i valori si avvicinano sempre di più”) è utile, una definizione formale garantisce rigore ed evita paradossi.

Idea intuitiva

Scriviamo

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

ciò significa che poiché \(x\) si avvicina arbitrariamente a \(a\), i valori di \(f(x)\) si avvicinano arbitrariamente a \(L\).

Definizione formale (\(\varepsilon\)–\(\delta\))

Lo diciamo

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste un \(\delta > 0\) tale che ogni volta

\[ 0 < |x-a| < \delta, \]

abbiamo

\[ |f(x) - L| < \varepsilon. \]

• \(\varepsilon\): quanto vicino vogliamo che \(f(x)\) sia a \(L\).
• \(\delta\): quanto deve essere vicino \(x\) a \(a\) per raggiungere questo obiettivo.

Esempio

Mostralo

\[ \lim_{x \to 2} (3x+1) = 7. \]

• Lascia che \(\varepsilon > 0\).
• Vogliamo \(|(3x+1)-7| < \varepsilon\).
• Semplifica: \(|3x-6| = 3|x-2| < \varepsilon\).
• Questo vale se scegliamo \(\delta = \varepsilon/3\).

Quindi, per definizione, il limite è 7.

Leggi sui limiti

Se \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) e \(\lim_{x \to a} g(x) = M\), allora:

1. Somma/Differenza

\[ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M \]

2. Multiplo costante

\[ \lim_{x \to a} [c f(x)] = cL \]

3. Prodotto

\[ \lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM \]

4. Quoziente (se \(M \neq 0\))

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \]

5. Poteri e radici

\[ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n, \quad \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \ (\text{if defined}). \]

C.2 Schizzo di dimostrazione: il teorema fondamentale del calcolo infinitesimale

Il Teorema Fondamentale del Calcolo (FTC) collega le due operazioni centrali del calcolo: differenziazione e integrazione. Ciò dimostra che si tratta, in effetti, di processi inversi.

Enunciato del Teorema

Parte I (Differenziazione di un integrale): Se \(f\) è continuo su \([a,b]\) e definiamo

\[F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \]

then \(F\) is differentiable on \((a,b)\) and

\[ F'(x) = f(x). \]

Part II (Evaluation of a Definite Integral): If \(F\) is any antiderivative of \(f\) on \([a,b]\), then

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). \]

Proof Sketch of Part I

1. Start with the definition of the derivative:

   \[ F'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}. \]

2. Substituting \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\):

   \[ F(x+h)-F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt. \]

3. By the additivity of integrals:

   \[ F(x+h)-F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt. \]

4. Therefore:

   \[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt. \]

5. By the Mean Value Theorem for integrals, there exists \(c \in [x,x+h]\) such that

   \[ \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c). \]

6. As \(h \to 0\), \(c \to x\), and since \(f\) is continuous:

   \[ \lim_{h\to 0} f(c) = f(x). \]

Thus, \(F'(x) = f(x)\).

Proof Sketch of Part II

1. Let \(F\) be an antiderivative of \(f\), so \(F'(x) = f(x)\).

2. By Part I, the function

   \[ G(x) = \int_a^x f(t)\,dt \]

   is also an antiderivative of \(f\).

3. Since \(F\) and \(G\) differ only by a constant,

   \[ F(x) = G(x) + C. \]

4. Evaluating at the endpoints:

   \[ \int_a^b f(x)\,dx = Sol(b)-Sol(a) = (F(b)+C)-(F(a)+C) = F(b)-F(a). \]

C.3 Proof Sketch: Convergence of the Geometric Series

The geometric series is one of the simplest and most important infinite series. It serves as a model for understanding convergence and is the foundation for many later results in calculus.

The Series

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \]

where \(a\) is the first term and \(r\) is the common ratio.

Partial Sum Formula

The \(n\)-th partial sum is

\[S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n. \]

Multiply both sides by \(r\):

\[ rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n+1}. \]

Subtract the two equations:

\[ S_n - rS_n = a - ar^{n+1}. \]

\[ S_n(1-r) = a(1-r^{n+1}). \]

So

\[ S_n = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}, \quad r \neq 1. \]

Convergence

Take the limit as \(n \to \infty\):

• If \(|r| < 1\), then \(r^{n+1} \to 0\).

  \[ \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r}. \]

• If \(|r| \geq 1\), then \(r^{n+1}\) does not go to 0. The series diverges.

Result

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \begin{casi} \dfrac{a}{1-r}, & |r|<1, \\[6pt] \text{diverge}, & |r|\geq 1. \end{casi} \]

Appendix D. Applications and Connections

D.1 Physics Connections: Velocity, Acceleration, and Work

Calculus was originally developed to solve problems in physics - especially motion and change. Here are some of the most important connections.

Position, Velocity, and Acceleration

• Position function: \(s(t)\) gives the location of an object at time \(t\).

• Velocity: the derivative of position.

  \[ v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt} \]

• Acceleration: the derivative of velocity (or second derivative of position).

  \[ a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2} \]

Example: If \(s(t) = 4t^2\) meters, then:

\[ v(t) = 8t, \quad a(t) = 8. \]

So the object moves faster linearly with time, under constant acceleration.

Work and Force

In physics, work is the product of force and distance. If force varies with position, calculus gives:

\[ W = \int_a^b F(x)\, dx \]

where \(F(x)\) is the force at position \(x\), and the object moves from \(x=a\) to \(x=b\).

Example: A spring with Hooke’s law force \(F(x) = kx\) requires work

\[ W = \int_0^d kx\, dx = \frac{1}{2}kd^2 \]

per allungare la molla di una distanza \(d\).

Energia e aree sotto curve- Energia cinetica: \(E_k = \tfrac{1}{2}mv^2\).

• L’energia potenziale spesso coinvolge integrali (ad esempio, l’energia potenziale gravitazionale derivante dalla forza di gravità).
• In generale, l’integrazione di una funzione di forza fornisce l’energia immagazzinata o il lavoro svolto.

Pratica veloce

1. Se \(s(t) = t^3 - 3t\), trova \(v(t)\) e \(a(t)\).
2. Calcola il lavoro compiuto da una forza costante di 10 N che sposta un oggetto di 5 m.
3. Una molla ha costante \(k=200\). Quanto lavoro è necessario per allungarlo di 0,1 m?
4. Mostra che l’accelerazione è la derivata seconda della posizione.
5. Spiegare come l’integrale \(\int v(t)\, dt\) si relaziona allo spostamento.

D.2 Connessioni tra probabilità e statistica

Il calcolo infinitesimale è profondamente connesso con la probabilità e la statistica, soprattutto quando si ha a che fare con variabili casuali continue. Gli integrali diventano essenziali per definire probabilità, medie e aspettative.

Funzioni di densità di probabilità (PDF)

Per una variabile casuale continua \(X\), le probabilità sono descritte da una funzione di densità di probabilità \(f(x)\):

1. \(f(x) \geq 0\) per tutti i \(x\).

2. La probabilità totale è uguale a 1:

   \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1. \]

La probabilità che \(X\) si trovi in un intervallo \([a,b]\) è

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx. \]

Valore atteso (media)

Il valore atteso (risultato medio) è

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\, dx. \]

Questa è la versione di calcolo di una media ponderata.

Varianza

Le misure di varianza si diffondono:

\[ \text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\, dx, \]

dove \(\mu = E[X]\).

Distribuzioni comuni

1. Distribuzione uniforme su \([a,b]\):

   \[ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b. \]

   Significa: \(\frac{a+b}{2}\).

2. Distribuzione esponenziale con parametro \(\lambda > 0\):

   \[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0.\]

   Mean: \(1/\lambda\).

3. Normal (Gaussian) distribution:

   \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}. \]

   Integrals of this distribution connect to the error function.

Why This Matters

• Integrals turn probabilities into areas under curves.
• Expectation and variance link calculus to averages and variability.
• Most real-world data models (finance, physics, biology, AI) use these continuous probability distributions.

Quick Practice

1. For \(f(x) = \tfrac{1}{2}\) on \([0,2]\), compute \(P(0.5 \leq X \leq 1.5)\).
2. For exponential distribution with \(\lambda = 2\), compute \(E[X]\).
3. Show that the total area under the standard normal curve equals 1.
4. Find the mean of a uniform distribution on \([3,7]\).
5. Explain why probabilities are computed with integrals, not sums, for continuous variables.

D.3 Computer Science Connections: Taylor Approximations in Algorithms

Calculus is not only for physics - it also underpins many tools and techniques in computer science. One of the clearest bridges is through Taylor series, which provide efficient ways to approximate functions in numerical computing and algorithms.

Function Approximation for Computing

Computers cannot directly store or calculate most functions exactly (like \(e^x\), \(\sin x\), or \(\ln x\)). Instead, they use polynomial approximations derived from Taylor expansions.

Example: To approximate \(e^x\), truncate the Maclaurin series:

\[ e^x \circa 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}. \]

Per \(x\) piccolo, questo polinomio fornisce risultati accurati con solo pochi termini.

Efficienza negli algoritmi

• Funzioni trigonometriche: gli algoritmi per calcolatrici e CPU spesso utilizzano espansioni in serie (o variazioni come i polinomi di Chebyshev).- Esponenziale/logaritmo: gli sviluppi di Taylor sono il fondamento delle approssimazioni veloci nelle librerie numeriche.
• Ricerca della radice: il metodo di Newton si basa sull’approssimazione lineare, un’applicazione diretta della serie di Taylor (derivata prima).

Analisi numerica

Le espansioni di Taylor sono centrali nell’analisi degli errori:

• Approssimazione del termine di errore utilizzando la formula del resto:

  \[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \]

• Questo ci dice quanti termini sono necessari per una determinata precisione.

Connessioni per l’apprendimento automatico

• L’ottimizzazione basata sul gradiente (come la discesa del gradiente) utilizza i derivati per aggiornare i parametri in modo efficiente.
• Le funzioni di attivazione (come \(\tanh x\) o \(\sigma(x)=1/(1+e^{-x})\)) sono spesso approssimate da polinomi o funzioni a tratti per la velocità.
• Le approssimazioni in serie possono accelerare l’addestramento e l’inferenza in ambienti limitati.

Perché è importante

• Le approssimazioni di Taylor collegano la matematica continua con il calcolo discreto.
• Mostrano come i concetti di calcolo vengono utilizzati negli algoritmi, nei metodi numerici e nell’apprendimento automatico.
• Comprendere le approssimazioni aiuta a evitare le trappole quando ci si affida ai computer per i calcoli.

Pratica veloce

1. Approssimativo \(\sin(0.1)\) utilizzando i primi tre termini della serie Maclaurin.
2. Utilizzare il termine residuo per stimare l’errore nell’approssimazione di \(e^1\) con un polinomio di grado 3.
3. Spiega come il metodo di Newton utilizza il teorema di Taylor.
4. Perché i computer potrebbero preferire le approssimazioni polinomiali alle formule esatte per le funzioni?
5. Nell’apprendimento automatico, perché la derivata (gradiente) è così critica per l’ottimizzazione?