རྩིས་རིག་གི་དེབ་ཆུང་ངུ།

རྩིས་རིག་གི་དེབ་ཆུང་ཆུང་།

རྩིས་རིག་གི་བསམ་བློའི་ལྟེ་བའི་ངོ་སྤྲོད་མདོར་བསྡུས་ཤིག་དང་འགོ་འཛུགས་མཁན་ལ་འཚམ་པོ་ཡོད།

རྩ་སྒྲིག

• Download PDF – པར་སྐྲུན་གྲ་སྒྲིག་ཐོན་རིམ།
• Download EPUB - གློག་རྡུལ་ཀློག་ཆས་ལ་འཚམ་པོ་ཡོད།
• View LaTeX - འོ་མའི་འབྱུང་ཁུངས།

Part 1. ཚད་གཞི་དང་འབྱུང་ཁུངས།

ལེའུ་དང་པོ། ལས་འགན་དང་ཚད་གཞི།

༡་༡ ལས་འགན།

ལས་འགན་ནི་ཨང་རྩིས་རིག་པའི་གཞི་རྩའི་དངོས་པོའི་གྲས་ཤིག་ཡིན། དེའི་ལྟེ་བ་ལ་ལས་འགན་ནི་ནང་འཇུག་ཅིག་བླངས་ནས་ཐོན་འབྲས་གཅིག་གཏན་གཏན་བཟོ་བའི་ཁྲིམས་ལུགས་ཤིག་རེད། ལས་འགན་གྱིས་ང་ཚོར་འབྲེལ་བ་འགྲེལ་བཤད་རྒྱག་པ་དང་། འཛམ་གླིང་ངོ་མའི་གནས་ཚུལ་ལ་དཔེ་སྟོན་བྱེད་པ། དེ་བཞིན་རྩིས་རིག་གི་འཕྲུལ་ཆས་ཆ་ཚང་བཟོ་བར་བྱེད།

མཚན་ཉིད

ལུགས་མཐུན་དུ་ \(f\) ལས་འགན་ \(X\) ནས་ཆ་ཚན་ \(Y\) (ཁྱབ་ཁོངས་ཟེར) ལ་འབྲི་དགོས།

\[ f : X \to Y. \]

ཆ་ཤས་རེ་རེར་\(x \in X\) \(f(x) \in Y\) གཞན་དང་མི་འདྲ་བའི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡོད། རིན་ཐང་ \(f(x)\) ལ་ \(f\) འོག་ \(x\) ཡི་པར་རིས་ཟེར།

གལ་ཏེ་ \(y = f(x)\) ཡིན་ན་ \(y\) ནི་ནང་འཇུག་ \(x\) དང་མཐུན་པའི་ཐོན་འབྲས་ཡིན། དངོས་གནས་མངོན་པའི་ཐོན་འབྲས་ཚང་མའི་ཆ་ཚན་དེ་ལ་ཁྱབ་ཁོངས་ཟེར།

དཔེ།

1. ལས་འགན་\(f(x) = x^2\) གིས་ཨང་གྲངས་ངོ་མ་རེ་རེ་\(x\) དེའི་གྲུ་བཞི་ལ་ས་ཁྲ་བཟོས།

   • ཁྱབ་ཁོངས། ཨང་གྲངས་ངོ་མ་ཚང་མ། \(\mathbb{R}\).
   • མཉམ་སྦྲེལ་ཁྱབ་ཁོངས། ཨང་གྲངས་ངོ་མ་ཚང་མ། \(\mathbb{R}\).
   • ཁྱབ་ཁོངས། ལོག་པའི་ཨང་གྲངས་ངོ་མ་ཚང་མ། \([0, \infty)\).

2. ལས་འགན་\(g(x) = \dfrac{1}{x}\) གིས་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཨང་གྲངས་ངོ་མ་རེ་རེ་ལ་དེའི་ཕན་ཚུན་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

   • དྲ་ཚིགས། \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
   • ཁྱབ་ཁོངས། \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

3. འཛམ་གླིང་དངོས་ཡོད་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་ཞིག \(T(t)\) ནི་དུས་ཚོད་\(t\) (ཆུ་ཚོད་ནང་) ཕྱི་རོལ་གྱི་དྲོད་ཚད་(°C ནང་)ཡིན། འདི་ནི་“ཉིན་མོའི་དུས་ཚོད་”ནས་“དྲོད་ཚད།”

བྱེད་ནུས་མཚོན་པའི་ཐབས་ལམ།

ལས་འགན་རྣམས་ཕན་ཐོགས་ཅན་གྱི་ཐབས་ལམ་ཁ་ཤས་ཀྱིས་མཚོན་ཐུབ།

• ཐབས་གཞི། དཔེར་ན། \(f(x) = \sin x + x^2\)- རི་མོ། མཐུན་སྒྲིལ་གྱི་ཁོད་སྙོམས་ནང་དུ་ས་ཚིགས་\((x, f(x))\)ཚང་མ་འབྲི་བ།
• ཐིག་ཁྲམ། གནས་སྡུད་ཆ་ཚང་སོ་སོའི་ནང་འཇུག་དང་ཐོན་འབྲས་ཆ་སྒྲིག་བྱེད། སྐད་ཡིག་གི་འགྲེལ་བཤད། “སློབ་མ་རེ་རེར་ཁོ་ཚོའི་གྲུབ་འབྲས་སྤྲོད་དགོས།”

ངོ་ཚབ་རེ་རེས་ལས་འགན་གཅིག་པའི་གནས་སྟངས་མི་འདྲ་བ་གསལ་སྟོན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ཐ་སྙད་རིག་པ།

• རང་དབང་གི་འགྱུར་ལྡོག: ནང་འཇུག (སྤྱིར་བཏང་དུ་\(x\) བྲིས་ཡོད།)
• བརྟེན་པའི་འགྱུར་ལྡོག་ཅན། ཐོན་འབྲས་(སྤྱིར་བཏང་དུ་\(y\) བྲིས་ཡོད། གང་དུ་\(y = f(x)\) ཡིན།)
• ལས་འགན་མཚོན་རྟགས། \(f(x)\) ནི་ “\(x\) ཡི་⟫ \(f\) ཡིན།”

རྩིས་རིག་ནང་ལས་འགན་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

རྩིས་རིག་ནི་ལས་འགན་ཇི་ལྟར་འགྱུར་བ་འགྲོ་མིན་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ་དེ་རེད། འབྱུང་ཁུངས་ཀྱིས་འཕྲལ་མར་འགྱུར་བའི་ཚད་གཞི་ཚད་འཇལ་བྱེད་པ་དང་། ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་དེས་བསྡུ་སྒྲིག་བྱས་པའི་ནུས་པ་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད། བསམ་བློ་འདི་དག་ལ་དབང་ཤུགས་ཐོབ་པར་ང་ཚོས་དང་པོ་ལས་འགན་གང་ཡིན་པ་དང་དེ་དག་གིས་ཇི་ལྟར་སྤྱོད་ཚུལ་འཛིན་གྱི་ཡོད་མེད་ལ་གོ་རྟོགས་ཟབ་པོ་དགོས།

ལུས་སྦྱོང་།

1. ལས་འགན་\(f(x) = 3x - 2\) ཆེད་དུ།

   • ཁྱབ་ཁོངས་དང་། མཉམ་འབྲེལ་ཁྱབ་ཁོངས། ཁྱབ་ཁོངས་བཅས་འཚོལ།

2. ལས་འགན་\(h(x) = \sqrt{x-1}\) དེ་ནང་འཇུག་གང་ལ་གསལ་བཤད་བྱས་ཡོད་དམ། དེའི་ཁྱབ་ཁོངས་གང་ཡིན་ནམ།

3. ཁྱེད་རང་གི་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་ནས་ལས་འགན་གྱི་དཔེ་དངོས་ཤིག་བཤད་རོགས། ཁྱབ་ཁོངས་དང་མཉམ་འབྲེལ་ཁྱབ་ཁོངས་གསལ་པོར་བཤད།

4. \(f(x) = |x|\) ཡི་རི་མོ་བྲིས། ཁྱབ་ཁོངས་གང་ཡིན་ནམ།

༥ དཔེར་ན། \(g(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\) དེའི་ཁྱབ་ཁོངས་ནི་བར་མཚམས་ \((0, 1]\) ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

༡་༢ རི་མོ་དང་བསྒྱུར་བཅོས།

ལས་འགན་དེ་མན་ངག་གིས་མ་གཏོགས་དེའི་ཐིག་ཁྲམ་གྱིས་ཀྱང་ཧ་གོ་ཐུབ། ལས་འགན་ \(f\) ཡི་རི་མོ་ནི་གོ་རིམ་སྒྲིག་པའི་ཆ་གཅིག་ཚང་མའི་ཆ་ཚན་ \((x, f(x))\) ཡིན། ཆ་གཅིག་འདི་དག་མཉམ་སྦྲེལ་ཁོད་སྙོམས་ནང་དུ་འབྲི་ན་ལས་འགན་དེ་གང་འདྲ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་མེད་ཀྱི་པར་རིས་ཤིག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

གཞི་རྩའི་རི་མོ།

ཐིག་ཁྲམ་ཁ་ཤས་གཞི་རྩའི་ཆ་ནས་བློ་ལ་འཛིན་དགོས།

• \(f(x) = x\): འབྱུང་ཁུངས་བརྒྱུད་ནས་ཐིག་ཐད་ཀར།
• \(f(x) = x^2\): ཡར་ཕྱོགས་སུ་ཁ་ཕྱེ་བའི་དཔེ་མཚོན་ཞིག
• \(f(x) = |x|\): “V”དབྱིབས་ཀྱི་རི་མོ།
• \(f(x) = \frac{1}{x}\): ཡན་ལག་གཉིས་ཡོད་པའི་ཚད་བརྒལ་ཡིག་ཚགས།- \(f(x) = \sin x\): རླབས་ལྟ་བུའི་དུས་མཚམས་གུག་གུག

འདི་དག་གིས་ལས་འགན་སྣ་ཚོགས་ཀྱི་འཛུགས་སྐྲུན་གྱི་རྡོ་རིང་ལྟ་བུར་གྱུར་ཡོད།

བསྒྱུར་བཅོས།

རི་མོ་རྣམས་སྒྲིག་གཞི་སྟབས་བདེ་སྤྱད་ནས་བརྗེ་སྒྱུར་དང་། བསྲིངས། ཡང་ན་འོད་འཕྲོ་ཐུབ།

1. ལངས་པའི་བརྗེ་སྒྱུར། རྟག་གྲངས་ཁ་སྣོན་བྱེད་པ་དེས་ཐིག་ཁྲམ་དེ་ཡར་མར་སྤོ་བར་བྱེད།

   \[ y = f(x) + c \quad \text{is } f(x) \text{ shifted upward by } c. \]

2. Horizontal shifts: སྒྲུབ་བྱེད་ནང་དུ་ཁ་སྣོན་བྱེད་པ་དེས་ཐིག་ཁྲམ་དེ་གཡོན་དང་གཡས་ལ་སྤོ་བར་བྱེད།

   \[ y = f(x - c) \quad \text{is } f(x) \text{ shifted right by } c. \]

3. ལངས་པའི་ཚད་གཞི། རྟག་བརྟན་གྱིས་བསྒྱུར་ན་ཐིག་ཁྲམ་དེ་ལངས་པའི་ཐོག་ནས་འཐེན་པའམ་ཡང་ན་བསྡུ་རུབ་བྱེད།

   \[ y = a f(x), \quad a > 1 \text{ stretches; } 0 < a < 1 \text{ compresses.} \]

4. འཕྲེད་ལ་ཚད་འཇལ། སྒྲུབ་བྱེད་ནང་དུ་བསྒྱུར་ན་ཐིག་ཁྲམ་དེ་འཕྲེད་ལ་འཐེན་པའམ་ཡང་ན་བསྡམས་ཡོད།

   \[ y = f(bx), \quad b > 1 \text{ compresses toward the } y\text{-axis}. \]

5. བསམ་གཞིགས།

   • \(y = -f(x)\): \(x\)ཚངས་ཐིག་བརྒྱུད་ནས་འོད་འཕྲོ།
   • \(y = f(-x)\): \(y\)-ཚངས་ཐིག་བརྒྱུད་ནས་འོད་འཕྲོ།

སྒྱུར་བཅོས་ཟུང་འབྲེལ།

རྙོག་འཛིང་ཅན་གྱི་ཐིག་ཁྲམ་དེ་ཚོ་རྒྱུན་དུ་བསྒྱུར་བཅོས་འགའ་ཤས་གོ་རིམ་བཞིན་མཉམ་དུ་བསྡོམས་པ་ལས་བྱུང་བ་རེད། དཔེར་ན:

\[ y = 2(x-1)^2 + 3 \]

དཔེ་རིས་\(y = x^2\) བླངས་ཏེ་གཡས་ཕྱོགས་ལ་1བསྒྱུར་ནས་ལངས་པར་2ཡིས་བསྲིངས་ནས་3ཡིས་ཡར་ལ་སྤོ་ནས་ཐོབ་ཐུབ།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(y = (x+2)^2 - 1\) ཡི་རི་མོ་བྲིས། \(y = x^2\) ནས་སྒྱུར་བཅོས་ཀྱི་རིམ་པ་ངོས་འཛིན་བྱེད།
2. གལ་ཏེ་ང་ཚོས་\(x\) \(-x\) དང་ཚབ་བྱས་ན་ \(y = f(x)\) ཡི་རི་མོ་ལ་གང་འབྱུང་ངམ། \(f(x) = \sqrt{x}\) དང་མཉམ་དུ་ཚོད་ལྟ་བྱོས།
3. \(y = \sin x\) ནས་ \(y = 3\sin(x - \pi/4)\) ལ་སྒྱུར་བའི་བསྒྱུར་བཅོས་སྐོར་འགྲེལ་བརྗོད་བྱོས།
4. \(y = |x-1| + 2\) ཡི་རི་མོ་བྲིས། ཡན་ལག་རེ་རེའི་རྩེ་མོ་དང་གྱེན་ཐུར་བཤད།
5. \(y = \frac{1}{x-2}\) ལ་ \(y = \frac{1}{x}\) ཡི་རི་མོ་ཇི་ལྟར་སྒྱུར་ཡོད་མེད་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

1.3 ཚད་གཞིའི་མངོན་སུམ་གྱི་བསམ་བློ།གནས་སྟངས་མང་པོའི་ནང་ལ་ས་ཚིགས་ཤིག་གི་ལས་འགན་གྱི་རིན་ཐང་དེ་ས་ཚིགས་དེའི་ཉེ་འགྲམ་གྱི་རིན་ཐང་ལས་གལ་ཆུང་བ་རེད། ཚད་གཞིའི་བསམ་གཞིག་གིས་བསམ་བློ་འདི་འཛིན་ཐུབ།

རིན་ཐང་ལ་ཉེ་བར་བཅར་བ།

རྩིག་པའི་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་རྒྱག་བཞིན་པ་བསམ་གཞིག་བྱོས། ལག་པ་མ་འཆང་བའི་སྔོན་ལ་ཡང་ཉེ་རུ་ཇེ་ཉེ་ནས་ཇེ་ཉེ་རུ་འགྲོ་གི་ཡོད། དེ་དང་འདྲ་བར་ \(x\) \(a\) ལ་ཉེ་བར་སླེབས་པའི་སྐབས་ \(f(x)\) ཡི་རིན་ཐང་དེ་ཨང་གྲངས་ \(L\) ལ་ཉེ་བར་སླེབས་སྲིད། ང་ཚོས་དེ་ནས་བཤད་རྒྱུར།

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L. \]

འདིས་\(f(x)\) དེ་ང་ཚོས་\(L\) ལ་ཉེ་པོ་བཟོ་ཐུབ་པའི་བསམ་ཚུལ་དེ་བསྟན་ཡོད།

དཔེ།

1. \(f(x) = 2x + 3\) ཆེད་དུ། \(x \to 1\), \(f(x) \to 5\) ལྟར།

2. \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\) ཆེད་དུ། \(x \to 0\) ལྟར་ལས་འགན་དེ་ 1 ལ་ཉེ་བར་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། \(f(0)\) ངེས་ཚིག་བཀོད་མེད་ཀྱང་།

3. \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) ཆེད་དུ། \(x \to 0^+\) (གཡས་ཕྱོགས་ནས་ཡོང་བ) \(f(x) \to +\infty\) ལྟར། \(x \to 0^-\) (གཡོན་ནས་ཉེ་འགྲམ་དུ་ཡོང་བ) \(f(x) \to -\infty\) ལྟར། གཡོན་དང་གཡས་ཀྱི་སྤྱོད་ཚུལ་མི་འདྲ་བས་ ༠ ལ་ཚད་གཞི་མེད་པ་རེད།

ཚད་གཞིའི་གལ་གནད།

• དེ་དག་གིས་ང་ཚོར་ལས་འགན་དེ་དག་ཐོག་མར་ངེས་ཚིག་མ་བཀོད་པའི་ས་ཚིགས་ཁག་ཏུ་ངེས་ཚིག་བརྗོད་ཐུབ།
• ཁོང་ཚོས་རྒྱུན་ཆད་མེད་པ་དང་གཅིག་མཚུངས་ཀྱི་ཉེ་འགྲམ་གྱི་བྱ་སྤྱོད་འཛིན་ཐུབ།
• དེ་དག་གིས་འབྱུང་ཁུངས་(འཕྲལ་མར་འགྱུར་བའི་ཚད་གཞི་)དང་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་(བསྡོམས་རྩིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་ལྟ་བུའི་ས་ཁོངས)ལ་གཞི་རྩ་བསྐྲུན་ཡོད།

ཕྱོགས་གཅིག་གི་ཚད་གཞི།

སྐབས་འགར་གཡོན་ནས་གཡས་ནས་བྱུང་བའི་བྱ་སྤྱོད་ལ་སོ་སོར་སློབ་སྦྱོང་བྱེད་དགོས་པ་སྟེ།

\[ \lim_{x \to a^-} f(x), \quad \lim_{x \to a^+} f(x). \]

གལ་ཏེ་གཉིས་ཀ་མོས་མཐུན་བྱུང་ན་ཕྱོགས་གཉིས་ཀྱི་ཚད་དེ་གནས་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - x)\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) གང་ཡིན་ནམ། \(\sin x\) ཡི་རི་མོ་ནས་མངོན་རྟོགས་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
3. \(\lim_{x \to 0} |x|/x\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས། གཉིས་ལྡན་གྱི་ཚད་དེ་ཡོད་དམ་ཞེ་ན།
4. \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\) འཚོལ། གྲུབ་འབྲས་འདི་ཚིག་གིས་དོན་འགྲེལ་བྱོས།5. \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) ལ་ \(\lim_{x \to 1} f(x)\) གང་ཡིན་ནམ། \(f(1)\) ཡི་རིན་ཐང་དང་འགྲན་པ།

༡་༤ ཚད་གཞིའི་གཞུང་འབྲེལ་གྱི་ངེས་ཚིག

ཚད་གཞིའི་མངོན་སུམ་གྱི་བསམ་ཚུལ་དེ་ཨེཔ་སི་ལོན་–ཌེལ་ཊ་ངེས་ཚིག་བཀོལ་ནས་གཏན་འཁེལ་བྱེད་ཐུབ། འདིས་ང་ཚོར་\(f(x)\) དེ་རིན་ཐང་\(L\) ལ་ཉེ་བར་སླེབས་ཡོད་ཅེས་བརྗོད་པའི་ཐབས་ཤེས་དམ་པོ་ཞིག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

ངེས་ཚིག།

ང་ཚོས་བྲིས།

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

གལ་ཏེ་གཤམ་གྱི་ཆ་རྐྱེན་འདི་ལྡན་ཚེ།

\(\varepsilon > 0\)རེ་རེར་(ག་ཚོད་ཆུང་ཆུང་ཡིན་ནའང་།)\(\delta > 0\)ཡོད།

\[ 0 < |x - a| < \delta, \]

དེའི་རྗེས་སུ་འབྲངས།

\[ |f(x) - L| < \varepsilon. \]

ཚིག་ནང་ལ་ང་ཚོས་\(f(x)\) དེ་\(L\) དང་འདྲ་བར་བཟོ་ཐུབ། གལ་ཏེ་\(x\) དེ་\(a\) དང་འདྲ་མཉམ་ཡིན་ན། (འོན་ཀྱང་⟪XTK006 དང་འདྲ་མཉམ་མིན་པ)

དཔེ་རིས་ ༡: རིམ་འགྲོས་ལས་འགན།

\(f(x) = 2x + 1\) ལ་\(\lim_{x \to 3} f(x) = 7\) དེ་སྟོན་དགོས།

ང་ཚོར་\(|f(x) - 7| < \varepsilon\)དགོས། འོན་ཀྱང་\(f(x) - 7 = 2x + 1 - 7 = 2(x - 3)\) - དེར་བརྟེན། \(|f(x) - 7| = 2|x - 3|\). གལ་ཏེ་ང་ཚོས་\(\delta = \varepsilon / 2\)འདེམས་ན། \(|x - 3| < \delta\)ག་དུས་ཡིན་ཡང་ང་ཚོར་\(|f(x) - 7| < \varepsilon\)ཡོད། འདིས་ཚད་གཞི་དེ་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

དཔེ་རིས་ ༢: ཕན་ཚུན་བྱེད་ནུས།

\(f(x) = \frac{1}{x}\) ལ་\(\lim_{x \to 2} f(x) = \tfrac{1}{2}\) བསམ་གཞིག་བྱོས།

ང་ཚོར་\(\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon\)དགོས། - འདྲ་མཉམ་མེད་པ་འདི་ལ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་བཀོལ་སྤྱོད་དགོས་ཀྱང་། \(\varepsilon\) ལ་རག་སླེབས་ནས་\(\delta\) འདེམས་ནས་དེ་ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་ཐུབ། བརྒྱུད་རིམ་དེ་བས་རྙོག་འཛིང་ཆེ་ཡང་རྩ་དོན་གཅིག་པ་རེད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཨེཔ་སི་ལོན་–ཌེལ་ཊའི་ངེས་ཚིག་གིས་ཚད་གཞི་དེ་ཚོ་གསལ་པོ་མེད་པ་དང་ཡང་ན་མངོན་རྟོགས་ལ་གཞི་བཅོལ་བ་མིན་པར་ཁས་ལེན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དེ་ནི་རྒྱུན་མཐུད་དང་། འབྱུང་ཁུངས། ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་བཅས་ཀྱི་རྨང་གཞི་ཡིན།
• འགོ་འཛུགས་མཁན་ཚོས་དེ་དངོས་མེད་ཡིན་ནའང་། དཔེ་སྟབས་བདེ་པོ་དང་མཉམ་དུ་ལས་ཀ་བྱེད་པ་དེས་གོམས་འདྲིས་བཟོ་ཐུབ།

ལུས་སྦྱོང་།

1. ཨེཔ་སི་ལོན་–ཌེལ་ཊ་ངེས་ཚིག་བཀོལ་ནས་\(\lim_{x \to 4} (x+1) = 5\) ཡིན་པ་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་དགོས།2. ལུགས་མཐུན་གྱི་ངེས་ཚིག་བཀོལ་ནས་\(\lim_{x \to 0} 5x = 0\) དེ་སྟོན་དགོས།
2. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) མེད་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།
3. \(f(x) = x^2\) ལ་ \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4\) དེ་སྟོན་དགོས།
4. ཁྱེད་རང་གི་ཚིག་གིས་ཚད་གཞིའི་ངེས་ཚིག་ནང་\(\varepsilon\) དང་ \(\delta\) གཉིས་ཀྱི་ལས་འགན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

༡་༥ མུ་མཐུད།

གལ་ཏེ་ཤོག་བུའི་སྟེང་ནས་ཞ་སྨྱུག་མ་འཐེན་པར་དེའི་ཐིག་ཁྲམ་འབྲི་ཐུབ་ན་ལས་འགན་དེ་མུ་མཐུད་ཡིན། གཏན་གཏན་དུ་བཤད་ན་རྒྱུན་མཐུད་ཀྱི་ཐོག་ནས་ནང་འདྲེན་གྱི་འགྱུར་བ་ཆུང་ཆུང་གིས་ཐོན་འབྲས་ཀྱི་འགྱུར་བ་ཆུང་ཆུང་ཐོན་པར་ཁག་ཐེག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

མཚན་ཉིད

གལ་ཏེ་ཆ་རྐྱེན་གསུམ་ཚང་ཚེ།

1. \(f(a)\) ནི་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད།
2. \(\lim_{x \to a} f(x)\) ཡོད།
3. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

གལ་ཏེ་ལས་འགན་ཞིག་བར་མཚམས་ཀྱི་ས་ཚིགས་རེ་རེར་མུ་མཐུད་ཡོད་ན། ང་ཚོས་བར་མཚམས་དེའི་སྟེང་མུ་མཐུད་ཡིན་ཟེར།

དཔེ།

1. གྲངས་མང་ལས་འགན། \(f(x) = x^2 + 3x - 5\) ལྟ་བུའི་ལས་འགན་དེ་ཚོ་ \(\mathbb{R}\) སྟེང་གང་སར་མུ་མཐུད་ཡོད།

2. རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ལས་འགན། \(f(x) = \frac{1}{x-1}\) ནི་\(x = 1\) མ་གཏོགས་ས་ཆ་གང་སར་མུ་མཐུད་ཡོད།

3. དུམ་བུའི་བྱེད་ནུས།

   \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1, \\ 2 & x = 1, \\ x+1 & x > 1, \end{cases} \]

   ལས་འགན་འདི་ལ་\(x = 1\) ལ་“མཆོང་”ཡོད་པས་དེར་མུ་མཐུད་མིན།

རྒྱུན་མི་ཆད་པའི་རིགས།

1. བཏོན་ཐུབ་པའི་རྒྱུན་མེད་པ། རི་མོའི་ནང་ལ་“དོང་”ཞིག་ཡོད། དཔེར་ན། \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) ལ་\(x=1\) ལ།
2. Jump discontinuity: གཡོན་དང་གཡས་ཀྱི་ཚད་གཞི་མི་འདྲ་བ་རེད།
3. མཐའ་མེད་ཀྱི་མུ་མཐུད་མེད་པ། ལས་འགན་དེ་ས་ཚིགས་ཤིག་གི་ཉེ་འགྲམ་དུ་\(\pm\infty\) ལ་འགྲོ་གི་ཡོད།

བར་མའི་རིན་ཐང་གྲུབ་རྩིས།

གལ་ཏེ་ལས་འགན་ཞིག་བར་མཚམས་ \([a, b]\) ཐོག་ལ་མུ་མཐུད་ཡོད་ན། དེ་ནས་ \(f(a)\) དང་ \(f(b)\) བར་གྱི་ཨང་གྲངས་ \(N\) \(f(b)\) བར་གྱི་ཨང་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ལ་$c $0 ⟪X26⟫00 དེ་འདྲ་ཡོད།རྒྱུ་ཆ་འདི་སྙོམ་རྩིས་ཀྱི་རྩ་བ་དང་ཐབས་ཤེས་ཡོད་པའི་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་པར་གལ་ཆེན་པོ་རེད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. ལས་འགན་ \(f(x) = |x|\) དེ་ \(x = 0\) ལ་མུ་མཐུད་ཡོད་མེད་ཐག་གཅོད་བྱེད།
2. \(f(x) = \frac{x+2}{x^2-1}\) ཡི་རྒྱུན་ཆད་མེད་པའི་ས་ཚིགས་ངོས་འཛིན་བྱེད།
3. གྲངས་མང་ལས་འགན་ཚང་མ་ས་ཆ་གང་སར་མུ་མཐུད་ཡོད་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།
4. མཆོང་རྒྱུག་མེད་པའི་ལས་འགན་གྱི་དཔེ་མཚོན་ཞིག་གསུངས། དེའི་རི་མོ་བྲིས།
5. བར་མཚམས་རིན་ཐང་གྲུབ་རྩིས་སྤྱད་དེ་སྙོམ་རྩིས་\(x^3 + x - 1 = 0\) ལ་0 དང་1 བར་གྱི་ཐབས་ཤེས་ཡོད་པ་སྟོན་དགོས།

ལེའུ་གཉིས་པ། འབྱུང་ཁུངས།

2.1 འགྱུར་བའི་ཚད་གཞི་ལྟར་འབྱུང་ཁུངས་ནི།

འབྱུང་ཁུངས་ནི་རྩིས་རིག་གི་བསམ་བློའི་ལྟེ་བའི་གྲས་ཤིག་རེད། དེས་ལས་འགན་ཞིག་གི་ནང་འཇུག་འགྱུར་བ་དང་བསྟུན་ནས་ཇི་ལྟར་འགྱུར་བ་འགྲོ་གི་ཡོད་མེད་ཚད་འཇལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ཆ་སྙོམས་འགྱུར་ཚད།

\(f(x)\) ལས་འགན་ཞིག་གི་ཆེད་དུ་ \(x = a\) དང་ \(x = b\) གཉིས་ཀྱི་བར་གྱི་ཆ་སྙོམས་འགྱུར་ཚད་ནི།

\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

འདི་ནི་ \((a, f(a))\) དང་ \((b, f(b))\) བརྒྱུད་ནས་བགོས་པའི་ཐིག་དེའི་གྱེན་ཐུར་ཡིན།

འཕྲལ་མར་འགྱུར་ཚད།

\(f(x)\) ས་ཚིགས་གཅིག་ལ་འགྱུར་བ་ག་ཚོད་མགྱོགས་པོ་ཡོད་མེད་ཚད་འཇལ་ཆེད། ང་ཚོས་བར་མཚམས་དེ་ཆུང་དུ་གཏོང་དགོས།

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]

གལ་ཏེ་ཚད་གཞི་འདི་ཡོད་ན། \(f\) ཡི་འབྱུང་ཁུངས་ \(a\) ལ་ཟེར། དབྱིབས་རྩིས་ལྟར་ན་དེ་ནི་\((a, f(a))\) ཡི་ས་ཚིགས་སུ་\(f\) ཡི་ཐིག་ཁྲམ་ལ་ཐུག་པའི་ཐིག་དེའི་གྱེན་ཐུར་ཡིན།

མཚོན་རྟགས།

• \(f'(x)\): གཙོ་བོའི་མཚོན་རྟགས།
• \(\dfrac{dy}{dx}\): ལེབ་ནིཛི་མཚོན་རྟགས། \(y = f(x)\) སྐབས་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
• \(Df(x)\): བཀོལ་སྤྱོད་མཚོན་རྟགས།

རྟགས་འདི་དག་ཚང་མ་བསམ་གཞིག་གཅིག་ལ་གོ་དགོས།

དཔེ།

1. \(f(x) = x^2\) ཆེད་དུ།

   \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = 2x. \]

   \(x\) ལ་ཡོད་པའི་དཔེ་མཚོན་གྱི་གྱེན་ཐུར་ནི་\(2x\) ཡིན།

2. \(f(x) = \sin x\) ཆེད་དུ།

   \[ f'(x) = \cos x. \]3. \(f(x) = c\) ཆེད་དུ།

   \[ f'(x) = 0. \]

   དུས་རྒྱུན་གྱི་ལས་འགན་ནམ་ཡང་འགྱུར་བ་མེད།

དོན་འགྲེལ།

• དངོས་ཁམས་རིག་པའི་ནང་། གལ་ཏེ་ \(s(t)\) ནི་གནས་ཡུལ་ཡིན་ན། \(s'(t)\) ནི་མགྱོགས་ཚད་ཡིན། དཔལ་འབྱོར་རིག་པའི་ནང་། གལ་ཏེ་\(C(x)\)ནི་རིན་གོང་ཡིན་ན། དེ་ནས་\(C'(x)\)ནི་མཐའ་མཚམས་ཀྱི་རིན་གོང་ཡིན། གལ་ཏེ་\(P(t)\)ནི་མི་འབོར་ཡིན་ན། \(P'(t)\)ནི་འཕེལ་རྒྱས་ཀྱི་ཚད་གཞི་ཡིན།

འབྱུང་ཁུངས་དེས་སྐབས་དོན་མང་པོའི་ནང་“འགྱུར་བ་”དེ་གཏན་འཁེལ་བཟོ་གི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\) ལ \(f'(x)\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(x = 2\) ལ་ \(f(x) = x^3\) བར་གྱི་ཐུག་ཐིག་གི་གྱེན་ཐུར་འཚོལ།
3. གལ་ཏེ་ \(s(t) = t^2 + 2t\) ཡིས་ཐག་རིང་ཚད་མི་ཊར་ནང་བསྟན་ན། \(t = 5\) ལ་མགྱོགས་ཚད་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
4. \(f(x) = \frac{1}{x}\) ཡི་འབྱུང་ཁུངས་རྩིས་རྒྱག་ཆེད་དུ་ཚད་གཞིའི་ངེས་ཚིག་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
5. \(y = x^2\) ཡི་རི་མོ་བྲིས་ནས་ \(x = 1\) ལ་ཐུག་ཐིག་བྲིས།

༢་༢ དབྱེ་འབྱེད་ཀྱི་ཁྲིམས་ལུགས།

འབྱུང་ཁུངས་དེ་གསལ་བཤད་བྱས་ཚར་རྗེས་ང་ཚོར་དེ་རྩིས་རྒྱག་པའི་ཐབས་ཤེས་ཕན་ནུས་ལྡན་པ་དགོས། ཁྱད་པར་བཏོན་པའི་ཁྲིམས་ལུགས་དེ་ཚོ་ཚད་གཞིའི་ངེས་ཚིག་ཡང་ཡང་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པ་ལས་སྐྱོབ་པའི་མགྱོགས་ལམ་ཡིན།

རྟག་པའི་ཁྲིམས་ལུགས།

གལ་ཏེ་ \(f(x) = c\) གང་དུ \(c\) ནི་གཏན་ཚིགས་ཡིན་ན།

\[ f'(x) = 0. \]

དབང་ཆའི་ཁྲིམས་ལུགས།

\(f(x) = x^n\) ལ་ \(n\) ནི་དངོས་ཡོད་ཨང་གྲངས་ཡིན་ན།

\[ \frac{d}{dx} \big( x^n \big) = n x^{n-1}. \]

དཔེར་ན།

• \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).
• \(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4\).
• \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

རྟག་པའི་སྣ་མང་ཁྲིམས་ལུགས།

གལ་ཏེ་\(f(x) = c \cdot g(x)\)ཡིན་ན།

\[ f'(x) = c \cdot g'(x). \]

བསྡོམས་དང་ཁྱད་པར་གྱི་ཁྲིམས་ལུགས།

• \((f + g)' = f' + g'\).
• \((f - g)' = f' - g'\).

ཐོན་རྫས་ཀྱི་ཁྲིམས་ལུགས།

\(f(x)\) དང་\(g(x)\) ཆེད་དུ།

\[ (fg)' = f'g + fg'. \]

དཔེར་ན། གལ་ཏེ་\(f(x) = x^2\), \(g(x) = \sin x\):

\[ (fg)' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x). \]

བགོ་གྲངས་ཁྲིམས་ལུགས།

\(f(x)\) དང་\(g(x)\) ཆེད་དུ།

\[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g(x) \neq 0. \]

དཔེར་ན། གལ་ཏེ་\(f(x) = x^2\), \(g(x) = x+1\):

\[\left(\frac{x^2}{x+1}\གཡས)' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2}. \]

Derivatives of Common Functions

• \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\).
• \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\).
• \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\).
• \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0\).

Exercises

1. Differentiate \(f(x) = 7x^3 - 4x + 9\).
2. Use the product rule to find the derivative of \(f(x) = x^2 e^x\).
3. Apply the quotient rule to \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\).
4. Compute \(\frac{d}{dx}(\ln(x^2))\) using the chain of rules.
5. Show that the derivative of \(f(x) = \frac{1}{x}\) is \(-\frac{1}{x^2}\).

2.3 The Chain Rule

Often, functions are built by combining simpler functions together. To differentiate such composite functions, we use the chain rule.

The Rule

If \(y = f(g(x))\), then

\[ \frac{dy}{dx} = f'(ཇི་(ཨེགསི)) \སི་ཌོཊ་ཇི་(ཨེགསི)། \]

In words: differentiate the outer function, keep the inside unchanged, then multiply by the derivative of the inside.

Examples

1. Square of a linear function

   \[ y = (༣x+༢)^༢། \]

   Outer function: \(f(u) = u^2\), inner function: \(g(x) = 3x+2\).

   \[ y' = ༢(༣x+༢) \cdot ༣ = ༦(༣x+༢)། \]

2. Exponential with quadratic inside

   \[ ཡ = ཨི^{x^༢} \]

   Outer function: \(f(u) = e^u\), inner function: \(g(x) = x^2\).

   \[ y' = ཨི^{ཨེགསི་^༢} \cdot ༢x = ༢x ཨི^{x^༢}. \]

3. Logarithm with root inside

   \[ ཝའི་ = \ལིན་(\སི་ཀྱུརཏ{x}) \]

   Outer: \(f(u) = \ln u\), inner: \(g(x) = \sqrt{x}\).

   \[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \ཕྲག་{1}{2x}། \]

Generalized Chain Rule

For multiple nested functions \(y = f(g(h(x)))\):

\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)། \]

འདི་རང་བྱུང་གིས་གཏིང་ཟབ་པའི་རྩོམ་ཡིག་ལ་ཁྱབ་ཀྱི་ཡོད།

ཅིའི་ཕྱིར་རྒྱུན་རིམ་གྱི་ཁྲིམས་ལུགས་གལ་ཆེན་པོ་རེད།- དེས་ཚད་གཞི་གཅིག་ཐད་ཀར་གཞན་ཞིག་ལ་རག་སླེབས་པའི་འཛམ་གླིང་དངོས་ཡོད་ཀྱི་དཔེ་གཞི་ཚང་མ་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

• དེས་རྩིས་རིག་དང་དངོས་ཁམས་རིག་པ་གཉིས་མཐུད་ཀྱི་ཡོད། (དཔེར་ན། གནས་ཚུལ་བརྒྱུད་ནས་དུས་ཚོད་ལ་རག་སླེབས་པའི་མགྱོགས་ཚད།)
• དེ་ནི་མངོན་གསལ་གྱི་ཁྱད་པར་དང་ཡར་ཐོན་ཅན་གྱི་བརྗོད་གཞིའི་ནང་གལ་ཆེན་པོ་རེད།

ལུས་སྦྱོང་།

\(y = (5x^2 + 1)^3\) ཁྱད་པར་ཕྱེ་དགོས། 2. \(\frac{d}{dx}(\sin(3x))\) འཚོལ། 3. \(\frac{d}{dx}(\ln(1+x^2))\) རྩིས་རྒྱག་དགོས། 4. \(y = \cos^2(x)\) ཁྱད་པར་བཟོས། 5. སྤྱིར་བཏང་གི་རིམ་པ་དེ་\(y = e^{\sin(x^2)}\) ལ་འཇུག་དགོས།

༢་༤ མངོན་གསལ་གྱི་དབྱེ་འབྱེད།

ལས་འགན་ཚང་མ་རྣམ་གཞག་\(y = f(x)\)ནང་དུ་སྤྲད་མེད། སྐབས་རེ་\(x\) དང་ \(y\) གཉིས་སྙོམ་རྩིས་ཀྱིས་འབྲེལ་བ་ཡོད་ཅིང་། \(y\) ལ་གསལ་པོར་ཐག་གཅོད་བྱེད་པ་དེ་དཀའ་ཁག་ཆེ་བའམ་ཡང་ན་བྱེད་ཐབས་མེད་པ་རེད། གནས་སྟངས་དེ་འདྲའི་ནང་ང་ཚོས་མངོན་གསལ་གྱི་ཁྱད་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

བསམ་བློ།

གལ་ཏེ་སྙོམ་རྩིས་ཤིག་ལ་\(x\)དང་\(y\)གཉིས་ཀ་ཚུད་ཡོད་ན། ང་ཚོས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་\(x\)ལ་གཞིགས་ཏེ་ཁྱད་པར་ཕྱེ་ཐུབ། ང་ཚོས་\(y\) དང་འབྲེལ་བའི་ཐ་སྙད་ཅིག་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་སྐབས་ང་ཚོས་\(\frac{dy}{dx}\) ལ་སྒྱུར་དགོས།

དཔེ་རིས་དང་པོ། སྒོར་ཐིག་ཅིག

མཉམ་བྱ།

\[ x^2 + y^2 = 25 \]

\(x\)ལ་གཞིགས་ནས་ཁྱད་པར་ཕྱེ་དགོས།

\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0. \]

\(\frac{dy}{dx}\)ལ་ཐག་གཅོད་བྱས།

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}. \]

འདིས་ས་ཚིགས་གང་རུང་ཞིག་ལ་སྒོར་ཐིག་ལ་ཐུག་པའི་གུག་ཚད་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

དཔེ་རིས་ ༢: འགྱུར་ལྡོག་ཅན་གྱི་ཐོན་རྫས།

མཉམ་བྱ།

\[ xy = 1 \]

ཁྱད་པར་ཕྱེ་བ།

\[ x \frac{dy}{dx} + y = 0. \]

དེ་ལྟར,

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}. \]

དཔེ་རིས་ ༣: ཟུར་གསུམ་རྩིས་རིག་གི་འབྲེལ་བ།

མཉམ་བྱ།

\[ \sin(xy) = x \]

ཁྱད་པར་ཕྱེ་བ།

\[ \cos(xy) \cdot \Big(y + x\frac{dy}{dx}\Big) = 1. \]

\(\frac{dy}{dx}\) ལ་ཐག་གཅོད་བྱས།

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}. \]

མངོན་གསལ་གྱི་ཁྱད་པར་གང་ལ་བརྟེན་ནས་ཕན་ཐོགས་ཡོད།

• གུག་རྟགས་གལ་ཆེན་མང་པོ་(སྒོར་ཐིག་དང་། སྒོང་དབྱིབས། ཚད་བརྒལ་)རང་བྱུང་གིས་མངོན་གསལ་དོད་པོས་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད།
• དེས་ང་ཚོར་སྔོན་ལ་\(y\) ལ་ཐག་གཅོད་མ་བྱེད་པར་སྙོམ་རྩིས་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་ཐུབ།- དེ་ནི་འབྲེལ་ཡོད་ཚད་གཞི་དང་ཁྱད་པར་སྙོམ་རྩིས་སོགས་གོང་འཕེལ་ཅན་གྱི་བརྗོད་གཞིའི་ནང་གལ་ཆེའི་གོམ་པ་ཞིག་ཡིན།

ལུས་སྦྱོང་།

1. གུག་རྟགས་\(x^2 + xy + y^2 = 7\) ལ་\(\frac{dy}{dx}\) འཚོལ།
2. \(\cos(x) + \cos(y) = 1\) ལ་ཁྱད་པར་ཕྱེ་དགོས།
3. \((1, 2)\) ཡི་ས་ཚིགས་སུ་ \(x^3 + y^3 = 9\) བར་གྱི་ཐུག་ཐིག་གི་གྱེན་ཐུར་འཚོལ།
4. \(x^2 + y^2 = 10\) སྤྲད་ན། \((x, y) = (1, 3)\) ཡིན་པའི་སྐབས་ \(\frac{dy}{dx}\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
5. \(e^{xy} = x + y\) དབྱེ་འབྱེད་བྱས་ནས་\(\frac{dy}{dx}\) འཚོལ་དགོས།

2.5 མཐོ་རིམ་རིམ་པའི་འབྱུང་ཁུངས།

ད་བར་དུ་ང་ཚོས་ལས་འགན་གྱི་འགྱུར་ཚད་ཚད་འཇལ་བྱེད་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་དང་པོ་དེ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ཡོད། འོན་ཀྱང་འབྱུང་ཁུངས་དེ་དག་ཀྱང་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་ཐུབ་པས་མཐོ་རིམ་གྱི་འབྱུང་ཁུངས་འབྱུང་བར་བྱེད།

མཚན་ཉིད

• \(f\) ཡི་འབྱུང་ཁུངས་གཉིས་པ་ནི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ཡིན།

  \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(f'(x)\right). \]

• སྤྱིར་བཏང་དུ་\(n\)-th འབྱུང་ཁུངས་དེ་བྲིས་ཡོད།

  \[ f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x). \]

དཔེ།

1. \(f(x) = x^3\)

   • འབྱུང་ཁུངས་དང་པོ། \(f'(x) = 3x^2\).
   • འབྱུང་ཁུངས་གཉིས་པ་: \(f''(x) = 6x\).
   • འབྱུང་ཁུངས་གསུམ་པ། \(f^{(3)}(x) = 6\).
   • བཞི་པའི་འབྱུང་ཁུངས། \(f^{(4)}(x) = 0\).

2. \(f(x) = \sin x\)

   • \(f'(x) = \cos x\).
   • \(f''(x) = -\sin x\).
   • \(f^{(3)}(x) = -\cos x\).
   • \(f^{(4)}(x) = \sin x\). འབྱུང་ཁུངས་དེ་རིང་ཚད་4ཡི་འཁོར་ཡུན་ནང་བསྐྱར་ཟློས་བྱེད།

3. \(f(x) = e^x\)

   • འབྱུང་ཁུངས་རེ་རེ་ནི་\(e^x\)ཡིན།

ཞུ་ཡིག

• གུག་གུག: \(f''(x)\) ཡི་མཚོན་རྟགས་ཀྱིས་ \(f\) ཡི་རི་མོ་དེ་ཡར་གུག་པ་(\(f'' > 0\)) ཡང་ན་མར་གུག་པ་(\(f'' < 0\))ཡིན་མིན་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།

• གཡོ་འགུལ་ས་ཚིགས། \(f''(x) = 0\) དང་གུག་གུག་འགྱུར་བ་འགྲོ་སའི་ས་ཚིགས། གཡོ་འགུལ། དངོས་ཁམས་རིག་པའི་ནང་། གལ་ཏེ་\(s(t)\)ནི་གནས་བབ་ཡིན།

  • \(s'(t)\) = མགྱོགས་ཚད།
  • \(s''(t)\) = མགྱོགས་ཚད།
  • \(s^{(3)}(t)\) = མགྱོགས་ཚད་འགྱུར་བའི་ཚད་གཞི།

• ཚོད་དཔག: ལས་འགན་ཚོད་དཔག་བྱེད་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པའི་ཊེ་ལོར་རིམ་པ་ནང་མཐོ་རིམ་གྱི་འབྱུང་ཁུངས་འབྱུང་བ་རེད།### ལུས་སྦྱོང་།

1. \(f(x) = \cos x\) ཡི་འབྱུང་ཁུངས་དང་པོ་བཞི་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\) ལ \(f''(x)\) འཚོལ།
3. \(f(x) = e^{2x}\) ལ་ \(f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}\) དེ་སྟོན་དགོས།
4. \(f(x) = x^3 - 3x\) ཡར་གུག་པ་དང་མར་གུག་པའི་བར་མཚམས་གཏན་འབེབས་བྱོས།
5. གལ་ཏེ་ \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\) ཡིན་ན་ \(t = 2\) ལ་མགྱོགས་ཚད་དང་མགྱོགས་ཚད་འཚོལ་དགོས།

ལེའུ་གསུམ་པ། འབྱུང་ཁུངས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད།

༣་༡ ཐུག་ཚད་དང་སྤྱིར་བཏང་།

འབྱུང་ཁུངས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་ཐོག་མའི་གྲས་ཤིག་ནི་གུག་རྟགས་ལ་ཐུག་པའི་ཐིག་དང་སྤྱིར་བཏང་གི་ཐིག་གི་སྙོམ་རྩིས་འཚོལ་བ་དེ་རེད། ཐིག་འདི་དག་གིས་ས་ཚིགས་ངེས་ཅན་ཞིག་གི་ལས་འགན་གྱི་ས་གནས་ཀྱི་དབྱིབས་རྩིས་འཛིན་ཐུབ།

ཐུག་ཐིག

གུག་རྟགས་ \(y = f(x)\) ལ་ཐུག་པའི་ཐིག་དེ་གུག་རྟགས་དང་འདྲ་བའི་གྱེན་ཐུར་ཡོད་པའི་ཐིག་དེ་ཡིན།

ཐུག་ཐིག་གི་གྱེན་ཐུར་ནི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱིས་སྤྲོད་པ་ཡིན།

\[ m_{\text{tangent}} = f'(a). \]

དེ་ལྟར་ན་ \((a, f(a))\) ལ་ཡོད་པའི་ཐུག་འཕྲད་ཐིག་གི་སྙོམ་རྩིས་ནི།

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a). \]

སྤྱིར་བཏང་གི་ཐིག

སྤྱིར་བཏང་གི་ཐིག་དེ་ས་ཚིགས་གཅིག་གི་སྟེང་དུ་ཐུག་པའི་ཐིག་ལ་ཀེར་ཐིག་ཡིན། དེའི་གྱེན་ཐུར་ནི་ཐུག་ཐུག་གྱེན་ཐུར་གྱི་ལྡོག་ཕྱོགས་ཡིན།

\[ m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}. \]

དེར་བརྟེན་སྤྱིར་བཏང་ཐིག་གི་མཉམ་བྱ་ནི།

\[ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} (x - a), \quad f'(a) \neq 0. \]

དཔེ།

1. \(f(x) = x^2\) at \(x = 1\).

   • \(f(1) = 1\), \(f'(x) = 2x\), དེར་བརྟེན་\(f'(1) = 2\).
   • ཐུག་ཚད། \(y - 1 = 2(x - 1)\) ཡང་ན་ \(y = 2x - 1\)
   • སྤྱིར་བཏང་: གྱེན་ཐུར་ = \(-\tfrac{1}{2}\) དེར་བརྟེན་སྙོམ་རྩིས་ནི་\(y - 1 = -\tfrac{1}{2}(x - 1)\) ཡིན།

2. \(f(x) = \sin x\) at \(x = \tfrac{\pi}{4}\).

   • \(f(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(f'(\tfrac{\pi}{4}) = \cos(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\).
   • ཐུག་ཐུག: \(y - \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(x - \tfrac{\pi}{4})\).

ཅིའི་ཕྱིར། ཐུག་འཕྲད་དང་སྤྱིར་བཏང་གལ་ཆེ།- ཐུག་འཕྲད་ཀྱིས་ས་གནས་ཀྱི་གུག་རྟགས་ལ་ཚོད་དཔག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། (རིམ་པ་ཚོད་དཔག)

• སྤྱིར་བཏང་དེ་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་དང་། འོད་རིག་པ་(འོད་འཕྲོ་/འོད་འཕྲོ་) དེ་བཞིན་འཕྲུལ་ཆས་རིག་པ་(ཤུགས་ཀྱི་ཁ་ཕྱོགས)བཅས་ལ་ཕན་ཐོགས་ཡོད།
• གཉིས་ཀས་ལེགས་བཅོས་དང་གུག་གུག་ཞིབ་འཇུག་ལ་འགན་འཁུར་གྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(y = x^3\) ལ་ཐུག་ཐུག་དང་སྤྱིར་བཏང་གི་ཐིག་དེ་ \(x = 2\) ལ་འཚོལ།
2. \(x = 0\) ལ་ \(y = e^x\) བར་གྱི་ཐུག་ཐུག་དང་སྤྱིར་བཏང་གི་ཐིག་གཏན་འབེབས་བྱོས།
3. \(y = \ln x\) ལ་ \(x = 1\) ལ་ཡོད་པའི་ཐུག་ཐིག་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
4. སྒོར་ཐིག་ཅིག་ \(x^2 + y^2 = 9\) གིས་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། \((0,3)\) ལ་ཐུག་པའི་གྱེན་ཐུར་འཚོལ་བར་མངོན་གསལ་གྱི་ཁྱད་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
5. \(y = \sqrt{x}\) ཡི་རི་མོ་བྲིས་ནས་ \(x = 4\) ལ་ཐིག་དང་སྤྱིར་བཏང་གི་ཐིག་འབྲི་དགོས།

༣་༢ འབྲེལ་ཡོད་རིན་གོང་།

དངོས་ཡོད་ཀྱི་དཀའ་ངལ་མང་པོའི་ནང་དུས་ཚོད་ལ་གཞིགས་ཏེ་ཚད་གཞི་གཉིས་དང་ཡང་ན་དེ་ལས་མང་བ་འགྱུར་བ་འགྲོ་གི་ཡོད་པ་དང་། དེ་དག་གི་འགྱུར་ཚད་དེ་འབྲེལ་བ་ཡོད། འབྲེལ་ཡོད་རིན་གོང་དཀའ་ངལ་གྱིས་འབྲེལ་བ་འདི་དག་བརྗོད་པའི་ཆེད་དུ་འབྱུང་ཁུངས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

སྤྱིར་བཏང་གི་ཐབས་ལམ།

1. དུས་ཚོད་ལ་རག་སླེབས་པའི་འགྱུར་ལྡོག་ངོས་འཛིན་བྱོས། \(t\)
2. འགྱུར་ལྡོག་དང་འབྲེལ་བའི་མཉམ་བྱ་ཞིག་བྲིས།
3. \(t\) ལ་གཞིགས་ནས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ཁྱད་པར་བཏོན་ནས་རིམ་པ་མང་བའི་ཁྲིམས་ལུགས་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་དགོས།
4. དུས་ཚོད་སྤྲད་པའི་སྐབས་ལ་ཤེས་རྟོགས་བྱུང་བའི་རིན་ཐང་ཚབ་བཙུགས།
5. མ་ཤེས་པའི་ཚད་གཞི་ལ་ཐག་གཅོད་བྱེད།

དཔེ་རིས་༡: སྒོར་ཐིག་རྒྱ་བསྐྱེད་པ།

སྒོར་ཐིག་ལ་ཕྱེད་ཀ་\(r\) ཡོད་ཅིང་། དེ་\(\frac{dr}{dt} = 2 \,\text{cm/s}\) ཡི་མྱུར་ཚད་ལྟར་འཕར་གྱི་ཡོད། \(r = 5\) ཡིན་པའི་སྐབས་ས་ཁོངས་ \(A = \pi r^2\) འཕར་བའི་མྱུར་ཚད་འཚོལ།

ཁྱད་པར་ཕྱེ་བ།

\[ \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}. \]

ཚབ:

\[ \frac{dA}{dt} = 2\pi (5)(2) = 20\pi \,\text{cm}^2/\text{s}. \]

དཔེ་རིས་༢: ཤུད་ཐེར།

ཕི་ཊི་ ༡༠ ཅན་གྱི་ཐེམ་སྐས་ཤིག་གྱང་ལ་རྟེན་ཡོད། མཇུག་མ་དེ་\(\frac{dx}{dt} = 1 \,\text{ft/s}\) ལ་ཤུད་འགྲོ། གཤམ་གྱི་གྱང་ནས་ཕི་ཊི་ ༦ ཡོད་པའི་སྐབས་སུ་མགོ་དེ་མར་ཤུད་མགྱོགས་པོ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།

སྙོམ་རྩིས་: \(x^2 + y^2 = 100\) དེའི་ནང་\(y\) ནི་མཐོ་ཚད་ཡིན།

ཁྱད་པར་ཕྱེ་བ།

\[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0. \]\(x = 6\), \(y = 8\) ལ། ཚབ:

\[ 2(6)(1) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt} = -\tfrac{6}{8} = -\tfrac{3}{4}. \]

དེར་བརྟེན་མགོ་དེ་\(0.75 \,\text{ft/s}\) ལ་མར་ཤུད་པ་རེད།

དཔེ་གསུམ་པ། ཀོང་རྩེའི་ནང་ཆུ།

མཐོ་ཚད་ལ་སྨི་12དང་སྒོར་ཕྱེད་ལ་སྨི་6ཡོད་པའི་ཀོང་རྩེ་ཞིག་གི་ནང་དུ་ཆུ་བླུགས་ཡོད། ཆུའི་གཏིང་ཚད་ལ་སེན་ཊི་མི་ཊར་ ༤ ཡོད་པའི་སྐབས་ཆུའི་ཚད་\(2 \,\text{cm/s}\) ལ་འཕར་བཞིན་ཡོད། སྐད་ཤུགས་དེ་མྱུར་ཚད་གང་འདྲ་ཞིག་ལ་འཕར་བཞིན་ཡོད་དམ།

མཉམ་བྱ། \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\). འདྲ་མཚུངས་བེད་སྤྱད་དེ། \(r = \tfrac{h}{2}\). ཚབ་བྱེད་པ།

\[ V = \tfrac{1}{12}\pi h^3. \]

ཁྱད་པར་ཕྱེ་བ།

\[ \frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi h^2 \frac{dh}{dt}. \]

\(h = 4\), \(\frac{dh}{dt} = 2\) ཐོག་ལ།

\[ \frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi (16)(2) = 8\pi \,\text{cm}^3/\text{s}. \]

འབྲེལ་ཡོད་རིན་གོང་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཁོང་ཚོས་དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་། བཟོ་སྐྲུན་རིག་པ། སྐྱེ་དངོས་རིག་པ་བཅས་ཀྱི་གཡོ་འགུལ་དང་འགྱུར་བ་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།
• ཁོང་ཚོས་དུས་ཚོད་ལ་རག་སླ་བའི་བྱ་རིམ་བརྒྱུད་ནས་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་དང་རྩིས་རིག་གཉིས་མཐུད་ཀྱི་ཡོད། ཁོང་ཚོས་ང་ཚོར་སྒུལ་ཤུགས་ལྡན་པའི་མ་ལག་རྩིས་རིག་ཐོག་ནས་དཔེ་སྟོན་བྱེད་པར་སྦྱོང་བརྡར་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. ཕྱེ་མ་ཞིག་འཕུར་ནས་དེའི་ཕྱེད་ཀ་\(0.5 \,\text{cm/s}\) ལ་འཕར་བར་བྱེད། དཀྱིལ་ཐིག་ལ་སེན་ཊི་མི་ཊར་ ༡༠ ཡིན་པའི་སྐབས་དེའི་འབོར་ཚད་ག་ཚོད་མགྱོགས་པོ་འཕར་ཡོད་མེད་ཚོལ།
2. མོ་ཊ་ཞིག་ཆུ་ཚོད་རེར་སྤྱི་ལེ་40ཡི་མགྱོགས་ཚད་ཀྱིས་བྱང་ཕྱོགས་ལ་འགྲོ་བ་དང་། ཆུ་ཚོད་ ༢ རྗེས་སུ་ཁོང་གཉིས་ཀྱི་བར་ཐག་ག་ཚོད་མགྱོགས་པོ་འཕར་གྱི་ཡོད་དམ།
3. གྱང་ནས་མི་ཊར་ ༢༠ ཡི་སར་འོད་ཀྱི་འོད་ཟེར་ཞིག་གིས་མི་ཊར་ ༢ རིང་བའི་མི་ཞིག་ལ་སྐར་ཆ་རེ་ལ་མི་ཊར་ ༡.༥ ཡི་མགྱོགས་ཚད་ཐོག་འགྲོ་བཞིན་ཡོད། ཁོང་འོད་ལས་མི་ཊར་ ༥ ཡོད་པའི་སྐབས་ཁོང་གི་གྱང་སྟེང་གི་གྲིབ་ནག་གི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་མགྱོགས་པོ་འགྱུར་བ་འགྲོ་གི་ཡོད་དམ།
4. གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ཕྱོགས་ཀྱི་རིང་ཚད་སྐར་ཆ་རེ་ལ་སེན་ཊི་མི་ཊར་ ༢ ལ་འཕེལ་རྒྱས་འགྲོ་གི་ཡོད། ཕྱོགས་དེ་3 cmཡིན་པའི་སྐབས་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་ཇི་ཙམ་མགྱོགས་པོ་འཕར་གྱི་ཡོད་དམ། ༥ བྱེ་མ་དེ་མཐོ་ཚད་དང་འདྲ་མཉམ་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ཀ་ཡོད་པའི་ཀོང་རྩེ་ཞིག་ཆགས་པའི་ཁང་པའི་སྟེང་ལ་བླུགས་དགོས། གལ་ཏེ་མཐོ་ཚད་དེ་སྐར་ཆ་རེ་ལ་སེན་ཊི་མི་ཊར་ ༥ ཡིས་འཕར་ན་མཐོ་ཚད་དེ་སེན་ཊི་མི་ཊར་ ༡༠ ཡིན་པའི་སྐབས་སྒྲ་ཚད་དེ་མགྱོགས་ཚད་གང་འདྲ་ཞིག་ལ་འཕར་གྱི་ཡོད་དམ།

3.3 ལེགས་སྒྲིག་དཀའ་ངལ།ལེགས་བཅོས་ཀྱི་དཀའ་ངལ་གྱིས་ལས་འགན་གྱི་ཆེས་མཐོའམ་ཆུང་ཤོས་ཀྱི་རིན་ཐང་འཚོལ་བར་འབྱུང་ཁུངས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དཀའ་ངལ་འདི་དག་གིས་ང་ཚོས་ནུས་ཤུགས་ཆེ་ཤོས་དང་། ཁེ་བཟང་། ཡང་ན་ས་ཁོངས། ཡང་ན་འགྲོ་གྲོན་དང་། ཐག་རིང་། ཡང་ན་དུས་ཚོད་ཉུང་དུ་གཏོང་འདོད་པའི་གནས་སྟངས་ལ་དཔེ་སྟོན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

སྤྱིར་བཏང་གི་གོམ་སྟབས།

1. དཀའ་ངལ་དེ་ཤེས་དགོས། ཡར་རྒྱས་གཏོང་བའི་ཚད་གཞི་ངོས་འཛིན་བྱེད་དགོས།
2. ལས་འགན་ཡོད་པའི་དཔེ་གཞི། དམིགས་ཡུལ་ལས་འགན་དེ་འགྱུར་ལྡོག་གཅིག་གི་ཐོག་ནས་བྲིས།
3. ཚད་གཞི་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པ། འགྱུར་ལྡོག་ཅན་ཉུང་དུ་གཏོང་བར་ཆ་རྐྱེན་སྤྲད་པ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
4. ཁྱད་པར་བཏོན་པ། དམིགས་ཡུལ་གྱི་ལས་འགན་གྱི་འབྱུང་ཁུངས་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
5. གལ་ཆེའི་དོན་ཚན་འཚོལ་བ། \(f'(x) = 0\) ཡང་ན་ \(f'(x)\) གང་དུ་གསལ་བཤད་མེད་པ་དེ་སེལ་དགོས།
6. མཐོ་ཤོས་/ཆུང་ཤོས་ལ་ཚོད་ལྟ། འབྱུང་ཁུངས་ཚོད་ལྟ་གཉིས་པ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པའམ་ཡང་ན་མཐའ་མཚམས་ལ་ཞིབ་བཤེར་བྱེད་དགོས།
7. གྲུབ་འབྲས་དེ་དོན་འགྲེལ་བྱོས། ལན་དེ་སྐབས་དོན་ཐོག་མའི་ནང་དུ་བརྗོད་དགོས།

དཔེ་རིས་ ༡: གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་ཆེས་མཐོ་བའི་རྒྱ་ཁྱོན།

གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་40ཡོད། དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེས་མཐོ་བའི་ཆ་ཚད་གང་ཡིན་ནམ།

• རིང་ཚད་\(x\) ཞེང་ཚད་\(y\) ཡིན། ཚད་གཞི། \(2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 - x\).
• ས་ཁོངས། \(A = xy = x(20 - x) = 20x - x^2\).
• འབྱུང་ཁུངས། \(A'(x) = 20 - 2x\). དང་འདྲ་མཉམ་སྒྲིག་དགོས། \(x = 10\)
• དེ་ནས་\(y = 10\).
• ཆེས་མཐོ་བའི་རྒྱ་ཁྱོན། \(100\). གྲུ་བཞི་ནར་མོ།

དཔེ་རིས་༢: ཐག་རིང་ཚད་ཆུང་དུ་གཏོང་བ།

\(y = x^2\) \((0,3)\) དང་ཉེ་ཤོས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་སྟེང་གི་ས་ཚིགས་འཚོལ།

• ཐག་རིང་ཚད་གྲུ་བཞི། \(D(x) = (x-0)^2 + (x^2 - 3)^2\).
• རྒྱ་བསྐྱེད། \(D(x) = x^2 + (x^2 - 3)^2 = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9\).
• འབྱུང་ཁུངས། \(D'(x) = 4x^3 - 10x\). ཐག་གཅོད། \(x(4x^2 - 10) = 0\).
• ཐབས་ཤེས། \(x = 0\), \(x = \pm \sqrt{2.5}\).
• ཞིབ་བཤེར་བྱས་ན་ཆེས་དམའ་བའི་ཐག་རིང་ཚད་\(x = \pm \sqrt{2.5}\) ལ་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

དཔེ་རིས་ ༣: སྐད་ཤུགས་ཆེ་ཤོས་ཡོད་པའི་སྒམ།

མགོ་མེད་པའི་སྒམ་ཞིག་ཕྱོགས་གཅིག་ལ་སེན་ཊི་མི་ཊར་ ༢༠ ཡོད་པའི་ཤོག་བུའི་གྲུ་བཞི་མ་ཞིག་ནས་ཟུར་ནས་གྲུ་བཞི་འདྲ་མཉམ་གཏུབ་ནས་ཕྱོགས་གཅིག་ལ་བསྣར་ནས་བཟོ་དགོས། བརྗོད་ཚད་ཆེ་ཤོས་བྱེད་པའི་གཏུབ་པའི་ཚད་གཞི་འཚོལ།- གཅོད་ཚད་ = \(x\) ཡིན། དེ་ནས་ཆ་ཚད་ནི། \((20 - 2x) \times (20 - 2x) \times x\) - དེབ་གྲངས། \(V(x) = x(20 - 2x)^2\). - འབྱུང་ཁུངས། \(V'(x) = (20 - 2x)(20 - 6x)\). - གལ་ཆེའི་ས་ཚིགས། \(x = 10\) (ཀླད་ཀོར་གྱི་སྐད་ཤུགས་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།) ཡང་ན་ \(x = \tfrac{20}{6} \approx 3.33\) - \(x \approx 3.33\) ལ་སྒྲ་ཚད་ཆེས་མཐོ་རུ་བཏང་ཡོད།

ཅིའི་ཕྱིར་ལེགས་བཅོས་གལ་ཆེན་པོ་རེད།

བཟོ་སྐྲུན་པ་ཚོས་དེ་བེད་སྤྱད་ནས་བཟོ་བཀོད་ཕན་ནུས་ལྡན་པ་ཞིག་འཆར་འགོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཚོང་ལས་ཁང་ཚོས་ཁེ་སང་ཆེ་རུ་གཏོང་བའམ་ཡང་ན་འགྲོ་གྲོན་ཉུང་དུ་གཏོང་བར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཚན་རིག་པ་ཚོས་དེ་འདྲ་མཉམ་འཚོལ་བའི་རང་བྱུང་མ་ལག་ལ་དཔེ་སྟོན་བྱེད་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. ཞིང་པ་ཞིག་ལ་ཆུ་བོའི་འགྲམ་གྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་བའི་ས་ཞིང་ཞིག་བསྐོར་བར་ར་སྐོར་མི་ཊར་ ༡༠༠ ཡོད། (དེར་བརྟེན་ཕྱོགས་ ༣ ལ་ར་སྐོར་དགོས།) རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་རུ་གཏོང་བའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ།
2. བསྡོམས་རྩིས་ 20 ཡིན་པ་དང་ཐོན་འབྲས་གང་ཐུབ་ཆེ་བ་ཡོད་པའི་གྲངས་ཀ་གཉིས་འཚོལ་དགོས།
3. 100 cm\(^2\) ཡི་རྒྱུ་ཆ་ནས་སྦུ་གུ་ཞིག་བཟོ་དགོས། ཆེས་ཆེ་བའི་བོངས་ཚད་ཀྱི་ཆ་ཚད་འཚོལ།
4. རིང་ཚད་སྨི་10ཡོད་པའི་སྐུད་པ་གཅིག་གཉིས་སུ་གཅོད་ནས་གཅིག་གུག་ནས་གྲུ་བཞི་དང་གཞན་དེ་སྒོར་སྒོར་བཟོས་ཡོད། དེ་གང་འདྲ་བྱས་ནས་གཏུབ་དགོས་སམ།
5. གཞི་གྲུ་བཞི་མ་དང་རྒྱ་ཁྱོན་32 m\(^3\) ཡོད་པའི་ཁ་རྒྱག་པའི་སྒམ་ཞིག་བཟོ་རྒྱུ་རེད། ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་ཆུང་དུ་གཏོང་བའི་ཆ་ཚད་འཚོལ།

3.4 གུག་གུག་དང་གུག་ཚད།

འབྱུང་ཁུངས་ཀྱིས་ང་ཚོར་གྱེན་ཐུར་སྐོར་བཤད་པ་མ་ཟད། རི་མོའི་བཟོ་ལྟ་སྐོར་ཡང་བཤད་ཀྱི་ཡོད། འབྱུང་ཁུངས་གཉིས་པ་དེ་དམིགས་བསལ་གྱི་གུག་གུག་ཤེས་རྟོགས་དང་གཡོ་འགུལ་ས་ཚིགས་ངོས་འཛིན་བྱེད་པར་ཕན་ཐོགས་ཡོད།

གུག་གུག

གལ་ཏེ་ \(f(x)\) ལས་འགན་དེ་བར་མཚམས་ཤིག་གི་སྟེང་ལ་གུག་ཡོད། རི་མོ་དེ་ཕོར་པ་ནང་བཞིན་ཡར་གུག་ཡོད།

གལ་ཏེ་\(f''(x) < 0\) ལས་འགན་དེ་བར་མཚམས་ཤིག་གི་སྟེང་ལ་མར་གུག་ཡོད། ཐིག་ཁྲམ་དེ་མར་ཕྱོགས་སུ་གུག་ནས་མིག་ཟུང་བཙུམ་པ་ནང་ཞིན།

གུག་གུག་གིས་ལས་འགན་གྱི་གྱེན་ཐུར་འགྱུར་བ་ཇི་ལྟར་འགྲོ་གི་ཡོད་མེད་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་གྱེན་ཐུར་འཕར་བཞིན་ཡོད་ན། གལ་ཏེ་གྱེན་ཐུར་ཉུང་དུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད་ན། རི་མོ་དེ་མར་གུག་ཡོད།

གཡོ་འགུལ་ས་ཚིགས།གཡོ་འགུལ་ས་ཚིགས་ནི་རི་མོའི་སྟེང་གི་གུག་ཚད་འགྱུར་བ་འགྲོ་སའི་ས་ཚིགས་ཤིག་རེད།

• གལ་ཏེ་ \(f''(x) = 0\) ཡང་ན་ \(f''(x)\) ནི་གསལ་བཤད་མེད་ན།
• གཏན་འཁེལ་བྱེད་པར་གུག་གུག་དེ་ས་ཚིགས་ཀྱི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་མཚོན་རྟགས་བརྗེ་དགོས།

དཔེ།

1. \(f(x) = x^3\)

   • \(f''(x) = 6x\).
   • \(x = 0\), \(f''(0) = 0\) ཐོག་ལ།
   • \(x < 0\), \(f''(x) < 0\) → མར་གུག་ཡོད།
   • \(x > 0\), \(f''(x) > 0\) → ཡར་གུག་ཡོད།
   • དེ་ལྟར་ན། \((0,0)\)ནི་གཡོ་འགུལ་གྱི་ས་ཚིགས་ཤིག་རེད།

2. \(f(x) = x^4\)

   • \(f''(x) = 12x^2\).
   • \(x = 0\), \(f''(0) = 0\) ལ། འོན་ཀྱང་གུག་གུག་གིས་རྟགས་བསྒྱུར་མི་ཐུབ། (ག་དུས་ཡིན་ཡང་≥ 0)
   • གཡོ་འགུལ་ས་ཚིགས་མེད།

གུག་གུག་དང་གུག་གུག་རི་མོ།

གལ་ཏེ་ \(f'(x) = 0\) དང་ \(f''(x) > 0\) ཡིན་ན། \(f\) ལ་ས་གནས་ཀྱི་ཆུང་ཤོས་ཡོད། - གལ་ཏེ་ \(f'(x) = 0\) དང་ \(f''(x) < 0\) ཡིན་ན། \(f\) ལ་ས་གནས་ཀྱི་མཐོ་ཤོས་ཡོད། འདི་ལ་འབྱུང་ཁུངས་ཚོད་ལྟ་གཉིས་པ་ཞེས་འབོད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

གུག་གུག་དང་གཡོ་འགུལ་གྱི་ས་ཚིགས་ཀྱིས་ང་ཚོར་རི་མོའི་“དབྱིབས་”ཧ་གོ་བར་ཕན་ཐོགས། བསམ་བློ་འདི་དག་གུག་རྟགས་རི་མོ་བྲིས་པ་དང་། དངོས་ཁམས་རིག་པ་(མགྱོགས་ཚད) དཔལ་འབྱོར་རིག་པ་(ཁེ་སྤོགས་ཉུང་དུ་འགྲོ་བ)བཅས་ཀྱི་ནང་དུ་གཙོ་བོ་ཡིན།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(f(x) = x^3 - 3x\) ཡི་གུག་ཚད་ཀྱི་བར་མཚམས་གཏན་འབེབས་བྱེད། དེའི་གཡོ་འགུལ་ས་ཚིགས་འཚོལ།
2. \(f(x) = \ln(x)\) ལ་གུག་གུག་དང་འབྱུང་སྲིད་པའི་གཡོ་འགུལ་གྱི་ས་ཚིགས་ངོས་འཛིན་བྱེད་དགོས།
3. གལ་ཆེའི་ས་ཚིགས་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་པར་\(f(x) = x^2 e^{-x}\) ལ་འབྱུང་ཁུངས་ཚོད་ལྟ་གཉིས་པ་བཀོལ་དགོས།
4. \(f(x) = \sin x\) རི་མོ་བྲིས། གུག་གུག་དང་གུག་ཚད་ཀྱི་བར་མཚམས་རྟགས་བཀོད་དགོས།
5. \(f(x) = e^x\) ལ་གཡོ་འགུལ་གྱི་ས་ཚིགས་མེད་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

3.5 གུག་རྟགས་རི་མོ།

གུག་རྟགས་རི་མོ་འབྲི་བ་ནི་ལས་འགན་ཞིག་གི་འབྱུང་ཁུངས་ནས་གནས་ཚུལ་སྤྱད་དེ་རི་མོ་འབྲི་བའི་བྱ་རིམ་ཞིག་ཡིན། ང་ཚོས་ས་ཚིགས་མང་པོ་བྲིས་པ་ལས་གཙོ་བོའི་ཁྱད་ཆོས་ལ་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

གུག་གུག་རི་མོ་འབྲི་བའི་གོམ་པ།1. ཁྱབ་ཁོངས། ལས་འགན་དེ་གང་དུ་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད་མེད་ངོས་འཛིན་བྱེད།

2. Intercepts: རི་མོ་དེ་ཚངས་ཐིག་གང་དུ་བརྒལ་ཡོད་མེད་འཚོལ།

3. ཨེ་སིམ་པོ་ཊོཊ།

   • ལས་འགན་དེ་ངེས་ཚིག་མེད་པ་དང་མཐའ་མེད་ལ་འགྲོ་བའི་ས་ཆར་ལངས་པའི་ asymptotes འབྱུང་བ་རེད།
   • འཕྲེད་ལ་ཡང་ན་གུག་པའི་རྟགས་མཚན་གྱིས་མཐའ་མའི་སྤྱོད་ཚུལ་དེ་\(x \to \pm\infty\) ཞེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།

4. འབྱུང་ཁུངས་དང་པོ། \(f'(x)\):

   • དགེ་མཚན་→བྱེད་ནུས་འཕར་བཞིན་ཡོད།
   • དགག་ཆ་ → བྱེད་ནུས་ཉུང་དུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད།
   • \(f'(x)\) → གལ་ཆེའི་ས་ཚིགས་ཀྱི་ཀླད་ཀོར་(འབྱུང་སྲིད་པའི་ཆེས་མཐོ/ཆུང་ཤོས།)

5. འབྱུང་ཁུངས་གཉིས་པ་\(f''(x)\):

   • ཡག་པོ → གུག་གུག
   • དགག་ཆག → མར་གུག་པ། ཀླད་ཀོར་ཡང་ན་ངེས་ཚིག་མེད་པ། འབྱུང་སྲིད་པའི་བསྒྱུར་ཚད། ༦ བརྡ་འཕྲིན་མཉམ་བསྲེས། གྲུབ་འབྲས་ཚང་མ་བེད་སྤྱད་དེ་རི་མོ་གསལ་པོ་དང་ཏག་ཏག་ཅིག་བྲིས།

དཔེ་རིས་༡: \(f(x) = x^3 - 3x\)

• ཁྱབ་ཁོངས། ཨང་གྲངས་ངོ་མ་ཚང་མ།

• བར་ཆད། \((0,0)\) ལ།

• འབྱུང་ཁུངས། \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\).

  • འཕར་བཞིན་ཡོད། \((-\infty, -1) \cup (1, \infty)\).
  • ཉུང་དུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད། \((-1, 1)\).

• འབྱུང་ཁུངས་གཉིས་པ་: \(f''(x) = 6x\).

  • \(x < 0\) ལ་མར་གུག་དང་། \(x > 0\) ལ་ཡར་གུག་དགོས།
  • \((0,0)\) ལ་གཡོ་འགུལ་ཚད།

• དབྱིབས་: ས་གནས་ཀྱི་མཐོ་ཤོས་\((-1, 2)\) དང་། ​​ས་གནས་ཀྱི་ཆུང་ཤོས་\((1, -2)\) ལ་ཡོད་པའི་S-གུག་གུག

དཔེ་རིས་༢: \(f(x) = \frac{1}{x}\)

• དྲ་ཚིགས། \(x \neq 0\).

• ལངས་པའི་མཚོན་རྟགས་: \(x = 0\).

• འཕྲེད་ཐིག་མེད་པའི་མཚོན་རྟགས་: \(y = 0\).

• འབྱུང་ཁུངས། \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) (རྟག་ཏུ་དགག་ཆ་ཡིན།) བྱེད་ནུས་ནི་རྟག་ཏུ་ཉུང་དུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད།

• འབྱུང་ཁུངས་གཉིས་པ་: \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\).

  • \(x > 0\) ལ་གུག་ཡོད།
  • \(x < 0\) ཆེད་དུ་མར་གུག་ཡོད།

• རི་མོ། ཡན་ལག་གཉིས་ཡོད་པའི་ཚད་བརྒལ།

གུག་གུག་རི་མོ་འབྲི་རྒྱུ་དེ་ཕན་ཐོགས་ཡོད་པའི་རྒྱུ་མཚན་གང་ཡིན་ནམ།

• རྩིས་རྒྱག་ཆ་ཚང་མེད་པར་ལས་འགན་གྱི་སྤྱིའི་སྤྱོད་ཚུལ་ལ་ཤེས་རྟོགས་སྤྲོད་ཐུབ།
• རྩིས་རིག་གི་ཡིག་རྒྱུགས་དང་ལག་ལེན་གྱི་དཀའ་ངལ་ནང་གལ་ཆེ།
• ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་དབྱེ་ཞིབ་དང་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་གོ་རྟོགས་ལ་ཟམ་པ་བརྒྱབ་པ་རེད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(f(x) = x^4 - 2x^2\) ཡི་གུག་རྟགས་བྲིས། མཐོ་ཤོས་དང་ཆུང་ཤོས་དང་བསྒྱུར་ཚད་ངོས་འཛིན་བྱེད།2. \(f(x) = \ln(x)\) དབྱེ་ཞིབ་དང་རི་མོ་བྲིས། བར་ཆད་དང་། asymptotes དང་གུག་གུག་སྟོན་པ།
2. \(f(x) = e^{-x}\) ལ་འཕེལ་རྒྱས་/བཤིག་པ་དང་།
3. \((- \pi, \pi)\) བར་མཚམས་སྟེང་ལ་\(f(x) = \tan x\) ཡི་རི་མོ་བྲིས། མཚོན་རྟགས་རྟགས་བཀོད།
4. \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\) ཡི་གལ་ཆེའི་ས་ཚིགས་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་པར་འབྱུང་ཁུངས་ཚོད་ལྟ་དང་པོ་དང་གཉིས་པ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།

ཆ་ཤས་གཉིས་པ། མཉམ་སྡེབ།

ལེའུ་བཞི་བ། འབྱུང་ཁུངས་འགོག་བྱེད་དང་གཏན་འཁེལ་གྱི་ཧྲིལ་གྲངས་

4.1 ངེས་མེད་ཀྱི་ཧྲིལ་གྲངས།

ངེས་མེད་ཀྱི་ཆ་ཤས་ནི་དབྱེ་འབྱེད་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག་བྱ་རིམ་ཡིན། གལ་ཏེ་འབྱུང་ཁུངས་ཚད་གཞི་འགྱུར་བ་བྱུང་ན། དེ་ནས་ཆ་ཤས་གཅིག་གིས་འགྱུར་བའི་ཚད་གཞི་ནས་ལས་འགན་ཐོག་མ་དེ་སླར་གསོ་བྱེད།

མཚན་ཉིད

གལ་ཏེ་\(F'(x) = f(x)\)ཡིན་ན།

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C, \]

གང་དུ \(C\) ནི་མཉམ་སྡེབ་ཀྱི་རྟག་གྲངས་ཡིན།

གཏན་འཁེལ་མེད་པའི་ཆ་ཤས་ཚང་མས་གཏན་ཚིགས་གཅིག་གིས་ཁྱད་པར་མེད་པའི་ལས་འགན་གྱི་རིགས་ཤིག་མཚོན་གྱི་ཡོད།

གཞི་རྩའི་སྒྲིག་གཞི།

1. རྟག་བརྟན་གྱི་ཁྲིམས་ལུགས།

\[ \int c\,dx = cx + C. \]

2. དབང་ཆའི་ཁྲིམས་ལུགས།

\[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1. \]

3. བསྡོམས་རྩིས་ཁྲིམས་ལུགས།

\[ \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx. \]

4. རྟག་ཏུ་སྣ་མང་ཁྲིམས་ལུགས།

\[ \int c f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx. \]

སྤྱིར་བཏང་གི་ཧྲིལ་བུ།

• \(\int e^x dx = e^x + C\)
• \(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
• \(\int \cos x dx = \sin x + C\)
• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)

དཔེ།

1. \(\int (3x^2 - 4)\,dx = x^3 - 4x + C\).

2. \(\int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x) + C\).

3. \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\).

དོན་འགྲེལ།

• ངེས་མེད་ཀྱི་ཆ་ཤས་ནི་འབྱུང་ཁུངས་ལ་འགོག་བྱེད་ཡིན། དེ་དག་ནི་ས་ཁོངས་དང་། ཐག་རིང་། བརྡ་རྟགས་སོགས་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི་ཚད་གཞི་ཚད་འཇལ་བྱེད་ཀྱི་ཆ་ཤས་གཏན་འཁེལ་གྱི་གཞི་རྩ་ཡིན།
• བཀོལ་སྤྱོད་ཀྱི་སྐབས་དོན་ནང་། མཉམ་སྡེབ་ཀྱིས་ང་ཚོར་རིན་གོང་ནས་བསྡོམས་རྩིས་ལ་སྤོ་ཐུབ།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\int (5x^4 + 2x)\,dx\) འཚོལ།2. \(\int (e^x + 3)\,dx\)རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. མཉམ་བསྲེས་བཀོལ་ནས་\(f'(x) = 6x\) ཡི་སྤྱིར་བཏང་གི་ཐབས་ཤེས་འཚོལ།
3. \(\int \frac{2}{x}\,dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས།
4. གལ་ཏེ་མགྱོགས་ཚད་ \(v(t) = 4t\) ཡིན་ན་གནས་ཡུལ་གྱི་ལས་འགན་ \(s(t)\) འཚོལ་དགོས།

4.2 ངེས་གཏན་གྱི་ཆ་ཤས་དེ་རྒྱ་ཁྱོན་ཡིན།

གཏན་འཁེལ་མེད་པའི་ཆ་ཤས་ཀྱིས་འབྱུང་ཁུངས་འགོག་པའི་ཁྱིམ་ཚང་མཚོན་པའི་སྐབས་གཏན་འཁེལ་གྱི་ཆ་ཤས་དེས་ཨང་གྲངས་ཀྱི་རིན་ཐང་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

མཚན་ཉིད

\([a, b]\) ཐོག་གསལ་བཀོད་བྱས་པའི་ལས་འགན་\(f(x)\) ལ་གཏན་འཁེལ་གྱི་ཆ་ཤས་ནི།

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^-) \,\Delta x, \]

དེའི་ནང་དུ་བར་མཚམས་\([a, b]\) དེ་རྒྱ་ཚད་\(\Delta x\) \(n\) བར་མཚམས་ཆུང་བ་ལ་དབྱེ་ཡོད། \(x_i^-\) ནི་བར་མཚམས་ཆུང་བ་རེ་རེའི་དཔེ་ཚད་ཀྱི་ས་ཚིགས་ཡིན།

འདི་ནི་རི་མན་གྱི་བསྡོམས་རྩིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་ཡིན།

དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་འགྲེལ་བཤད།

• གལ་ཏེ་ \(f(x) \geq 0\) \([a, b]\) ཐོག་ཡོད་ན། \(\int_a^b f(x)\,dx\) ནི་ \(y = f(x)\) ནས་ \(x=a\) ནས་ ⟪XTK0015 བར་གྱི་གུག་རྟགས་འོག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་འདྲ་མཉམ་ཡིན། གལ་ཏེ་\(f(x)\) \(x\)-axis འོག་ལ་ལྷུང་ན། ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་དེས་མཚོན་རྟགས་བཀོད་པའི་ས་ཁུལ་རྩིས་རྒྱག་བྱེད།

ངེས་གཏན་གྱི་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས།

1. བར་མཚམས་ཐོག་གི་བསྡོམས་རྩིས་ནུས་པ།

\[ \int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx. \]

2. ཚད་གཞི་ཕྱིར་ལོག་བྱེད་པ།

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]

3. ཀླད་ཀོར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་བར་མཚམས།

\[ \int_a^a f(x)\,dx = 0. \]

4. ཐིག་རིས།

\[ \int_a^b \big( cf(x) + g(x)\big)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx. \]

དཔེ།

1. \(\int_0^2 x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^2 = 2.\) འདི་ནི་ཐིག་ \(y=x\) འོག་གི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡིན།

2. \(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\) ལས་འགན་མི་འདྲ་བ་\(x^3\) ལ་ཆ་མེད་གཏོང་བའི་འདྲ་མཉམ་གྱི་ས་ཁོངས་ཡོད།

3. \(\int_0^\pi \sin x\,dx = 2.\) འདི་ནི་སིན་གུག་རྟགས་ཀྱི་གཞུ་དབྱིབས་གཅིག་གི་འོག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་འདྲ་མཉམ་ཡིན།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ངེས་གཏན་གྱི་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་དེས་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི་ཚད་གཞི་ཚད་འཇལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།- ཁོང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་རྩིས་རྒྱག་དང་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་མངོན་རྟོགས་ཟམ་པ་བརྒྱབ་ཡོད།
• གོམ་པ་རྗེས་མ་ནི་རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་ཡིན།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\)རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(y = x^2\) དང་ \(x\)-ཚངས་ཐིག་ \(x = 0\) ནས་ \(x = 2\) བར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ།
3. \(\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\,dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས།
4. གལ་ཏེ་ \(f(x)\) ནི་ཕྱེད་ཀ་ཡིན་ན།
5. \(n=4\) བར་མཚམས་ཆུང་བ་དང་གཡས་ཕྱོགས་ཀྱི་མཐའ་མཚམས་ཡོད་པའི་རི་མན་གྱི་བསྡོམས་རྩིས་བཀོལ་ནས་\(\int_0^1 e^x\,dx\) ཚོད་དཔག་བྱེད།

༤་༣ རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས།

རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་ (FTC) གིས་རྩིས་རིག་གི་བསམ་བློ་གཙོ་བོ་གཉིས་སྟེ་ཁྱད་པར་དང་མཉམ་བསྲེས་གཉིས་གཅིག་སྒྲིལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ས་ཁུལ་འཚོལ་བ་དང་འགྱུར་ཚད་འཚོལ་བ་ནི་དངུལ་གཅིག་གི་ཕྱོགས་གཉིས་ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད།

ལེའུ་དང་པོ། ཧྲིལ་པོའི་ཁྱད་པར།

གལ་ཏེ་\(f\)ནི་\([a, b]\)ཐོག་མུ་མཐུད་ཡིན་ན།

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt. \]

དེ་ནས་\(F\)ནི་ཁྱད་པར་ཅན་དང་།

\[ F'(x) = f(x). \]

ཚིག་ལ་: བསྡུ་སྒྲིག་བྱས་པའི་ས་ཁོངས་ལས་འགན་གྱི་འབྱུང་ཁུངས་ནི་ལས་འགན་ཐོག་མ་དེ་རང་ཡིན།

ལེའུ་གཉིས་པ། ངེས་གཏན་གྱི་ཆ་ཤས་ལ་བརྟག་དཔྱད།

གལ་ཏེ་\(f\)ནི་\([a, b]\)ཐོག་མུ་མཐུད་ཡིན་པ་དང་\(F\)ནི་\(f\)ཡི་འགོག་བྱེད་གང་རུང་ཞིག་ཡིན་ན།

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \]

འདིས་ང་ཚོར་རི་མན་གྱི་བསྡོམས་རྩིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་རྩིས་རྒྱག་པ་ལས་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་འཚོལ་བ་བརྒྱུད་ནས་གཏན་འཁེལ་གྱི་ཆ་ཤས་ལ་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད་ཐུབ་ཅེས་བཤད་ཀྱི་ཡོད།

དཔེ།

1. \(\int_0^2 x^2\,dx\).

   • འབྱུང་ཁུངས་འགོག་བྱེད། \(F(x) = \tfrac{1}{3}x^3\).
   • FTC ཞུ་གཏུག: \(F(2) - F(0) = \tfrac{8}{3} - 0 = \tfrac{8}{3}.\)

2. གལ་ཏེ་ \(F(x) = \int_1^x \cos t \, dt\) ཡིན་ན། \(F'(x) = \cos x\) ཡིན།

3. \(\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx\).

   • འབྱུང་ཁུངས་འགོག་བྱེད་: \(\ln|x|\).
   • FTC ཞུ་གཏུག: \(\ln 4 - \ln 1 = \ln 4.\)

ཅིའི་ཕྱིར་FTCགལ་ཆེན་པོ་ཡིན།

• དེས་ཚད་གཞི་བྱ་རིམ་ནས་ལག་ལེན་གྱི་རྩིས་རྒྱག་ལ་སྒྱུར་བཅོས་བྱེད།- ཁྱད་པར་དང་མཉམ་བསྲེས་ནི་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་ཡིན་པ་གཏན་འཁེལ་བྱེད།
• དེ་ནི་རྩིས་རིག་དང་། ཚན་རིག བཟོ་སྐྲུན་བཅས་ལ་ཕན་ཐོགས་པའི་རྩིས་རིག་ལྟེ་བ་དེ་ཡིན།

ལུས་སྦྱོང་།

1. FTC བཀོལ་ནས་\(\int_0^3 (2x+1)\,dx\) ལ་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད།
2. གལ་ཏེ་ \(F(x) = \int_0^x e^t\,dt\) ཡིན་ན། \(F'(x)\) འཚོལ་དགོས།
3. \(\int_0^\pi \sin x \, dx\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
4. གལ་ཏེ་ \(f'(x) = g(x)\) ཡིན་ན་ \(\int_a^b g(x)\,dx = f(b) - f(a)\) ཡིན་པ་སྟོན་དགོས།
5. FTC བེད་སྤྱད་དེ་\(y = \cos x\) འོག་གི་ས་ཁོངས་དེ་\(0\) ནས་\(\pi/2\) བར་གྱི་1 དང་འདྲ་མཉམ་ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

༤་༤ ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས།

ངེས་གཏན་གྱི་ཆ་ཤས་ལ་གལ་ཆེའི་ཁྱད་ཆོས་འགའ་ཤས་ཡོད་པ་དེས་བཀོལ་སྤྱོད་ནང་མཉེན་ཆས་དང་སྟོབས་ཤུགས་ལྡན་པ་བཟོ་གི་ཡོད། ཁྱད་ཆོས་འདི་དག་བསྡོམས་རྩིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་ཡིན་པའི་ངེས་ཚིག་དང་རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་ལས་བྱུང་བ་རེད།

ཐིག་འཕྲིན།

ལས་འགན་\(f(x)\) དང་\(g(x)\) དང་རྟག་གྲངས་\(c, d\) ལ།

\[ \int_a^b \big(c f(x) + d g(x)\big)\,dx = c \int_a^b f(x)\,dx + d \int_a^b g(x)\,dx. \]

འདིས་ང་ཚོར་རྙོག་འཛིང་ཆེ་བའི་ཆ་ཤས་རྣམས་ཆ་ཤས་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་ཐུབ།

བར་མཚམས་ལ་བསྡོམས་རྩིས་བྱེད་ནུས།

གལ་ཏེ་\(a < c < b\)ཡིན་ན།

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx. \]

ང་ཚོས་ཆ་ཤས་ཆ་ཤས་ཆ་ཤས་རེ་རེ་བཞིན་རྩིས་རྒྱག་ཐུབ།

ཚད་གཞི་ཕྱིར་ལོག་བྱེད་པ།

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]

མཐའ་མཚམས་བརྗེ་རེས་བྱེད་པ་དེས་ཆ་ཤས་ཀྱི་མཚོན་རྟགས་བརྗེ་སྒྱུར་བྱེད།

བསྡུར་བའི་རྒྱུ་ནོར།

གལ་ཏེ་\(f(x) \leq g(x)\)ཚང་མའི་ཆེད་དུ་\([a, b]\)ནང་དུ་ཡོད་ན།

\[ \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx. \]

འདིས་ཐད་ཀར་རྩིས་རྒྱག་མེད་པའི་ས་ཁུལ་ལ་འགྲན་རྩོད་བྱེད་ཐུབ།

རིན་ཐང་ཆ་ཚང་མི་འདྲ་བ།

\[ \left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx. \]

ཁྱད་ཆོས་འདི་དབྱེ་ཞིབ་དང་བསྡོམས་རྩིས་ཚོད་ལྟའི་ནང་གལ་ཆེན་པོ་རེད།

འདྲ་མཉམ།

གལ་ཏེ་\(f(x)\)ནི་ཆ་སྙོམས་ཡིན་ན།

\[ \int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]

གལ་ཏེ་\(f(x)\)ནི་ཐ་དད་ཡིན་ན།

\[ \int_{-a}^a f(x)\,dx = 0. \]### དཔེ།

1. \(\int_0^2 (3x^2 + 4)\,dx = \int_0^2 3x^2\,dx + \int_0^2 4\,dx = 8 + 8 = 16.\)

2. \(f(x) = x^3\)ནི་ཕྲ་མོ་ཡིན་པས་\(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\)ཡིན།

\(f(x) = x^2\)ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་པས་\(\int_{-2}^2 x^2\,dx = 2\int_0^2 x^2\,dx = 2\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}.\)ཡིན།

རྒྱུ་ནོར་འདི་དག་གལ་ཆེན་པོ་ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན།

ཁོང་ཚོས་རྩིས་རྒྱག་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་གི་ཡོད། དེ་དག་གིས་ལས་འགན་གྱི་དབྱིབས་རྩིས་དང་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཁྱད་ཆོས་གསལ་སྟོན་བྱེད། - དེ་དག་གིས་གོང་འཕེལ་ཅན་གྱི་དབྱེ་ཞིབ་ཆེད་དུ་གྲུབ་མཐའི་ལག་ཆ་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\int_{-5}^5 (x^4 - x^3)\,dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱེད་པར་འདྲ་མཉམ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
2. \(\int_1^4 (2x+3)\,dx = \int_1^2 (2x+3)\,dx + \int_2^4 (2x+3)\,dx\) དེ་སྟོན་དགོས།
3. \(\int_0^\pi \sin(x)\,dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས་ནས་ \(\int_{-\pi}^\pi \sin(x)\,dx\) དང་བསྡུར་དགོས།
4. གལ་ཏེ་\([a, b]\) ཐོག་ལ་\(f(x) \geq 0\) ཡོད་ན། དེ་ནས་\(\int_a^b f(x)\,dx \geq 0\) ཡིན་པ་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་དགོས།
5. \(\int_{-3}^3 (x^2 + 1)\,dx\) ཆ་སྙོམས་/ཆ་སྙོམས་རྒྱུ་ཆ་བཀོལ་ནས་རྩིས་རྒྱག་དགོས།

ལེའུ་ལྔ་བ། མཉམ་བསྲེས་ཀྱི་ལག་རྩལ།

༥་༡ ཚབ་བཅོས།

མཉམ་བསྲེས་བྱེད་པའི་ཐབས་ཤེས་ཕན་ཐོགས་ཆེ་ཤོས་ཤིག་ནི་ཚབ་བྱེད་ཐབས་ལམ་ཡིན། འདི་ནི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱི་རིམ་སྒྲིག་ཁྲིམས་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག་བྱ་རིམ་ཡིན།

བསམ་བློ།

གལ་ཏེ་ཆ་ཤས་གཅིག་ལ་བསྡོམས་རྩིས་ལས་འགན་ཡོད་ན། ང་ཚོས་འགྱུར་ལྡོག་ཅན་བསྒྱུར་ནས་དེ་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་ཐུབ།

གལ་ཏེ་\(u = g(x)\)ནི་ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་ལས་འགན་ཞིག་ཡིན་ན།

\[ \int f(g(x)) g'(x)\,dx = \int f(u)\,du. \]

ཚབ་བྱེད་འདིས་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་དེ་ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱེད་པར་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་གི་ཡོད།

ཚབ་བྱེད་ཀྱི་རིམ་པ་།

1. ནང་ཁུལ་གྱི་ལས་འགན་ \(u = g(x)\) ངོས་འཛིན་བྱོས། དེའི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱང་མཉམ་བསྡོམས་ནང་དུ་མངོན་ཡོད།
2. \(du = g'(x)\,dx\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(u\) ཡི་ཐོག་ནས་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་དེ་བསྐྱར་བྲིས།
4. \(u\) ལ་གུས་ཞབས་དང་བཅས་མཉམ་བསྲེས་བྱེད་དགོས།
5. ཕྱིར་ཚབ་བྱེད་པ། \(u = g(x)\).

དཔེ།

1. ཚབ་བརྗེ་སྟབས་བདེ།

   \[ \int 2x \cos(x^2)\,dx \]

   \(u = x^2\) དེ་ལྟར་ན་\(du = 2x\,dx\) ཡིན། དེ་ནས་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་དེ་\(\int \cos u \,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C\) ལ་འགྱུར་བ་རེད།

2. ལོ་གྷ་རི་ཐམ་གྱི་གནད་དོན།

   \[\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx \]

   Let \(u = x^2 + 1\), so \(du = 2x\,dx\). Then integral becomes \(\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C\).

3. Trigonometric substitution

   \[ \int \སིན་(3x)\,dx \]

   Let \(u = 3x\), so \(du = 3\,dx\), hence \(dx = \frac{du}{3}\). Integral becomes \(\tfrac{1}{3}\int \sin u\,du = -\tfrac{1}{3}\cos u + C = -\tfrac{1}{3}\cos(3x) + C\).

Definite Integrals with Substitution

When evaluating definite integrals, we must also change the limits:

\[ \int_a^b f(g(x)) g'(x)\,dx = \int_{ཇི་(ཀ)}^{ཇི་(ཁ)} f(u)\,du. \]

Example:

\[ \int_0^1 2x ཨི^{x^2}\,dx. \]

Let \(u = x^2\), \(du = 2x\,dx\). Limits: when \(x=0, u=0\); when \(x=1, u=1\). So the integral becomes

\[ \int_0^1 ཨི^ཨུ\,དུ་ = ཨི - ༡. \]

Exercises

1. Evaluate \(\int (x^2+1)^5 (2x)\,dx\).
2. Compute \(\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx\).
3. Evaluate \(\int_0^\pi \sin(2x)\,dx\) using substitution.
4. Find \(\int e^{3x}\,dx\).
5. Compute \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\) by letting \(u = 1+x^2\).

5.2 Integration by Parts

Integration by parts is a technique that comes from the product rule for derivatives. It helps evaluate integrals involving products of functions that are not easily handled by substitution alone.

The Formula

From the product rule:

\[ \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = ཡུ་'(x)v(x) + ཡུ་(x)v'(x)། \]

Integrating both sides gives the integration by parts formula:

\[ \int u\,dv = uv - \int ཝ\,དུ། \]

Here:

• \(u\) = a function chosen to be differentiated,
• \(dv\) = the remaining part of the integrand to be integrated.

Choosing \(u\) and \(dv\)

A common guideline is LIATE (Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential).

• Choose \(u\) from the earliest category present.
• Choose \(dv\) as the rest.

Examples

1. Polynomial × Exponential

\[ \int x ཨི^x\,dx \]\(u = x\), \(dv = e^x dx\) ཡིན། དེ་ནས་\(du = dx\), \(v = e^x\) ཡིན།

\[ \int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C. \]

2. གྲངས་མང་གྲངས་ × ཊི་རིག

\[ \int x \cos x\,dx \]

\(u = x\), \(dv = \cos x dx\) ཡིན། དེ་ནས་ \(du = dx\), \(v = \sin x\) ཡིན།

\[ \int x \cos x\,dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. \]

3. ལོ་གྷ་རི་ཐམ།

\[ \int \ln x\,dx \]

\(u = \ln x\), \(dv = dx\) ཡིན། དེ་ནས་ \(du = \frac{1}{x}dx\), \(v = x\) བཅས་ཡིན།

\[ \int \ln x\,dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C. \]

ངེས་གཏན་གྱི་ཆ་ཤས་དཔེ།

\[ \int_0^1 x e^x\,dx \]

སྔོན་གྱི་གྲུབ་འབྲས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པ། \(\int x e^x dx = (x-1)e^x\). རིན་ཐང་འབེབས་པ:

\[ \big[(x-1)e^x\big]_0^1 = (0)e^1 - (-1)e^0 = 0 + 1 = 1. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

ཚབ་བཙུགས་མ་ཐུབ་པའི་སྐབས་ཆ་ཤས་གཅིག་སྒྲིལ་བྱེད་པ་དེ་གལ་ཆེན་པོ་ཡིན། ལྷག་པར་དུ་ལོ་གྷ་རི་དམ་དང་། ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་ཟུར་གསུམ་རྩིས་རིག་གི་ལས་འགན་དང་།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\int x \sin x\,dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས།
2. \(\int e^x \cos x\,dx\) འཚོལ།
3. \(\int_1^2 \ln x\,dx\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
4. \(\int x^2 e^x\,dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས།
5. \(\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\) སྟོན་པའི་ཆེད་དུ་ཆ་ཤས་ཀྱིས་མཉམ་བསྲེས་བྱེད་པ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།

5.3 ཟུར་གསུམ་རྩིས་རིག་གི་ཧྲིལ་གྲངས་དང་ཚབ་བྱེད།

ཆ་ཤས་མང་པོ་ཞིག་ལ་ཟུར་གསུམ་རྩིས་རིག་གི་ལས་འགན་ཚུད་ཡོད། འདི་དག་ངོས་འཛིན་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པའམ་ཡང་ན་དམིགས་བསལ་གྱི་ཚབ་བཙུགས་ནས་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་ཐུབ།

ཟུར་གསུམ་རྩིས་རིག་གི་ཧྲིལ་བུ།

1. སིན་དང་ཀོ་སིན་གྱི་ནུས་པ།

གལ་ཏེ་སིན་གྱི་ནུས་པ་དེ་ཕྲ་མོ་ཡིན་ན། \(\sin x\) གཅིག་ཉར་ཚགས་བྱས་ནས་ལྷག་མ་དེ་\(\sin^2x = 1 - \cos^2x\) དང་མཉམ་དུ་བསྒྱུར་ནས་\(u = \cos x\) ཚབ་བཙུགས། གལ་ཏེ་ཀོ་སིན་གྱི་ནུས་པ་དེ་ཕྲ་མོ་ཡིན་ན། \(\cos x\) གཅིག་ཉར་ཚགས་བྱས་ནས་ལྷག་མ་དེ་\(\cos^2x = 1 - \sin^2x\) དང་མཉམ་དུ་བསྒྱུར་ནས་\(u = \sin x\) ཚབ་བཙུགས། གལ་ཏེ་གཉིས་ཀ་ཆ་སྙོམས་ཡིན་ན། ཟུར་ཕྱེད་ཀའི་ངོས་འཛིན་བེད་སྤྱོད་བྱེད།

དཔེ་བརྗོད:

\[ \int \sin^3x \cos x \, dx \]

\(u = \sin x\), \(du = \cos x\,dx\):

\[ \int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \ཏཕྲག་{\སིན^4x}{4} + C.\]

2. Products of sine and cosine with different angles Use product-to-sum formulas:

\[ \sin A \cos B = \tfrac{1}{2}[\སིན་(A+B) + \སིན་(A-B)]. \]

Example:

\[ \int \སིན་(2x)\ཀོས་(3x)\,dx = \tfrac{1}{2}\int [\སིན་(5x) - \སིན་(x)]\,dx. \]

3. Powers of secant and tangent

• If the power of secant is even: save \(\sec^2x\), convert the rest with \(\sec^2x = 1 + \tan^2x\), and substitute \(u = \tan x\).
• If the power of tangent is odd: save \(\sec^2x\), convert the rest with \(\tan^2x = \sec^2x - 1\), and substitute \(u = \tan x\).

Example:

\[ \int \ཏན་^3x \སེ་ཀ^2x \, dx \]

Let \(u = \tan x\), \(du = \sec^2x\,dx\):

\[ \int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \ཏྰ་ཕྲག་{\ཏན^4x}{4} + C. \]

Trigonometric Substitutions

For integrals involving \(\sqrt{a^2 - x^2}\), \(\sqrt{a^2 + x^2}\), or \(\sqrt{x^2 - a^2}\), use special substitutions:

1. \(x = a \sin \theta\), for \(\sqrt{a^2 - x^2}\).
2. \(x = a \tan \theta\), for \(\sqrt{a^2 + x^2}\).
3. \(x = a \sec \theta\), for \(\sqrt{x^2 - a^2}\).

Example:

\[ \int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \]

Let \(x = a\sin\theta\), so \(dx = a\cos\theta\,d\theta\):

\[ \int \sqrt{a^2 - a^2\སིན་^2\ཐེ་ཏ}(a\ཀོས་\ཐེ་ཏ\,d\ཐེ་ཏ) = \int a^2 \ཀོས་^2\ཐེ་ཏ\, ད\ཐེ་ཏ། \]

ཟུར་ཕྱེད་ཀའི་ངོས་འཛིན་སྤྱད་དེ་སྟབས་བདེ་བཟོས།

ཅིའི་ཕྱིར་ལག་རྩལ་འདི་དག་གལ་ཆེན་པོ་རེད།

• ཁོང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་རྣམ་པ་དཀའ་ཁག་ཅན་དེ་ཚོ་དོ་དམ་བྱེད་ཐུབ་པའི་ཟུར་གསུམ་རྩིས་རིག་པའི་རྣམ་པ་ལ་སྒྱུར་གྱི་ཡོད།
• དེ་དག་ས་ཁོངས་དང་། རྒྱ་ཁྱོན། གཞུ་དབྱིབས་རིང་ཚད་བཅས་དང་འབྲེལ་བའི་དཀའ་ངལ་ལ་དམིགས་བསལ་གྱི་ཕན་ཐོགས་ཡོད། ཁོང་ཚོས་ཡར་ཐོན་ཅན་གྱི་མཉམ་བསྲེས་བྱེད་ཐབས་ལ་རྨང་གཞི་བཏིང་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\int \sin^4x \cos^2x \, dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས།
2. \(\int \sin(5x)\cos(2x)\,dx\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(\int \tan^2x \sec^2x \, dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས།
4. ཚབ་བཙུགས་ནས་\(\int \sqrt{9 - x^2}\,dx\) འཚོལ་དགོས།
5. \(x = a\tan\theta\) བཀོལ་ནས་\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C\) དེ་སྟོན་དགོས།

༥་༤ ཆ་ཤས་ཆ་ཤས།ཁུངས་ལྡན་གྱི་ལས་འགན་(ཚད་མང་གྲངས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས)མཉམ་བསྲེས་བྱེད་སྐབས་ཐབས་ཤེས་སྟོབས་ལྡན་གཅིག་ནི་ཆ་ཤས་ཆ་ཤས་བགོ་བཤའ་རྒྱག་པ་དེ་རེད། ཐབས་ཤེས་འདིས་རྙོག་འཛིང་ཅན་གྱི་དཔྱ་རྩིས་དེ་དཔྱ་རྩིས་སྟབས་བདེ་བའི་བསྡོམས་རྩིས་ལྟར་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།

བསམ་བློ།

གལ་ཏེ་ \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) ནི་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ལས་འགན་ཞིག་ཡིན་ན་ \(P(x)\) ཡི་ཚད་གཞི་དེ་ \(Q(x)\) ཡི་ཚད་གཞི་ལས་ཉུང་བ་ཡིན་ན།

འདི་དག་ལས་སླ་བའི་ཆ་ཤས་དེ་དག་བགོད་གྲངས་\(Q(x)\) ཡི་ཆ་རྐྱེན་ལ་མཐུན་ཡོད།

ཐུན་མོང་གི་རྣམ་པ།

1. ཐིག་རིས་ཆ་རྐྱེན་ཁྱད་པར་ཅན། གལ་ཏེ

\[ \frac{1}{(x-a)(x-b)}, \]

དེ་ནས་བཤིག་དགོས།

\[ \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}. \]

2. བསྐྱར་ཟློས་ཀྱི་ཐིག་རིས་ཆ་རྐྱེན། གལ་ཏེ་བགོད་གྲངས་ལ་\((x-a)^n\)ཡོད་ན། དེ་ནས་ཐ་སྙད་ནི།

\[ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x-a)^n}. \]

3. ཉུང་དུ་གཏོང་མི་ཐུབ་པའི་གྲུ་བཞིའི་ཆ་རྐྱེན། གལ་ཏེ་བགོད་གྲངས་ལ་\((x^2+bx+c)\)ཡོད་ན། དེ་ནས་གྲངས་ཀ་དེ་རིམ་འགྲོས་ཡིན།

\[ \frac{Ax+B}{x^2+bx+c}. \]

དཔེ་རིས་ ༡: ཐིག་རིས་ཆ་རྐྱེན་མི་འདྲ་བ།

\[ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx \]

ཆ་རྐྱེན་གྱི་བགོད་གྲངས། \((x-1)(x+1)\). རུལ་བ།

\[ \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right). \]

མཉམ་བསྲེས།

\[ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C. \]

དཔེ་རིས་ ༢: བསྐྱར་ལོག་རིམ་འགྲོས་ཆ་རྐྱེན།

\[ \int \frac{1}{(x-1)^2}\,dx \]

འདི་ནི་སྔོན་ནས་ལས་སླ་པོ་རེད།

\[ \int (x-1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x-1} + C. \]

དཔེ་རིས་ ༣: ཉུང་དུ་གཏོང་མི་ཐུབ་པའི་གྲུ་བཞིའི་ཆ་རྐྱེན།

\[ \int \frac{x}{x^2+1}\,dx \]

\(u = x^2+1\) ཚབ་བྱེད་པའམ་ཡང་ན་གྲངས་ཀ་དེ་བགོད་གྲངས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ཡིན་པ་ཤེས་དགོས།

\[ \int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C. \]

ཆ་ཤས་ཆ་ཤས་བགོ་བཤའ་རྒྱག་པའི་རིམ་པ་

1. བགོད་གྲངས་ཆ་རྐྱེན།
2. སྤྱིར་བཏང་གི་ཆ་ཤས་ཆ་ཤས་ཀྱི་རྣམ་པ་བྲིས།
3. ཆ་ཤས་གསལ་པོ་བཟོ་བར་བགོད་གྲངས་བརྒྱུད་ནས་བསྒྱུར་དགོས།
4. མ་ཤེས་པའི་རྟག་གྲངས་ལ་ཐག་གཅོད་བྱེད།
5. ཐ་སྙད་རེ་རེ་བཞིན་མཉམ་བསྲེས་བྱེད་དགོས།འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• མགུ་རྙོག་ཅན་གྱི་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ལས་འགན་དེ་ལོ་གྷ་རི་ཐམ་ཡང་ན་གཞུ་དབྱིབས་དབྱིབས་ལ་སྒྱུར་ཐུབ།
• དམིགས་བསལ་གྱི་ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་སྙོམ་རྩིས་དང་ལ་པེ་ལེ་སི་སྒྱུར་བཅོས་ནང་ཕན་ཐོགས་ཡོད།
• ཡར་ཐོན་ཅན་གྱི་རྩིས་རིག་དང་བཟོ་སྐྲུན་རིག་གནས་ཀྱི་གཞི་རྩ།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx\) བཤིག་ནས་གཅིག་སྒྲིལ་བྱེད།
2. \(\int \frac{1}{x^2(x+1)}\,dx\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས།
3. \(\int \frac{2x+1}{x^2+2x+2}\,dx\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
4. \(\int \frac{1}{x^3 - x}\,dx\) འཚོལ།
5. \(\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C\) ཆ་ཤས་ཆ་ཤས་ཡང་ན་ཚབ་བཙུགས་ནས་སྟོན།

5.5 མི་འགྲིག་པའི་བསྡོམས་ཚིག

ཆ་ཤས་ཁ་ཤས་ཐད་ཀར་བརྟག་དཔྱད་བྱེད་མི་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི་བར་མཚམས་དེ་ཚད་མེད་ཡིན་པའམ་ཡང་ན་ཆ་ཤས་དེ་ཚད་མེད་པར་གྱུར་བ་རེད། འདི་དག་ལ་མི་འགྲིག་པའི་ཧྲིལ་གྲངས་ཟེར། དེ་དག་ཚད་གཞི་བཀོལ་ནས་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད།

མཚན་ཉིད

1. མཐའ་མེད་བར་མཚམས།

\[ \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx. \]

\[ \int_{-\infty}^a f(x)\,dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^a f(x)\,dx. \]

2. ཚད་མེད་ཀྱི་བསྡོམས་གྲངས། གལ་ཏེ་ \(f(x)\) ལ་ \(c\) ལ་ལངས་པའི་ asymptote ཡོད་ན།

\[ \int_a^c f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)\,dx, \]

\[ \int_c^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x)\,dx. \]

འདུ་འཛོམས་དང་ཁ་འཐེན།

གལ་ཏེ་ཚད་གཞི་དེ་གནས་ཡོད་པ་དང་ཚད་གཞི་ཅན་ཡིན་ན། གལ་ཏེ་ཚད་གཞི་དེ་མེད་པའམ་ཡང་ན་ཚད་མེད་ཡིན་ན།

དཔེ།

1. མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་ཉམས་རྒུད།

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \Big[-\tfrac{1}{x}\Big]_1^b = 1. \]

འདི་འདུས་ཡོད།

2. ཧར་མོ་ནིག་གི་བྱེད་ནུས།

\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \ln b. \]

འདི་མཐའ་མེད་དུ་ཁ་བྲལ་འགྲོ་གི་ཡོད།

3. 0 ལ་ཡོད་པའི་ཨ་སིམ་ཊོ་ཊི།

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx. \]

\[ = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1 = 2. \]

འདི་འདུས་ཡོད།

4. 0 ལ་ཡོད་པའི་ཨ་སིམ་པོ་ཊོཊ (མི་འདྲ་བ།)

\[\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \ལིམ་_{t \to 0^+} \ln(1) - \ln(t)། \]

This diverges since \(\ln(t) \to -\infty\).

Comparison Test for Improper Integrals

• If \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) for large \(x\), and \(\int g(x)\,dx\) converges, then \(\int f(x)\,dx\) also converges.
• If \(\int f(x)\,dx\) diverges and \(f(x) \geq g(x) \geq 0\), then \(\int g(x)\,dx\) also diverges.

Why Improper Integrals Matter

• They extend integration to infinite domains and unbounded functions.
• They are essential in probability (continuous distributions), physics (gravitational/electric fields), and Fourier analysis.

Exercises

1. Determine whether \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx\) converges for various values of \(p\).
2. Evaluate \(\int_0^\infty e^{-x}\,dx\).
3. Test convergence of \(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx\) depending on \(p\).
4. Compute \(\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx\).
5. Use the comparison test to show that \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}\,dx\) converges.

Chapter 6. Applications of Integration

6.1 Areas and Volumes

One of the most important applications of integration is finding areas under curves and volumes of solids.

Area Between Curves

If \(f(x) \geq g(x)\) on \([a, b]\), then the area between the curves \(y=f(x)\) and \(y=g(x)\) is

\[ A = \int_a^b \ཆེ་བ་(f(x) - g(x)\ཆེ་བ་)\,dx. \]

Example: Find the area between \(y=x^2\) and \(y=x\) on \([0,1]\).

\[ A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = གཡོན་ཕྱོགས་[\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\གཡས་ཕྱོགས་]_0^1 = \tfrac{1}{6}. \]

Volumes by Slicing

If a solid has cross-sectional area \(A(x)\) at position \(x\), then the volume is

\[ V = \int_a^b A(x)\,dx. \]

གསར་བརྗེའི་དེབ་ཐེར།

ས་ཁུལ་ཞིག་ཚངས་ཐིག་གཅིག་གི་མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་སྐབས། གྲུབ་འབྲས་ཐོན་པའི་དངོས་པོ་དེའི་འབོར་ཚད་དེ་མཉམ་སྡེབ་ཀྱི་ཐོག་ནས་རྙེད་ཐུབ།

1. ཌིསིཀ་ཐབས་ལམ།གལ་ཏེ་\(y=f(x)\)འོག་གི་ས་ཁུལ་དེ་\(x\in[a,b]\) \(x\)ཚངས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་བ་ཡིན་ན།

\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx. \]

2. གཙང་སྦྲ་བྱེད་ཐབས། གལ་ཏེ་\(y=f(x)\)དང་\(y=g(x)\)བར་གྱི་ས་ཁུལ་དེ་\(x\)ཚངས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་བ་ཡིན་ན།

\[ V = \pi \int_a^b \Big([f(x)]^2 - [g(x)]^2\Big)\,dx. \]

3. ཤེལ་ཐབས་ལམ། གལ་ཏེ་\(y=f(x)\)འོག་གི་ས་ཁུལ་དེ་\(y\)ཚངས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་བ་ཡིན་ན།

\[ V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx. \]

དཔེ།

1. ཌིསིཀ་ཐབས་ལམ། བསྐོར། \(y=\sqrt{x}\), \(0 \leq x \leq 4\), \(x\)-ཚངས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ།

\[ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^4 = 8\pi. \]

2. གཙང་སྦྲ་བྱེད་ཐབས། \(y=\sqrt{x}\) དང་ \(y=1\) \(0 \leq x \leq 1\) དབར་གྱི་ས་ཁུལ་འཁོར་རྒྱུག་བྱེད་པ།

\[ V = \pi \int_0^1 \big((\sqrt{x})^2 - (1)^2\big)\,dx = \pi \int_0^1 (x-1)\,dx = -\tfrac{\pi}{2}. \]

(འབོར་ཚད་ཀྱི་རིན་ཐང་ཆ་ཚང་ལེན་དགོས། \(V = \tfrac{\pi}{2}\))

3. ཤེལ་ཐབས་ལམ། \(y=x\), \(0 \leq x \leq 1\) འོག་ཏུ་འཁོར་བའི་ས་ཁུལ་དེ་\(y\)-ཚངས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ།

\[ V = 2\pi \int_0^1 x(x)\,dx = 2\pi \int_0^1 x^2\,dx = 2\pi \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2\pi}{3}. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་ནང་ས་ཁོངས་དང་འབོར་ཚད་རྩིས་རྒྱག་པའི་ཐབས་ལམ་གཏན་གཏན་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད། དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་། བཟོ་སྐྲུན། འབྱུང་འགྱུར་བཅས་ལ་གལ་ཆེ།
• དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་བསམ་བློ་གཅིག་སྒྲིལ་དང་མཉམ་དུ་ངོ་སྤྲོད་བྱེད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \([0, \pi/2]\) ཐོག་ \(y=\cos x\) དང་ \(y=\sin x\) བར་གྱི་ས་ཁོངས་འཚོལ།
2. \(y=x^2\), \(0 \leq x \leq 1\) \(x\)-ཚངས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་ནས་བྱུང་བའི་བརྟན་པོའི་འབོར་ཚད་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(y=x\) དང་ \(y=\sqrt{x}\) བར་གྱི་ས་ཁུལ་དེ་\(y\) མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་ནས་བྱུང་བའི་བརྟན་པོའི་འབོར་ཚད་འཚོལ།
4. \(x\)-axis མཐའ་འཁོར་དུ་\(y=\sqrt{1-x^2}\) (སྒོར་ཐིག་ཕྱེད་ཀ) བསྐོར་ནས་བྱུང་བའི་བརྟན་པོའི་འབོར་ཚད་རྩིས་རྒྱག་ཆེད་དུ་ཆུ་བཤལ་ཐབས་ལམ་བཀོལ་དགོས།
5. \(y=x^2+1\) དང་ \(y=3x\) བར་གྱི་བཀག་པའི་ས་ཁོངས་འཚོལ།

6.2 གཞུ་དབྱིབས་རིང་ཚད་དང་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན།མཉམ་སྡེབ་དེ་གུག་གུག་འཁོར་བའི་གུག་གུག་ལས་བྱུང་བའི་གུག་གུག་རིང་ཚད་དང་དངོས་རྫས་ཀྱི་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་ཚད་འཇལ་བར་ཡང་བེད་སྤྱོད་གཏོང་ཐུབ།

གཞུ་དབྱིབས་རིང་ཚད།

\(y=f(x)\)བར་མཚམས་སྟེང་གི་གུག་རྟགས་འཇམ་པོ་ཞིག་ལ་གུག་རྟགས་ཀྱི་རིང་ཚད་ནི།

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

འདི་ནི་ཐིག་ཆ་ཤས་དང་མཉམ་དུ་གུག་རྟགས་ཚོད་དཔག་བྱེད་པ་དང་ཚད་གཞི་བླངས་པ་ལས་བྱུང་བ་རེད།

དཔེ་བརྗོད: \(y=\tfrac{1}{2}x^{3/2}\) ནས་ \(x=0\) ནས་ \(x=4\) བར་གྱི་རིང་ཚད་ཚོལ།

• འབྱུང་ཁུངས། \(f'(x) = \tfrac{3}{4}\sqrt{x}\).
• ཐབས་གཞི།

\[ L = \int_0^4 \sqrt{1 + \Big(\tfrac{3}{4}\sqrt{x}\Big)^2}\,dx = \int_0^4 \sqrt{1 + \tfrac{9}{16}x}\,dx. \]

ཆ་ཤས་འདི་ཚབ་བྱེད་བཀོལ་ནས་བརྟག་དཔྱད་བྱེད་ཐུབ།

གསར་བརྗེའི་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན།

གལ་ཏེ་གུག་རྟགས་\(y=f(x)\), \(a \leq x \leq b\), \(x\)-ཚངས་ཐིག་ལ་སྐོར་བ་བྱས་ན།

\[ S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

གལ་ཏེ་\(y\)-ཚངས་ཐིག་ལ་འཁོར་ན།

\[ S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx. \]

དཔེ།

1. ཐིག་གཅིག་གི་གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རིང་ཚད། \(y=x\), \(0 \leq x \leq 3\) ཆེད་དུ།

\[ L = \int_0^3 \sqrt{1+(1)^2}\,dx = \int_0^3 \sqrt{2}\,dx = 3\sqrt{2}. \]

2. སྒོར་སྒོར་ཞིག་གི་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན། \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\), \(-r \leq x \leq r\) བླངས་ནས་\(x\)-ཚངས་ཐིག་ལ་འཁོར་དགོས།

\[ S = 2\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\,dx. \]

འཇམ་པོ་བཟོས་ན་སྒོར་སྒོར་གྱི་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་གོམས་གཤིས་ཅན་གྱི་ཐབས་གཞི་\(S = 4\pi r^2\) སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རིང་ཚད་ཀྱིས་གུག་གུག་པའི་ལམ་ལ་བར་ཐག་གི་བསམ་ཚུལ་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད། - གསར་བརྗེའི་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་ལ་དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་། བཟོ་སྐྲུན། འཆར་འགོད་བཅས་ཀྱི་ནང་བེད་སྤྱོད་ཡོད། རྩིས་རིག་དང་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་བར་ལ་ཟམ་པ་བསྐྲུན་ཐུབ།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(y=\sqrt{x}\) ནས་ \(x=0\) ནས་ \(x=4\) བར་གྱི་གཞུ་དབྱིབས་རིང་ཚད་ཚོལ།2. \(y=x^2\), \(0 \leq x \leq 1\) \(x\)-ཚངས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་ནས་ཐོབ་པའི་དངོས་པོ་དེའི་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(y=\ln(\cosh x)\) ནས་ \(x=0\) ནས་ \(x=1\) བར་གྱི་གཞུ་དབྱིབས་རིང་ཚད་ཚོལ།
3. \(y=\sqrt{r^2 - x^2}\) \(0\) ནས་ \(r\) བར་ \(x\)-ཚངས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་ན་སྒོར་སྒོར་གྱི་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་ཕྱེད་ཀ་ཐོབ་པ་སྟོན།
4. ཐིག་གཅིག་བསྐོར་ནས་ཀོང་རྩེའི་ཕྱི་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཐབས་གཞི་བཏོན་དགོས།

༦་༣ ལས་ཀ་དང་ཆ་སྙོམས།

མཉམ་བསྲེས་ནི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ཁོ་ནར་ཚད་བཀག་མེད། དེས་ཤུགས་ཀྱིས་བྱས་པའི་ལས་ཀ་དང་བར་མཚམས་ཤིག་གི་ལས་འགན་གྱི་ཆ་སྙོམས་རིན་ཐང་རྩིས་རྒྱག་པར་ཡང་ཕན་ཐོགས།

ལས་ཀ

གལ་ཏེ་འགྱུར་ལྡོག་ཅན་གྱི་ཤུགས་ \(F(x)\) གིས་དངོས་པོ་ཞིག་ཐད་སྙོམས་ཐིག་བརྒྱུད་ནས་ \(x=a\) ནས་ \(x=b\) བར་སྤོ་བསྒྱུར་བྱས་ན།

\[ W = \int_a^b F(x)\,dx. \]

ཐབས་གཞི་འདིས་རྒྱུན་ལྡན་གྱི་ཤུགས་ཆེད་དུ་གནས་སྟངས་སྟབས་བདེ་\(W = F \cdot d\) སྤྱིར་བཏང་དུ་བཟོས་ཡོད།

དཔེ་མཚོན་༡: དཔྱིད་ཀའི་ཤུགས་(ཧུའུ་ཁི་ཁྲིམས་ལུགས) རིང་ཚད་\(a\)ནས་\(b\)བར་གྱི་ཤུགས་ཚད་\(F(x) = kx\)བར་འཐེན་པའི་དཔྱིད་ཀའི་ཆེད་དུ།

\[ W = \int_a^b kx\,dx = \tfrac{1}{2}k(b^2-a^2). \]

དཔེ་མཚོན་ ༢ ཆུ་འཐེན་པ། གལ་ཏེ་ཆུ་མཛོད་ནས་ཆུ་འཐེན་ན། དགོས་མཁོའི་ལས་ཀ་དེ་འདྲ་མཉམ་ཡིན།

\[ W = \int_a^b \text{(weight density)} \times \text{(cross-sectional area)} \times \text{(distance lifted)} \, dx. \]

ལས་འགན་གྱི་ཆ་སྙོམས་རིན་ཐང་།

\([a,b]\) ཐོག་གི་རྒྱུན་མཐུད་ལས་འགན་ \(f(x)\) ཡི་ཆ་སྙོམས་རིན་ཐང་ནི།

\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx. \]

འདི་ནི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཐོ་གཞུང་ཆ་སྙོམས་བྱེད་པའི་མུ་མཐུད་ཀྱི་དཔེ་མཚུངས་ཡིན།

དཔེ་དང་པོ། \(f(x)=x^2\) ཐོག་\([0,2]\) ཐོག་ལ།

\[ f_{\text{avg}} = \tfrac{1}{2-0}\int_0^2 x^2 dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}. \]

དཔེ་མཚོན་གཉིས་པ། གལ་ཏེ་རྡུལ་ཕྲན་ཞིག་གི་མགྱོགས་ཚད་\(v(t)\) ཡིན་ན། \([a,b]\) ལས་ཆ་སྙོམས་མགྱོགས་ཚད་ནི།

\[ v_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

ལས་ཀའི་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་དེ་དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་། བཟོ་སྐྲུན། ནུས་ཤུགས་རྩིས་རྒྱག་བཅས་སུ་མངོན་ཡོད།ཆ་སྙོམས་རིན་ཐང་གིས་ཚད་གཞི་མི་འདྲ་བའི་ཚབ་མཚོན་ཨང་གྲངས་གཅིག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། - གཉིས་ཀས་རྩིས་རིག་དེ་འཛམ་གླིང་དངོས་ཡོད་ཀྱི་གཡོ་འགུལ་དང་། ཤུགས། ནུས་པ་བཅས་ཀྱི་དཀའ་ངལ་ལ་འབྲེལ་བ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. གལ་ཏེ་ \(k=10\) ཡིན་ན།
2. ལྗིད་ཚད་ཀི་ལོ་གྷ་རམ་ 100 ཡོད་པའི་དངོས་པོ་ཞིག་འཐེན་ཤུགས་ཀྱི་ས་ཁུལ་ (\(g=9.8 \,\text{m/s}^2\)) ནང་དུ་མི་ཊར་ 5 ལངས་ནས་འཐེན་ཡོད། ལས་ཀ་དེ་གྲུབ་ཆ་ཞིག་ཏུ་མཚོན་ནས་དཔྱད་ཞིབ་བྱེད་དགོས།
3. \([0,\pi]\) ཐོག་ \(f(x)=\sin x\) ཡི་ཆ་སྙོམས་རིན་ཐང་འཚོལ།
4. གལ་ཏེ་ཆུ་ཚོད་ 24 ཡི་ཉིན་གཅིག་གི་ནང་ \(T(t)=20+5\cos(\tfrac{\pi t}{12})\) ཆ་སྙོམས་དྲོད་ཚད་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
5. གཏིང་ཚད་སྨི་10ཡོད་པའི་ཆུ་མཛོད་ཅིག་ལ་ཆུ་གང་ཡོད། ཆུའི་ལྗིད་ཚད་\(9800 \,\text{N/m}^3\) ལ་གཞིགས་ནས་ཆུ་ཚང་མ་མགོ་ལ་འཐེན་པར་དགོས་པའི་ལས་ཀ་རྩིས་རྒྱག་དགོས།

6.4 འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་དང་མུ་མཐུད་བགོ་འགྲེམས།

མཉམ་སྡེབ་ཀྱིས་འབྱུང་འགྱུར་གྲུབ་མཐའ་ནང་ལ་ཡང་གལ་ཆེའི་འགན་འཁུར་གྱི་ཡོད། ལྷག་པར་དུ་མུ་མཐུད་ཀྱི་གང་བྱུང་འགྱུར་ལྡོག་ལ་ལྟོས་ན། གྲུབ་འབྲས་ཐ་དད་ཀྱི་ཚབ་ཏུ་ང་ཚོས་འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན་(pdfs)ཞེས་པའི་ལས་འགན་དང་མཉམ་དུ་འབྱུང་འགྱུར་གྱི་འགྲེལ་བཤད་རྒྱག་གི་ཡོད།

འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན།

འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན་\(f(x)\) ངེས་པར་དུ་ཆ་རྐྱེན་གཉིས་སྐོང་དགོས།

1. \(f(x) \geq 0\) ཚང་མའི་ཆེད་དུ་\(x\) ཡིན།

2. གུག་རྟགས་འོག་གི་སྤྱིའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་1:

   \[ \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1. \]

གལ་ཏེ་ \(X\) ནི་ pdf \(f(x)\) དང་མཉམ་དུ་རྒྱུན་མཐུད་ཀྱི་གང་བྱུང་འགྱུར་ལྡོག་ཡིན་ན།

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx. \]

བསྡོམས་རྩིས་བགོ་འགྲེམས་བྱེད་ནུས།

བསྡོམས་རྩིས་བགོ་འགྲེམས་བྱེད་ནུས་(cdf)ནི་ 1 ཡིན་པར་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད།

\[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt. \]

དེས་གང་བྱུང་འགྱུར་ལྡོག་དེ་\(x\) ལས་ཉུང་བའམ་འདྲ་མཉམ་ཡིན་པའི་འབྱུང་འགྱུར་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

རེ་བ་བྱས་པའི་རིན་ཐང་། (ཆ་སྙོམས།)

མུ་མཐུད་ཀྱི་གང་བྱུང་འགྱུར་ལྡོག་གི་རེ་བ་བྱེད་པའི་རིན་ཐང་ནི་ལྗིད་ཚད་ཆ་སྙོམས་ཡིན།

\[ E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\,dx. \]

དཔེ།

1. གཅིག་གྱུར་གྱི་བགོ་འགྲེམས།\(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) ཐོག་\([a,b]\) ཐོག་ལ།

བར་མཚམས་ཀྱི་འབྱུང་འགྱུར་\([c,d]\):

\[ P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}. \] - རེ་བ་བྱས་པའི་རིན་ཐང་། \(E[X] = \tfrac{a+b}{2}\).

2. མགྱོགས་ཚད་བགོ་འགྲེམས། \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\), \(x \geq 0\) ཆེད་དུ།

• \(\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1\).
• ཆ་སྙོམས། \(E[X] = \tfrac{1}{\lambda}\).

3. སྤྱིར་བཏང་གི་བགོ་འགྲེམས། དུང་སྒྲ་གུག་གུག:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}. \]

དེ་1ལ་མཉམ་བསྲེས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་ཀྱང་། ཡར་ཐོན་ཅན་གྱི་ལག་རྩལ་དགོས།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ཀྱིས་ཚན་རིག་དང་། བཟོ་སྐྲུན། རྩིས་དཔྱད་བཅས་ཀྱི་ནང་དུ་གཏན་འཁེལ་མེད་པ་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། - ཆ་ཚང་གིས་གུག་གུག་འོག་གི་ས་ཁུལ་དེ་འབྱུང་འགྱུར་ལ་མཐུད་ཀྱི་ཡོད། - མུ་མཐུད་བགོ་འགྲེམས་བྱེད་པ་དེས་བར་མཚམས་ལ་འབྱུང་འགྱུར་ཚད་འཇལ་བྱེད་པའི་གྲུབ་འབྲས་རྩིས་རྒྱག་པའི་བསམ་ཚུལ་དེ་སྤྱིར་བཏང་དུ་བཏང་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. གཅིག་གྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་\(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) \([a,b]\) ཐོག་1ལ་མཉམ་བསྲེས་བྱེད་པ་སྟོན།
2. \(\lambda = 2\) དང་མཉམ་དུ་མགྱོགས་ཚད་བགོ་འགྲེམས་ཀྱི་ཆེད་དུ་ \(P(0 \leq X \leq 1)\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. གལ་ཏེ་\([0,1]\) ཐོག་ལ་\(f(x) = 3x^2\) ཡོད་ན།
4. སྤྱིར་བཏང་གི་བགོ་འགྲེམས་ལ་གཞི་གྲངས་0དང་འགྱུར་ལྡོག་1ཡོད་པའི་སྤྱིར་བཏང་གི་འབྱུང་འགྱུར་1ཡོད་པར་བདེན་དཔང་བྱེད་དགོས།
5. \([0,1]\) ཐོག་ལ་གཅིག་གྱུར་གྱི་བགོ་འགྲེམས་ཀྱི་cdf རྩིས་རྒྱག་དགོས།

ཆ་ཤས་གསུམ་པ། འགྱུར་ལྡོག་མང་བའི་རྩིས་རིག

ལེའུ་བདུན་པ། བེག་ཊོར་གྱི་ལས་འགན་དང་གུག་གུག

7.1 བརྡ་རྟགས་ལས་འགན་དང་བར་སྟོང་གུག་གུག

འགྱུར་ལྡོག་མང་བའི་རྩིས་རིག་ནང་ ལས་འགན་གྱིས་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཚབ་ཏུ་ཝེག་ཊོར་ཐོན་ཐུབ། འདི་དག་ལ་ཝེག་ཊོར་རིན་ཐང་ཅན་གྱི་ལས་འགན་ཟེར། དེ་དག་ནི་བར་སྣང་ནང་གི་གུག་རྟགས་འགྲེལ་བཤད་བྱེད་པར་གལ་ཆེན་པོ་ཡིན།

མཚན་ཉིད

བེག་ཊོར་ལས་འགན་ནི་རྣམ་པའི་ལས་འགན་ཞིག་ཡིན།

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

གང་དུ་\(x(t), y(t), z(t)\)ནི་རིན་ཐང་དངོས་གནས་ཀྱི་ལས་འགན་ཡིན།

• ནང་འཇུག་\(t\) ལ་རྒྱུན་དུ་ཚད་གཞི་ཟེར།- ཐོན་འབྲས་ནི་2D ཡང་ན་3D བར་སྟོང་ནང་དུ་ཡོད་པའི་བེག་ཊར་ཞིག་ཡིན།
• 3D ནང་དུ་ཡོད་པའི་བེག་ཊོར་ལས་འགན་གྱི་ཐིག་ཁྲམ་ནི་བར་སྣང་གུག་རྟགས་ཤིག་རེད།

དཔེ།

1. ཐིག་རིས།

\[ \mathbf{r}(t) = \langle 1+2t, \; 3-t, \; 4+5t \rangle. \]

འདིས་ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་བང་རིམ་\(\langle 2,-1,5 \rangle\) དང་མཉམ་དུ་ས་ཚིགས་\((1,3,4)\) བརྒྱུད་ནས་ཐིག་ཐད་ཀ་ཞིག་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།

2. གནམ་གྲུའི་ནང་དུ་སྒོར་ཐིག་བཟོས།

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 0 \rangle, \quad 0 \leq t < 2\pi. \]

3. ཧེལ་སི།

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; t \rangle. \]

འདི་ནི་\(z\)-axis མཐའ་འཁོར་དུ་འཕར་བའི་འཁོར་ལོ་ཞིག་རེད།

ཚད་དང་རྒྱུན་མཐུད།

གལ་ཏེ་ཆ་ཤས་རེ་རེ་\(x(t), y(t), z(t)\) \(t=a\) ལ་མུ་མཐུད་ཡོད་ན།

\[ \lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} x(t), \; \lim_{t \to a} y(t), \; \lim_{t \to a} z(t) \rangle. \]

བར་སྣང་གུག་རྟགས་ཀྱི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ།

གུག་རྟགས་རེ་རེ་ལ་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱིས་སྤྲད་པའི་ཐུག་ཕྱོགས་ཡོད། - བར་སྣང་གུག་རྟགས་ཀྱིས་གཡོ་འགུལ་གྱི་ལམ་དང་། རྡུལ་ཕྲན་གྱི་འགྲོ་ལམ། དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་བཟོ་ལྟ་བཅས་དཔེ་སྟོན་བྱེད་ཐུབ།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

བེག་ཊོར་ལས་འགན་ནི་འགྱུར་ལྡོག་མང་བའི་རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩ་ཡིན་པས་ང་ཚོར་འབྱུང་ཁུངས་དང་ཆ་ཤས་ཆ་ཤས་ཀྱི་བསམ་བློ་དེ་མཐོ་བའི་ཆ་ཚད་ལ་རྒྱ་བསྐྱེད་གཏོང་ཐུབ། དེ་དག་དངོས་ཁམས་རིག་པའི་ནང་རང་བྱུང་དུ་མངོན་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \((0,1,2)\) བརྒྱུད་ནས་ཐིག་གཅིག་གི་ཆེད་དུ་ཝེག་ཊོར་ལས་འགན་བྲིས།
2. \(\mathbf{r}(t) = \langle 2\cos t, \; 2\sin t, \; 3 \rangle\) གིས་སྤྲད་པའི་གུག་རྟགས་དེ་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།
3. \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \; \ln t, \; t^2 \rangle\) \(t=1\) ལ་མུ་མཐུད་ཡོད་མེད་གཏན་འབེབས་བྱེད།
4. ཧེ་ལིག་སི་\(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 2t \rangle\) རི་མོ་བྲིས།
5. གུག་རྟགས་སྟེང་གི་ས་ཚིགས་ \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \; t^2, \; t^3 \rangle\) \(t=2\) སྐབས་ཚོལ།

7.2 བེག་ཊོར་ལས་འགན་གྱི་འབྱུང་ཁུངས་དང་ཧྲིལ་བུ།བརྡ་རྟགས་ལས་འགན་དེ་ཚོ་སྤྱིར་བཏང་གི་ལས་འགན་ལྟར་ཁྱད་པར་དང་མཉམ་སྡེབ་བྱེད་ཐུབ། ང་ཚོས་ཆ་ཤས་རེ་རེ་ལ་བཀོལ་སྤྱོད་དེ་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། འདིས་གཡོ་འགུལ་དང་། མགྱོགས་ཚད། མགྱོགས་ཚད། དེ་བཞིན་མཐོ་ཚད་མཐོ་བའི་ནང་དུ་བསྡུ་རུབ་བཅས་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཐུབ།

བེག་ཊོར་ལས་འགན་གྱི་འབྱུང་ཁུངས།

གལ་ཏེ

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

དེ་ཙ་ན

\[ \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle. \]

འབྱུང་ཁུངས་བེག་ཊོར་འདིས་ཚད་གཞི་\(t\) ལ་ཡོད་པའི་གུག་རྟགས་ལ་ཐུག་པའི་ཁ་ཕྱོགས་སྟོན་གྱི་ཡོད།

• མགྱོགས་ཚད། གལ་ཏེ་ \(\mathbf{r}(t)\) ཡིས་དུས་ཚོད་ \(t\) ལ་རྡུལ་ཕྲན་གྱི་གནས་བབ་སྤྲོད་ན། \(\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)\) ནི་དེའི་མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་བང་རིམ་ཡིན།
• མགྱོགས་ཚད། ཆེ་ཆུང་\(|\mathbf{v}(t)|\) ནི་རྡུལ་ཕྲན་གྱི་མགྱོགས་ཚད་ཡིན།
• མགྱོགས་ཚད། \(\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t)\).

དཔེ།

1. ཧེལ་སི།

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle. \]

• མགྱོགས་ཚད། \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• མགྱོགས་ཚད། \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
• མགྱོགས་ཚད། \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).

2. འཕུར་མདའ་གཡོ་འགུལ།

\[ \mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cdot t, \; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle. \]

འདིས་འཐེན་ཤུགས་འོག་འཕེན་ཆས་ཀྱི་མཚུངས་བསྡུར་གྱི་ལམ་དེ་དཔེ་སྟོན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

བེག་ཊོར་ལས་འགན་གྱི་ཆ་ཤས་ཚད།

གལ་ཏེ

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \]

དེ་ཙ་ན

\[ \int \mathbf{r}(t)\,dt = \left\langle \int x(t)\,dt, \; \int y(t)\,dt, \; \int z(t)\,dt \right\rangle + \mathbf{C}, \]

གང་དུ \(\mathbf{C}\) ནི་རྒྱུན་ལྡན་གྱི་བེག་ཊོར་ཡིན།

དཔེ་བརྗོད

\[ \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle. \]

• འབྱུང་ཁུངས། \(\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 2t, 3t^2 \rangle\).
• མཉམ་སྦྱོར།

\[ \int \mathbf{r}(t)\,dt = \langle \tfrac{1}{2}t^2, \tfrac{1}{3}t^3, \tfrac{1}{4}t^4 \rangle + \mathbf{C}. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།- བརྡ་རྟགས་ལས་འགན་གྱི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱིས་བར་སྣང་ནང་གཡོ་འགུལ་དང་ཤུགས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། - ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱིས་གནས་སྤོ་དང་། ལས་ཀ། བསྡུ་སྒྲིག་བྱས་པའི་ཚད་གཞི་བཅས་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། ལག་ཆ་འདི་དག་གིས་རྩིས་རིག་དེ་དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་བཟོ་སྐྲུན་རིག་པ་དང་ཐད་ཀར་འབྲེལ་མཐུད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\) ལ་མགྱོགས་ཚད་དང་། མགྱོགས་ཚད། མགྱོགས་ཚད་བཅས་འཚོལ་དགོས།
2. \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \ln t, t^2 \rangle\) ལ \(\mathbf{r}'(t)\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(\mathbf{r}(t) = \langle 1, t, t^2 \rangle\) མཉམ་བསྲེས།
4. རྡུལ་ཕྲན་ཞིག་ལ་མགྱོགས་ཚད་\(\mathbf{v}(t) = \langle t, 2, 0 \rangle\) ཡོད། གལ་ཏེ་\(\mathbf{r}(0) = \langle 1, 0, 0 \rangle\) ཡིན་ན། དེའི་གནས་ཡུལ་གྱི་བརྡ་རྟགས་འཚོལ།
5. \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle\) ཡི་མགྱོགས་ཚད་གཏན་འཇགས་ཡིན་པ་སྟོན།

7.3 གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རིང་ཚད་དང་གུག་ཚད།

བརྡ་རྟགས་རྩིས་རིག་གིས་གུག་རྟགས་ཀྱིས་རྗེས་འདེད་བཏང་བའི་ལམ་དེ་ཚད་འཇལ་བྱེད་ཀྱི་ལག་ཆ་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། འདི་དག་གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རིང་ཚད་དང་གུག་གུག་བརྒྱུད་ནས་མཚོན་ཡོད།

བར་སྣང་གུག་རྟགས་ཀྱི་གཞུ་དབྱིབས་རིང་ཚད།

གལ་ཏེ་གུག་རྟགས་ཤིག་གིས་ 1 གིས་སྤྲད་ན།

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \quad a \leq t \leq b, \]

དེ་ནས་གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རིང་ཚད་ནི།

\[ L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt, \]

ག་པར

\[ |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}. \]

དཔེ་བརྗོད: ཧེལ་སི་\(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle, \, 0 \leq t \leq 2\pi\) ཆེད་དུ།

• མགྱོགས་ཚད། \(\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• མགྱོགས་ཚད། \(|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རིང་ཚད།

\[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2}\,dt = 2\pi\sqrt{2}. \]

གུག་གུག

གུག་གུག་གིས་གུག་གུག་གིས་ཁ་ཕྱོགས་ག་ཚོད་མགྱོགས་པོ་བརྗེ་ཐུབ་མིན་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད།

གུག་གུག་འཇམ་པོ་ཞིག་གི་ཆེད་དུ་\(\mathbf{r}(t)\):

\[ \kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}. \]

• \(\kappa = 0\): ཐིག་ཐད་ཀར།
• ཆེ་བ། \(\kappa\): གུག་རྟགས་དེ་བས་རྣོ་བོ་གུག་ཡོད།

དཔེ་བརྗོད: དཀྱིལ་འཁོར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ལ་\(r\):\[ \mathbf{r}(t) = \langle r\cos t, r\sin t \rangle. \]

དེ་ནས་ \(\kappa = \tfrac{1}{r}\) ཡིན། དེར་བརྟེན་གུག་གུག་ནི་རྒྱུན་ལྡན་ཡིན་པ་དང་སྒོར་ཕྱེད་དང་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་གཞི་ཡིན།

ཚད་གཞིའི་ཐུག་རྐྱེན་དང་སྤྱིར་བཏང་གི་སྣེ་འཁོར།

• ཐུག་པའི་སྣེ་འཁོར།

\[ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}. \]

• སྤྱིར་བཏང་གི་བེག་ཊོར། གུག་གུག་ལྟེ་བའི་ཕྱོགས་སུ་སྟོན་པ། འདི་ལྟར་འགྲེལ་བརྗོད་བྱས།

\[ \mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}. \]

བརྡ་རྟགས་འདི་དག་གིས་གཡོ་འགུལ་གྱི་དབྱིབས་རྩིས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

གཞུ་དབྱིབས་རིང་ཚད་ཀྱིས་བར་སྣང་ནང་གུག་གུག་བར་གྱི་ཐག་རིང་ཚད་ཀྱི་བསམ་གཞིག་སྤྱིར་བཏང་དུ་བཏང་ཡོད། - གུག་གུག་གིས་དངོས་ཁམས་རིག་པ་(དབུས་ཕྱོགས་ཀྱི་མགྱོགས་ཚད)དང་། བཟོ་ལས་རིག་པ་(ལམ།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, 0 \rangle\) ནས་ \(t=1\) བར་གྱི་གཞུ་དབྱིབས་རིང་ཚད་འཚོལ།
2. སྒོར་ཐིག་\(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\) ཡི་གུག་ཚད་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\) ལ་ \(|\mathbf{r}'(t)|\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
4. ཐད་སྙོམས་ཐིག་ལ་གུག་རྟགས་\(\kappa = 0\)ཡོད་པ་སྟོན་དགོས།
5. \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\) ལ་ \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\) ལ་ཐུག་པའི་བརྡ་རྟགས་འཚོལ།

7.4 བར་སྣང་ནང་གི་གཡོ་འགུལ།

བེག་ཊོར་ལས་འགན་དེ་ཚོ་དམིགས་བསལ་གྱི་ཤུགས་ལྡན་ཡིན། གནས་ཚུལ་དང་། མགྱོགས་ཚད། མགྱོགས་ཚད་བཅས་རང་བྱུང་གིས་བེག་ཊར་རིན་ཐང་ཅན་གྱི་ལས་འགན་གྱི་འབྱུང་ཁུངས་དང་ཆ་ཤས་བེད་སྤྱད་དེ་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།

གནས་དང་མགྱོགས་ཚད་དང་མགྱོགས་ཚད།

• གནས་བབ་ཝེག་ཊོར།

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \]

མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་བརྡ་རྟགས་(གནས་ཡུལ་གྱི་འབྱུང་ཁུངས།)

\[ \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle \]

• མགྱོགས་ཚད། (མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་ཆེ་ཆུང་།)

\[ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \]

མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་བང་རིམ་(མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས།)

\[\ཨང་རྩིས་བིཕ་{ཨེ་}(ཊི་) = \ཨང་རྩིས་བིཕ་{ཝི་}'(ཊི་) = \ཨང་རྩིས་བིཕ་{ར}''(ཊི)། \]

Tangential and Normal Components

Acceleration can be decomposed into two components:

\[ \མཐ་བྷི་ཨེཕ་{ཨེ་}(ཊི་) = ཨེ་_ཊི་ \མཐ་བྷི་ཨེཕ་{ཊི་}(ཊི་) + ཨེ་_ཨེན་ \མཐ་བྷི་ཨེཕ་{ཨེན་}(ཊི་)། \]

where:

• \(\mathbf{T}(t)\) = unit tangent vector,
• \(\mathbf{N}(t)\) = principal normal vector,
• \(a_T = \frac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)|\) = tangential acceleration (change in speed),
• \(a_N = \kappa |\mathbf{v}(t)|^2\) = normal acceleration (change in direction).

Projectile Motion in 3D

With gravity acting in the \(-z\) direction:

\[ \mathbf{r}(t) = \ལང་ལེ་v_0 \ཀོས་\ཐེ་ཊ་\ཀོས་\ཕི་\སི་ཌོཊ་ཊི་,\; v_0 \ཀོས་\ཐེ་ཏ་\སིན\ཕི་\ཅཌོཊ་ཏ,\; v_0 \སིན\ཐེ་ཏ་\cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \རང་གྷལ། \]

where \(v_0\) is initial speed, \(\theta\) launch angle, and \(\phi\) azimuthal direction.

Example: Helical Motion

\[ \mathbf{r}(t) = \ལང་ལེ \ཀོས་ ཊ, \སིན ཊ, ཊ \རང་ལེ། \]

• མགྱོགས་ཚད། \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
• མགྱོགས་ཚད། \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{2}\).
• མགྱོགས་ཚད། \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\). གཡོ་འགུལ་གྱི་མགྱོགས་ཚད་གཅིག་གྱུར་ཡིན་པ་དང་། ཡར་ལ་འཁོར་བཞིན་ཡོད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

འཛམ་གླིང་དངོས་ཡོད་ཀྱི་གཡོ་འགུལ་ལ་རྩིས་རིག་གི་སྐད་ཡིག་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད། དངོས་ཁམས་རིག་པའི་ནང་གལ་ཆེ། (ཤུགས་དང་། ལམ་ཕྱོགས། སྒོར་རིམ་གྱི་གཡོ་འགུལ།) - ཡར་ཐོན་ཅན་གྱི་འཕྲུལ་ཆས་དང་བཟོ་སྐྲུན་གྱི་དཔེ་གཟུགས་ཀྱི་རྨང་གཞི།

ལུས་སྦྱོང་།

1. རྡུལ་ཕྲན་ཞིག་\(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle\) བརྒྱུད་ནས་འགུལ་སྐྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། \(t=1\) ལ་མགྱོགས་ཚད་དང་མགྱོགས་ཚད་འཚོལ།
2. མགྱོགས་ཚད་དེ་ཧེ་ལིག་སི་ \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle\) ལ་གཏན་འཇགས་ཡིན་པ་སྟོན།
3. \(v_0 = 20 \,\text{m/s}\) དང་མཉམ་དུ་\(45^\circ\) ཟུར་ལ་འཕེན་གཏོང་བྱེད། ལངས་པའི་ཁོད་སྙོམས་ནང་གཡོ་འགུལ་ཚོད་དཔག་བྱས་ནས་དེའི་གནས་བབ་ཀྱི་བང་རིམ་བྲིས།
4. \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\) ལ་ \(\mathbf{v}(t)\) དང་ \(\mathbf{a}(t)\) འཚོལ་དགོས།5. མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་བརྡ་རྟགས་དེ་སྒོར་ཕྱེད་ཀ་\(r\) བརྒྱུད་ནས་གཡོ་འགུལ་བྱེད་པའི་ཆེད་དུ་ཐུག་འཕྲད་དང་སྤྱིར་བཏང་གི་ཆ་ཤས་ལ་བསྒྱུར་དགོས།

ལེའུ་བརྒྱད་པ། འགྱུར་ལྡོག་ཅན་ཁ་ཤས་ཀྱི་བྱེད་ནུས།

8.1 འགྱུར་ལྡོག་ཁ་ཤས་ཀྱི་ཚད་གཞི་དང་མུ་མཐུད།

འགྱུར་ལྡོག་མང་བའི་རྩིས་རིག་ནང་ལས་འགན་དེ་འགྱུར་ལྡོག་གཉིས་དང་ཡང་ན་དེ་ལས་མང་བ་ལ་རག་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན་ \(f(x,y)\) ཡང་ན་ \(f(x,y,z)\) ལྟ་བུ། ཚད་གཞི་དང་རྒྱུན་མཐུད་ཀྱི་བསམ་གཞིག་དེ་འགྱུར་ལྡོག་གཅིག་པའི་རྩིས་རིག་ནས་རང་བྱུང་གིས་ཁྱབ་ཡོད་ཀྱང་། དེ་དག་ཕྲ་མོ་ཡིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་ང་ཚོས་ཐབས་ལམ་གྱི་ལམ་ཁ་ཚང་མ་བསམ་གཞིག་བྱེད་དགོས།

འགྱུར་ལྡོག་གཉིས་ཀྱི་ཚད་གཞི།

ལས་འགན་\(f(x,y)\) ལ་ང་ཚོས་ཟེར།

\[ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L \]

གལ་ཏེ་\(f(x,y)\) དེ་ལམ་གང་རུང་ཞིག་བརྒྱུད་ནས་\((x,y)\) \((a,b)\) ལ་ཉེ་བར་སླེབས་སྐབས་\(L\) ལ་གང་འདོད་དུ་ཉེ་བར་སླེབས་ན།

གལ་ཏེ་ལམ་ཐིག་མི་འདྲ་བ་ཚོས་ཚད་གཞིའི་རིན་ཐང་མི་འདྲ་བ་སྤྲོད་ན། དེ་ནས་ཚད་གཞི་དེ་མེད་པ་རེད།

དཔེ་མཚོན་ ༡ (ཚད་གཞི་ཡོད།)

\[ f(x,y) = x^2 + y^2, \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0. \]

དཔེ་རིས་ ༢ (ཚད་གཞི་མེད་པ)།

\[ f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}, \quad (x,y) \to (0,0). \]

• \(y=0\) དང་མཉམ་དུ་ལས་འགན་ནི་0ཡིན།
• \(y=x\) དང་མཉམ་དུ་ལས་འགན་དེ་\(\tfrac{1}{2}\) ཡིན། གྲུབ་འབྲས་མི་འདྲ་བ་→ཚད་གཞི་མེད།

མུ་མཐུད།

ལས་འགན་\(f(x,y)\)ནི་\((a,b)\)ལ་མུ་མཐུད་ཡོད།

\[ \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b). \]

གྲངས་མང་གྲངས་དང་ཁུངས་ལྡན་གྱི་ལས་འགན་(བགོད་གྲངས་≠ 0 ཡོད་སར་)དེ་ཚོའི་ཁྱབ་ཁོངས་ནང་གང་དུ་ཡང་མུ་མཐུད་ཡོད།

འགྱུར་ཅན་གསུམ་ཡང་ན་དེ་ལས་མང་བར་རྒྱ་བསྐྱེད།

\(f(x,y,z)\) ལ་ཚད་གཞི་དང་མུ་མཐུད་དེ་གཅིག་པར་འགྲེལ་བརྗོད་བྱས་ཡོད་ཀྱང་། \((a,b,c)\) ཡི་ས་ཚིགས་དེ་བར་སྣང་ནང་མཐའ་མེད་ཀྱི་ཕྱོགས་མང་པོ་ནས་འབྱོར་དགོས།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• མུ་མཐུད་ནས་འགྱུར་ལྡོག་མང་བའི་ལས་འགན་ནང་མཆོང་རྒྱུག་དང་། ཁུང་བུ། ཡང་ན་ asymptotes མེད་པར་འགན་ལེན་བྱེད།
• ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་དང་སྣ་མང་ཆ་ཤས་ངེས་ཚིག་གཏན་འབེབས་བྱེད་པར་ཚད་གཞི་ནི་གཞི་རྩ་ཡིན། བསམ་གཞིག་འདི་དག་ནི་འགྱུར་ལྡོག་མང་བའི་རྩིས་རིག་གི་འཛུགས་སྐྲུན་གྱི་རྡོ་རིང་ཡིན།

ལུས་སྦྱོང་།1. \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\) ཡོད་མེད་གཏན་འབེབས་བྱེད་དགོས།

2. \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0\) ནི་ཐད་ཀར་གྱི་ལམ་ཚང་མའི་ཐོག་ནས་\(y=mx\) ཡིན་པ་སྟོན་དགོས།
3. \(f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) ལ་ཚད་གཞི་དེ་\((x,y)\to(0,0)\) ལྟར་ཡོད་དམ།
4. འགྱུར་ལྡོག་གཉིས་ཀྱི་ནང་དུ་ཡོད་པའི་ཚད་མང་གྲངས་དེ་གང་དུ་ཡང་མུ་མཐུད་ཡོད་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ། ༥ འགྱུར་ལྡོག་གཉིས་ཀྱི་ལས་འགན་དེ་ས་ཚིགས་གཅིག་ལ་མུ་མཐུད་མེད་པའི་དཔེ་མཚོན་ཞིག་བཏོན་ནས་དེའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

༨་༢ ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས།

འགྱུར་ཅན་འགའ་ཤས་ཀྱི་ལས་འགན་ནང་ལ་ང་ཚོས་རྒྱུན་དུ་འགྱུར་ཅན་གཅིག་རྐྱངམ་གཅིག་འགྱུར་བ་འགྲོ་སྐབས་གཞན་རྣམས་གཏན་འཇགས་སུ་བཞག་པའི་སྐབས་ལས་འགན་དེ་འགྱུར་བ་ཇི་ལྟར་འགྲོ་མིན་ཚད་འཇལ་འདོད་ཡོད། འདིས་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱི་བསམ་བློ་ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱེད།

མཚན་ཉིད

ལས་འགན་\(f(x,y)\) ལ་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་ \(x\) ལ་ལྟོས་ནས་ས་ཚིགས་\((a,b)\) ཡིན།

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h}. \]

དེ་དང་འདྲ་བར། \(y\) ལ་ལྟོས་ནས་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་ནི།

\[ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a,b)}{h}. \]

ང་ཚོས་ཁྱད་པར་བཏོན་པའི་སྐབས་འགྱུར་ལྡོག་གཞན་ཚང་མ་གཏན་ཚིགས་ལྟར་འཛིན་གྱི་ཡོད།

མཚོན་རྟགས།

• \(\frac{\partial f}{\partial x}\), \(f_x\), \(\partial_x f\).
• \(\frac{\partial f}{\partial y}\), \(f_y\), \(\partial_y f\).

འགྱུར་ལྡོག་གསུམ་གྱི་ཆེད་དུ་\(f(x,y,z)\) ལ་ང་ཚོར་\(f_x, f_y, f_z\) ཡང་ཡོད།

དཔེ།

1. \(f(x,y) = x^2y + y^3\)

• \(f_x = 2xy\).
• \(f_y = x^2 + 3y^2\).

2. \(f(x,y) = e^{xy}\)

• \(f_x = y e^{xy}\).
• \(f_y = x e^{xy}\).

3. \(f(x,y,z) = x^2 + yz\)

• \(f_x = 2x\).
• \(f_y = z\).
• \(f_z = y\).

མཐོ་རིམ་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས།

ང་ཚོས་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་ཡང་ཡང་ལེན་ཐུབ།

• \(f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Big(f_x\Big)\).
• \(f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\) སོགས།

གལ་ཏེ་\(f\) ལ་མུ་མཐུད་ཆ་ཤས་གཉིས་པའི་འབྱུང་ཁུངས་ཡོད་ན།

\[ f_{xy} = f_{yx}. \]

དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་གོ་དོན།- \(f_x\): \(x\)-ཕྱོགས་ཀྱི་ཕྱི་ངོས་ཀྱི་གྱེན་ཐུར།

• \(f_y\): \(y\)-ཕྱོགས་ཀྱི་ཕྱི་ངོས་ཀྱི་གྱེན་ཐུར། མཉམ་དུ་ཁོ་ཚོས་ཕྱི་ངོས་ཇི་ལྟར་གཡོ་འགུལ་བྱེད་པ་དེ་འགྲེལ་བཤད་རྒྱག་གི་ཡོད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཆ་ཤས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ནི་འགྱུར་ལྡོག་སྣ་ཚོགས་ཀྱི་གཤམ་འོག་དང་། ཐུག་འཕྲད་ཀྱི་སྟེགས་བུ། དེ་བཞིན་ལེགས་བཅོས་བྱེད་པའི་གཞི་རྩ་ཡིན།
• དེ་དག་དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་། བཟོ་སྐྲུན། དཔལ་འབྱོར་རིག་པ་བཅས་སུ་འཇུག་ཆས་མང་པོ་ཡོད་པའི་མ་ལག་ལ་དཔེ་སྟོན་བྱེད་པར་ཁྱབ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(f(x,y) = x^3y^2\) ལ \(f_x\) དང་ \(f_y\) འཚོལ་དགོས།
2. \(f(x,y,z) = xyz + x^2\) ལ \(f_x, f_y, f_z\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(f(x,y) = x^2y + y^3\) ཡི་ཆེད་དུ་ཀླེ་རོ་ཊི་ཡི་གྲུབ་རྩིས་བདེན་དཔང་བྱེད།
4. \(f_x\) དང་ \(f_y\) གཉིས་ཀྱིས་ \(f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\) ལ་གང་མཚོན་གྱི་ཡོད་མེད་དབྱིབས་རྩིས་ཐོག་ནས་དོན་འགྲེལ་བྱོས།
5. \(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\) ཡི་རིམ་པ་གཉིས་པའི་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་ཚང་མ་འཚོལ།

8.3 གཤམ་འོག་དང་ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས།

ཆ་ཤས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱིས་མཐུན་སྒྲིལ་གྱི་ཚངས་ཐིག་བརྒྱུད་ནས་འགྱུར་བ་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད། འོན་ཀྱང་སྐབས་རེ་ང་ཚོས་ཕྱོགས་གང་རུང་ཞིག་ལ་ལས་འགན་གྱི་འགྱུར་བའི་ཚད་གཞི་ཤེས་འདོད་ཡོད། འདིས་གཤམ་འོག་དང་ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱེད།

གྱེན་ཐུར་གྱི་བེག་ཊར།

ལས་འགན་\(f(x,y)\)ལ་གཤམ་འོག་ནི་བེག་ཊོར་ཡིན།

\[ \nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle. \]

འགྱུར་ལྡོག་གསུམ་གྱི་ཆེད་དུ་\(f(x,y,z)\):

\[ \nabla f(x,y,z) = \left\langle f_x, f_y, f_z \right\rangle. \]

གྱེན་ཐུར་གྱི་ས་ཚིགས་དེ་ལས་འགན་གྱི་ཆེས་མཐོའི་འཕར་ཚད་ཀྱི་ཕྱོགས་ལ་སྟོན་པ་དང་། དེའི་ཆེ་ཆུང་གིས་གྱེན་ཐུར་ཆེ་ཤོས་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས།

\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) \(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) ཡི་ཚད་གཞིའི་ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་ས་ཚིགས་ཤིག་གི་འགྱུར་ཚད་ནི་ \(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) ཡིན།

\[ D_{\mathbf{u}} f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}. \]

འདི་ནི་ཁ་ཕྱོགས་བེག་ཊོར་དང་མཉམ་དུ་གྱེན་ཐུར་གྱི་ཚག་ཐོན་འབྲས་ཡིན།

དཔེ།

1. \(f(x,y) = x^2 + y^2\)

• གྱེན་ཐུར། \(\nabla f = \langle 2x, 2y \rangle\).
• ༼༡,༢༽ ལུ། \(\nabla f = \langle 2,4 \rangle\).- ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས། \(\mathbf{u} = \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle\):

\[ D_{\mathbf{u}} f(1,2) = \langle 2,4 \rangle \cdot \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle = \tfrac{26}{5}. \]

2. \(f(x,y,z) = x y z\)

• གྱེན་ཐུར། \(\nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle\).
• ༼༡,༡,༡༽ ལ། \(\nabla f = \langle 1,1,1 \rangle\).
• ཆེས་མཐོ་བའི་ཡར་འཕར་གྱི་ཁ་ཕྱོགས་ནི་\(\langle 1,1,1 \rangle\)བརྒྱུད་ནས་ཡིན།

དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་འགྲེལ་བཤད།

• གྱེན་ཐུར་གྱི་བརྡ་རྟགས་དེ་\(f\) ཡི་མཐོ་ཚད་གུག་གུག་ཡང་ན་མཐོ་ཚད་ཕྱི་ངོས་ལ་ཀེར་ཐིག་(སྤྱིར་བཏང་)ཡིན། ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱིས་གང་འདོད་ཀྱི་ཁ་ཕྱོགས་ལ་གྱེན་ཐུར་སྤྱིར་བཏང་བཟོས།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ལེགས་བཅོས་བྱེད་པའི་སྐབས་སུ། གྱེན་ཐུར་གྱིས་ང་ཚོར་ཡར་འཕར་ཡང་ན་མར་འབབ་ཆེ་ཤོས་ལ་འགྲོ་དགོས་པའི་ཁ་ཕྱོགས་བཤད་ཀྱི་ཡོད། དངོས་ཁམས་རིག་པའི་ནང་། གྱེན་ཐུར་གྱིས་དྲོད་རྒྱུན་དང་གློག་ཤུགས་ལྟ་བུའི་ས་ཁོངས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།
• ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱིས་འགྱུར་ལྡོག་གཅིག་དང་འགྱུར་ལྡོག་མང་པོའི་འགྱུར་ཚད་གཅིག་གྱུར་བྱེད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(f(x,y) = e^{xy}\) ལ \(\nabla f(x,y)\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\) ཡི་གཤམ་འོག་འཚོལ་ནས་ (1,1,1) ལ་དབྱེ་ཞིབ་བྱོས།
3. \(\mathbf{u} = \langle 0,1 \rangle\) ཡི་ཁ་ཕྱོགས་ལ་ (2,1) ལ་ཡོད་པའི་ \(f(x,y) = x^2-y\) ཡི་ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
4. \(f(x,y) = x^2+y^2\) ཡི་གཤམ་འོག་དེ་སྒོར་ཐིག་ \(x^2+y^2=1\) ལ་ཀེར་ཐིག་ཡིན་པ་སྟོན།
5. (1,2) ལ་ \(f(x,y) = xy\) ཡི་ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ཆེ་ཤོས་བྱེད་པའི་ཚད་གཞིའི་བེག་ཊོར་ཁ་ཕྱོགས་འཚོལ།

8.4 ཐུག་སའི་སྟེགས་བུ་དང་ཐིག་རིས་ཚོད་དཔག

འགྱུར་ལྡོག་ཅན་གྱི་རྩིས་རིག་ནང་། ཐུག་ཐིག་དེས་ས་ཚིགས་ཤིག་གི་ཉེ་འགྲམ་གྱི་གུག་རྟགས་ལ་ཚོད་དཔག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། འགྱུར་ལྡོག་མང་བའི་རྩིས་རིག་ནང་ འདྲ་མཚུངས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་དེ་ཐུག་སའི་ས་ཁོངས་ཡིན། དེས་ས་ཚིགས་ཤིག་གི་ཉེ་འགྲམ་གྱི་ཕྱི་ངོས་ལ་རིམ་པ་ཅན་གྱི་ཚོད་དཔག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

ཕྱི་ངོས་ལ་ཐུག་པའི་སྟེགས་བུ།

\(z = f(x,y)\) \((a,b)\) ལ་ཁྱད་པར་ཅན་ཡིན་པར་བསམ་གཞིག་བྱས། \((a,b,f(a,b))\) ལ་ཡོད་པའི་ཐུག་ཐུག་ཁོད་སྙོམས་ནི་ 1 གིས་སྤྲད་ཡོད།

\[ z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b). \]མཐོ་སྒང་འདིས་ས་ཚིགས་དེར་ཕྱི་ངོས་ལ་ཐུག་ནས་ཉེ་འགྲམ་དུ་ཚོད་དཔག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

དཔེ་རིས་༡: དཔེ་རིས་

\(f(x,y) = x^2 + y^2\) ལ་\((1,2)\) ལ།

• \(f(1,2) = 1^2+2^2=5\).
• \(f_x = 2x\), དེར་བརྟེན་\(f_x(1,2) = 2\).
• \(f_y = 2y\), དེར་བརྟེན་\(f_y(1,2) = 4\).

ཐུག་སའི་ཁོད་སྙོམས་ཀྱི་མཉམ་བྱ།

\[ z = 5 + 2(x-1) + 4(y-2). \]

རིམ་འགྲོས་ཚོད་དཔག

ཐུག་སའི་ཁོད་སྙོམས་དེ་ཚོད་དཔག་བྱེད་པར་བེད་སྤྱོད་གཏོང་ཐུབ།

\[ f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b). \]

འདི་ནི་\(f\) ལ་\((a,b)\) ལ་ཡོད་པའི་རིམ་པ་ཅན་ཡིན།

དཔེ་རིས་ ༢: རིམ་འགྲོས་ཚོད་དཔག

ཧ་ལམ་\(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) \((4,5)\) ཉེ་འགྲམ་དུ།

• \(f(4,5) = \sqrt{9} = 3\).
• \(f_x = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}, \quad f_y = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}\).
• ༼༤,༥༽ ལ། \(f_x = f_y = \tfrac{1}{6}\).

དེ་ལྟར,

\[ f(x,y) \approx 3 + \tfrac{1}{6}(x-4) + \tfrac{1}{6}(y-5). \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཐུག་སའི་ཁོད་སྙོམས་ཀྱིས་ཕྱི་ངོས་ལ་ཐིག་རིས་ཚོད་དཔག་ཡག་ཤོས་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།
• ཐིག་རིས་ཅན་གྱིས་རྩིས་རྒྱག་ཆེད་དུ་ལས་འགན་སྣ་ཚོགས་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་བ་རེད།
• གྲངས་རིག་གི་ཐབས་ལམ་དང་། དངོས་ཁམས་རིག་པ། དཔལ་འབྱོར་རིག་པ་བཅས་སུ་ཁྱབ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(z = x^2y + y^2\) ལ་ཐུག་པའི་སྟེགས་བུ་དེ་\((1,1)\) ལ་འཚོལ།
2. ཧ་ལམ་\(f(x,y) = e^{x+y}\) \((0,0)\) ཉེ་འགྲམ་དུ།
3. \(z = \ln(x^2+y^2)\) ལ་ \((1,1)\) ལ་ཐུག་པའི་ཁོད་སྙོམས་སྙོམ་རྩིས་བཏོན་དགོས།
4. \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) ཉེ་འགྲམ་དུ་ \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) བཀོལ་ནས་ \(\sqrt{10.1}\) ཚོད་དཔག་བྱེད་པར་རིམ་པ་ཅན་གྱི་ཚོད་དཔག་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད། ༥ \((x,y)\) \((a,b)\) ལ་ཉེ་བར་སླེབས་པའི་སྐབས་ཐུག་ཐུག་ཁོད་སྙོམས་ཚོད་དཔག་ཡར་རྒྱས་འགྲོ་བའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

8.5 འགྱུར་ལྡོག་ཁ་ཤས་ནང་ལེགས་སྒྲིག་བྱེད་པ།

འགྱུར་ལྡོག་མང་བའི་རྩིས་རིག་ནང་ལེགས་བཅོས་བྱེད་པ་དེས་འགྱུར་ལྡོག་གཅིག་པའི་ལས་འགན་ནས་འགྱུར་ལྡོག་གཉིས་དང་ཡང་ན་དེ་ལས་མང་བའི་ལས་འགན་བར་ཆེས་མཐོའི་དང་ཆུང་ཤོས་ཀྱི་བསམ་ཚུལ་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད།

གནད་འགག་གི་གནད་དོན།

\(f(x,y)\) ལ་གནད་འགག་གི་ས་ཚིགས་ཤིག་འབྱུང་བ་རེད།

\[ f_x(x,y) = 0 \quad \text{and} \quad f_y(x,y) = 0, \]

ཡང་ན་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་མེད་པའི་གནས་སུ།

འབྱུང་ཁུངས་ཚོད་ལྟ་གཉིས་པ།གལ་ཆེའི་ས་ཚིགས་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་པར་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་གཉིས་པ་རྩིས་རྒྱག་དགོས།

\[ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - \big(f_{xy}(a,b)\big)^2. \]

• གལ་ཏེ་ \(D > 0\) དང་ \(f_{xx}(a,b) > 0\): ས་གནས་ཀྱི་ཆུང་ཤོས།
• གལ་ཏེ་ \(D > 0\) དང་ \(f_{xx}(a,b) < 0\): ས་གནས་ཀྱི་ཆེ་ཤོས། གལ་ཏེ་\(D < 0\): རྟའི་སྟེགས་བུ། གལ་ཏེ་\(D = 0\): བརྟག་དཔྱད་དེ་མཇུག་སྒྲིལ་མེད་ན།

དཔེ་རིས་༡: དཔེ་རིས་

\(f(x,y) = x^2 + y^2\).

• \(f_x = 2x, f_y = 2y\). གལ་ཆེའི་ས་ཚིགས་(0,0)ལ་ཡོད།
• \(f_{xx} = 2, f_{yy} = 2, f_{xy} = 0\).
• \(D = (2)(2) - 0 = 4 > 0\), དང་ \(f_{xx} > 0\) ཡིན།
• དེར་བརྟེན་(0,0)ནི་ས་གནས་ཀྱི་ཆུང་ཤོས་ཡིན།

དཔེ་མཚོན་ ༢: རྟའི་ས་ཚིགས།

\(f(x,y) = x^2 - y^2\).

• \(f_x = 2x, f_y = -2y\). གལ་ཆེའི་ས་ཚིགས་(0,0)ལ་ཡོད།
• \(f_{xx} = 2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0\).
• \(D = (2)(-2) - 0 = -4 < 0\).
• དེར་བརྟེན་(0,0)ནི་རྟའི་ས་ཚིགས་ཤིག་རེད།

ཚད་བཀག་ཅན་གྱི་ལེགས་སྒྲིག་དང་ལག་རེནཇ་སྒྱུར་ཆས།

སྐབས་རེ་ང་ཚོས་ཚད་གཞི་\(g(x,y) = c\) ལ་བརྟེན་ནས་\(f(x,y)\) ལེགས་བཅོས་བྱེད་འདོད་ཡོད།

ལག་རེནཇ་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཐབས་ལམ། ཐག་གཅོད།

\[ \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y). \]

དཔེར་ན། \(f(x,y) = xy\) \(x^2+y^2=1\) ལ་གཞི་བཅོལ་ནས་ཆེས་ཆེར་བཟོས།

• གྱེན་ཐུར། \(\nabla f = \langle y,x \rangle, \quad \nabla g = \langle 2x,2y \rangle\).
• སྙོམ་རྩིས། \(y = 2\lambda x, \, x = 2\lambda y\).
• ཐབས་ཤེས་ཀྱིས་མཐོ་ཤོས་\((\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}})\) ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱེད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• དཔལ་འབྱོར་རིག་པ་དང་། བཟོ་སྐྲུན། འཕྲུལ་ཆས་སློབ་སྦྱོང་། དངོས་ཁམས་རིག་པ་བཅས་ལ་ཡར་རྒྱས་གཏོང་རྒྱུ་དེ་གལ་ཆེན་པོ་རེད།
• ལག་རེནཇ་སྒྱུར་ཆས་ཀྱིས་ཚད་གཞི་དང་མཉམ་དུ་ལེགས་བཅོས་བྱེད་ཐུབ། དེ་ནི་ལག་ལེན་རྩིས་རིག་གི་ལག་ཆ་གལ་ཆེན་ཞིག་ཡིན།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(f(x,y) = x^2+xy+y^2\) ཡི་གལ་ཆེའི་ས་ཚིགས་འཚོལ་ནས་དབྱེ་འབྱེད་བྱོས།
2. \(f(x,y) = x^3-y^3\) ཡི་ཚད་གཞི་ (0,0) དབྱེ་འབྱེད་བྱོས།
3. \(f(x,y) = x^4+y^4-4xy\) ལ་འབྱུང་ཁུངས་ཚོད་ལྟ་གཉིས་པ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
4. \(f(x,y) = x+y\) \(x^2+y^2=1\) ལ་གཞི་བཅོལ་ནས་ཆེས་མཐོ།
5. \(f(x,y) = x^2+2y^2\) \(x+y=1\) ལ་གཞི་བཅོལ་ནས་ཉུང་དུ་གཏོང་དགོས།

ལེའུ་དགུ་པ། སྣ་མང་ཆ་ཚང་།

9.1 གཉིས་ལྡན་གྱི་གྲངས་ཐོ།འགྱུར་ལྡོག་ཅན་གྱི་རྩིས་རིག་ནང་ ངེས་གཏན་གྱི་ཆ་ཤས་ཤིག་གིས་གུག་གུག་འོག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། འགྱུར་ལྡོག་གཉིས་ནང་ལ་ཆ་ཤས་གཉིས་ལྡན་གྱིས་ཕྱི་ངོས་འོག་གི་འབོར་ཚད་རྩིས་རྒྱག་བྱེད། (ཡང་ན་སྤྱིར་བཏང་དུ་ས་ཁུལ་གཅིག་གི་སྟེང་དུ་རིན་ཐང་བསྡུ་རུབ།)

མཚན་ཉིད

གལ་ཏེ་\(f(x,y)\)ནི་ས་ཁུལ་\(R\)སྟེང་མུ་མཐུད་ཡིན་ན།

\[ \iint_R f(x,y)\, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^-, y_{ij}^-) \Delta A, \]

གང་དུ་\(R\) ནི་རྒྱ་ཁྱོན་\(\Delta A\) ཡི་གྲུ་བཞི་ཆུང་ཆུང་ལ་བགོས་ཡོད།

བསྐྱར་ཟློས་ཆ་ཚང་གྲངས།

ཕུ་བྷི་ནིའི་གྲུབ་རྩིས་ལྟར་ན། ང་ཚོས་ཆ་ཤས་གཉིས་ལྡན་དེ་བསྐྱར་ལོག་ཆ་ཤས་ལྟར་རྩིས་རྒྱག་ཐུབ།

\[ \iint_R f(x,y)\, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\, dy\, dx, \]

གལ་ཏེ་\(R\)ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་\([a,b] \times [c,d]\)ཡིན་ན།

མཉམ་བསྲེས་ཀྱི་གོ་རིམ་རྒྱུན་དུ་བརྗེ་སྒྱུར་བྱེད་ཐུབ།

\[ \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. \]

དཔེ།

1. གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ས་ཁུལ།

\[ \iint_R (x+y)\, dA, \quad R=[0,1]\times[0,2]. \]

\[ = \int_0^1 \int_0^2 (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1 \Big[xy+\tfrac{1}{2}y^2\Big]_0^2 dx = \int_0^1 (2x+2)dx = 3. \]

2. ཟུར་གསུམ་མའི་ས་ཁུལ།

\[ R = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}. \]

\[ \iint_R (x+y)\, dA = \int_0^1 \int_0^x (x+y)\,dy\,dx. \]

དཔྱད་ཞིབ་བྱེད་པ་དེས་\(\tfrac{2}{3}\)སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

ཞུ་ཡིག

ཕྱི་ངོས་འོག་གི་འབོར་ཚད།

\[ V = \iint_R f(x,y)\, dA. \]

ས་ཁུལ་ཞིག་གི་ལས་འགན་གྱི་ཆ་སྙོམས་རིན་ཐང་།

\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x,y)\, dA. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

ཆ་ཤས་གཉིས་ལྡན་གྱིས་གཅིག་སྒྲིལ་དེ་ཚད་གཞི་གཉིས་ལ་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད། དེ་དག་དངོས་ཁམས་རིག་པ་(བརྡུངས་ཚད་དང་། འབྱུང་འགྱུར་གྱི་བགོ་འགྲེམས)དང་། དཔལ་འབྱོར་རིག་པ་(རེ་བ་བྱེད་པའི་རིན་ཐང་)།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\iint_R (x^2+y^2)\, dA\) གང་དུ་\(R=[0,1]\times[0,1]\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱོས།
2. \(\iint_R xy\, dA\) གང་དུ་\(R=\{(x,y):0\leq x\leq2,0\leq y\leq x\}\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།3. \(f(x,y) = x+y\) ཡི་ཆ་སྙོམས་རིན་ཐང་དེ་ཚད་གཞི་གྲུ་བཞི་མ་ \([0,1]\times[0,1]\) ཐོག་ཚོལ།
3. གལ་ཏེ་ \(f(x,y)\) ནི་འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན་ཡིན་ན།
4. མཉམ་སྡེབ་ཀྱི་གོ་རིམ་བརྗེ་སྒྱུར་གྱིས་\(\iint_{[0,1]\times[0,2]} (x+y)\,dA\) ལ་གྲུབ་འབྲས་གཅིག་པ་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད་པ་སྟོན།

9.2 གསུམ་ལྡན་གྱི་གྲངས་ཐོ།

ཆ་ཤས་གསུམ་གྱིས་མཉམ་སྡེབ་ཀྱི་བསམ་གཞིག་དེ་འགྱུར་ལྡོག་གསུམ་ལ་རྒྱ་བསྐྱེད་བཏང་ནས་ང་ཚོར་ཚད་གཞི་གསུམ་གྱི་ས་ཁུལ་ནང་དུ་འབོར་ཚད་དང་།

མཚན་ཉིད

གལ་ཏེ་\(f(x,y,z)\)ནི་བརྟན་པོའི་ས་ཁུལ་\(E\)སྟེང་མུ་མཐུད་ཡིན་ན།

\[ \iiint_E f(x,y,z)\, dV = \lim_{m,n,p \to \infty} \sum f(x_{ijk}^-, y_{ijk}^-, z_{ijk}^-) \Delta V, \]

གང་དུ་ས་ཁུལ་དེ་འབོར་ཚད་\(\Delta V\) ཡི་སྒམ་ཆུང་དུ་བགོས་ཡོད།

བསྐྱར་ཟློས་ཆ་ཚང་གྲངས།

ཕུ་བྷི་ནིའི་གྲུབ་རྩིས་ལྟར་ན། ཆ་ཤས་གསུམ་པ་དེ་བསྐྱར་ལོག་བྱས་པའི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡིན་པར་རྩིས་རྒྱག་ཐུབ།

\[ \iiint_E f(x,y,z)\, dV = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z)\, dz\, dy\, dx, \]

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་སྒམ་ཞིག་གི་ཆེད་དུ། \(E = [a,b]\times[c,d]\times[e,f]\).

སྟབས་བདེའི་ཆེད་དུ་མཉམ་བསྲེས་ཀྱི་གོ་རིམ་འདེམས་ཐུབ།

དཔེ།

1. གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་སྒམ།

\[ \iiint_E xyz\, dV, \quad E=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]. \]

\[ = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 xyz\,dz\,dy\,dx. \]

ཐོག་མར་\(z\)ཐོག་མཉམ་བསྲེས་བྱོས།

\[ \int_0^3 xyz\,dz = xy \left[\tfrac{1}{2}z^2\right]_0^3 = \tfrac{9}{2}xy. \]

ད་ལྟ་\(y\)ཐོག་མཉམ་བསྲེས་བྱོས།

\[ \int_0^2 \tfrac{9}{2}xy\,dy = \tfrac{9}{2}x \cdot \left[\tfrac{1}{2}y^2\right]_0^2 = 9x. \]

མཐའ་མར་\(x\)ཐོག་མཉམ་བསྲེས་བྱས།

\[ \int_0^1 9x\,dx = \tfrac{9}{2}. \]

2. ས་ཁུལ། གནམ་གྲུས་མཚམས་བཅད། ལེ་ཊི་\(E = \{(x,y,z) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq y\}\)

\[ \iiint_E 1\,dV = \int_0^1 \int_0^x \int_0^y 1\,dz\,dy\,dx. \]

རིན་ཐང་འབེབས་པ:

\[ = \int_0^1 \int_0^x y\,dy\,dx = \int_0^1 \tfrac{1}{2}x^2\,dx = \tfrac{1}{6}. \]དེར་བརྟེན་ཟུར་གསུམ་མའི་ས་ཁུལ་འདིའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་\(\tfrac{1}{6}\)ཡིན།

ཞུ་ཡིག

• དེབ་གྲངས། \(V = \iiint_E 1 \, dV\). གལ་ཏེ་མཐུག་ཚད་\(\rho(x,y,z)\)ཡིན་ན།

  \[ M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV. \]

• ཆ་སྙོམས་རིན་ཐང་།

  \[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{V(E)} \iiint_E f(x,y,z)\,dV. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

ཆ་ཤས་གསུམ་གྱིས་རྒྱ་ཁྱོན་དང་འབོར་ཚད་ཀྱི་རྩིས་རྒྱག་དེ་གང་འདོད་ཀྱི་བརྟན་རྫས་ལ་སྤྱིར་བཏང་བཟོས། དེ་དག་དངོས་ཁམས་རིག་པ་(བརྡ་རྟགས་བགོ་འགྲེམས། བརྡ་རྟགས་ལྟེ་གནས་དང་། འཐེན་ཤུགས་ས་ཁོངས་)དང་། བཟོ་སྐྲུན་རིག་པ། འབྱུང་འགྱུར་རིག་པ་བཅས་སུ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\iiint_E (x+y+z)\,dV\) གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ \(E=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\) ཐོག་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\) གིས་མཚམས་ཐིག་ཡོད་པའི་ཕྱོགས་བཞིའི་འབོར་ཚད་འཚོལ།
3. \(\iiint_E x^2 \, dV\) གང་དུ་\(E=[0,2]\times[0,1]\times[0,1]\) ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱོས།
4. \(\iiint_E 1\,dV\) ནི་ \(E\) ཡི་དབྱིབས་རྩིས་འབོར་ཚད་དང་འདྲ་མཉམ་ཡིན་པ་སྟོན།
5. གལ་ཏེ་མཐུག་ཚད་\(\rho(x,y,z)=x+y+z\) ཡིན་ན།

9.3 བཀོལ་སྤྱོད། འབོར་ཚད། འབོར་ཚད། འབྱུང་འགྱུར།

ཆ་ཤས་གསུམ་པ་དེ་སྟོབས་ཤུགས་ལྡན་པ་ཡིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་དེས་ང་ཚོར་ས་ཁུལ་བརྟན་པོ་ཞིག་གི་སྟེང་དུ་རིན་ཐང་བསྡུ་རུབ་བྱས་ནས་ཚད་གཞི་གསུམ་གྱི་ཚད་གཞི་རྩིས་རྒྱག་ཐུབ།

བོངས་ཚད

བཀོལ་སྤྱོད་ལས་སླ་ཤོས་ནི་ས་ཁུལ་གྱི་བོངས་ཚད་འཚོལ་བ་\(E\):

\[ V = \iiint_E 1 \, dV. \]

དཔེ་བརྗོད: མཐུན་སྒྲིལ་གྱི་ཁོད་སྙོམས་དང་ཁོད་སྙོམས་ \(x+y+z=1\) གིས་མཚམས་འཇོག་བྱས་པའི་བརྟན་པོའི་འབོར་ཚད་འཚོལ།

\[ V = \iiint_E 1 \, dV = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 1 \, dz\, dy\, dx. \]

དཔྱད་ཞིབ་བྱེད་པ་དེས་\(V = \tfrac{1}{6}\)སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

བོངས་ཚད་དང་སྟུག་ཚད།

གལ་ཏེ་དངོས་པོ་ཞིག་ལ་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ནུས་པ་\(\rho(x,y,z)\)ཡོད་ན། དེའི་ལྗིད་ཚད་ནི།

\[ M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV. \]

ལྗིད་ཚད་ཀྱི་ལྟེ་བ་ནི་ 1 གིས་སྤྲོད་ཡོད།

\[ \bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_E x\rho(x,y,z)\,dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M}\iiint_E y\rho(x,y,z)\,dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M}\iiint_E z\rho(x,y,z)\,dV. \]

དཔེ་བརྗོད:མཐུག་ཚད་གཏན་འཁེལ་གྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ཞིག་ལ་མཚོན་ན། བརྡ་རྟགས་ལྟེ་གནས་ནི་\((0.5,0.5,0.5)\) ཡིན།

འབྱུང་འགྱུར།

གལ་ཏེ་\(f(x,y,z)\)ནི་3Dནང་དུ་འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན་ཞིག་ཡིན་ན། དེ་ནས་གང་བྱུང་འགྱུར་ལྡོག་དེ་ས་ཁུལ་\(E\)ནང་དུ་གནས་པའི་འབྱུང་འགྱུར་ནི།

\[ P(E) = \iiint_E f(x,y,z)\, dV, \]

གང་དུ་\(f(x,y,z) \geq 0\)དང་།

\[ \iiint_{\mathbb{R}^3} f(x,y,z)\,dV = 1. \]

དཔེ་བརྗོད: གལ་ཏེ་\(f(x,y,z) = \tfrac{3}{4}z^2\) ནི་\(0 \leq z \leq 1\) ལ་གཅིག་གྱུར་གྱིས་\(x,y\) ནང་ཡོད་ན།

\[ P(0 \leq z \leq 0.5) = \int_0^{0.5} \tfrac{3}{4}z^2 \, dz = \tfrac{1}{32}. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• འབོར་ཚད་ཀྱིས་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་དེ་རྒྱུན་ལྡན་མིན་པའི་དངོས་པོ་ལ་སྤྱིར་བཏང་བཟོས།
• འབོར་ཚད་དང་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་དེས་རྩིས་རིག་དང་དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་བཟོ་སྐྲུན་རིག་པ་ལ་མཐུད་ཡོད།
• མཐོ་བའི་ཆ་ཚད་ཀྱི་འབྱུང་འགྱུར་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན་དེ་ཚོ་རྩིས་དཔྱད་དང་གནས་ཚུལ་ཚན་རིག་ནང་ཁྱབ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\) (སྒོར་སྒོར་གྱི་ཚད་གཞི་) གིས་མཚམས་འཇོག་བྱས་པའི་བརྟན་པོའི་འབོར་ཚད་འཚོལ།
2. \(z\) དང་མཐུན་པའི་མཐུག་ཚད་ཡོད་པའི་ཀོང་རྩེའི་བོངས་ཚད་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\) གིས་མཚམས་ཐིག་ཡོད་པའི་གཅིག་མཚུངས་ཀྱི་ཕྱོགས་བཞིའི་བང་རིམ་ལྟེ་གནས་འཚོལ།
4. གལ་ཏེ་ \(f(x,y,z) = \frac{1}{8}\) \([0,2]\times[0,2]\times[0,2]\) སྟེང་ལ་ཡོད་ན་དེ་འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན་ཡིན་པ་བདེན་དཔང་བྱེད་དགོས།
5. ཚད་གཞི་སྒོར་སྒོར་གྱི་གང་བྱུང་དུ་འདེམས་པའི་ས་ཚིགས་ལ་ \(z > 0\) ཡོད་པའི་འབྱུང་འགྱུར་རྩིས་རྒྱག་ཆེད་དུ་ཆ་ཤས་གསུམ་པ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།

9.4 འགྱུར་ལྡོག་ཅན་གྱི་འགྱུར་ལྡོག བྱང་སྣེ། རྒྱ་རྫི། སྒོར་སྒོར།

ས་ཁུལ་གྱི་འདྲ་མཉམ་དང་མཐུན་པའི་མཐུན་སྒྲིལ་མ་ལག་ནང་བརྗོད་པའི་སྐབས་ཆ་ཤས་མང་པོ་སྟབས་བདེ་རུ་འགྲོ་གི་ཡོད། ཀར་ཊི་སི་ཡན་གྱི་མཐུད་མཚམས་ \((x,y,z)\) ཡི་ཚབ་ཏུ་ང་ཚོས་བྱང་ཕྱོགས་དང་།

བྱང་སྣེའི་སྦྲེལ་མཐུད། (2D)

འགྱུར་ལྡོག་ཅན་གྱི་ལས་འགན་ལ་ང་ཚོས་བྱང་སྣེའི་སྦྲེལ་མཐུད་ལ་བརྗེ་སྒྱུར་བྱེད་ཐུབ།

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r \geq 0, \; 0 \leq \theta < 2\pi. \]

ས་ཁོངས་ཀྱི་འབྱུང་བ་དེ་ 1 ལྟར་སྒྱུར་བ་རེད།

\[ dA = r\,dr\,d\theta. \]

དཔེ་བརྗོད:ཚད་སྒོར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

\[ A = \iint_{x^2+y^2\leq 1} 1\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 r\,dr\,d\theta = \pi. \]

སྒོར་དབྱིབས་སྦྲེལ་མཐུད། (3D)

3Dནང་། རྒྱ་རྫི་དབྱིབས་ཀྱི་སྦྲེལ་མཐུད་ཀྱིས་སྣེ་སྣེའི་སྦྲེལ་མཐུད་དེ་\(z\)དང་མཉམ་དུ་རྒྱ་བསྐྱེད།

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z. \]

འབོར་ཚད་ཀྱི་ཆ་ཤས་ནི།

\[ dV = r\,dr\,d\theta\,dz. \]

དཔེ་བརྗོད: དཀྱིལ་ཐིག་\(R\)དང་མཐོ་ཚད་\(h\)ཡོད་པའི་སྦུ་གུ་ཞིག་གི་འབོར་ཚད།

\[ V = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R r\,dr\,d\theta\,dz = \pi R^2 h. \]

སྒོར་སྒོར་སྦྲེལ་མཐུད། (3D)

སྒོར་སྒོར་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཆེད་དུ་བེད་སྤྱོད་གཏོང་དགོས།

\[ x = \rho \sin\phi \cos\theta, \quad y = \rho \sin\phi \sin\theta, \quad z = \rho \cos\phi, \]

ག་པར

• \(\rho \geq 0\) ནི་འབྱུང་ཁུངས་ནས་བར་ཐག་དང་།
• \(0 \leq \phi \leq \pi\) ནི་ཕྱོགས་བཟང་ \(z\)-ཚངས་ཐིག་ནས་ཟུར་ཡིན།
• \(0 \leq \theta < 2\pi\) ནི་ \(xy\)-མཐོ་ཚད་ཀྱི་ཟུར་ཡིན།

འབོར་ཚད་ཀྱི་ཆ་ཤས་ནི།

\[ dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

དཔེ་བརྗོད: སྒོར་སྒོར་གྱི་བོངས་ཚད།

\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

དཔྱད་ཞིབ་བྱེད་པ།

\[ V = \left(\int_0^1 \rho^2 d\rho\right)\left(\int_0^\pi \sin\phi d\phi\right)\left(\int_0^{2\pi} d\theta\right) = \tfrac{1}{3}(2)(2\pi) = \tfrac{4\pi}{3}. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

བྱང་སྣེའི་སྦྲེལ་མཐུད་ཀྱིས་སྒོར་རིམ་གྱི་ས་ཁུལ་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་གི་ཡོད། - སྦུ་གུའི་མཐུད་མཚམས་ཀྱིས་སྦུ་གུ་དང་འཁོར་སྐྱོད་འདྲ་མཉམ་ལ་འཛིན་ཐུབ། སྒོར་སྒོར་གྱི་མཐུད་མཚམས་ཀྱིས་སྒོར་སྒོར་དང་། ཀོང་རྩེ། དེ་བཞིན་འཕྲེད་ཐིག་གི་དཀའ་ངལ་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་བ་རེད། འགྱུར་ལྡོག་ཅན་གྱི་འགྱུར་བ་འདི་དག་གིས་དེ་མིན་ན་འབྱུང་མ་ཐུབ་པའི་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་རྣམས་དོ་དམ་བྱེད་ཐུབ་པ་བཟོས།

ལུས་སྦྱོང་།

1. བྱང་ཕྱོགས་ཀྱི་མཐུད་མཚམས་བཀོལ་ནས་\(\iint_{x^2+y^2\leq 4} (x^2+y^2)\,dA\)རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. མཐོ་ཚད་ \(h\) དང་ཕྱེད་ཀ་ \(R\) ཡོད་པའི་ཀོང་རྩེ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་དེ་སྦུ་གུའི་མཐུད་མཚམས་བཀོལ་ནས་འཚོལ།
3. \(R\) དཀྱིལ་ཐིག་ཡོད་པའི་སྤོ་ལོའི་འབོར་ཚད་ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱེད་པར་སྒོར་སྒོར་གྱི་མཐུད་མཚམས་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
4. བྱང་ཕྱོགས་ཀྱི་མཐུད་མཚམས་ཀྱི་ཇེ་ཀོབ་ཀྱི་ཆ་རྐྱེན་ནི་\(r\)ཡིན་པ་སྟོན།5. སྒོར་སྒོར་གྱི་མཐུད་མཚམས་བཀོལ་ནས་འབྱུང་ཁུངས་ནས་ཐག་རིང་ཚད་དང་མཐུན་པའི་མཐུག་ཚད་ཡོད་པའི་སྒོར་ཕྱེད་ཀ་ \(R\) ཡོད་པའི་སྒོར་སྒོར་གྱི་བོངས་ཚད་འཚོལ་དགོས།

ལེའུ་བཅུ་བ། བེག་ཊོར་རྩིས་རིག

10.1 བེག་ཊོར་ས་ཁོངས།

བེག་ཊོར་ས་སྒོ་ཞིག་གིས་བར་སྣང་གི་ས་ཚིགས་རེ་རེར་བེག་ཊོར་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། དེ་ཡང་སི་ཀེ་ལར་ལས་འགན་གྱིས་ཨང་གྲངས་སྤྲོད་པ་ནང་བཞིན་རེད། བེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ནི་རྒྱུག་ཚད་དང་ཤུགས་དང་ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་གཞི་གཞན་དག་ལ་དཔེ་སྟོན་བྱེད་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

མཚན་ཉིད

རྒྱ་ཁྱོན་གཉིས་ནང་། ཝེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ནི་ལས་འགན་ཡིན།

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle, \]

གང་དུ \(P\) དང་ \(Q\) ནི་ཚད་གཞིའི་ལས་འགན་ཡིན།

ཆ་གསུམ་གྱི་ཐོག་ནས་བཤད་ན།

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = \langle P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) \rangle. \]

དཔེ།

1. འཕྲེད་ཐིག་ས་ཁོངས།

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle x, y \rangle. \]

བེག་ཊོར་གྱིས་འབྱུང་ཁུངས་ནས་ཕྱི་ཕྱོགས་ལ་སྟོན་གྱི་ཡོད།

2. འཁོར་སྐྱོད་ས་ཁུལ།

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle. \]

འབྱུང་ཁུངས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་དུ་བརྒྱུད་ལམ་འཁོར་སྐྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

3. འཐེན་ཤུགས་ཁྱབ་ཁོངས།

\[ \mathbf{F}(x,y,z) = -\frac{GM}{r^3}\langle x,y,z \rangle, \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

བེག་ཊོར་ས་ཁོངས་མངོན་པར་བྱས་པ།

དཔེ་ཚད་ཀྱི་ས་ཚིགས་སུ་མདའ་ཆུང་ཆུང་འབྲི་ནས་ཁ་ཕྱོགས་དང་ཆེ་ཆུང་སྟོན་དགོས། - ཆེ་ཆུང་ཆེ་བ་ཡོད་སར་མདའ་མཐུག་པོ་ཡོད། - བཞུར་རྒྱུན་གྱི་ཐིག་དང་། ལམ་ཕྱོགས། ཤུགས་བཅས་ལ་དོན་འགྲེལ་བྱེད་པར་ཕན་ཐོགས་ཡོད།

བཞུར་ཐིག

བརྡ་རྟགས་ས་ཁོངས་ཀྱི་རྒྱུག་ཐིག་(ཡང་ན་ཆ་ཤས་གུག་གུག)ནི་གུག་རྟགས་\(\mathbf{r}(t)\) ཡིན།

\[ \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)). \]

བཞུར་ཐིག་གིས་མགྱོགས་ཚད་ས་ཁོངས་ནང་རྡུལ་ཕྲན་གྱི་འགྲོ་ལམ་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• དངོས་ཁམས་རིག་པའི་ནང་དུ་ཝེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ནི་གཞི་རྩ་ཡིན། (ཆུ་རྒྱུན་དང་། གློག་ཁབ་ལེན། འཐེན་ཤུགས།)
• དེ་དག་གིས་ཐིག་ཆ་ཚང་དང་། ཕྱི་ངོས་ཆ་ཚང་། དེ་བཞིན་ཝེག་ཊོར་རྩིས་རིག་གི་གྲུབ་རྩིས་ཆེན་པོ་(Green, Stokes, Divergence)བཅས་ཀྱི་གཞི་རྩ་ཆགས་ཡོད།
• ཁ་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་གཞི་མཚོན་པའི་དབྱིབས་རྩིས་ཐབས་ལམ་ཞིག་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད།

ལུས་སྦྱོང་།1. བརྡ་རྟགས་ས་ཁོངས་\(\mathbf{F}(x,y) = \langle y, -x \rangle\) རི་མོ་བྲིས།

2. \(\mathbf{F}(x,y) = \langle x,y \rangle\) ཡི་བརྡ་རྟགས་དེ་ཚོ་འབྱུང་ཁུངས་ཕྱོགས་ལ་སྟོན་པའམ་ཡང་ན་ཐག་རིང་དུ་སྟོན་གྱི་ཡོད་མེད་གཏན་འབེབས་བྱོས།
3. \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\) ལ་ \(\mathbf{F}(1,2,3)\) རྩིས་རྒྱག་དགོས།
4. \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) ཡི་རྒྱུག་ཐིག་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།
5. འཐེན་ཤུགས་དང་གློག་ཤུགས་ཀྱི་ས་ཁོངས་ནི་འོད་འཕྲོའི་བརྡ་རྟགས་ས་ཁོངས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

10.2 གྲལ་ཐིག་ཧྲིལ་གྲངས་ཚུ།

ཐིག་ཆ་ཤས་གཅིག་གིས་ཆ་ཤས་ཆ་ཤས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་དེ་གུག་གུག་བརྒྱུད་ནས་བརྟག་དཔྱད་བྱས་པའི་ལས་འགན་ལ་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད། བར་མཚམས་ཤིག་དང་ས་ཁུལ་གཅིག་ལ་གཅིག་སྒྲིལ་བྱེད་པའི་ཚབ་ཏུ་ང་ཚོས་བར་སྣང་ནང་ལམ་ཞིག་གི་སྟེང་དུ་གཅིག་སྒྲིལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ངེས་ཚིག: སི་ཀེ་ལར་ཐིག་ཧྲིལ་པོ།

གལ་ཏེ་ \(f(x,y)\) ནི་ཚད་གཞིའི་ལས་འགན་ཡིན་པ་དང་ \(C\) ནི་ \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle, \; a \leq t \leq b\) གིས་ཚད་གཞི་བཟོས་པའི་གུག་རྟགས་ཡིན་ན།

\[ \int_C f(x,y)\, ds = \int_a^b f(x(t),y(t)) \, |\mathbf{r}'(t)|\, dt, \]

གང་དུ་\(ds\)ནི་གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རིང་ཚད་ཡིན།

འདིས་གུག་རྟགས་བརྒྱུད་ནས་\(f\) བསྡུ་རུབ་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད།

ངེས་ཚིག: ཝེག་ཊོར་ཐིག་ཧྲིལ་པོ།

བེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ \(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\) ལ་མཚོན་ན་ \(C\) བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ཆ་ཤས་ནི་ 1 ཡིན།

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, dt. \]

འདིས་གུག་གུག་བརྒྱུད་ནས་ས་ཁུལ་གྱིས་བྱས་པའི་ལས་ཀ་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད།

དཔེ།

1. སི་ཀེ་ལར་ཐིག་ཧྲིལ་པོ།

\[ f(x,y) = x+y, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1. \]

དེ་ཙ་ན

\[ \int_C f(x,y)\, ds = \int_0^1 (t+t^2)\sqrt{(1)^2+(2t)^2}\, dt. \]

2. ཤུགས་རྐྱེན་གྱིས་བསྒྲུབས་པའི་ལས་ཀ།

\[ \mathbf{F}(x,y) = \langle y, x \rangle, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1. \]

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \ལང་ལེ་ t^2, t \ལང་ལེ་ \ལང་ལེ་ 1, 2t \ལང་ལེ་\, ཌི་ཊི་ = \ཨིན་ཊི་_༠^༡ (ཊི་^༢ + ༢ཊི་^༢)\, ཌི་ཊི་ =༡ 1.\]

Physical Interpretation

• Scalar line integral: accumulation of density along a wire.
• Vector line integral: work done by a force moving an object along a path.

Why This Matters

• Line integrals connect vector fields with physical quantities like work and circulation.
• They are building blocks for Green’s Theorem and Stokes’ Theorem.
• Appear in physics (electric potential, fluid flow, mechanics).

Exercises

1. Compute \(\int_C (x^2+y^2)\, ds\) where \(C\) is the line segment from (0,0) to (1,1).
2. Evaluate \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) for \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) along the unit circle \(x^2+y^2=1\).
3. Interpret the meaning of \(\int_C 1\,ds\).
4. For \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z,0,x \rangle\), compute the line integral along \(\mathbf{r}(t) = \langle t,t,1 \rangle, 0 \leq t \leq 1\).
5. Explain the difference between scalar and vector line integrals.

10.3 Surface Integrals

A surface integral generalizes line integrals to two-dimensional surfaces in three-dimensional space. They allow us to compute flux through surfaces and accumulation of scalar fields over curved surfaces.

Scalar Surface Integral

If a surface \(S\) is parameterized by

\[ \mathbf{r}(u,v) = \ལང་ལེ x(u,v), y(u,v), z(u,v) \ལང་གྷལ་, \]

then the surface integral of a scalar function \(f(x,y,z)\) is

\[ \iint_S f(x,y,z)\, dS = \iint_D f(\ཨང་རྩིས་བིཕ་{r}(u,v)) \, | \, དུ\,dv, \]

where \(\mathbf{r}_u\) and \(\mathbf{r}_v\) are partial derivatives of \(\mathbf{r}(u,v)\), and \(D\) is the parameter domain.

Vector Surface Integral (Flux)

For a vector field \(\mathbf{F}(x,y,z)\), the flux through a surface \(S\) is

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\མཐ་བྷ་ཨེཕ་{S} = \iint_S \མཐ་བྷ་ཨེཕ་{F}\cdot \མཐ་བྷ་ཨེཕ་{n}\, dS, . \]གང་དུ་\(\mathbf{n}\)ནི་སྤྱིར་བཏང་གི་ཚད་གཞི་ཡིན། ཚད་གཞི་བཟོ་སྟངས་སྤྱད་དེ།

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv. \]

དཔེ།

1. སི་ཀེ་ལར་ཕྱི་ངོས་ཆ་ཚང་། ཕྱི་ངོས། མཐོ་སྒང་\(z=1\) ཡུ་ནིཊ་ཌིསིཀ་\(x^2+y^2 \leq 1\) སྟེང་དུ།

\[ \iint_S 1\, dS = \text{area of the disk} = \pi. \]

2. སྒོར་སྒོར་བརྒྱུད་ནས་རྒྱུག \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) དང་ \(S\) = སྒོར་ཕྱེད་ཀའི་སྒོར་སྒོར་ \(R\) ཡིན། སྤྱིར་བཏང་གི་བེག་ཊོར་ནི་\(\mathbf{n} = \frac{1}{R}\langle x,y,z \rangle\)ཡིན།

\[ \mathbf{F}\cdot \mathbf{n} = \frac{x^2+y^2+z^2}{R} = R. \]

དེ་ལྟར

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S R\, dS = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3. \]

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཕྱི་ངོས་ཆ་ཚང་གིས་རྒྱ་ཁྱོན་དང་ཕྱི་ངོས་བགོ་འགྲེམས་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད།
• ཝེག་ཊོར་ཕྱི་ངོས་ཆ་ཚང་གིས་ཆུ་རྒྱུན་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད། ཕྱི་ངོས་བརྒྱུད་ནས་འགྲོ་བའི་ས་ཁོངས་ཀྱི་ཚད་གཞི།
• བཀོལ་སྤྱོད། གློག་ཁབ་ལེན་དང་། ཆུ་རྒྱུག། དྲོད་སྤོ་སྒྱུར། དེ་བཞིན་གཞན་ཡང་།

ལུས་སྦྱོང་།

1. ཟུར་རིང་ཚད་2ཡོད་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ཕྱི་ངོས་ལ་\(\iint_S 1\, dS\)རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) ཡི་འཕར་ཚད་དེ་ཚད་གཞི་སྒོར་སྒོར་བརྒྱུད་ནས་འཚོལ།
3. \(\iint_S z\, dS\) ལ་ཚད་གཞིའི་ཆེད་དུ་\(z = x^2+y^2, \, z \leq 1\) ལ་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད།
4. \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y,0,0 \rangle\) ལ་ \(x=1\) དང་ \(0 \leq y,z \leq 1\) བརྒྱུད་ནས་རྒྱུག་ཚད་རྩིས་རྒྱག་དགོས། ༥ གལ་ཏེ་ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཕྱི་ངོས་བརྒྱུད་ནས་བེག་ཊར་ས་ཁོངས་ཀྱི་འཕར་ཚད་ཀླད་ཀོར་ཡིན་ན་དེའི་དོན་དངོས་པོའི་ཐོག་ནས་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

10.4 གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས།

གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་ནི་བེག་ཊར་རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་འབྲས་ཤིག་ཡིན། དེ་ནི་སི་ཊོ་ཀས་གྲུབ་རྩིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་གཉིས་ཀྱི་ཐོན་རིམ་ཞིག་རེད།

གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་བརྗོད་གཞི།\(C\) ནི་ཁོད་སྙོམས་ནང་དུ་ཕྱོགས་བཟང་པོ་དང་། འཇམ་པོ། ཁ་བརྒྱབ་པའི་གུག་རྟགས་ཤིག་ཡིན། \(R\) ནི་དེས་བཀག་པའི་ས་ཁུལ་ཡིན། གལ་ཏེ་\(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\) ལ་\(R\) ཡོད་པའི་ཁ་ཕྱེ་བའི་ས་ཁུལ་ཞིག་གི་སྟེང་དུ་མུ་མཐུད་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་ཡོད་ན།

\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\, dA. \]

དོན་འགྲེལ།

• \(C\) མཐའ་འཁོར་གྱི་ཐིག་ཆ་ཤས་དེས་མཚམས་ཐིག་བརྒྱུད་ནས་བེག་ཊར་ས་ཁོངས་ཀྱི་འཁོར་སྐྱོད་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད།
• \(R\) ལས་མཐོ་བའི་ཆ་ཤས་གཉིས་ལྡན་གྱིས་ས་ཁུལ་ནང་ཁུལ་གྱི་ས་ཁོངས་ཀྱི་སྤྱིའི་བསྐོར་ཚད་(འཁོར་སྐྱོད་)ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད།

དཔེ་རིས་ ༡: ས་ཁོངས་མན་ངག

གལ་ཏེ་\(\mathbf{F} = \langle -y/2, x/2 \rangle\)ཡིན་ན།

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1. \]

དེ་ལྟར་ན་གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་དེས་

\[ \text{Area}(R) = \iint_R 1\,dA = \oint_C \left(-\tfrac{y}{2}\,dx + \tfrac{x}{2}\,dy\right). \]

འདིས་གྲལ་ཐིག་ཆ་ཤས་བེད་སྤྱད་དེ་ས་ཁོངས་རྩིས་རྒྱག་པའི་ཐབས་ཤེས་ཤིག་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད།

དཔེ་མཚོན་གཉིས་པ། འཁོར་རྒྱུག

\(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) དང་ \(C\) ནི་ཚད་གཞིའི་སྒོར་ཐིག་ཡིན།

• \(P=-y, Q=x\).
• \(Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2\).
• ཆ་སྙོམས་སྡེར་མའི་སྟེང་དུ་ཆ་ཤས་གཉིས།

\[ \iint_R 2\,dA = 2\pi (1^2) = 2\pi. \]

དེར་བརྟེན་སྒོར་ཐིག་མཐའ་འཁོར་གྱི་འཁོར་སྐྱོད་ནི་\(2\pi\)ཡིན།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• དཀའ་ཁག་ཅན་གྱི་གྲལ་ཐིག་ཆ་ཤས་གཉིས་ལྡན་ལ་སྒྱུར་བའམ་ཡང་ན་དེ་ལས་ལྡོག་སྟེ།
• ས་གནས་ཀྱི་རྒྱུ་ནོར་(curl)དང་འཛམ་གླིང་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱུ་ནོར་(འཁོར་རྒྱུག)བར་གྱི་ཟམ་པ་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད།
• དངོས་ཁམས་རིག་པའི་ནང་ཆུ་རྒྱུན་དང་། གློག་ཁབ་ལེན།

ལུས་སྦྱོང་།

1. གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་བེད་སྤྱད་དེ་སྒོང་དབྱིབས་ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) ནང་ཁུལ་གྱི་ས་ཁོངས་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
2. \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) ཡི་གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་དེ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་སྟེང་དུ་(0,0) དང་། ​​(1,0) དང་། ​​(1,1) དང་། ​​(0,1) བཅས་ལ་ཞིབ་བཤེར་བྱེད་དགོས།3. ཚད་གཞིའི་སྒོར་ཐིག་མཐའ་འཁོར་དུ་\(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) ཡི་འཁོར་རྒྱུག་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. གལ་ཏེ་ \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) ཡིན་ན། དེ་ནས་ཁ་བརྒྱབ་པའི་གུག་རྟགས་གང་རུང་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་དུ་ཡོད་པའི་ \(\mathbf{F}\) ཡི་ཐིག་ཆ་ཤས་དེ་ཀླད་ཀོར་ཡིན་པ་སྟོན།
4. གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་བཀོལ་ནས་སྟོན་དགོས།

\[ \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx \]

གུག་གུག་གང་རུང་ཞིག་ལ་\(C\)

10.5 སི་ཊོ་ཀས་ཀྱི་གྲུབ་རྩིས།

སི་ཊོ་ཀས་ཀྱི་གྲུབ་རྩིས་དེས་གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་དེ་ཚད་གཞི་གསུམ་ལ་སྤྱིར་བཏང་བཟོས་ཡོད། དེས་ཕྱི་ངོས་གཅིག་གི་སྟེང་དུ་ཡོད་པའི་ཝེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ཀྱི་གུག་གུག་གི་ཕྱི་ངོས་ཆ་ཚང་དེ་ཕྱི་ངོས་དེའི་མཚམས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་གྱི་ཝེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ཀྱི་གྲལ་ཐིག་ཆ་ཚང་ལ་འབྲེལ་བ་བྱེད།

སི་ཊོ་ཀས་གྲུབ་རྩིས་ཀྱི་གསལ་བསྒྲགས།

\(S\) ནི་མཐའ་མཚམས་གུག་གུག་\(C\) (ཕྱོགས་བཟང་པོ)ཡོད་པའི་ཁ་ཕྱོགས་ལྡན་པའི་ཕྱི་ངོས་འཇམ་པོ་ཞིག་ཡིན་པར་བྱོས། གལ་ཏེ་\(\mathbf{F}(x,y,z)\)ནི་མུ་མཐུད་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་ཡོད་པའི་བེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ཤིག་ཡིན་ན།

\[ \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. \]

གཡོན་ཕྱོགས། ཕྱི་ངོས་བརྒྱུད་ནས་\(\mathbf{F}\)ཡི་སྐུད་པ་བཞུར་བ། གཡས་ཕྱོགས། \(\mathbf{F}\) མཐའ་མཚམས་གུག་རྟགས་བརྒྱུད་ནས་འཁོར་རྒྱུག

དོན་འགྲེལ།

• མཚམས་ཐིག་མཐའ་འཁོར་གྱི་ཐིག་ཆ་ཤས་དེ་ཕྱི་ངོས་ནང་དུ་ཡོད་པའི་“འཁོར་སྐྱོད་”བསྡོམས་འབོར་དང་འདྲ་མཉམ་ཡིན།
• གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད། (ཕྱི་ངོས་དེ་ཁོད་སྙོམས་ནང་དུ་གནས་སྐབས་དམིགས་བསལ་གྱི་གནས་ཚུལ་ཞིག)

དཔེ་མཚོན་༡: གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་དེ་དམིགས་བསལ་གྱི་གནས་ཚུལ་ཞིག་ཡིན།

གལ་ཏེ་\(S\)ནི་\(xy\)-མཐོ་ཚད་ཀྱི་ས་ཁུལ་སྙོམ་པོ་ཞིག་ཡིན་ན།

དཔེ་རིས་༢: སྒོར་སྒོར་ཕྱེད་ཀའི་སྟེང་འཁོར་སྐྱོད།

\(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, 0 \rangle\) དང་ \(S\) ནི་ཕྱེད་ཀ་1ཡི་སྟེང་ཕྱེད་ཀ་ཡིན།

• མཐའ་མཚམས། \(C\): \(xy\)-ཁོད་སྙོམས་ནང་དུ་ཚད་གཞིའི་སྒོར་ཐིག
• སི་ཊོ་ཀས་ཀྱི་གྲུབ་རྩིས་ལྟར་ན།

\[ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}. \]

• ཀརལ་: \(\nabla \times \mathbf{F} = \langle 0,0,2 \rangle\).
• སྤྱིར་བཏང་ནས་སྒོར་སྒོར་ཕྱེད་ཀའི་བར་གྱི་ས་ཚིགས། \(\mathbf{n} = \langle 0,0,1 \rangle\)
• དེར་བརྟེན། བསྡོམས་གྲངས་ = 2- སྒོར་སྒོར་ཕྱེད་ཀའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = \(2\pi (1^2)\).

\[ \iint_S 2\, dS = 2 \cdot 2\pi = 4\pi. \]

དེ་ལྟར་འཛམ་གླིང་ལྷོ་བྱང་གི་མཐའ་འཁོར་དུ་འཁོར་སྐྱོད་བྱེད་ཚད་\(4\pi\)ཡིན།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཕྱི་ངོས་ཆ་ཤས་དང་ཐིག་ཆ་ཤས་བར་གྱི་འབྲེལ་བ་གཏིང་ཟབ་པོ་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད། སྟབས་བདེ་བའི་ཕྱི་ངོས་འདེམས་ཆོག་པའི་རྩིས་རྒྱག་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་བ་རེད།
• གློག་ཁབ་ལེན་རིག་པ་(Faraday’s Law)དང་ཆུ་རླངས་འགུལ་ཤུགས་རིག་པའི་ནང་ཁྱབ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(xy\) མཐོ་ཚད་ཀྱི་སྟེང་དུ་\(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, -x, 0 \rangle\) ཡི་སི་ཊོ་ཀས་ཀྱི་གྲུབ་རྩིས་དེ་བདེན་དཔང་བྱེད།
2. \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) རྩིས་རྒྱག་དགོས། དེའི་ནང་ \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z, 0, x \rangle\) དང་། ​​\(C\) ནི་རྩེ་མོ་ (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) ཡོད་པའི་གྲུ་གསུམ་གྱི་མཚམས་ཡིན།
3. གལ་ཏེ་ \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) ཡིན་ན། དེ་ནས་ཁ་བརྒྱབ་པའི་གུག་རྟགས་གང་རུང་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་གྱི་བསྐོར་འཁོར་དེ་ཀླད་ཀོར་ཡིན་པ་སྟོན།
4. སི་ཊོ་ཀས་ཀྱི་གྲུབ་རྩིས་བཀོལ་ནས་ \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, z \rangle\) ཡི་འཁོར་སྐྱོད་རྩིས་རྒྱག་དགོས། ༥ སི་ཊོ་ཀས་ཀྱི་གྲུབ་རྩིས་དེས་གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་སྤྱིར་བཏང་དུ་ཇི་ལྟར་བཟོས་པ་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

10.6 ཁྱད་པར་གྲུབ་རྩིས།

ཁྱད་པར་གྲུབ་རྩིས་(Gaus’s Theorem ཞེས་ཀྱང་འབོད་)དེས་ཁ་རྒྱག་པའི་ཕྱི་ངོས་བརྒྱུད་ནས་བརྒྱུད་ལམ་གྱི་ས་ཁོངས་ཀྱི་རྒྱུན་རིང་ཚད་དེ་ཕྱི་ངོས་ནང་དུ་ཡོད་པའི་ས་ཁོངས་ཀྱི་ཁྱད་པར་གྱི་ཆ་ཤས་གསུམ་པ་དེ་དང་འབྲེལ་བ་ཡོད།

ཁྱད་པར་གྲུབ་རྩིས་ཀྱི་གསལ་བསྒྲགས།

\(E\) ནི་\(\mathbb{R}^3\) ནང་དུ་མཐའ་མཚམས་ཕྱི་ངོས་\(S\) (ཕྱི་ཕྱོགས་ལ་ཁ་ཕྱོགས་པ) ཡོད་པའི་ས་ཁུལ་བརྟན་པོ་ཞིག་ཡིན། གལ་ཏེ་\(\mathbf{F}(x,y,z)\)ནི་\(E\)སྟེང་དུ་མུ་མཐུད་ཆ་ཤས་འབྱུང་ཁུངས་ཡོད་པའི་བེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ཤིག་ཡིན་ན།

\[ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV. \]

གཡོན་ཕྱོགས། ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཕྱི་ངོས་བརྒྱུད་ནས་\(\mathbf{F}\) ཡི་རྒྱུན་རྒྱུན། གཡས་ཕྱོགས། ས་ཁུལ་ནང་ཁུལ་གྱི་ཁྱད་པར་གྱི་ཆ་ཤས་གསུམ་པ།

ཁ་ཕྱོགས།

བེག་ཊོར་ས་ཁོངས་ \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle P, Q, R \rangle\) ཡི་ཁ་ཕྱོགས་ནི།

\[\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\ཆ་ཤས་P}{\ཆ་ཤས་x} + \frac{\ཆ་ཤས་Q}{\ཆ་ཤས་y} + \frac{\ཆ་ཤས་R}{\ཆ་ཤས་z}. \]

It measures the “net outflow” per unit volume at each point.

Example 1: Flux of a Radial Field

Let \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x, y, z \rangle\), and let \(E\) be the unit ball \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\).

• Divergence: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1+1+1 = 3\).
• Volume of unit ball: \(\tfrac{4}{3}\pi\). So

\[ \iiint_E (\ན་བླ་\cdot \mathbf{F})\, dV = 3 \cdot \tfrac{4}{3}\པི་ = ༤\པི། \]

དེ་ལྟར་སྒོར་སྒོར་གྱི་ཆ་སྙོམས་འཕར་ཚད་ནི་\(4\pi\)ཡིན།

དཔེ་རིས་ ༢: གཏན་འཇགས་ས་ཁོངས།

\(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle 1, 0, 0 \rangle\) ཡིན།

• ཁྱད་པར་: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\).
• དེར་བརྟེན་ཁ་རྒྱག་པའི་ཕྱི་ངོས་གང་རུང་ཞིག་བརྒྱུད་ནས་རྒྱུག་ཚད་དེ་ཀླད་ཀོར་ཡིན།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཕྱི་ངོས་ཀྱི་ཧྲིལ་པོ་དེ་འབོར་ཚད་ཀྱི་ཧྲིལ་པོ་སྟབས་བདེ་བ་ལ་སྒྱུར་ཐུབ།

• དངོས་ཁམས་རིག་པ་ནང་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གློག་ཁབ་ལེན་རིག་པ་དང་། གཅིག་གྱུར་སྒྲོམ་གཞི་འཐུས་ཚང་དུ་བཏང་ཡོད།

  • གྷི་རིན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་ (2D བསྒྱིར་ཚད་ ↔︎ འཁོར་རྒྱུག)
  • སི་ཊོ་ཀས་ཀྱི་གྲུབ་རྩིས་ (3D བསྒྱིར་ཚད་↔︎ ཕྱི་ངོས་སྟེང་གི་འཁོར་རྒྱུག)
  • ཁྱད་པར་གྲུབ་རྩིས་ (3D ཁྱད་པར་ ↔︎ ཁ་རྒྱག་པའི་ཕྱི་ངོས་སྟེང་གི་འཕྱོར།)

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(R\) གྱི་ཕྱེད་ཀའི་སྒོར་སྒོར་གྱི་ཕྱི་ངོས་བརྒྱུད་ནས་\(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) ཡི་རྒྱུག་ཚད་རྩིས་རྒྱག་ཆེད་དུ་དབྱེ་འབྱེད་ཀྱི་གྲུབ་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད།
2. \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\) ཡི་ཁྱད་པར་གྲུབ་རྩིས་དེ་ཚད་གཞིའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་\([0,1]^3\) ཐོག་ལ་ཞིབ་བཤེར་བྱེད་དགོས།
3. གལ་ཏེ་\(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\) ཡིན་ན། དེ་ནས་ཁ་རྒྱག་པའི་ཕྱི་ངོས་གང་རུང་བརྒྱུད་ནས་བསྡོམས་འབོར་གྱི་ཆུ་རྒྱུན་དེ་ཀླད་ཀོར་ཡིན་པ་སྟོན་དགོས།
4. \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x^2, y^2, z^2 \rangle\) ཡི་འཕར་ཚད་དེ་ཚད་གཞི་སྒོར་སྒོར་བརྒྱུད་ནས་རྩིས་རྒྱག་དགོས། ༥ ཁྱད་པར་གྲུབ་རྩིས་དེས་རྩིས་རིག་གི་ཚད་གཞི་གཅིག་ཅན་གྱི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་དེ་སྤྱིར་བཏང་དུ་ཇི་ལྟར་བཟོས་པ་དེ་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

ཆ་ཤས་ IV. མཐའ་མེད་ཀྱི་བརྒྱུད་རིམ།

ལེའུ་བཅུ་གཅིག་པ། གོ་རིམ་དང་བསྡུ་རུབ།## ༡༡་༡ མཚན་ཉིད་དང་དཔེ།

གོ་རིམ་ནི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་གོ་རིམ་ལྡན་པའི་ཐོ་གཞུང་ཞིག་ཡིན་ཞིང་།

\[ a_1, a_2, a_3, \dots \]

ཡང་ན་སྤྱིར་བཏང་དུ་\((a_n)_{n=1}^\infty\) ཡིན། \(a_n\) རེ་རེ་ལ་རིམ་པ་ nth term ཟེར།

གོ་རིམ་ངེས་ཚིག་བཀོད་པ།

གོ་རིམ་ཞིག་ལ་ངེས་ཚིག་གཉིས་ཡོད།

1. གསལ་པོའི་ཐབས་གཞི་ – nth term ལ་ཐད་ཀའི་ཁྲིམས་ལུགས་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

   དཔེར་ན། \(a_n = \frac{1}{n}\) གོ་རིམ་གསལ་བཤད་བྱེད།

   \[ 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots \]

2. བསྐྱར་ལོག་པའི་ངེས་ཚིག – སྔོན་མའི་ཐ་སྙད་བཀོལ་ནས་ཐ་སྙད་ལ་འགྲེལ་བཤད་རྒྱག་པ།

   དཔེར་ན། ཕི་བྷོ་ན་སིའི་རིམ་པ་།

   \[ a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3). \]

རིམ་པའི་དཔེ།

1. རྩིས་རིག་གི་གོ་རིམ།

   \[ a_n = a_1 + (n-1)d. \]

   དཔེར་ན། \(a_n = 2n+1\) → གྲངས་ཀའི་གོ་རིམ།

2. དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་གོ་རིམ།

   \[ a_n = a_1 r^{n-1}. \]

   དཔེར་ན། \(a_n = 2^n\) → 2 ཡི་ནུས་ཤུགས།

3. ཧར་མོ་ནིག་གོ་རིམ།

   \[ a_n = \frac{1}{n}. \]

4. གོ་རིམ།

   \[ a_n = (-1)^n. \]

རྩིས་རིག་ནང་གི་རིམ་པ།

གོ་རིམ་ནི་ཚད་མེད་བྱ་རིམ་གྱི་རྨང་གཞི་ཡིན།

གོ་རིམ་གྱི་ཚད་གཞི། → བསྡོམས་རྩིས་གསལ་བཤད་བྱེད། - རིམ་པ་ → རིམ་པ་ནས་བཟོས་པའི་ཚད་མེད་བསྡོམས་འབོར། གོ་རིམ་དང་རིམ་པ་བརྒྱུད་ནས་ཚོད་དཔག་བྱས་པའི་ལས་འགན།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• རིམ་པ་དེས་ཚད་མེད་ཀྱི་རིམ་པ་དང་ཚོད་དཔག་གི་ཆེད་དུ་བཟོ་སྐྲུན་གྱི་རྡོ་རིང་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད།
• དེ་དག་གིས་ང་ཚོར་“མཐའ་མེད་ལ་ཉེ་བར་བཅར་བ་”དང་འདུ་འཛོམས་ལ་ངེས་ཚིག་ནན་པོ་བཟོ་ཐུབ།
• གལ་ཆེའི་ལས་འགན་མང་པོ་(མགྱོགས་ཚད་དང་། ཟུར་གསུམ་རྩིས་རིག་)རིམ་པ་དང་རིམ་པ་བརྒྱུད་ནས་བརྗོད་ཐུབ།

ལུས་སྦྱོང་།

1. གོ་རིམ་ \(a_n = \frac{n}{n+1}\) ཡི་ཐ་སྙད་དང་པོ་ལྔ་བྲིས།
2. \(a_n = (-1)^n n\) ལ་ཚད་གཞི་ཡོད་མེད་གཏན་འབེབས་བྱེད།
3. གོ་རིམ་ \(2,4,8,16,\dots\) ལ་སླར་ལོག་པའི་ངེས་ཚིག་ཅིག་སྤྲོད།
4. \(a_1=3\) དང་ \(d=5\) ཡོད་པའི་ཨང་རྩིས་གོ་རིམ་གྱི་ཐ་སྙད་ 10 འཚོལ།5. \(a_1=1\), \(a_{n+1}=2a_n\) གིས་ངེས་ཚིག་བཀོད་པའི་གོ་རིམ་གྱི་ཐབས་གཞི་གསལ་པོ་ཞིག་བྲིས།

11.2 སྒྲ་གཅིག་དང་མཚམས་ཐིག་ཅན་གྱི་གོ་རིམ།

གོ་རིམ་ཞིག་མཉམ་དུ་འཛོམས་མིན་ཤེས་པར་ང་ཚོས་དེའི་སྤྱོད་ཚུལ་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་དགོས། དེ་འཕར་ཆག་འགྲོ་གི་ཡོད་དམ། ཉུང་དུ་འགྲོ་གི་ཡོད་དམ། གལ་ཆེའི་བསམ་གཞིག་གཉིས་ནི་གཅིག་མཚུངས་དང་མཚམས་ཐིག་ཡིན།

སྒྲ་གཅིག་པའི་གོ་རིམ།

གལ་ཏེ་གོ་རིམ་\((a_n)\) དེ་རྟག་ཏུ་འཕར་བའམ་ཡང་ན་རྟག་ཏུ་ཉུང་དུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད་ན།

• གཅིག་སྒྲ་འཕར་བ།

  \[ a_{n+1} \geq a_n \quad \text{for all } n. \]

• གཅིག་སྒྲ་ཉུང་དུ་ཕྱིན་པ།

  \[ a_{n+1} \leq a_n \quad \text{for all } n. \]

དཔེར་ན།

1. \(a_n = n\) ནི་སྒྲ་གཅིག་པོ་འཕར་བཞིན་ཡོད།
2. \(a_n = \frac{1}{n}\) ནི་སྒྲ་གཅིག་པོ་ཉུང་དུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད།

མཚམས་ཅན་གྱི་རིམ་པ།

གལ་ཏེ་ཨང་གྲངས་\(M\) ཡོད་ན། \(n\) ཚང་མའི་ཆེད་དུ་\(a_n \leq M\) ཡོད་ན། གལ་ཏེ་\(m\) ཡོད་ན། དེ་ལྟར་ན་\(a_n \geq m\) ཚང་མའི་ཆེད་དུ་\(n\) ཡོད་ན།

གལ་ཏེ་ཆ་རྐྱེན་གཉིས་ཀ་གནས་ན་གོ་རིམ་དེ་ཚད་ལྡན་ཡིན།

དཔེར་ན།

1. \(a_n = \frac{1}{n}\) ནི་ 0 དང་ 1 བར་མཚམས་ཡོད།
2. \(a_n = (-1)^n\) ནི་-1 དང་ 1 བར་མཚམས་ཡོད།
3. \(a_n = n\) ནི་མཚམས་མེད་པ་རེད།

གཅིག་སྒྲའི་བསྡོམས་རྩིས་གྲུབ་རྩིས།

དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་འབྲས་ཤིག་ནི།

• གོང་དུ་མཚམས་འཇོག་བྱས་པའི་སྒྲ་གཅིག་འཕར་བའི་གོ་རིམ་རེ་རེ་མཉམ་དུ་འཛོམས་ཀྱི་ཡོད།
• གཤམ་དུ་མཚམས་འཇོག་བྱས་པའི་གཅིག་རྐྱང་གི་ཉུང་དུ་འགྲོ་བའི་གོ་རིམ་རེ་རེ་མཉམ་དུ་བསྡུ་རུབ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

གྲུབ་རྩིས་འདིས་ཚད་གཞི་གསལ་པོ་མ་རྙེད་པར་བསྡོམས་རྩིས་འགན་ལེན་བྱེད།

དཔེ་བརྗོད

1. གོ་རིམ། \(a_n = 1 - \frac{1}{n}\).

   • འཕར་བཞིན་ཡོད། \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} > 0\) ནས་བཟུང་། གོང་དུ་༡གིས་མཚམས་འཇོག་བྱས། དེར་བརྟེན། དེ་འདུས་ཡོད།
   • ཚད་གཞི། \(\lim_{n\to\infty} a_n = 1\).

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• གཅིག་མཚུངས་དང་ཚད་གཞི་ཅན་གྱིས་མཉམ་བསྡོམས་ལ་མགྱོགས་མྱུར་གྱི་བརྟག་དཔྱད་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། དེ་དག་བདེན་དཔང་དང་ཚད་གཞི་དམ་པོ་བཟོ་བར་གལ་ཆེན་པོ་རེད། བསམ་བློ་འདི་དག་རང་བཞིན་གྱིས་ལས་འགན་དང་རིམ་པ་ལ་ཁྱབ་ཀྱི་ཡོད།### ལུས་སྦྱོང་།

1. \(a_n = \frac{n}{n+1}\) ནི་གཅིག་མཚུངས་དང་ཚད་གཞི་ཅན་ཡིན་མིན་གཏན་འབེབས་བྱོས།
2. \(a_n = \sqrt{n}\) ནི་སྒྲ་གཅིག་འཕར་བཞིན་ཡོད་ཀྱང་ཚད་གཞི་མེད་པ་སྟོན་དགོས།
3. \(a_n = 2 - \frac{1}{n}\) བསྡུ་རུབ་བྱེད་པ་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱས་ནས་དེའི་ཚད་གཞི་འཚོལ།
4. གཅིག་མཚུངས་མིན་པའི་ཚད་གཞི་ཅན་གྱི་རིམ་པ་ཞིག་གི་དཔེ་མཚོན་ཞིག་གསུངས།
5. \(a_n = \ln\!\big(1+\frac{1}{n}\big)\) ལ་སྒྲ་གཅིག་པའི་བསྡོམས་རྩིས་གྲུབ་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད།

༡༡་༣ གོ་རིམ་གྱི་ཚད་གཞི།

གོ་རིམ་གྱི་དྲི་བ་གཙོ་བོ་ནི། \(n\) འཕེལ་རྒྱས་འགྲོ་བའི་སྐབས་དེའི་ཐ་སྙད་དེ་རིན་ཐང་གཅིག་ལ་ཉེ་བར་སླེབས་ཀྱི་ཡོད་དམ། འདིས་རིམ་པ་ཞིག་གི་ཚད་གཞིའི་བསམ་གཞིག་ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱེད།

མཚན་ཉིད

གོ་རིམ་\((a_n)\)ལ་ཚད་གཞི་\(L\)ཡོད། གལ་ཏེ་\(\varepsilon > 0\)རེ་རེར་ཧྲིལ་གྲངས་\(N\)ཡོད་ན།

\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \text{whenever } n > N. \]

ང་ཚོས་དེ་ནས་བྲིས།

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L. \]

གལ་ཏེ་དེ་ལྟ་བུའི་\(L\)མེད་ན། རིམ་པ་དེ་ཁ་བྲལ་འགྲོ་གི་རེད།

རིག་ཤེས

• གོ་རིམ་གྱི་ཐ་སྙད་དེ་\(n\) ལ་གང་འདོད་དུ་ཉེ་བར་སླེབས་ཀྱི་ཡོད།
• \(N\) དཀར་ཆག་ཁ་ཤས་ལས་བརྒལ་ན། ཐ་སྙད་ཚང་མ་\(L\) མཐའ་འཁོར་གྱི་ཚད་གཞི་ཆུང་ཆུང་ཞིག་གི་ནང་དུ་གནས་ཡོད།

དཔེ།

1. \(a_n = \frac{1}{n}\). \(n\) འཕེལ་རྒྱས་འགྲོ་དུས་ཐ་སྙད་དེ་༠ ཕྱོགས་སུ་ཆུང་དུ་འགྲོ་གི་ཡོད།

   \[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0. \]

2. \(a_n = (-1)^n\). ཐ་སྙད་རྣམས་-1དང་1བར་བརྗེ་རེས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན་ཚད་གཞི་གཅིག་ཀྱང་མེད། གོ་རིམ་དེ་ཁ་བྲལ་འགྲོ་གི་ཡོད།

3. \(a_n = \frac{n}{n+1}\). \(n \to \infty\) ལྟར། གྲངས་ཀ་དང་བགོད་གྲངས་ཧ་ལམ་འདྲ་མཉམ་ཡིན་པས་

   \[ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1. \]

ཚད་གཞིའི་ཁྱད་ཆོས།

གལ་ཏེ་\(\lim a_n = A\)དང་\(\lim b_n = B\)ཡིན་ན།

• \(\lim (a_n+b_n) = A+B\).

• \(\lim (a_n b_n) = AB\).

• \(\lim (c a_n) = cA\) གཏན་ཚིགས་\(c\) ཆེད་དུ། གལ་ཏེ་\(b_n \neq 0\)དང་\(B \neq 0\)ཡིན་ན།

  \[ \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]

གྲུབ་རྩིས་: བསྣུན་པའི་གཞི་རྩ།

གལ་ཏེ་\(a_n \leq b_n \leq c_n\) ཆེ་ཆུང་ཚང་མའི་ཆེད་དུ་\(n\) དང་།

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L, \]

དེ་ཙ་ན

\[\ལིམ་_{ན\ཊོ\ཨིན་ཕཊི་} b_n = L. \]

Example:

\[ a_n = -\tfrac{1}{n} དང་། \]

Since \(-\tfrac{1}{n} \leq \tfrac{\sin n}{n} \leq \tfrac{1}{n}\) and both bounding sequences go to 0,

\[ \ལིམ་_{ཨེན་ཊོ\ཨིན་ཕཊི་} \ཕྲེཀ་{\སིན་ཨེན་}{ཨེན་} = ༠། \]

Why This Matters

• Limits make rigorous the idea of sequences “approaching” a value.
• Convergence of sequences underpins infinite series and continuity.
• These concepts are essential in defining real numbers via limits.

Exercises

1. Find \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{3n+4}\).
2. Determine if \(a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\) converges.
3. Does \(a_n = \cos n\) converge? Why or why not?
4. Use the Squeeze Principle to show \(\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0\).
5. Prove that if \(\lim a_n = L\), then \(\lim |a_n| = |L|\).

Chapter 12. Infinite series

12.1 Series and Convergence

A series is the sum of the terms of a sequence. Instead of just listing numbers, we add them together and study whether the infinite sum approaches a finite value.

Definition

Given a sequence \((a_n)\), the corresponding series is

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = ཀ_༡ + ཀ_༢ + ཀ_༣ + \dots \]

We define the nth partial sum as

\[ S_n = \བསྡོམས་_{k=1}^n a_k. \]

If the sequence \((S_n)\) converges to a finite limit \(S\), then the series converges and

\[ \སུམ་_{ཨེན་=༡}^\ཨིན་ཕཊི་ཨེ་_ཨེན་ = ཨེས། \]

If \((S_n)\) diverges, then the series diverges.

Examples

1. Geometric series

\[ \sum_{n=0}^\ཨིན་ཧྥཊི་ཨར་^ན་ = \ཕྲ་ཀ་{ཨེ་}{1-ར}, \ཀྭ་ཌི་ |ར| < ༡ \]

Example:

\[ 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots = 2. \]

2. Harmonic series

\[ \sum_{n=1}^\infty \ཕྲེཀ་{1}{n}. \]

This series diverges, even though the terms go to 0.

3. p-series

\[ \sum_{n=1}^\infty \ཕྲེཀ་{1}{n^p}། \]

གལ་ཏེ་ \(p > 1\) ཡིན་ན། - གལ་ཏེ་ \(p \leq 1\) ཕྱིར་འཐེན།### མཉམ་སྡེབ་ཀྱི་དགོས་མཁོའི་ཆ་རྐྱེན།

གལ་ཏེ་\(\sum a_n\)བསྡོམས་ན། དེ་ནས་ངེས་པར་དུ་

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = 0. \]

གལ་ཏེ་\(\lim a_n \neq 0\) རིམ་པ་དེ་ཁ་བྲལ་འགྲོ་གི་རེད། འོན་ཀྱང་ལྡོག་ཕྱོགས་དེ་བདེན་པ་མ་རེད། \(\lim a_n = 0\) གིས་མཉམ་བསྡོམས་ལ་འགན་ལེན་བྱེད་ཀྱི་མེད། (དཔེར་ན། མཐུན་སྒྲིལ་གྱི་རིམ་པ་)

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

རིམ་པ་དེས་ཚད་མེད་ཀྱི་བྱ་རིམ་ལ་ཚད་ལྡན་གྱི་བསྡོམས་རྩིས་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད། - བསྡོམས་རྩིས་རིམ་པ་དེ་ཚོ་ལས་འགན་ཚོད་དཔག་དང་། རྩིས་རྒྱག་ས་ཁོངས། དེ་བཞིན་དངོས་ཁམས་བྱ་རིམ་གྱི་དཔེ་སྟོན་བྱེད་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། རིམ་པ་སློབ་སྦྱོང་གིས་སྟོབས་ཤུགས་ལྡན་པའི་བསྡོམས་རྩིས་ཚོད་ལྟ་ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱེད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{3^n}\) བསྡོམས་རྩིས་བྱེད་མིན་གཏན་འབེབས་བྱས་ནས་དེའི་བསྡོམས་འབོར་འཚོལ།
2. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) བསྡུ་རུབ་བྱེད་པ་སྟོན།
3. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\) མཉམ་འཛོམས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་དམ།
4. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\) རིམ་པའི་ཆ་ཤས་བསྡོམས་རྩིས་དང་པོ་བཞི་བྲིས།
5. \(\lim a_n = 0\) དགོས་ངེས་ཡིན་ཡང་བསྡོམས་རྩིས་ལ་འདང་ངེས་མེད་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

12.2 བསྡོམས་རྩིས་ཚོད་ལྟ།

རིམ་པ་མང་པོ་ཐད་ཀར་བསྡོམས་རྩིས་བྱེད་མི་ཐུབ་པའི་རྐྱེན་གྱིས་ཨང་རྩིས་རིག་པ་བ་རྣམས་ཀྱིས་རིམ་པ་གཅིག་མཉམ་དུ་བསྡོམས་པའམ་ཡང་ན་ཁ་བྲལ་མིན་ཐག་གཅོད་བྱེད་པའི་ཚོད་ལྟ་བཟོས་ཡོད། ཚོད་ལྟ་འདི་དག་ནི་ཚད་མེད་ཀྱི་བསྡོམས་རྩིས་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད་པའི་ལག་ཆ་ཡིན།

1. nth-Term བརྟག་དཔྱད།

གལ་ཏེ

\[ \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \quad \text{or does not exist}, \]

དེ་ཙ་ན

\[ \sum a_n \]

ཁ་བྲལ་བ་རེད།

གལ་ཏེ་\(\lim a_n = 0\)ཡིན་ན། བརྟག་དཔྱད་དེ་མཇུག་འབྲས་མེད་པ་རེད།

2. བསྡུར་ཞིབ་བརྟག་དཔྱད།

དཔེར་ན། \(0 \leq a_n \leq b_n\) ཚང་མའི་ཆེད་དུ་\(n\)

• གལ་ཏེ་ \(\sum b_n\) བསྡོམས་པས་ \(\sum a_n\) ཡང་བསྡོམས་པ་རེད།
• གལ་ཏེ་ \(\sum a_n\) ཁ་ཕྱེ་ན། \(\sum b_n\) ཡང་ཁ་ཕྱེ་བ་རེད།

3. ཚད་གཞི་འགྲན་རྩོད་ཚོད་ལྟ།

གལ་ཏེ་ \(a_n, b_n > 0\) དང་།

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c, \]

གང་དུ་\(0 < c < \infty\) དེ་ནས་\(\sum a_n\) དང་ \(\sum b_n\) གཉིས་ཀ་མཉམ་དུ་འཛོམས་པའམ་ཡང་ན་གཉིས་ཀ་ཁ་བྲལ་བ་རེད།

4. ཆ་སྙོམས་ཚོད་ལྟ།

\(\sum a_n\) ཆེད་དུ་རྩིས་རྒྱག་དགོས།

\[ L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|. \]གལ་ཏེ་\(L < 1\)ཡིན་ན། རིམ་པ་དེ་ཧ་ཅང་མཉམ་དུ་འདུས་ཡོད། གལ་ཏེ་ \(L > 1\) ཡང་ན་ \(L = \infty\) ཡིན་ན། གལ་ཏེ་\(L = 1\)ཡིན་ན། བརྟག་དཔྱད་དེ་མཇུག་སྒྲིལ་མེད་པ་རེད།

5. རྩ་བའི་བརྟག་དཔྱད།

\(\sum a_n\) ཆེད་དུ་རྩིས་རྒྱག་དགོས།

\[ L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}. \]

གལ་ཏེ་ \(L < 1\) ཡིན་ན། རིམ་པ་དེ་ཧ་ཅང་མཉམ་དུ་འདུས་ཡོད། གལ་ཏེ་\(L > 1\)ཡིན་ན། རིམ་པ་དེ་ཁ་བྲལ་འགྲོ་གི་རེད། གལ་ཏེ་\(L = 1\)ཡིན་ན། བརྟག་དཔྱད་དེ་མཇུག་འབྲས་མེད་པ་རེད།

རིམ་པ་བརྗེ་རེས་ཚོད་ལྟ། (ལེབ་ནིས་ཀྱི་ཚོད་ལྟ།)

རྣམ་པའི་རིམ་པ་ཆེད་དུ།

\[ \sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n, \]

གལ་ཏེ

1. \(b_{n+1} \leq b_n\) (ཉུང་དུ་འགྲོ་བ) དང་།
2. \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\),

དེ་ནས་རིམ་པ་དེ་མཉམ་དུ་འདུས་ཡོད།

དཔེ།

1. \(\sum \frac{1}{n^2}\): བསྡུར་ཚོད་ལྟ། → མཉམ་བསྡོམས་བྱེད།
2. \(\sum \frac{1}{n}\): ཧར་མོ་ནིག་རིམ་པ་→ཁ་ཕྲལ་འགྲོ་གི་ཡོད།
3. \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\): རིམ་པ་བརྗེ་རེས་ཚོད་ལྟ། → བསྡོམས་འབོར།
4. \(\sum \frac{n!}{n^n}\): ཆ་སྙོམས་ཚོད་ལྟ་→ མཉམ་བསྡོམས་བྱེད།
5. \(\sum \frac{2^n}{n}\): རྩ་བའི་ཚོད་ལྟ། → ཁ་བྲལ་བ།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• བསྡོམས་རྩིས་ཚོད་ལྟས་ང་ཚོར་བསྡོམས་རྩིས་གསལ་པོ་མི་དགོས་པར་རིམ་པ་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་དུ་འཇུག་ཐུབ།
• ཁོང་ཚོས་རྩིས་རིག་ནང་ཚད་མེད་བྱ་རིམ་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པའི་ལམ་ལུགས་ལྡན་པའི་ཐབས་ལམ་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད།
• དེ་དག་རྗེས་མའི་བརྗོད་གཞི་དཔེར་ན་སྟོབས་ཤུགས་རིམ་པ་དང་ཕུ་རི་ཡར་རིམ་པ་ལ་གལ་ཆེན་པོ་རེད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\sum \frac{1}{n^3}\) ཡི་ཚོད་ལྟའི་བསྡོམས་འབོར།
2. \(\sum \frac{3^n}{n!}\) ལ་ཆ་སྙོམས་ཚོད་ལྟ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
3. རྩ་བའི་བརྟག་དཔྱད་དེ་\(\sum \left(\frac{1}{2}\right)^n\) ལ་འཇུག་དགོས།
4. \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) ཡི་བསྡོམས་རྩིས་གཏན་འབེབས་བྱེད།
5. \(\frac{1}{n^2}\) དང་མཉམ་དུ་ཚད་གཞི་བསྡུར་ཚད་ཚོད་ལྟ་བེད་སྤྱོད་བྱས་ནས་\(\sum \frac{1}{n^2+1}\) ཚོད་ལྟ་བྱེད་དགོས།

12.3 ཆ་ཚང་དང་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་བསྡོམས་འབོར།

རྟགས་མཚན་བརྗེ་རེས་བྱེད་སྐབས་རིམ་པ་ཚང་མ་སྤྱོད་ཚུལ་གཅིག་པ་མིན། འདི་ལ་གདོང་ལེན་བྱེད་པར་ང་ཚོས་ཆ་ཚང་བསྡོམས་རྩིས་དང་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་བསྡོམས་རྩིས་གཉིས་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

མཐའ་གཅིག་ཏུ་བསྡོམས་པ།

རིམ་པ་ཞིག་\(\sum a_n\)ནི་ཧ་ཅང་འདུས་གྲུབ་ཡིན་ན།

\[ \sum |a_n| \]

འདུས་ཡོད།གྲུབ་རྩིས་: གལ་ཏེ་རིམ་པ་ཞིག་ངེས་པར་དུ་བསྡོམས་ན་དེ་ཡང་བསྡོམས་ཡོད།

དཔེ་བརྗོད:

\[ \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. \]

འདིར་\(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \sum \frac{1}{n^2}\) བསྡུ་རུབ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། (p-རིམ་པ་, \(p=2\)) དེར་བརྟེན་རིམ་པ་དེ་ཧ་ཅང་མཉམ་འདུས་ཡིན།

ཆ་རྐྱེན་མཉམ་སྡེབ།

རིམ་པ་ \(\sum a_n\) དེ་གལ་ཏེ་བསྡོམས་ན་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་བསྡོམས་རྩིས་ཡིན།

དཔེ་བརྗོད:

\[ \sum \frac{(-1)^n}{n}. \]

• རིམ་པ་བརྗེ་རེས་ཚོད་ལྟ། → བསྡོམས་འབོར།
• འོན་ཀྱང་\(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}\) ཁ་བྲལ་འགྲོ་གི་ཡོད། (ཧར་མོ་ནིག་རིམ་པ་) དེར་བརྟེན་རིམ་པ་དེ་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་སྒོ་ནས་འདུས་ཡོད།

བསྐྱར་སྒྲིག་གྲུབ་རྩིས།

ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་བསྡོམས་རྩིས་རིམ་པ་ལ་ཐ་སྙད་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱེད་པ་དེས་བསྡོམས་རྩིས་བསྒྱུར་ཐུབ་པ་དང་། ཐ་ན་དེ་བསྡོམས་རྩིས་བྱེད་པའམ་ཡང་ན་རིན་ཐང་གཞན་ཞིག་ལ་བསྡོམས་སྒྲིག་བྱེད་ཐུབ།

ཡ་མཚན་ཅན་གྱི་གྲུབ་འབྲས་འདིས་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་འདུ་འཛོམས་ཀྱི་རང་བཞིན་སྙིང་རྗེ་པོ་དེ་སྟོན་གྱི་ཡོད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཆ་ཚང་མཉམ་བསྲེས་ཤུགས་ཆེ་བ་དང་བརྟན་ལྷིང་ལ་འགན་ལེན་བྱེད།
• ཆ་རྐྱེན་གྱི་བསྡོམས་རྩིས་ཀྱིས་ཚད་མེད་ཀྱི་བསྡོམས་རྩིས་ནང་གོ་རིམ་གྱི་གལ་ཆེན་རང་བཞིན་གསལ་སྟོན་བྱེད། ལག་ལེན་ཁྲོད་འཕྲད་པའི་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་རིམ་པ་མང་པོ་ཞིག་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་སྒོ་ནས་མཉམ་བསྡོམས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\sum \frac{(-1)^n}{n^3}\) ནི་ཆ་ཚང་མཉམ་འཛོམས་བྱེད་པ་སྟོན།
2. \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\) ནི་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་བསྡོམས་རྩིས་ཡིན་པ་སྟོན།
3. བརྟག་དཔྱད་\(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) ཆ་ཚང་དང་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་བསྡོམས་རྩིས་ལ་ཚོད་ལྟ་བྱེད།
4. ཆ་ཚང་བསྡོམས་རྩིས་དེས་བསྡོམས་རྩིས་མཚོན་གྱི་ཡོད་ཀྱང་ལྡོག་ཕྱོགས་དེ་བདེན་པ་མིན་པ་དེ་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།
5. རི་མན་གྱི་བསྐྱར་སྒྲིག་གྲུབ་རྩིས་དེ་ཁྱེད་རང་གི་ཚིག་ཐོག་ནས་ཞིབ་འཇུག་དང་ཕྱོགས་བསྡུས་བྱོས།

ལེའུ་བཅུ་གསུམ་པ། ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་དང་རྒྱ་བསྐྱེད།

13.1 ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་

ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་ནི་ཚད་མེད་རིམ་པ་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ནང་དུ་ཐ་སྙད་རེ་རེར་འགྱུར་ལྡོག་གི་ནུས་ཤུགས་ཚུད་ཡོད། གློག་ཤུགས་རིམ་པ་དེ་ཚོ་རྩིས་རིག་ནང་ལ་ལྟེ་བ་ཡིན།

སྤྱིར་བཏང་གི་རྣམ་པ།

\(a\) ལ་དབུས་སུ་ཡོད་པའི་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་ལ་རྣམ་པ་དེ་ཡོད།

\[\སུམ་_{n=0}^\ཨིན་ཕཊི་སི་_ཨེན་ (x-a)^n, \]

where \(c_n\) are constants called the coefficients.

• If \(a=0\), the series is centered at the origin:

  \[ \སུམ་_{n=0}^\ཨིན་ཧྥཊི་སི་_ཨེན་ x^n. \]

Examples

1. Geometric series

\[ \sum_{n=0}^\infty x^n = \ཕྲེག་{1}{1-x}, \ཀྭ་ཌི་ |x|<1. \]

2. Exponential function

\[ e^x = \བསྡོམས་_{n=0}^\ཨིན་ཧྥི་ཊི་\ཕྲེག་{x^n}{n!}. \]

3. Sine and cosine

\[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \ཀྭ་ཌི། \cos x = \བསྡོམས་_{n=0}^\ཨིན་ཕི་ཊི་ (-1)^n \ཕྲ་ཀ་{x^{2n}}{(2n)!}. \]

Interval of Convergence

For each power series, there exists a radius of convergence \(R\) such that:

• The series converges if \(|x-a| < R\).
• The series diverges if \(|x-a| > R\).
• At \(|x-a| = R\), convergence must be checked separately.

Why This Matters

• Power series allow us to approximate functions by polynomials.
• They connect calculus with analysis and differential equations.
• Many special functions in mathematics and physics are defined by their power series.

Exercises

1. Write the power series for \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^n}{n!}\).
2. Find the first four terms of the power series for \(e^x\).
3. Express \(\frac{1}{1+x}\) as a power series centered at 0.
4. Determine whether the series \(\sum_{n=0}^\infty n! x^n\) converges at \(x=0.1\).
5. Explain why power series are sometimes called “infinite polynomials.”

13.2 Radius of Convergence

Every power series converges for some values of \(x\) and diverges for others. The boundary between these two behaviors is described by the radius of convergence.

Definition

For a power series

\[ \སུམ་_{n=0}^\ཨིན་ཕཊི་སི་_ཨེན་ (x-a)^n, \]

དེར་ཨང་གྲངས་ཤིག་ཡོད། \(R \geq 0\) (མཐའ་མེད་པ་ཡིན་སྲིད།)

གལ་ཏེ་\(|x-a| < R\) རིམ་པ་དེ་ངེས་པར་དུ་མཉམ་དུ་འཛོམས་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་\(|x-a| > R\) རིམ་པ་དེ་ཁ་བྲལ་འགྲོ་གི་རེད།- \(|x-a| = R\) ལ་བསྡོམས་རྩིས་སོ་སོར་བརྟག་དཔྱད་བྱེད་དགོས།

གྲངས་ཀ་འདི་\(R\) ལ་བསྡོམས་རྩིས་ཀྱི་ཕྱེད་ཀ་ཟེར།

བསྡོམས་པའི་དཀྱིལ་ཐིག་འཚོལ་བ།

ཐུན་མོང་གི་ཐབས་ལམ་གཉིས།

1. ཆ་སྙོམས་ཚོད་ལྟ།

\[ R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|. \]

2. རྩ་བའི་བརྟག་དཔྱད།

\[ R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}. \]

དཔེ།

1. རིམ་པ་།

\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \]

ཆ་སྙོམས་ཚོད་ལྟ་སྤྱད་དེ།

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n!)}{1/((n+1)!)} = \infty. \]

དེར་བརྟེན་\(R = \infty\) (དངོས་ཡོད་ཚང་མའི་ཆེད་དུ་བསྡུ་རུབ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། \(x\))

2. རིམ་པ་།

\[ \sum_{n=0}^\infty x^n. \]

འདིར་\(c_n = 1\)

\[ R = 1. \]

\(|x| < 1\) ལ་འདུས་ཡོད།

3. རིམ་པ་།

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}. \]

ཆ་སྙོམས་བརྟག་དཔྱད།

\[ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x^{n+1}/(n+1))}{(x^n/n)}\right| = |x|. \]

དེར་བརྟེན། \(R = 1\). \(|x| < 1\) ལ་བསྡོམས་པ་དང་། \(|x| > 1\) ལ་ཁ་བྲལ་བ། \(x=\pm 1\) ལ་སོ་སོར་ཚོད་ལྟ་བྱེད་དགོས།

བསྡོམས་རྩིས་བར་མཚམས།

རིམ་པ་དེ་བསྡོམས་པའི་ \(x\)-རིན་ཐང་གི་ཆ་ཚན་དེ་ལ་བསྡོམས་པའི་བར་མཚམས་ཟེར།

• ག་དུས་ཡིན་ཡང་\(a\) ལ་དབུས་སུ་བཞག་ཡོད།
• ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་\(R\)ཚད་གཞི་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད།
• མཐའ་མཚམས་\(x=a\pm R\) རེ་རེ་བཞིན་ཞིབ་བཤེར་བྱེད་དགོས།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• བསྡོམས་རྩིས་ཀྱི་དཀྱིལ་ཐིག་གིས་ང་ཚོར་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་གང་དུ་ལས་འགན་ལྟར་སྤྱོད་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
• ཊེ་ལོར་རིམ་པའི་རྒྱ་བསྐྱེད་ལག་ལེན་ཁྲོད་བེད་སྤྱོད་གཏོང་བར་གལ་ཆེ།
• དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་བཟོ་སྐྲུན་རིག་གནས་ཀྱི་རིམ་པ་ཐབས་ལམ་གྱི་ནུས་ལྡན་གྱི་ཁྱབ་ཁོངས་གཏན་འབེབས་བྱེད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{n!}\) ཡི་བསྡོམས་རྩིས་ཕྱེད་ཀ་འཚོལ།
2. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}\) ཡི་བསྡོམས་རྩིས་ཕྱེད་ཀ་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(\sum_{n=0}^\infty n!x^n\) ལ \(R\) འཚོལ་བར་ཆ་སྙོམས་ཚོད་ལྟ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།
4. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^n}{n}\) ཡི་བསྡོམས་རྩིས་བར་མཚམས་གཏན་འབེབས་བྱོས།
5. མགྱོགས་ཚད་རིམ་པ་དེ་\(x\) ཚང་མའི་ཆེད་དུ་བསྡོམས་དགོས་པ་དང་། དབྱིབས་རྩིས་རིམ་པ་དེ་\(|x|<1\) ལ་རྐྱངམ་གཅིག་བསྡོམས་དགོས་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།## 13.3 ཊེ་ལོར་དང་མེག་ལའོ་རིན་གྱི་རིམ་པ་

གློག་ཤུགས་རིམ་པ་དེ་ཚོ་གོམས་འདྲིས་ཡོད་པའི་ལས་འགན་མཚོན་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་སྐབས་དམིགས་བསལ་གྱི་སྟོབས་ཤུགས་ཅན་དུ་འགྱུར་བ་རེད། འདི་ནི་ཊེ་ལོར་རིམ་པ་བརྒྱུད་ནས་བྱེད་པ་དང་ ༠ ལ་ལྟེ་བ་བྱས་པའི་དམིགས་བསལ་གྱི་གནས་ཚུལ་དེ་ལ་མེག་ལའོ་རིན་རིམ་པ་ཞེས་འབོད་ཀྱི་ཡོད།

ཊེ་ལོར་རིམ་པ།

གལ་ཏེ་ལས་འགན་\(f(x)\) \(x=a\) ལ་ཚད་མེད་ཁྱད་པར་ཅན་ཡིན་ན། དེའི་ཊེ་ལོར་རིམ་པ་ \(a\) ནི་ 1 ཡིན།

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. \]

འདིར་ \(f^{(n)}(a)\) ཡིས་ \(f\) \(a\) ཡི་འབྱུང་ཁུངས་ \(n\) ལ་སྟོན་གྱི་ཡོད།

མེག་ལའོ་རིན་རིམ་པ།

ཊེ་ལོར་གྱི་རིམ་པ་དེ་\(a=0\)ལ་ལྟེ་བ་བྱས་ཡོད།

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n. \]

དཔེ།

1. སྒྱུར་རྩིས་བྱེད་ནུས།

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

2. སིན་དང་ཀོ་སིན།

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

3. རང་བྱུང་ལོ་གྷ་རི་དམ་ (\(|x|<1\) ཆེད་དུ)

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \]

ཊེ་ལོར་གྲངས་མང་ཚོད་དཔག

\(n\) ཐ་སྙད་དང་པོའི་ཚད་ལྡན་གྱི་བསྡོམས་རྩིས་ནི་ཊེ་ལོར་གྱི་ཚད་མང་གྲངས་ཚད་ \(n\) ཡིན།

\[ P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. \]

གྲངས་མང་གྲངས་འདིས་\(x=a\) ཉེ་འགྲམ་དུ་\(f(x)\) ཚོད་དཔག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ལྷག་མ་ (ནོར་འཁྲུལ་གྱི་ཐ་སྙད་)

ལས་འགན་དང་དེའི་ཊེ་ལོར་ཚད་མང་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་པར་ནི་ལྷག་མ་ཡིན།

\[ R_n(x) = f(x) - P_n(x). \]

རྣམ་པ་གཅིག་(Lagrangeཡི་རྣམ་པ་)ནི།

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \]

\(a\) དང་\(x\) བར་གྱི་\(c\) ཁ་ཤས་ལ།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཊེ་ལོར་རིམ་པ་དེས་ལས་འགན་རྙོག་འཛིང་ཅན་ལ་ཚད་མང་ཚོད་དཔག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།
• དེ་དག་གྲངས་རིག་དབྱེ་ཞིབ་དང་། དངོས་ཁམས་རིག་པ། བཟོ་སྐྲུན་རིག་པ་བཅས་ལ་གལ་ཆེན་པོ་རེད།
• མེག་ལའོ་རིན་རིམ་པ་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱིས་སྒྱུར་རྩིས་ཨང་གྲངས་དང་།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(f(x)=\cosh x = \tfrac{e^x+e^{-x}}{2}\) ཡི་མེག་ལའོ་རིན་གྱི་རིམ་པ་འཚོལ།2. \(f(x)=e^x\) ལ་ལྟེ་བ་བྱས་པའི་ཊེ་ལོར་རིམ་པ་བྲིས།
2. \(f(x)=\ln(1+x)\) ལ་ \(a=0\) ལ་ཡོད་པའི་ཊེ་ལོར་གྱི་ཚད་གཞི་ ༣ རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. \(\sin x\) ལ་མེ་ཀ་ལའོ་རིན་རིམ་པ་བེད་སྤྱོད་བྱས་ནས་\(\sin(0.1)\) ལ་ཚོད་དཔག་བྱེད། ༥ ཊེ་ལོར་རིམ་པ་དེས་ས་གནས་ཀྱི་ཚོད་དཔག་ཡག་པོ་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད་ཀྱང་ཆེ་ཆུང་\(|x|\) ལ་ཁྱད་པར་ཆགས་སྲིད་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

13.4 ཊེ་ལོར་རིམ་པའི་བཀོལ་སྤྱོད།

ཊེ་ལོར་རིམ་པ་ནི་གྲུབ་མཐའི་ལག་ཆ་ཁོ་ན་མ་ཡིན་པར། དེ་དག་ལས་འགན་ཚོད་དཔག་བྱེད་པ་དང་། སྙོམ་རྩིས་ཐག་གཅོད་བྱེད་པ། དངོས་ཁམས་མ་ལག་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཁོང་ཚོའི་ལག་ལེན་དེ་ཨང་རྩིས་དང་། ཚན་རིག བཟོ་སྐྲུན་བཅས་ལ་ཁྱབ་ཡོད།

ལས་འགན་ཚོད་དཔག

རྙོག་འཛིང་ཆེ་བའི་ལས་འགན་དེ་ཚོ་ས་ཚིགས་ཀྱི་ཉེ་འགྲམ་གྱི་པོ་ལི་ནོ་མིའལ་གྱིས་ཚོད་དཔག་བྱེད་ཐུབ།

དཔེར་ན། ཧ་ལམ་\(e^x\) \(x=0\) ཉེ་འགྲམ་དུ་ \(x=0\) ཚད་གཞི་-3 མེག་ལའོ་རིན་གྱི་སྣ་མང་གྲངས་ཐོ་སྤྱད་དེ།

\[ P_3(x) = 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}. \]

\(x\)ཆུང་ཆུང་ལ་འདིས་\(e^x\)ཡི་ཚོད་དཔག་ཏག་ཏག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

གྲངས་རིག་གི་ཐབས་ལམ།

ཊེ་ལོར་རིམ་སྒྲིག་གིས་ཨང་གྲངས་རྩིས་གཞིའི་གཞི་རྩ་མཁོ་སྤྲོད་བྱེད།

• གྲུ་བཞི་རྩ་དང་། ལོ་གྷ་རི་ཐམ། དེ་བཞིན་ཟུར་གསུམ་རྩིས་རིག་གི་རིན་ཐང་ཚོད་དཔག་བྱེད་པ།
• ལྷག་མའི་དུས་ཡུན་བརྒྱུད་ནས་ནོར་འཁྲུལ་ཚོད་དཔག
• ནིའུ་ཊོན་གྱི་ཐབས་ལམ་ལྟ་བུའི་བསྐྱར་ལོག་ཐབས་ལམ་ནང་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ཁྱད་པར་སྙོམ་རྩིས་ཐག་གཅོད་བྱེད་པ།

ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་སྙོམ་རྩིས་མང་པོ་ཞིག་ལ་ཊེ་ལོར་(ཡང་ན་ནུས་ཤུགས་)རིམ་པ་ལྟར་བརྗོད་པའི་ཐབས་ཤེས་ཡོད།

དཔེར་ན། \(y'' + y = 0\) དང་ \(y(0)=0, y'(0)=1\) གཉིས་ཀྱི་ཐབས་ཤེས་ནི་\(\sin x\) ཡིན།

དངོས་ལུགས་རིག་པ་དང་།

ཟུར་ཆུང་བའི་ཚོད་དཔག

\[ \sin x \approx x, \quad \cos x \approx 1 - \tfrac{x^2}{2}, \quad |x| \ll 1. \]

འཕྲེད་ཐིག་གཡོ་འགུལ་དང་། འོད་རིག་པ། རླབས་འཕྲུལ་རིག་པ་བཅས་སུ་བེད་སྤྱོད་བྱེད།

• འབྲེལ་བའི་རིག་པ་དང་ཚད་རྡུལ་འཕྲུལ་རིག ཊེ་ལོར་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱིས་ལག་ལེན་གྱི་བེད་སྤྱོད་ཆེད་དུ་རིམ་པ་མ་ཡིན་པའི་བརྡ་སྟོན་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་བ་རེད།- ནུས་ཤུགས་ཀྱི་ལས་འགན་ཚོད་དཔག་བྱེད་པ་: འཕྲུལ་རིག་ནང་འབྱུང་འགྱུར་ནུས་ཤུགས་ཀྱི་ལས་འགན་དེ་འདྲ་མཉམ་གྱི་ས་ཚིགས་ཉེ་འགྲམ་དུ་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

འབྱུང་འགྱུར་དང་གྲངས་གཞི།

• དུས་སྐབས་བསྐྲུན་པའི་ལས་འགན་དང་ཁྱད་ཆོས་ལས་འགན་གྱིས་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
• འབྱུང་འགྱུར་བགོ་འགྲེམས་ཀྱི་ཚོད་དཔག་(དཔེར་ན། སྤྱིར་བཏང་གི་ཚོད་དཔག་གཉིས་ལྡན་ལ་)ཊེ་ལོར་རྒྱ་བསྐྱེད་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཊེ་ལོར་རིམ་པ་དེས་ཐབས་གཞི་ངེས་ཅན་དང་ལག་ལེན་རྩིས་རྒྱག་བར་གྱི་ཟམ་པ་བསྐྲུན་ཡོད།
• དེ་དག་གིས་ང་ཚོར་དཀའ་ངལ་སྣ་ཚོགས་འཛིན་སྐྱོང་བྱེད་ཐུབ་པའི་ཚད་མང་ཚོད་དཔག་ལ་མར་ཕབ་བྱེད་ཐུབ།
• ལག་ལེན་གྱིས་དེ་དག་ལག་ལེན་རྩིས་རིག་གི་ལག་ཆ་གལ་ཆེ་ཤོས་ཤིག་ཏུ་བསྒྱུར་ཡོད།

ལུས་སྦྱོང་།

1. \(e^x\) ལ་མེ་ཀ་ལའོ་རིན་གྱི་རིམ་པ་བེད་སྤྱོད་བྱས་ནས་\(e^{0.1}\) བཅུ་ཚག་བཞི་བར་ཚོད་དཔག་བྱེད།
2. \(\sin(5^\circ)\) ཚོད་དཔག་བྱེད་པར་ཟུར་ཆུང་བའི་ཚོད་དཔག་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད།
3. ནུས་ཤུགས་རིམ་པའི་ཐབས་ལམ་བཀོལ་ནས་ཁྱད་པར་སྙོམ་རྩིས་\(y'' = -y\) ཐག་གཅོད་བྱེད།
4. \(\ln(1+x)\) དེ་ཚད་གཞི་ ༤ བར་རྒྱ་བསྐྱེད་ནས་ \(\ln(1.1)\) ལ་ཚོད་དཔག་བྱེད་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་དགོས། ༥ གྲངས་མང་ཚོད་དཔག་དེ་གློག་ཀླད་དང་རྩིས་འཕྲུལ་ལ་དམིགས་བསལ་གྱི་ཕན་ཐོགས་ཡོད་པའི་རྒྱུ་མཚན་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

ཟུར་འཛར་ཁག

ཟུར་སྣོན་ཀ རྩིས་རིག་སྔོན་གྱི་གལ་ཆེའི་ཆ་རྐྱེན།

A.1 ཚབ་རྩིས་རིག་པ་གསར་བརྗེ།

རྩིས་རིག་ལ་མ་འཛུལ་གོང་དུ་ཡང་ཡང་ཐོན་པའི་ཨལ་ཇེབ་རའི་ལག་རྩལ་ཁ་ཤས་བསྐྱར་ཞིབ་བྱེད་པར་ཕན་ཐོགས་ཡོད། ཁྱེད་རང་གིས་བརྗོད་ཚིག་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པ་དང་། སྙོམ་རྩིས་ཐག་གཅོད་བྱེད་པ། གྲུབ་འབྲས་སྟབས་བདེ་བཟོ་བར་དགོས་པའི་“ལག་ཆ་”འདི་དག་ཡིན།

སྟོན་གྲངས་དང་ནུས་པ།

• གཞི་རྩའི་ཁྲིམས་ལུགས།

  \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}. \]

• དགག་ཆའི་སྒྱུར་ཐབས།

  \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0. \]

• དཔྱ་རྩིས་སྒྱུར་ཐབས།

  \[ a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}. \]

ཕེག་ཊོར་རིང་།

ཕེག་ཊོ་རིང་གིས་བརྗོད་ཚིག་སྟབས་བདེ་རུ་གཏོང་བ་དང་སྙོམ་རྩིས་ཐག་གཅོད་བྱེད་པར་ཕན་ཐོགས།

1. སྤྱིར་བཏང་གི་རྒྱུ་རྐྱེན།

   \[ 6x^2+9x = 3x(2x+3). \]

2. གྲུ་བཞིའི་ཁྱད་པར།

   \[a^2-b^2 = (ཀ-ཁ)(ཀ+ཁ)། \]

3. Quadratic trinomials:

   \[ x^༢+༥x+༦ = (x+༢)(x+༣)། \]

Polynomials

• Standard form: \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\).
• Degree: the largest power of \(x\).
• Long division and synthetic division are useful for simplifying rational functions.

Rational Expressions

Simplify by factoring numerator and denominator:

\[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}, \quad x \neq 1. \]

Logarithms

• Definition: \(\log_a b = c\) means \(a^c = b\).

• Common bases: natural log (\(\ln x = \log_e x\)) and base 10 (\(\log x\)).

• Rules:

  \[ \log(ab) = \log a + \log b, \quad \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b, \quad \log(a^n) = n\log a. \]

Equations

• Linear: solve \(ax+b=0\) → \(x=-b/a\).

• Quadratic: \(ax^2+bx+c=0\) has solutions

  \[ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

• Exponential: \(e^x = k\) → \(x = \ln k\).

A.2 Trigonometry Basics

Trigonometry provides the language of angles and periodic phenomena. Since calculus often deals with oscillations, motion, and waves, a solid grasp of trigonometric functions and their properties is essential.

The Unit Circle

• Defined as the circle of radius 1 centered at the origin in the coordinate plane.

• For an angle \(\theta\) measured from the positive \(x\)-axis:

  \[ (\ཀོས་\ཐེ་ཏ།,\སིན་\ཐེ་ཏ།) \]

  སྒོར་ཐིག་སྟེང་གི་ས་ཚིགས་ཀྱི་སྦྲེལ་མཐུད་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

དམིགས་བསལ་རིན་ཐང་ནི།

\(\theta\)	\(\sin \theta\)	\(\cos \theta\)	\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(0\)	0	1	0
\(\pi/6\)	༡/༢	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/\sqrt{3}\)
\(\pi/3\)	\(\sqrt{3}/2\)	༡/༢	\(\sqrt{3}\)
\(\pi/2\)	1	0	ངེས་ཚིག་མེད་པ

གཞི་རྩའི་ངོ་བོ།

1. པའེ་ཐ་གོ་རི་ཡའི་ངོ་བོ།

\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. \]

2. བགོ་གྲངས་ངོས་འཛིན།

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \]

3. ཕན་ཚུན་ངོས་འཛིན།

\[ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}. \]

ཟུར་བསྡོམས་ཐབས་གཞི།

\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \]

\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. \]

དམིགས་བསལ་གནས་ཚུལ་ནི།

• ཟུར་གཉིས།

  \[ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta, \quad \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta. \]

རི་མོ།

• \(\sin x\): རླབས་འདི་0ནས་འགོ་ཚུགས་པ་དང་། ཁྱབ་ཚད་1། དུས་ཡུན་\(2\pi\)།
• \(\cos x\): རླབས་1ནས་འགོ་ཚུགས་པ་དང་། ཁྱབ་ཚད་1། དུས་ཡུན་\(2\pi\)།
• \(\tan x\): \(\pi\) རེ་རེ་བསྐྱར་ཟློས་བྱེད།

A.3 མཉམ་སྦྲེལ་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ།

དབྱིབས་རྩིས་རིག་པས་སྙོམ་རྩིས་བཀོལ་ནས་དབྱིབས་རྩིས་དངོས་པོ་(ཐིག་དང་། སྒོར་ཐིག། གུག་གུག)འགྲེལ་བཤད་རྒྱབ་ནས་ཚབ་རྩིས་རིག་པ་དང་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་འབྲེལ་མཐུད་བྱེད། རྩིས་རིག་གིས་ལས་འགན་རི་མོ་བཟོ་བ་དང་། གྱེན་ཐུར་འཚོལ་བ། གུག་གུག་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད་པའི་ཆེད་དུ་སྒྲོམ་གཞི་འདི་ལ་ཤུགས་ཆེན་པོས་བརྟེན་ཡོད།

ཀར་ཊི་སི་ཡན་གྱི་གནམ་གྲུ།

• ས་ཚིགས་ཤིག་སྦྲེལ་མཐུད་\((x,y)\) གིས་མཚོན་ཡོད།

• \((x_1,y_1)\) དང་ \((x_2,y_2)\) གཉིས་ཀྱི་བར་ཐག:

  \[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. \] ཐིག་ཆ་ཤས་ཀྱི་དཀྱིལ་ཚིགས།

  \[ M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). \]

ཐིག་རིས།

1. གྱེན་ཐུར་ཐབས་གཞི།

   \[ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]

2. ཐིག་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ།

   • ས་ཚིགས་གྱེན་ཐུར་གྱི་དབྱིབས།

     \[ཝའི་-༡ = ཨེམ་(ཨེགསི་-ཨེགསི་_༡)། \]

   • Slope-intercept form:

     \[ y = mx+b. \]

3. Parallel and perpendicular lines

   • Parallel lines: same slope.
   • Perpendicular lines: slopes satisfy \(m_1m_2 = -1\).

Circles

Equation of a circle with center \((h,k)\) and radius \(r\):

\[ (x-h)^2+(y-k)^2 = r^2. \]

Special case: unit circle centered at origin:

\[ x^2+y^2=1. \]

Conic Sections

1. Parabola:

   • Standard form (opening up/down):

     \[ y = ax^2+bx+c. \]

2. Ellipse (centered at origin):

   \[ \ཕྲེག་{x^2}{a^2}+\ཕྲེག་{y^2}{b^2}=1. \]

3. Hyperbola (centered at origin):

   \[ \ཕྲེག་{ཨེགསི་^༢}{ཨེ་^༢}-\ཕྲེག་{ཝའི་^༢}{བི་^༢}=༡། \]

Appendix B. Key Formulas and Tables

B.1 Derivative Table

Derivatives measure rates of change and slopes of functions. Having a quick-reference table helps learners avoid re-deriving formulas each time.

Basic Rules

1. Constant rule

\[ \frac{d}{dx}[c] = 0 ཡིན། \]

2. Power rule

\[ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}, \ཀྭ་ཌི་(ཨེན་\ཨིན་\མཐ་བྷི{ཨར་}) \]

3. Constant multiple rule

\[ \frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x) \]

4. Sum and difference rule

\[ \frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)] = f'(x)\pm g'(x) \]

Trigonometric Functions

\[ \frac{d}{dx}[\སིན་ x] = \ཀོས་ x། \]

\[ \frac{d}{dx}[\cos x] = -\སིན་ x། \]

\[ \frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x, \quad x \neq \tfrac{\pi}{2}+ཀེ་\པི། \]

\[ \frac{d}{dx}[\cot x] = -\སི་སིསི་^༢ x \]

\[ \frac{d}{dx}[\སྐར་ཆ་ x] = \སྐར་ཆ་ x \ཏན་ x . \]

\[ \frac{d}{dx}[\སི་སི་ཨེགསི་] = -\སི་སི་སི་ཨེགསི་\ཀོཊི་ཨེགསི། \]

Exponential and Logarithmic Functions

\[ \frac{d}{dx}[e^x] ​​= ཨི^ཨེགསི། \]

\[ \frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a, \quad a>0, ཨ་\ནེག་1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\ln x] = \ཕྲག་{1}{x}, \ཀྭཌ་ x>0. \]

\[ \frac{d}{dx}[\log_a x] = \frac{1}{x\ln a}, \quad a>0, a\neq 1 \]

Inverse Trigonometric Functions

\[\frac{d}{dx}[\arcsin x] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad|x|<1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\arccos x] = -\ཕྲག་{1}{\sqrt{1-x^2}}, \ཀྭ་ཌི་ |x|<1 \]

\[ \frac{d}{dx}[\ཨར་ཀྲན་x] = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \in \mathbb{R} \]

Product, Quotient, and Chain Rules

1. Product Rule

\[ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

2. Quotient Rule

\[ \frac{d}{dx}\གཡོན་[\frac{f(x)}{g(x)}\གཡས་] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}, \quad g(x)\neq 0 \]

3. Chain Rule

\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))\cdot g'(x) \]

B.3 Common Series Expansions

Power series let us express functions as infinite polynomials. These expansions are essential for approximations, solving differential equations, and building intuition about functions in calculus.

Geometric Series

\[ \frac{1}{1-x} = \བསྡོམས་_{n=0}^\ཨིན་ཕཊི་ x^n, \ཀྭ་ཌི་ |x| < 1 \]

Exponential Function

\[ e^x = \བསྡོམས་_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ཕྲག་{x^3}{3!} + \སི་ཌོཊ། \]

Valid for all \(x\).

Trigonometric Functions

\[ \sin x = \བསྡོམས་_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \ཕྲག་{x^5}{5!} - \སི་ཌོཊ། \]

\[ \cos x = \བསྡོམས་_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \ཕྲག་{x^4}{4!} - \སི་ཌོཊ། \]

\[ \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \ཀྭ་ཌི་ |x|\ལེག་ 1 \]

Logarithm

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \ཕྲ་ཀ་{x^n}{n}, \ཀྭཌ་ -1 < x \leq 1 \]

Binomial Expansion (Generalized)

\[ (1+x)^r = \sum_{n=0}^\infty \བི་ནོམ་{r}{n} x^n, \ཀྭ་ཌི་ |x|<1 \]

where

\[ \binom{r}{n} = \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)}{n!}. \]

ཟུར་སྣོན་C.བདེན་དཔང་རི་མོ།

C.1 ཚད་གཞིའི་ཁྲིམས་ལུགས་དང་ \(\varepsilon\)–\(\delta\) ངེས་ཚིགརྩིས་རིག་དེ་ཚད་གཞིའི་དོན་སྙིང་ངེས་ཅན་ལ་རག་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། མངོན་རྟོགས་(“རིན་ཐང་ཇེ་ཉེ་དང་ཇེ་ཉེ་དུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད་”)དེ་ཕན་ཐོགས་ཡོད་ཀྱང་།

མངོན་སུམ་གྱི་བསམ་བློ།

ང་ཚོས་བྲིས།

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

དེའི་དོན་ནི། \(x\) \(a\) ལ་གང་འདོད་དུ་ཉེ་བར་སླེབས་པ་ལྟར། \(f(x)\) ཡི་རིན་ཐང་དེ་\(L\) ལ་གང་འདོད་དུ་ཉེ་བར་སླེབས་ཀྱི་ཡོད།

ལུགས་མཐུན་ (\(\varepsilon\)–\(\delta\)) ངེས་ཚིག

ང་ཚོས་བཤད་རྒྱུར།

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

གལ་ཏེ་\(\varepsilon > 0\)རེ་རེའི་ཆེད་དུ་\(\delta > 0\)ཡོད་ན།

\[ 0 < |x-a| < \delta, \]

ང་ཚོ་ལ།

\[ |f(x) - L| < \varepsilon. \]

• \(\varepsilon\): ང་ཚོས་\(f(x)\)དེ་\(L\)དང་ག་ཚོད་ཉེ་པོ་དགོས་སམ།
• \(\delta\): དེ་སྒྲུབ་པར་\(x\) དེ་\(a\) དང་ཇི་འདྲའི་ཉེ་པོ་དགོས་སམ།

དཔེ་བརྗོད

དེ་སྟོན།

\[ \lim_{x \to 2} (3x+1) = 7. \]

• ལེ་ཊི་\(\varepsilon > 0\). ང་ཚོར་\(|(3x+1)-7| < \varepsilon\)དགོས།
• འཇམ་པོ་བཟོས་: \(|3x-6| = 3|x-2| < \varepsilon\). གལ་ཏེ་ང་ཚོས་\(\delta = \varepsilon/3\)འདེམས་ན།

དེ་ལྟར་ངེས་ཚིག་ལྟར་ན། ཚད་གཞི་ནི་7ཡིན།

ཚད་གཞིའི་ཁྲིམས་ལུགས།

གལ་ཏེ་\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)དང་\(\lim_{x \to a} g(x) = M\)ཡིན་ན།

1. བསྡོམས་རྩིས།/ཁྱད་པར།

\[ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M \]

2. རྟག་ལྡན་སྣ་མང་།

\[ \lim_{x \to a} [c f(x)] = cL \]

3. ཐོན་རྫས།

\[ \lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM \]

4. བགོ་གྲངས་(གལ་ཏེ་\(M \neq 0\))

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \]

5. དབང་དང་རྩ་བ།

\[ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n, \quad \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \ (\text{if defined}). \]

C.2 བདེན་དཔང་རི་མོ། རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས།

རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་ (FTC) གིས་རྩིས་རིག་གི་ལྟེ་བའི་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་སྟེ་ཁྱད་པར་དང་མཉམ་བསྲེས་གཉིས་འབྲེལ་མཐུད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དེས་དོན་དངོས་སུ་དེ་དག་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་བྱ་རིམ་ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད།

གྲུབ་རྩིས་ཀྱི་གསལ་བསྒྲགས།

ལེའུ་དང་པོ། (ཧྲིལ་པོའི་ཁྱད་པར།) གལ་ཏེ་\(f\)ནི་\([a,b]\)ཐོག་མུ་མཐུད་ཡིན་པ་དང་ང་ཚོས་གསལ་བཤད་བྱེད།

\[F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \]

then \(F\) is differentiable on \((a,b)\) and

\[ F'(x) = f(x)། \]

Part II (Evaluation of a Definite Integral): If \(F\) is any antiderivative of \(f\) on \([a,b]\), then

\[ \int_a^b f(x)\,dx = ཨེཕ་(ཁི)-ཨེཕ་(ཀ)། \]

Proof Sketch of Part I

1. Start with the definition of the derivative:

   \[ F'(x) = \ལིམ་_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}། \]

2. Substituting \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\):

   \[ F(x+h)-F(x) = \ཨིན་ཊི་_ཨེ་^{x+h} ཕི་(ཊི)\,ཌི་ཊི་ - \ཨིན་ཊི་_ཨེ་^ཨེགསི་ཨེཕ་(ཊི་)\,ཌི་ཊི། \]

3. By the additivity of integrals:

   \[ F(x+h)-F(x) = \int_x^{x+h} ཕ(ཊི་)\,ཌི་ཊི། \]

4. Therefore:

   \[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \ཕྲག་{༡}{ཧ}\ཨིན་ཊི་_ཨེགསི་^{x+h} f(t)\,dt. \]

5. By the Mean Value Theorem for integrals, there exists \(c \in [x,x+h]\) such that

   \[ \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c)། \]

6. As \(h \to 0\), \(c \to x\), and since \(f\) is continuous:

   \[ \lim_{h\to 0} ཨེཕ་(སི་) = ཨེཕ་(ཨེགསི)། \]

Thus, \(F'(x) = f(x)\).

Proof Sketch of Part II

1. Let \(F\) be an antiderivative of \(f\), so \(F'(x) = f(x)\).

2. By Part I, the function

   \[ G(x) = \int_a^x f(t)\,dt \]

   is also an antiderivative of \(f\).

3. Since \(F\) and \(G\) differ only by a constant,

   \[ F(x) = G(x) + C. \]

4. Evaluating at the endpoints:

   \[ \int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a) = (F(b)+C)-(F(a)+C) = F(b)-F(a)། \]

C.3 Proof Sketch: Convergence of the Geometric Series

The geometric series is one of the simplest and most important infinite series. It serves as a model for understanding convergence and is the foundation for many later results in calculus.

The Series

\[ \sum_{n=0}^\infty ཨར་^ན་ = ཨ་ + ཨར་ + ཨར་^༢ + ཨར་^༣ + \cdots \]

where \(a\) is the first term and \(r\) is the common ratio.

Partial Sum Formula

The \(n\)-th partial sum is

\[S_n = a + ཨར་ + ཨར་^༢ + \cdots + ཨར་^n. \]

Multiply both sides by \(r\):

\[ rS_n = ཨར་ + ཨར་^2 + \cdots + ཨར་^{n+1}. \]

Subtract the two equations:

\[ S_n - rS_n = ཨེ་ - ཨར་^{ཨེན་+༡}། \]

\[ S_n(༡-ར) = ཨེ་(༡-ར^{ཨེན་+༡})། \]

So

\[ S_n = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}, \ཀྭ་ཌི་ཨར་\ནེག་1. \]

Convergence

Take the limit as \(n \to \infty\):

• If \(|r| < 1\), then \(r^{n+1} \to 0\).

  \[ \ལིམ་_{ཨེན་\ཊོ\ཨིན་ཕཊི་} S_n = \ཕྲེག་{ཨེ་}{༡-ར}། \]

• If \(|r| \geq 1\), then \(r^{n+1}\) does not go to 0. The series diverges.

Result

\[ \སུམ་_{n=0}^\ཨིན་ཧྥི་ཊི་ཨར་^ན་ = \begin{གནས་ཚུལ་}། \dfrac{a}{1-ར}, & |ར|<1, \\[6pt] \text{དབྱེ་འབྱེད་}, & |r|\geq 1. \end{གནས་ཚུལ་} \]

Appendix D. Applications and Connections

D.1 Physics Connections: Velocity, Acceleration, and Work

Calculus was originally developed to solve problems in physics - especially motion and change. Here are some of the most important connections.

Position, Velocity, and Acceleration

• Position function: \(s(t)\) gives the location of an object at time \(t\).

• Velocity: the derivative of position.

  \[ v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt} \]

• Acceleration: the derivative of velocity (or second derivative of position).

  \[ a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2} \]

Example: If \(s(t) = 4t^2\) meters, then:

\[ v(t) = ༨t, \ཀྭ་ཌི་ཨེ་(ཊི) = ༨ \]

So the object moves faster linearly with time, under constant acceleration.

Work and Force

In physics, work is the product of force and distance. If force varies with position, calculus gives:

\[ W = \int_a^b F(x)\, dx \]

where \(F(x)\) is the force at position \(x\), and the object moves from \(x=a\) to \(x=b\).

Example: A spring with Hooke’s law force \(F(x) = kx\) requires work

\[ W = \int_0^d kx\, dx = \frac{1}{2}kd^2. \]

དཔྱིད་ཀ་དེ་ཐག་རིང་པོར་འཐེན་དགོས། \(d\).

གུག་རྟགས་འོག་གི་ནུས་ཤུགས་དང་ས་ཁོངས།- གཡོ་འགུལ་ནུས་ཤུགས། \(E_k = \tfrac{1}{2}mv^2\).

• འབྱུང་འགྱུར་གྱི་ནུས་ཤུགས་ལ་རྒྱུན་དུ་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་ཚུད་ཡོད། (དཔེར་ན། འཐེན་ཤུགས་ཀྱི་ནུས་ཤུགས་ལས་བྱུང་བའི་འཐེན་ཤུགས་ཀྱི་འབྱུང་འགྱུར་ནུས་ཤུགས་) སྤྱིར་བཏང་དུ་ཤུགས་རྐྱེན་གྱི་ལས་འགན་གཅིག་སྒྲིལ་བྱེད་པ་དེས་ནུས་ཤུགས་གསོག་འཇོག་བྱེད་པའམ་ཡང་ན་ལས་ཀ་སྒྲུབ་པ་སྟེར།

མགྱོགས་སྦྱོང་།

1. གལ་ཏེ་ \(s(t) = t^3 - 3t\) ཡིན་ན། \(v(t)\) དང་ \(a(t)\) འཚོལ་དགོས།
2. དངོས་པོ་ཞིག་ལ་མི་ཊར་ ༥ སྤོ་བའི་ཤུགས་ཚད་ ༡༠ N ཡིས་སྒྲུབ་པའི་ལས་ཀ་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
3. དཔྱིད་ཀ་ལ་རྒྱུན་ལྡན་\(k=200\)ཡོད། དེ་མི་ཊར་ ༠.༡ བསྲིངས་པར་ལས་ཀ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
4. མགྱོགས་ཚད་དེ་གནས་ཡུལ་གྱི་འབྱུང་ཁུངས་གཉིས་པ་ཡིན་པ་སྟོན། ༥ ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་ \(\int v(t)\, dt\) དེ་གནས་སྤོ་དང་འབྲེལ་བ་གང་འདྲ་ཡོད་མེད་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ།

D.2 འབྱུང་འགྱུར་དང་རྩིས་དཔྱད་འབྲེལ་མཐུད།

རྩིས་རིག་དེ་འབྱུང་འགྱུར་དང་རྩིས་དཔྱད་དང་འབྲེལ་བ་གཏིང་ཟབ་ཡོད། ལྷག་པར་དུ་མུ་མཐུད་དུ་གང་བྱུང་འགྱུར་ལྡོག་ལ་འབྲེལ་བ་བྱེད་སྐབས། འབྱུང་འགྱུར་དང་། ཆ་སྙོམས། རེ་བ་བཅས་གསལ་བཤད་བྱེད་པར་ཆ་ཤས་གལ་ཆེན་པོ་ཆགས་ཡོད།

འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན། (PDFs)

མུ་མཐུད་ཀྱི་གང་བྱུང་འགྱུར་ལྡོག་\(X\) ལ་འབྱུང་འགྱུར་གྱི་མཐུག་ཚད་ལས་འགན་\(f(x)\):

1. \(f(x) \geq 0\) ཚང་མའི་ཆེད་དུ་\(x\) ཡིན།

2. བསྡོམས་རྩིས་འབྱུང་འགྱུར་1དང་མཉམ།

   \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1. \]

\(X\) \([a,b]\) བར་མཚམས་ཤིག་གི་ནང་དུ་གནས་པའི་འབྱུང་འགྱུར་ནི།

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx. \]

རེ་བ་བྱས་པའི་རིན་ཐང་། (ཆ་སྙོམས།)

རེ་བ་བྱས་པའི་རིན་ཐང་(ཆ་སྙོམས་གྲུབ་འབྲས)ནི།

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\, dx. \]

འདི་ནི་ལྗིད་ཚད་ཆ་སྙོམས་ཀྱི་རྩིས་རིག་ཐོན་རིམ་ཡིན།

འགྱུར་ལྡོག

འགྱུར་ལྡོག་ཚད་གཞི་ཁྱབ་གདལ།

\[ \text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\, dx, \]

གང་དུ་\(\mu = E[X]\).

ཐུན་མོང་བགོ་འགྲེམས།

\([a,b]\)ཐོག་གཅིག་གྱུར་གྱི་བཀྲམ་སྤེལ།

\[ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b. \]

ཆ་སྙོམས། \(\frac{a+b}{2}\).

2. ཚད་གཞི་\(\lambda > 0\)དང་མཉམ་དུ་མགྱོགས་ཚད་བགོ་འགྲེམས།

   \[ f(x) = \ལམ་བྲ་ e^{-\ལམ་བྲ་ x}, \quad x \geq 0.\]

   Mean: \(1/\lambda\).

3. Normal (Gaussian) distribution:

   \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\པི་\སིག་མ་^2}} e^{-(x-\mu)^2/(2\སིག་མ་^2)}། \]

   Integrals of this distribution connect to the error function.

Why This Matters

• Integrals turn probabilities into areas under curves.
• Expectation and variance link calculus to averages and variability.
• Most real-world data models (finance, physics, biology, AI) use these continuous probability distributions.

Quick Practice

1. For \(f(x) = \tfrac{1}{2}\) on \([0,2]\), compute \(P(0.5 \leq X \leq 1.5)\).
2. For exponential distribution with \(\lambda = 2\), compute \(E[X]\).
3. Show that the total area under the standard normal curve equals 1.
4. Find the mean of a uniform distribution on \([3,7]\).
5. Explain why probabilities are computed with integrals, not sums, for continuous variables.

D.3 Computer Science Connections: Taylor Approximations in Algorithms

Calculus is not only for physics - it also underpins many tools and techniques in computer science. One of the clearest bridges is through Taylor series, which provide efficient ways to approximate functions in numerical computing and algorithms.

Function Approximation for Computing

Computers cannot directly store or calculate most functions exactly (like \(e^x\), \(\sin x\), or \(\ln x\)). Instead, they use polynomial approximations derived from Taylor expansions.

Example: To approximate \(e^x\), truncate the Maclaurin series:

\[ e^x \ཧ་ལམ་ ༡ + x + \ཕྲེག་{x^༢}{༢!} + \ཕྲེག་{x^༣}{༣!}. \]

\(x\) ཆུང་ཆུང་ལ་ཚད་མང་གྲངས་འདིས་ཐ་སྙད་འགའ་ཤས་ལས་མེད་པའི་གྲུབ་འབྲས་ཏག་ཏག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

རྩིས་གཞིའི་ཁྲོད་ཀྱི་ནུས་པ།

• གསུམ་རྩིས་རིག་པའི་ལས་འགན། རྩིས་འཕྲུལ་དང་སི་པི་ཡུ་ཡི་རྩིས་གཞི་དེ་ཚོས་རྒྱུན་དུ་རིམ་པ་རྒྱ་བསྐྱེད་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།- མགྱོགས་ཚད་/ལོ་གྷ་རི་ཐམ། ཊེ་ལོར་རྒྱ་བསྐྱེད་ནི་ཨང་གྲངས་དཔེ་མཛོད་ནང་མགྱོགས་མྱུར་ཚོད་དཔག་བྱེད་པའི་གཞི་རྩ་ཡིན།
• རྩ་བ་འཚོལ་ཞིབ། ནིའུ་ཊོན་གྱི་ཐབས་ལམ་དེ་རིམ་པ་ཅན་གྱི་ཚོད་དཔག་ལ་གཞི་བཅོལ་ཡོད།

གྲངས་གཞིའི་དབྱེ་ཞིབ།

ཊེ་ལོར་རྒྱ་བསྐྱེད་ནི་ནོར་འཁྲུལ་དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་དབུས་སུ་ཡོད།

ལྷག་མའི་ཐབས་གཞི་སྤྱད་དེ་ནོར་འཁྲུལ་གྱི་ཐ་སྙད་ཚོད་དཔག་བྱེད་པ།

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \] འདིས་གཏན་འཁེལ་གཅིག་ལ་ཐ་སྙད་ག་ཚོད་དགོས་མིན་བཤད་ཀྱི་ཡོད།

འཕྲུལ་ཆས་སློབ་སྦྱོང་གི་མཐུད་ཁ།

• གྱེན་ཐུར་ལ་གཞི་བཅོལ་བའི་ལེགས་བཅོས་(གྱེན་ཐུར་མར་འབབ་པ་ལྟ་བུ)གིས་ཚད་གཞི་ཕན་ནུས་ལྡན་པའི་སྒོ་ནས་ཁ་སྐོང་བྱེད་པར་འབྱུང་ཁུངས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
• ཤུགས་སྣོན་བྱེད་པའི་ལས་འགན་(\(\tanh x\) ཡང་ན་ \(\sigma(x)=1/(1+e^{-x})\) ལྟ་བུ) དེ་དག་མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་ཆེད་དུ་མང་ཚིག་ཡང་ན་ཆ་ཤས་ལས་འགན་གྱིས་ཚོད་དཔག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
• རིམ་པ་ཚོད་དཔག་གིས་བཀག་སྡོམ་གྱི་ཁོར་ཡུག་ནང་སྦྱོང་བརྡར་དང་ཚོད་དཔག་མགྱོགས་སུ་གཏོང་ཐུབ།

འདི་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།

• ཊེ་ལོར་གྱི་ཚོད་དཔག་གིས་མུ་མཐུད་ཀྱི་རྩིས་རིག་དང་ཐ་དད་རྩིས་རྒྱག་ཟམ་པ་བརྒྱབ་ཡོད།
• ཁོང་ཚོས་རྩིས་རིག་གི་བསམ་གཞིག་དེ་རྩིས་རིག་དང་། ཨང་གྲངས་ཐབས་ལམ། འཕྲུལ་ཆས་སློབ་སྦྱོང་བཅས་སུ་ཇི་ལྟར་བེད་སྤྱོད་གཏོང་བ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
• ཚོད་དཔག་ཤེས་རྟོགས་བྱུང་བ་དེས་རྩིས་རྒྱག་ཆེད་དུ་གློག་ཀླད་ལ་རག་ལུས་པའི་སྐབས་ལ་གཡོ་ཐབས་མེད་པར་བཟོ་ཐུབ།

མགྱོགས་སྦྱོང་།

1. དེའི་མེག་ལའོ་རིན་རིམ་པའི་ཐ་སྙད་དང་པོ་གསུམ་བེད་སྤྱད་དེ་ཚོད་དཔག་བྱས་ན་ \(\sin(0.1)\) ཡིན།
2. ལྷག་མའི་ཐ་སྙད་དེ་བེད་སྤྱད་དེ་ \(e^1\) ལ་ཚོད་དཔག་བྱེད་པའི་ནོར་འཁྲུལ་དེ་ཚད་གཞི་-3 གྱི་སྣ་མང་གྲངས་ཐོ་དང་མཉམ་དུ་ཚོད་དཔག་བྱེད།
3. ནིའུ་ཊོན་གྱི་ཐབས་ལམ་གྱིས་ཊེ་ལོར་གྱི་གྲུབ་རྩིས་ཇི་ལྟར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་མེད་འགྲེལ་བཤད་རྒྱོབ། ༤ གློག་ཀླད་ཀྱིས་ལས་འགན་གྱི་ཐབས་གཞི་གཏན་གཏན་ལས་མང་གྲངས་ཚོད་དཔག་ལ་དགའ་པོ་བྱེད་དགོས་དོན་གང་ཡིན་ནམ། ༥ འཕྲུལ་ཆས་སློབ་སྦྱོང་ནང་ལ་འབྱུང་ཁུངས་(གྱེན་ཐུར)དེ་ཡར་རྒྱས་གཏོང་བར་གལ་ཆེན་པོ་གང་ཡིན་ནམ།