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\title{O Pequeno Livro de Cálculo}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle


\section{O Pequeno Livro de
Cálculo}\label{o-pequeno-livro-de-cuxe1lculo}

Uma introdução concisa e amigável para iniciantes às ideias centrais do
cálculo.

\subsection{Formatos}\label{formatos}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \href{../artifacts/pt/book.pdf}{Download PDF} -- versão pronta para
  impressão
\item
  \href{../artifacts/pt/book.epub}{Download EPUB} -- compatível com
  e-reader
\item
  \href{../artifacts/pt/book.tex}{View LaTeX} -- Fonte de látex
\end{itemize}

\section{Parte 1. Limites e
derivadas}\label{parte-1.-limites-e-derivadas}

\section{Capítulo 1. Funções e
limites}\label{capuxedtulo-1.-funuxe7uxf5es-e-limites}

\subsection{1.1 Funções}\label{funuxe7uxf5es}

Uma função é um dos objetos mais básicos da matemática. Em sua essência,
uma função é uma regra que recebe uma entrada e produz exatamente uma
saída. As funções nos permitem descrever relacionamentos, modelar
fenômenos do mundo real e construir toda a maquinaria do cálculo.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o}

Formalmente, uma função \(f\) de um conjunto \(X\) (chamado de domínio)
para um conjunto \(Y\) (chamado de contradomínio) é escrita

\[
f : X \to Y.
\]

Para cada elemento \(x \in X\), existe um elemento único \(f(x) \in Y\).
O valor \(f(x)\) é chamado de imagem de \(x\) em \(f\).

Se \(y = f(x)\), então \(y\) é a saída correspondente à entrada \(x\). O
conjunto de todas as saídas que realmente aparecem é chamado de
intervalo (um subconjunto do contradomínio).

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  A função \(f(x) = x^2\) mapeia cada número real \(x\) para seu
  quadrado.

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Domínio: todos os números reais \(\mathbb{R}\).
  \item
    Codomínio: todos os números reais \(\mathbb{R}\).
  \item
    Intervalo: todos os números reais não negativos \([0, \infty)\).
  \end{itemize}
\item
  A função \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) atribui a cada número real diferente
  de zero seu recíproco.

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Domínio: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
  \item
    Faixa: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
  \end{itemize}
\item
  Um exemplo do mundo real: seja \(T(t)\) a temperatura externa (em °C)
  no horário \(t\) (em horas). Esta é uma função de ``hora do dia'' para
  ``temperatura''.
\end{enumerate}

\subsubsection{Maneiras de representar
funções}\label{maneiras-de-representar-funuxe7uxf5es}

As funções podem ser representadas de diversas maneiras úteis:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Fórmulas: por exemplo, \(f(x) = \sin x + x^2\).
\item
  Gráficos: plotando todos os pontos \((x, f(x))\) no plano de
  coordenadas.
\item
  Tabelas: emparelhamento de entradas e saídas para conjuntos discretos
  de dados.
\item
  Descrições verbais: ``Atribuir a cada aluno a sua nota.''
\end{itemize}

Cada representação destaca diferentes aspectos da mesma função.

\subsubsection{Terminologia}\label{terminologia}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Variável independente: a entrada (geralmente escrita \(x\)).
\item
  Variável dependente: a saída (geralmente escrita \(y\), onde
  \(y = f(x)\)).
\item
  Notação de função: \(f(x)\) é lido como ``\(f\) de \(x\).''
\end{itemize}

\subsubsection{Por que as funções são importantes no
cálculo}\label{por-que-as-funuxe7uxf5es-suxe3o-importantes-no-cuxe1lculo}

Cálculo é o estudo de como as funções mudam. Os derivados medem taxas
instantâneas de mudança, enquanto os integrais medem os efeitos
acumulados. Para dominar essas ideias, primeiro precisamos de uma
compreensão sólida do que são funções e como elas se comportam.

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Para a função \(f(x) = 3x - 2\):- Encontre o domínio, contradomínio e
  intervalo.
\item
  A função \(h(x) = \sqrt{x-1}\) está definida para quais entradas? Qual
  é o seu alcance?
\item
  Dê um exemplo real de uma função da sua vida diária. Indique
  claramente o domínio e o contradomínio.
\item
  Esboce o gráfico de \(f(x) = |x|\). Qual é o alcance?
\item
  Suponha \(g(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\). Explique por que seu intervalo é
  o intervalo \((0, 1]\).
\end{enumerate}

\subsection{1.2 Gráficos e
Transformações}\label{gruxe1ficos-e-transformauxe7uxf5es}

Uma função pode ser entendida não apenas por fórmulas, mas também por
seu gráfico. O gráfico de uma função \(f\) é o conjunto de todos os
pares ordenados \((x, f(x))\), onde \(x\) pertence ao domínio de \(f\).
Traçar esses pares no plano de coordenadas fornece uma imagem de como a
função se comporta.

\subsubsection{Gráficos Básicos}\label{gruxe1ficos-buxe1sicos}

Alguns gráficos são tão fundamentais que devem ser memorizados:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f(x) = x\): uma linha reta que passa pela origem.
\item
  \(f(x) = x^2\): uma parábola abrindo para cima.
\item
  \(f(x) = |x|\): um gráfico em forma de ``V''.
\item
  \(f(x) = \frac{1}{x}\): uma hipérbole com dois ramos.
\item
  \(f(x) = \sin x\): uma curva periódica em forma de onda.
\end{itemize}

Eles servem como blocos de construção para funções mais complicadas.

\subsubsection{Transformações}\label{transformauxe7uxf5es}

Os gráficos podem ser deslocados, esticados ou refletidos usando regras
simples:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Deslocamentos verticais: adicionar uma constante move o gráfico para
  cima ou para baixo.

  \[
  y = f(x) + c \quad \text{is } f(x) \text{ shifted upward by } c.
  \]
\item
  Deslocamentos horizontais: A adição dentro do argumento move o gráfico
  para a esquerda ou para a direita.

  \[
  y = f(x - c) \quad \text{is } f(x) \text{ shifted right by } c.
  \]
\item
  Escala vertical: Multiplicar por uma constante estica ou comprime o
  gráfico verticalmente.

  \[
  y = a f(x), \quad a > 1 \text{ stretches; } 0 < a < 1 \text{ compresses.}
  \]
\item
  Escala horizontal: Multiplicar dentro do argumento estica ou comprime
  o gráfico horizontalmente.

  \[
  y = f(bx), \quad b > 1 \text{ compresses toward the } y\text{-axis}.
  \]
\item
  Reflexões:

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    \(y = -f(x)\): reflexão através do eixo \(x\).
  \item
    \(y = f(-x)\): reflexão através do eixo \(y\).
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Combinando
Transformações}\label{combinando-transformauxe7uxf5es}

Gráficos complexos geralmente resultam da combinação de várias
transformações em sequência. Por exemplo:

\[
y = 2(x-1)^2 + 3
\]

é obtido pegando a parábola \(y = x^2\), deslocando para a direita em 1,
alongando verticalmente em 2 e deslocando para cima em 3.

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Esboce o gráfico de \(y = (x+2)^2 - 1\). Identifique a sequência de
  transformações de \(y = x^2\).
\item
  O que acontece com o gráfico de \(y = f(x)\) se substituirmos \(x\)
  por \(-x\)? Experimente com \(f(x) = \sqrt{x}\).
\item
  Descreva as transformações que transformam \(y = \sin x\) em
  \(y = 3\sin(x - \pi/4)\).4. Desenhe o gráfico de \(y = |x-1| + 2\).
  Indique o vértice e a inclinação de cada ramo.
\item
  Para \(y = \frac{1}{x-2}\), explique como o gráfico de
  \(y = \frac{1}{x}\) foi transformado.
\end{enumerate}

\subsection{1.3 Ideia intuitiva de
limites}\label{ideia-intuitiva-de-limites}

Em muitas situações, o valor de uma função num ponto é menos importante
do que os valores que ela assume perto desse ponto. O conceito de limite
captura essa ideia.

\subsubsection{Aproximando-se de um
valor}\label{aproximando-se-de-um-valor}

Imagine caminhar em direção a uma parede. Mesmo antes de tocá-lo, você
fica cada vez mais perto. Da mesma forma, à medida que \(x\) se aproxima
de um número \(a\), os valores de \(f(x)\) podem se aproximar de algum
número \(L\). Dizemos então:

\[
\lim_{x \to a} f(x) = L.
\]

Isso expressa a ideia de que \(f(x)\) pode ser feito tão próximo quanto
quisermos de \(L\), simplesmente aproximando \(x\) o suficiente de
\(a\).

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Para \(f(x) = 2x + 3\): Como \(x \to 1\), \(f(x) \to 5\).
\item
  Para \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\): Como \(x \to 0\), a função se
  aproxima de 1, embora \(f(0)\) não esteja definido.
\item
  Para \(f(x) = \dfrac{1}{x}\): Como \(x \to 0^+\) (aproximando-se pela
  direita), \(f(x) \to +\infty\). Como \(x \to 0^-\) (aproximando-se
  pela esquerda), \(f(x) \to -\infty\). Como os comportamentos esquerdo
  e direito são diferentes, o limite 0 não existe.
\end{enumerate}

\subsubsection{Importância dos
Limites}\label{importuxe2ncia-dos-limites}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Permitem-nos definir funções em pontos onde não estão originalmente
  definidas.
\item
  Capturam comportamentos próximos a descontinuidades e singularidades.
\item
  Constituem a base para derivadas (taxas de variação instantâneas) e
  integrais (áreas como limites de somas).
\end{itemize}

\subsubsection{Limites unilaterais}\label{limites-unilaterais}

Às vezes, o comportamento da esquerda e da direita deve ser estudado
separadamente:

\[
\lim_{x \to a^-} f(x), \quad \lim_{x \to a^+} f(x).
\]

Se ambos concordarem, então existe o limite bilateral.

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-2}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - x)\).
\item
  O que é \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)? Use a intuição do gráfico
  de \(\sin x\).
\item
  Avalie \(\lim_{x \to 0} |x|/x\). O limite bilateral existe?
\item
  Encontre \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\). Interprete esse
  resultado em palavras.
\item
  Para \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\), o que é \(\lim_{x \to 1} f(x)\)?
  Compare com o valor de \(f(1)\).
\end{enumerate}

\subsection{1.4 Definição Formal de
Limites}\label{definiuxe7uxe3o-formal-de-limites}

A ideia intuitiva de um limite pode ser precisada usando a definição
épsilon-delta. Isso nos dá uma maneira rigorosa de dizer que \(f(x)\) se
aproxima de um valor \(L\) à medida que \(x\) se aproxima de \(a\).

\subsubsection{A definição}\label{a-definiuxe7uxe3o}

Nós escrevemos

\[
\lim_{x \to a} f(x) = L
\]

se a seguinte condição for válida:

Para cada \(\varepsilon > 0\) (não importa quão pequeno), existe um
\(\delta > 0\) tal que sempre

\[
0 < |x - a| < \delta,
\]

segue-se que

\[
|f(x) - L| < \varepsilon.
\]Em palavras: podemos tornar \(f(x)\) tão próximo quanto quisermos de
\(L\), desde que \(x\) seja próximo o suficiente de \(a\) (mas não igual
a \(a\)).

\subsubsection{Exemplo 1: Função
Linear}\label{exemplo-1-funuxe7uxe3o-linear}

Para \(f(x) = 2x + 1\), mostre que \(\lim_{x \to 3} f(x) = 7\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Queremos \(|f(x) - 7| < \varepsilon\).
\item
  Mas \(f(x) - 7 = 2x + 1 - 7 = 2(x - 3)\).
\item
  Então \(|f(x) - 7| = 2|x - 3|\).
\item
  Se escolhermos \(\delta = \varepsilon / 2\), então sempre que
  \(|x - 3| < \delta\), teremos \(|f(x) - 7| < \varepsilon\). Isto prova
  o limite.
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplo 2: Função
recíproca}\label{exemplo-2-funuxe7uxe3o-recuxedproca}

Para \(f(x) = \frac{1}{x}\), considere
\(\lim_{x \to 2} f(x) = \tfrac{1}{2}\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Queremos \(\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon\).
\item
  Esta desigualdade requer manipulação algébrica, mas pode ser
  satisfeita escolhendo \(\delta\) dependendo de \(\varepsilon\). O
  processo é mais complicado, mas o princípio é o mesmo.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  A definição épsilon-delta garante que os limites não são vagos ou
  baseados apenas na intuição.
\item
  É a base para continuidade, derivadas e integrais.
\item
  Embora os iniciantes possam achar isso abstrato, trabalhar com
  exemplos simples cria familiaridade.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-3}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Usando a definição épsilon-delta, prove que
  \(\lim_{x \to 4} (x+1) = 5\).
\item
  Mostre que \(\lim_{x \to 0} 5x = 0\) usando a definição formal.
\item
  Explique por que \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) não existe.
\item
  Para \(f(x) = x^2\), mostre que \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4\).
\item
  Com suas próprias palavras, explique o papel de \(\varepsilon\) e
  \(\delta\) na definição de um limite.
\end{enumerate}

\subsection{1.5 Continuidade}\label{continuidade}

Uma função é contínua se seu gráfico puder ser desenhado sem tirar o
lápis do papel. Mais precisamente, a continuidade garante que pequenas
alterações na entrada produzam pequenas alterações na saída.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-1}

Uma função \(f\) é contínua em um ponto \(a\) se três condições forem
satisfeitas:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(f(a)\) está definido.
\item
  \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe. 3.\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).
\end{enumerate}

Se uma função é contínua em todos os pontos de um intervalo, dizemos que
ela é contínua nesse intervalo.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-2}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Funções polinomiais: Funções como \(f(x) = x^2 + 3x - 5\) são
  contínuas em todos os lugares em \(\mathbb{R}\).
\item
  Funções racionais: \(f(x) = \frac{1}{x-1}\) é contínuo em todos os
  lugares, exceto em \(x = 1\), onde é indefinido.
\item
  Funções por partes:

  \[
  f(x) =
  \begin{cases}
  x^2 & x < 1, \\
  2 & x = 1, \\
  x+1 & x > 1,
  \end{cases}
  \]

  Esta função tem um ``salto'' em \(x = 1\), portanto não é contínua
  ali.
\end{enumerate}

\subsubsection{Tipos de
descontinuidades}\label{tipos-de-descontinuidades}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Descontinuidade removível: Um ``buraco'' no gráfico. Exemplo:
  \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) em \(x=1\).2. Descontinuidade do salto:
  Os limites esquerdo e direito são diferentes.
\item
  Descontinuidade infinita: A função vai para \(\pm\infty\) perto de um
  ponto, como acontece com \(f(x) = 1/x\) perto de \(x = 0\).
\end{enumerate}

\subsubsection{O Teorema do Valor
Intermediário}\label{o-teorema-do-valor-intermediuxe1rio}

Se uma função é contínua em um intervalo \([a, b]\), então para qualquer
número \(N\) entre \(f(a)\) e \(f(b)\), existe algum \(c \in [a, b]\)
tal que \(f(c) = N\).

Esta propriedade é crucial para provar a existência de raízes e soluções
de equações.

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-4}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Decida se a função \(f(x) = |x|\) é contínua em \(x = 0\).
\item
  Identifique os pontos de descontinuidade para
  \(f(x) = \frac{x+2}{x^2-1}\).
\item
  Explique por que toda função polinomial é contínua em todos os
  lugares.
\item
  Dê um exemplo de função com descontinuidade de salto. Esboce seu
  gráfico.
\item
  Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
  \(x^3 + x - 1 = 0\) tem solução entre 0 e 1.
\end{enumerate}

\section{Capítulo 2. Derivados}\label{capuxedtulo-2.-derivados}

\subsection{2.1 A derivada como taxa de
variação}\label{a-derivada-como-taxa-de-variauxe7uxe3o}

A derivada é uma das ideias centrais do cálculo. Mede como uma função
muda à medida que sua entrada muda - em outras palavras, a taxa de
variação da saída em relação à entrada.

\subsubsection{Taxa média de mudança}\label{taxa-muxe9dia-de-mudanuxe7a}

Para uma função \(f(x)\), a taxa média de variação entre dois pontos
\(x = a\) e \(x = b\) é

\[
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
\]

Esta é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos \((a, f(a))\)
e \((b, f(b))\).

\subsubsection{Taxa instantânea de
mudança}\label{taxa-instantuxe2nea-de-mudanuxe7a}

Para medir a rapidez com que \(f(x)\) está mudando em um único ponto,
deixamos o intervalo diminuir:

\[
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
\]

Este limite, se existir, é chamado de derivada de \(f\) em \(a\).
Geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no
ponto \((a, f(a))\).

\subsubsection{Notação}\label{notauxe7uxe3o}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f'(x)\): notação principal.
\item
  \(\dfrac{dy}{dx}\): Notação Leibniz, usada quando \(y = f(x)\).
\item
  \(Df(x)\): notação do operador.
\end{itemize}

Todos esses símbolos referem-se ao mesmo conceito.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-3}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Para \(f(x) = x^2\):

  \[
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = 2x.
  \]

  A inclinação da parábola em \(x\) é \(2x\).
\item
  Para \(f(x) = \sin x\):

  \[
  f'(x) = \cos x.
  \]
\item
  Para \(f(x) = c\) (uma constante):

  \[
  f'(x) = 0.
  \]

  Uma função constante nunca muda.
\end{enumerate}

\subsubsection{Interpretação}\label{interpretauxe7uxe3o}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Em física: Se \(s(t)\) é posição, então \(s'(t)\) é velocidade.
\item
  Em economia: Se \(C(x)\) é custo, então \(C'(x)\) é custo marginal.
\item
  Em biologia: se \(P(t)\) é população, então \(P'(t)\) é taxa de
  crescimento.
\end{itemize}

A derivada torna a ``mudança'' precisa em muitos contextos.

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-5}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule \(f'(x)\) para \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\).2. Encontre a
  inclinação da linha tangente a \(f(x) = x^3\) em \(x = 2\).
\item
  Se \(s(t) = t^2 + 2t\) representa a distância em metros, qual é a
  velocidade em \(t = 5\)?
\item
  Use a definição de limite para calcular a derivada de
  \(f(x) = \frac{1}{x}\).
\item
  Esboce o gráfico de \(y = x^2\) e desenhe a linha tangente em
  \(x = 1\).
\end{enumerate}

\subsection{2.2 Regras de
Diferenciação}\label{regras-de-diferenciauxe7uxe3o}

Uma vez definida a derivada, precisamos de formas eficientes de
calculá-la. As regras de diferenciação são atalhos que nos poupam de
aplicar repetidamente a definição de limite.

\subsubsection{A Regra Constante}\label{a-regra-constante}

Se \(f(x) = c\) onde \(c\) é uma constante, então

\[
f'(x) = 0.
\]

\subsubsection{A regra do poder}\label{a-regra-do-poder}

Para \(f(x) = x^n\) onde \(n\) é um número real,

\[
\frac{d}{dx} \big( x^n \big) = n x^{n-1}.
\]

Exemplos:

-\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\). -\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4\). -
\(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

\subsubsection{A regra múltipla
constante}\label{a-regra-muxfaltipla-constante}

Se \(f(x) = c \cdot g(x)\), então

\[
f'(x) = c \cdot g'(x).
\]

\subsubsection{As regras de soma e
diferença}\label{as-regras-de-soma-e-diferenuxe7a}

-\((f + g)' = f' + g'\). -\((f - g)' = f' - g'\).

\subsubsection{A regra do produto}\label{a-regra-do-produto}

Para \(f(x)\) e \(g(x)\):

\[
(fg)' = f'g + fg'.
\]

Exemplo: Se \(f(x) = x^2\), \(g(x) = \sin x\):

\[
(fg)' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x).
\]

\subsubsection{A regra do quociente}\label{a-regra-do-quociente}

Para \(f(x)\) e \(g(x)\):

\[
\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g(x) \neq 0.
\]

Exemplo: Se \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x+1\):

\[
\left(\frac{x^2}{x+1}\right)' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2}.
\]

\subsubsection{Derivadas de Funções
Comuns}\label{derivadas-de-funuxe7uxf5es-comuns}

-\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\). -\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\).
-\(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\).
-\(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0\).

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-6}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Diferencie \(f(x) = 7x^3 - 4x + 9\).
\item
  Use a regra do produto para encontrar a derivada de
  \(f(x) = x^2 e^x\).
\item
  Aplique a regra do quociente a \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\).
\item
  Calcule \(\frac{d}{dx}(\ln(x^2))\) usando a cadeia de regras.
\item
  Mostre que a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x}\) é \(-\frac{1}{x^2}\).
\end{enumerate}

\subsection{2.3 A Regra da Cadeia}\label{a-regra-da-cadeia}

Freqüentemente, as funções são construídas combinando funções mais
simples. Para diferenciar tais funções compostas, usamos a regra da
cadeia.

\subsubsection{A Regra}\label{a-regra}

Se \(y = f(g(x))\), então

\[
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x).
\]

Em palavras: diferencie a função externa, mantenha a interna inalterada
e depois multiplique pela derivada da interna.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-4}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Quadrado de uma função linear

  \[
  y = (3x+2)^2
  \]

  Função externa: \(f(u) = u^2\), função interna: \(g(x) = 3x+2\).

  \[
  y' = 2(3x+2) \cdot 3 = 6(3x+2).
  \]
\item
  Exponencial com quadrático dentro

  \[
  y = e^{x^2}
  \]

  Função externa: \(f(u) = e^u\), função interna: \(g(x) = x^2\).

  \[y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}.
  \]
\item
  Logarithm with root inside

  \[
  y = \ln(\sqrt{x})
  \]

  Outer: \(f(u) = \ln u\), inner: \(g(x) = \sqrt{x}\).

  \[
  y' = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x}.
  \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Generalized Chain Rule}\label{generalized-chain-rule}

For multiple nested functions \(y = f(g(h(x)))\):

\[
\frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x).
\]

This extends naturally to deeper compositions.

\subsubsection{Why the Chain Rule
Matters}\label{why-the-chain-rule-matters}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  It handles nearly all real-world models where one quantity depends on
  another indirectly.
\item
  It connects calculus with physics (e.g., velocity depending on time
  through position).
\item
  It is essential in implicit differentiation and advanced topics.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercises}\label{exercises}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Differentiate \(y = (5x^2 + 1)^3\).
\item
  Find \(\frac{d}{dx}(\sin(3x))\).
\item
  Compute \(\frac{d}{dx}(\ln(1+x^2))\).
\item
  Differentiate \(y = \cos^2(x)\).
\item
  Apply the generalized chain rule to \(y = e^{\sin(x^2)}\).
\end{enumerate}

\subsection{2.4 Implicit
Differentiation}\label{implicit-differentiation}

Not all functions are given in the form \(y = f(x)\). Sometimes \(x\)
and \(y\) are related by an equation, and solving explicitly for \(y\)
is difficult or impossible. In such cases, we use implicit
differentiation.

\subsubsection{The Idea}\label{the-idea}

If an equation involves both \(x\) and \(y\), we can differentiate both
sides with respect to \(x\), treating \(y\) as a function of \(x\). Each
time we differentiate a term involving \(y\), we multiply by
\(\frac{dy}{dx}\).

\subsubsection{Example 1: A Circle}\label{example-1-a-circle}

Equation:

\[
x^2 + y^2 = 25
\]

Differentiate with respect to \(x\):

\[
2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0.
\]

Solve for \(\frac{dy}{dx}\):

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
\]

This gives the slope of the tangent to the circle at any point.

\subsubsection{Example 2: A Product of
Variables}\label{example-2-a-product-of-variables}

Equation:

\[
xy = 1
\]

Differentiate:

\[
x \frac{dy}{dx} + y = 0.
\]

So,

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.
\]

\subsubsection{Example 3: Trigonometric
Relation}\label{example-3-trigonometric-relation}

Equation:

\[
\sin(xy) = x
\]

Differentiate:

\[
\cos(xy) \cdot \Big(y + x\frac{dy}{dx}\Big) = 1.
\]

Solve for \(\frac{dy}{dx}\):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}.
\]

\subsubsection{Por que a diferenciação implícita é
útil}\label{por-que-a-diferenciauxe7uxe3o-impluxedcita-uxe9-uxfatil}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Muitas curvas importantes (círculos, elipses, hipérboles) são
  naturalmente definidas de forma implícita.
\item
  Permite-nos diferenciar equações sem primeiro resolver \(y\).
\item
  É um passo fundamental em tópicos mais avançados, como taxas
  relacionadas e equações diferenciais.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-7}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Para a curva \(x^2 + xy + y^2 = 7\), encontre \(\frac{dy}{dx}\).
\item
  Diferencie \(\cos(x) + \cos(y) = 1\) implicitamente.
\item
  Encontre a inclinação da linha tangente a \(x^3 + y^3 = 9\) no ponto
  \((1, 2)\).4. Dado \(x^2 + y^2 = 10\), calcule \(\frac{dy}{dx}\)
  quando \((x, y) = (1, 3)\).
\item
  Diferencie \(e^{xy} = x + y\) para encontrar \(\frac{dy}{dx}\).
\end{enumerate}

\subsection{2.5 Derivados de ordem
superior}\label{derivados-de-ordem-superior}

Até agora, estudamos a primeira derivada, que mede a taxa de variação de
uma função. Mas os próprios derivados também podem ser diferenciados,
dando origem a derivados de ordem superior.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-2}

\begin{itemize}
\item
  A segunda derivada de \(f\) é a derivada da derivada:

  \[
  f''(x) = \frac{d}{dx}\left(f'(x)\right).
  \]
\item
  Mais geralmente, a \(n\)-ésima derivada é escrita como

  \[
  f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x).
  \]
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-5}

1.\(f(x) = x^3\)

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Primeira derivada: \(f'(x) = 3x^2\).
\item
  Segunda derivada: \(f''(x) = 6x\).
\item
  Terceira derivada: \(f^{(3)}(x) = 6\).
\item
  Quarta derivada: \(f^{(4)}(x) = 0\).
\end{itemize}

2.\(f(x) = \sin x\)

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f'(x) = \cos x\). -\(f''(x) = -\sin x\). -\(f^{(3)}(x) = -\cos x\).
  -\(f^{(4)}(x) = \sin x\). As derivadas se repetem em um ciclo de
  comprimento 4.
\end{itemize}

3.\(f(x) = e^x\)

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Cada derivada é \(e^x\).
\end{itemize}

\subsubsection{Aplicativos}\label{aplicativos}

\begin{itemize}
\item
  Concavidade: O sinal de \(f''(x)\) informa se o gráfico de \(f\) é
  côncavo para cima (\(f'' > 0\)) ou côncavo para baixo (\(f'' < 0\)).
\item
  Pontos de inflexão: Pontos onde \(f''(x) = 0\) e a concavidade mudam.
\item
  Movimento: Em física, se \(s(t)\) for posição:

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    \(s'(t)\) = velocidade,
  \item
    \(s''(t)\) = aceleração,
  \item
    \(s^{(3)}(t)\) = jerk (taxa de variação da aceleração).
  \end{itemize}
\item
  Aproximações: Derivadas de ordem superior aparecem nas séries de
  Taylor, usadas para aproximar funções.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-8}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule as quatro primeiras derivadas de \(f(x) = \cos x\).
\item
  Encontre \(f''(x)\) para \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\).
\item
  Para \(f(x) = e^{2x}\), mostre que \(f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}\).
\item
  Determine os intervalos onde \(f(x) = x^3 - 3x\) tem concavidade para
  cima e para baixo.
\item
  Se \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\), encontre a velocidade e a aceleração em
  \(t = 2\).
\end{enumerate}

\section{Capítulo 3. Aplicações de
Derivados}\label{capuxedtulo-3.-aplicauxe7uxf5es-de-derivados}

\subsection{3.1 Tangentes e Normais}\label{tangentes-e-normais}

Uma das primeiras aplicações das derivadas é encontrar as equações das
retas tangentes e normais de uma curva. Estas linhas capturam a
geometria local de uma função em um determinado ponto.

\subsubsection{Linha Tangente}\label{linha-tangente}

A reta tangente a uma curva \(y = f(x)\) em um ponto \((a, f(a))\) é a
reta que apenas ``toca'' o gráfico ali e tem a mesma inclinação da
curva.

A inclinação da reta tangente é dada pela derivada:

\[
m_{\text{tangent}} = f'(a).
\]

Assim, a equação da reta tangente em \((a, f(a))\) é

\[
y - f(a) = f'(a)(x - a).
\]

\subsubsection{Linha normal}\label{linha-normal}

A reta normal é perpendicular à reta tangente no mesmo ponto. Sua
inclinação é o inverso negativo da inclinação tangente:

\[m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}.
\]

So the equation of the normal line is

\[
y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} (x - a), \quad f'(a) \neq 0.
\]

\subsubsection{Examples}\label{examples}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  \(f(x) = x^2\) at \(x = 1\).

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    \(f(1) = 1\), \(f'(x) = 2x\), so \(f'(1) = 2\).
  \item
    Tangent: \(y - 1 = 2(x - 1)\), or \(y = 2x - 1\).
  \item
    Normal: slope = \(-\tfrac{1}{2}\), so equation is
    \(y - 1 = -\tfrac{1}{2}(x - 1)\).
  \end{itemize}
\item
  \(f(x) = \sin x\) at \(x = \tfrac{\pi}{4}\).

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    \(f(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\),
    \(f'(\tfrac{\pi}{4}) = \cos(\tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\).
  \item
    Tangent:
    \(y - \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(x - \tfrac{\pi}{4})\).
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Why Tangents and Normals
Matter}\label{why-tangents-and-normals-matter}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Tangents approximate the curve locally (linear approximation).
\item
  Normals are useful in geometry, optics (reflection/refraction), and
  mechanics (force directions).
\item
  Both play a role in optimization and curvature studies.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercises}\label{exercises-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Find the tangent and normal lines to \(y = x^3\) at \(x = 2\).
\item
  Determine the tangent and normal lines to \(y = e^x\) at \(x = 0\).
\item
  For \(y = \ln x\), compute the tangent line at \(x = 1\).
\item
  A circle is given by \(x^2 + y^2 = 9\). Use implicit differentiation
  to find the slope of the tangent at \((0,3)\).
\item
  Sketch the graph of \(y = \sqrt{x}\) and draw the tangent and normal
  lines at \(x = 4\).
\end{enumerate}

\subsection{3.2 Related Rates}\label{related-rates}

In many real-world problems, two or more quantities change with respect
to time, and their rates of change are connected. Related rates problems
use derivatives to describe these relationships.

\subsubsection{General Approach}\label{general-approach}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Identify the variables that depend on time \(t\).
\item
  Write an equation relating the variables.
\item
  Differentiate both sides with respect to \(t\), applying the chain
  rule.
\item
  Substitute the known values at the given instant.
\item
  Solve for the unknown rate.
\end{enumerate}

\subsubsection{Example 1: Expanding
Circle}\label{example-1-expanding-circle}

A circle has radius \(r\), which increases at the rate of
\(\frac{dr}{dt} = 2 \,\text{cm/s}\). Find the rate at which the area
\(A = \pi r^2\) increases when \(r = 5\).

Differentiate:

\[
\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}.
\]

Substitute:

\[
\frac{dA}{dt} = 2\pi (5)(2) = 20\pi \,\text{cm}^2/\text{s}.
\]

\subsubsection{Example 2: Sliding
Ladder}\label{example-2-sliding-ladder}

A 10 ft ladder leans against a wall. The bottom slides away at
\(\frac{dx}{dt} = 1 \,\text{ft/s}\). How fast is the top sliding down
when the bottom is 6 ft from the wall?

Equation: \(x^2 + y^2 = 100\), where \(y\) is the height.

Differentiate:

\[
2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0.
\]

At \(x = 6\), \(y = 8\). Substitute:

\[
2(6)(1) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt} = -\tfrac{6}{8} = -\tfrac{3}{4}.
\]Portanto, o topo desliza para baixo em \(0.75 \,\text{ft/s}\).

\subsubsection{Exemplo 3: Água em um
Cone}\label{exemplo-3-uxe1gua-em-um-cone}

A água é despejada em um cone de 12 cm de altura e 6 cm de raio. Quando
a água tem 4 cm de profundidade, o nível da água sobe em
\(2 \,\text{cm/s}\). A que taxa o volume está aumentando?

Equação: \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\). Usando similaridade,
\(r = \tfrac{h}{2}\). Substituindo:

\[
V = \tfrac{1}{12}\pi h^3.
\]

Diferenciar:

\[
\frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi h^2 \frac{dh}{dt}.
\]

Em \(h = 4\), \(\frac{dh}{dt} = 2\):

\[
\frac{dV}{dt} = \tfrac{1}{4}\pi (16)(2) = 8\pi \,\text{cm}^3/\text{s}.
\]

\subsubsection{Por que as taxas relacionadas são
importantes}\label{por-que-as-taxas-relacionadas-suxe3o-importantes}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Eles descrevem movimento e mudança na física, engenharia e biologia.
\item
  Eles conectam geometria com cálculo através de processos dependentes
  do tempo.
\item
  Eles nos treinam para modelar matematicamente sistemas dinâmicos.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-9}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Um balão é inflado de modo que seu raio aumente em
  \(0.5 \,\text{cm/s}\). Descubra com que rapidez seu volume aumenta
  quando o raio é de 10 cm.
\item
  Um carro dirige-se para norte a 40 km/h e outro para leste a 30 km/h.
  Com que rapidez a distância entre eles aumenta 2 horas depois?
\item
  Um holofote a 20 m de uma parede ilumina um homem de 2 m de altura que
  se afasta a 1,5 m/s. Com que rapidez muda o comprimento de sua sombra
  na parede quando ele está a 5 m da luz?
\item
  O comprimento lateral de um cubo aumenta a 2 cm/s. Com que rapidez a
  área da superfície aumenta quando o lado mede 3 cm?
\item
  A areia é despejada sobre uma pilha formando um cone com raio sempre
  igual à altura. Se a altura aumenta a 5 cm/s, a que taxa o volume
  aumenta quando a altura é de 10 cm?
\end{enumerate}

\subsection{3.3 Problemas de
otimização}\label{problemas-de-otimizauxe7uxe3o}

Os problemas de otimização utilizam derivadas para encontrar os valores
máximos ou mínimos de uma função, muitas vezes sob certas restrições.
Esses problemas modelam situações em que queremos maximizar a
eficiência, o lucro ou a área, ou minimizar o custo, a distância ou o
tempo.

\subsubsection{Etapas Gerais}\label{etapas-gerais}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Entenda o problema: Identifique a quantidade a ser otimizada.
\item
  Modelo com função: Escreva a função objetivo em termos de uma
  variável.
\item
  Aplicar restrições: Use determinadas condições para reduzir variáveis.
\item
  Diferencie: Calcule a derivada da função objetivo.
\item
  Encontre pontos críticos: Resolva \(f'(x) = 0\) ou onde \(f'(x)\) é
  indefinido.
\item
  Teste para máximos/mínimos: Use o teste da segunda derivada ou
  verifique os pontos finais.
\item
  Interprete o resultado: Declare a resposta no contexto original.
\end{enumerate}

\subsubsection{Exemplo 1: Área máxima de um
retângulo}\label{exemplo-1-uxe1rea-muxe1xima-de-um-retuxe2ngulo}

Um retângulo tem perímetro 40. Quais dimensões maximizam sua área?

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Seja comprimento \(x\), largura \(y\). Restrição:
  \(2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 - x\).
\item
  Área: \(A = xy = x(20 - x) = 20x - x^2\).- Derivada:
  \(A'(x) = 20 - 2x\). Defina igual a 0: \(x = 10\).
\item
  Então \(y = 10\).
\item
  Área máxima: \(100\). O retângulo é um quadrado.
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplo 2: Minimizando a
distância}\label{exemplo-2-minimizando-a-distuxe2ncia}

Encontre o ponto na parábola \(y = x^2\) mais próximo de \((0,3)\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Distância ao quadrado: \(D(x) = (x-0)^2 + (x^2 - 3)^2\).
\item
  Expanda:
  \(D(x) = x^2 + (x^2 - 3)^2 = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9\).
\item
  Derivada: \(D'(x) = 4x^3 - 10x\). Resolva: \(x(4x^2 - 10) = 0\).
\item
  Soluções: \(x = 0\), \(x = \pm \sqrt{2.5}\).
\item
  A verificação fornece a distância mínima em \(x = \pm \sqrt{2.5}\).
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplo 3: Caixa com Volume
Máximo}\label{exemplo-3-caixa-com-volume-muxe1ximo}

Uma caixa sem tampa deve ser feita de um pedaço quadrado de papelão com
20 cm de lado, cortando quadrados iguais dos cantos e dobrando as
laterais. Encontre o tamanho do corte que maximiza o volume.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Deixe o tamanho do corte = \(x\). Em seguida, dimensões:
  \((20 - 2x) \times (20 - 2x) \times x\).
\item
  Volume: \(V(x) = x(20 - 2x)^2\).
\item
  Derivado: \(V'(x) = (20 - 2x)(20 - 6x)\).
\item
  Pontos críticos: \(x = 10\) (dá volume zero) ou
  \(x = \tfrac{20}{6} \approx 3.33\).
\item
  Em \(x \approx 3.33\), o volume é maximizado.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que a otimização é
importante}\label{por-que-a-otimizauxe7uxe3o-uxe9-importante}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Os engenheiros utilizam-no para projetar estruturas eficientes.
\item
  As empresas utilizam-no para maximizar lucros ou minimizar custos.
\item
  Os cientistas utilizam-no para modelar sistemas naturais que procuram
  o equilíbrio.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-10}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Um agricultor tem 100 m de cerca para cercar um campo retangular ao
  longo de um rio (portanto, apenas 3 lados precisam de cerca). Encontre
  dimensões maximizando a área.
\item
  Encontre dois números positivos cuja soma seja 20 e cujo produto seja
  o maior possível.
\item
  Um cilindro deve ser feito com 100 cm\(^2\) de material. Encontre as
  dimensões do volume máximo.
\item
  Um fio de 10 m de comprimento é cortado em dois pedaços, um dobrado em
  um quadrado e o outro em um círculo. Como deve ser cortado para
  maximizar a área total fechada?
\item
  Será construída uma caixa fechada de base quadrada e volume de 32
  m\(^3\). Encontre dimensões minimizando a área de superfície.
\end{enumerate}

\subsection{3.4 Concavidade e pontos de
inflexão}\label{concavidade-e-pontos-de-inflexuxe3o}

As derivadas não nos falam apenas sobre inclinações, mas também sobre a
forma de um gráfico. A segunda derivada é especialmente útil na
compreensão da concavidade e na identificação de pontos de inflexão.

\subsubsection{Concavidade}\label{concavidade}

\begin{itemize}
\item
  Uma função \(f(x)\) tem concavidade em um intervalo se \(f''(x) > 0\).
  O gráfico se curva para cima, como uma xícara.
\item
  Uma função \(f(x)\) tem concavidade para baixo em um intervalo se
  \(f''(x) < 0\). O gráfico se curva para baixo, como uma carranca.
\end{itemize}

A concavidade descreve como a inclinação de uma função muda: se as
inclinações aumentam, o gráfico tem concavidade para cima; se as
inclinações estiverem diminuindo, o gráfico terá concavidade para baixo.

\subsubsection{Pontos de Inflexão}\label{pontos-de-inflexuxe3o}

Um ponto de inflexão é um ponto no gráfico onde a concavidade muda.- Se
\(f''(x) = 0\) ou \(f''(x)\) for indefinido, o ponto é candidato a ponto
de inflexão. - Para confirmar, a concavidade deve mudar de sinal em
ambos os lados do ponto.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-6}

1.\(f(x) = x^3\)

-\(f''(x) = 6x\). - Em \(x = 0\), \(f''(0) = 0\). - Para \(x < 0\),
\(f''(x) < 0\) → concavidade para baixo. - Para \(x > 0\),
\(f''(x) > 0\) → concavidade para cima. - Assim, \((0,0)\) é um ponto de
inflexão.

2.\(f(x) = x^4\)

-\(f''(x) = 12x^2\). - Em \(x = 0\), \(f''(0) = 0\), mas a concavidade
não muda de sinal (sempre ≥ 0). - Sem ponto de inflexão.

\subsubsection{Esboço de concavidade e
curva}\label{esbouxe7o-de-concavidade-e-curva}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Se \(f'(x) = 0\) e \(f''(x) > 0\), então \(f\) tem um mínimo local.
\item
  Se \(f'(x) = 0\) e \(f''(x) < 0\), então \(f\) tem um máximo local.
\item
  Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-1}

A concavidade e os pontos de inflexão nos ajudam a compreender a
``forma'' dos gráficos: onde eles se dobram, achatam ou giram. Essas
ideias são centrais no desenho de curvas, na física (aceleração) e na
economia (retornos decrescentes).

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-11}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Determine intervalos de concavidade para \(f(x) = x^3 - 3x\). Encontre
  seus pontos de inflexão.
\item
  Para \(f(x) = \ln(x)\), identifique a concavidade e possíveis pontos
  de inflexão.
\item
  Aplique o teste da segunda derivada a \(f(x) = x^2 e^{-x}\) para
  classificar os pontos críticos.
\item
  Esboce \(f(x) = \sin x\), marcando intervalos de concavidade e pontos
  de inflexão.
\item
  Explique por que \(f(x) = e^x\) não tem pontos de inflexão.
\end{enumerate}

\subsection{3.5 Esboço de curva}\label{esbouxe7o-de-curva}

O esboço de curva é o processo de desenhar o gráfico de uma função
usando informações de suas derivadas. Em vez de traçar muitos pontos,
analisamos características principais: interceptações, assíntotas,
intervalos crescentes/decrescentes e concavidade.

\subsubsection{Etapas para esboço de
curva}\label{etapas-para-esbouxe7o-de-curva}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Domínio: Identifique onde a função está definida.
\item
  Interceptações: Descubra onde o gráfico cruza os eixos.
\item
  Assíntotas:

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Assíntotas verticais ocorrem onde a função é indefinida e tende ao
    infinito.
  \item
    Assíntotas horizontais ou inclinadas descrevem o comportamento final
    como \(x \to \pm\infty\).
  \end{itemize}
\item
  Primeira derivada \(f'(x)\):

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Positivo → a função está aumentando.
  \item
    Negativo → a função está diminuindo.
  \item
    Zeros de \(f'(x)\) → pontos críticos (possíveis máximos/mínimos).
  \end{itemize}
\item
  Segunda derivada \(f''(x)\):

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Positivo → côncavo para cima.
  \item
    Negativo → côncavo para baixo.
  \item
    Zeros ou indefinidos → possíveis pontos de inflexão.
  \end{itemize}
\item
  Combine informações: Use todos os resultados para esboçar um gráfico
  claro e preciso.
\end{enumerate}

\subsubsection{\texorpdfstring{Exemplo 1:
\(f(x) = x^3 - 3x\)}{Exemplo 1: f(x) = x\^{}3 - 3x}}\label{exemplo-1-fx-x3---3x}

\begin{itemize}
\item
  Domínio: todos os números reais.
\item
  Interceptações: em \((0,0)\).
\item
  Derivado: \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\).

  \begin{itemize}
  \item
    Aumentando: \((-\infty, -1) \cup (1, \infty)\).
  \item
    Diminuindo: \((-1, 1)\).- Segunda derivada: \(f''(x) = 6x\).
  \item
    Côncava para baixo para \(x < 0\), côncava para cima para \(x > 0\).
  \item
    Ponto de inflexão em \((0,0)\).
  \end{itemize}
\item
  Forma: uma curva S com máximo local em \((-1, 2)\), mínimo local em
  \((1, -2)\).
\end{itemize}

\subsubsection{\texorpdfstring{Exemplo 2:
\(f(x) = \frac{1}{x}\)}{Exemplo 2: f(x) = \textbackslash frac\{1\}\{x\}}}\label{exemplo-2-fx-frac1x}

\begin{itemize}
\item
  Domínio: \(x \neq 0\).
\item
  Assíntota vertical: \(x = 0\).
\item
  Assíntota horizontal: \(y = 0\).
\item
  Derivada: \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) (sempre negativo). A função está
  sempre diminuindo.
\item
  Segunda derivada: \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\).

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Côncava para cima para \(x > 0\).
  \item
    Côncava para baixo para \(x < 0\).
  \end{itemize}
\item
  Gráfico: hipérbole com dois ramos.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que o esboço de curva é
útil}\label{por-que-o-esbouxe7o-de-curva-uxe9-uxfatil}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Fornece informações sobre o comportamento geral das funções sem
  computação exaustiva.
\item
  Essencial em provas de cálculo e problemas aplicados.
\item
  Pontes entre análise algébrica e compreensão geométrica.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-12}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Esboce a curva de \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Identifique máximos, mínimos
  e pontos de inflexão.
\item
  Analise e esboce \(f(x) = \ln(x)\). Mostre interceptações, assíntotas
  e concavidade.
\item
  Para \(f(x) = e^{-x}\), descreva crescimento/decadência, assíntotas e
  concavidade.
\item
  Esboce o gráfico de \(f(x) = \tan x\) no intervalo \((- \pi, \pi)\).
  Marque assíntotas.
\item
  Use os testes de primeira e segunda derivada para classificar os
  pontos críticos de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\).
\end{enumerate}

\section{Parte II. Integrais}\label{parte-ii.-integrais}

\section{Capítulo 4. Antiderivadas e Integrais
Definidas}\label{capuxedtulo-4.-antiderivadas-e-integrais-definidas}

\subsection{4.1 Integrais Indefinidos}\label{integrais-indefinidos}

Uma integral indefinida é o processo inverso de diferenciação. Se uma
medida derivada mudar, então uma integral recupera a função original de
sua taxa de mudança.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-3}

Se \(F'(x) = f(x)\), então

\[
\int f(x)\,dx = F(x) + C,
\]

onde \(C\) é a constante de integração.

Toda integral indefinida representa uma família de funções que diferem
apenas por uma constante, pois a diferenciação elimina constantes.

\subsubsection{Regras Básicas}\label{regras-buxe1sicas}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Regra Constante
\end{enumerate}

\[
\int c\,dx = cx + C.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Regra do Poder
\end{enumerate}

\[
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Regra da Soma
\end{enumerate}

\[
\int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Regra Múltipla Constante
\end{enumerate}

\[
\int c f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx.
\]

\subsubsection{Integrais Comuns}\label{integrais-comuns}

-\(\int e^x dx = e^x + C\) -\(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
-\(\int \cos x dx = \sin x + C\) -\(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-7}

1.\(\int (3x^2 - 4)\,dx = x^3 - 4x + C\).

2.\(\int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x) + C\).

3.\(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\).

\subsubsection{Interpretação}\label{interpretauxe7uxe3o-1}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Integrais indefinidas são antiderivadas.
\item
  Eles são a base para integrais definidas, que medem quantidades
  acumuladas como área, distância e massa.- Em contextos aplicados, a
  integração permite-nos passar das taxas de volta aos totais.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-13}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre \(\int (5x^4 + 2x)\,dx\).
\item
  Calcule \(\int (e^x + 3)\,dx\).
\item
  Encontre a solução geral de \(f'(x) = 6x\) usando integração.
\item
  Avalie \(\int \frac{2}{x}\,dx\).
\item
  Se a velocidade for \(v(t) = 4t\), encontre a função de posição
  \(s(t)\).
\end{enumerate}

\subsection{4.2 A Integral Definida como
Área}\label{a-integral-definida-como-uxe1rea}

Enquanto as integrais indefinidas representam famílias de antiderivadas,
a integral definida fornece um valor numérico: a área acumulada sob uma
curva entre dois pontos.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-4}

Para uma função \(f(x)\) definida em \([a, b]\), a integral definida é

\[
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^-) \,\Delta x,
\]

onde o intervalo \([a, b]\) é dividido em \(n\) subintervalos de largura
\(\Delta x\) e \(x_i^-\) é um ponto de amostra em cada subintervalo.

Este é o limite das somas de Riemann.

\subsubsection{Interpretação
Geométrica}\label{interpretauxe7uxe3o-geomuxe9trica}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Se \(f(x) \geq 0\) em \([a, b]\), então \(\int_a^b f(x)\,dx\) é igual
  à área sob a curva \(y = f(x)\) de \(x=a\) a \(x=b\).
\item
  Se \(f(x)\) cair abaixo do eixo \(x\), a integral calcula a área
  sinalizada: as regiões abaixo do eixo contam como negativas.
\end{itemize}

\subsubsection{Propriedades da Integral
Definida}\label{propriedades-da-integral-definida}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Aditividade em intervalos
\end{enumerate}

\[
\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Inversão de limites
\end{enumerate}

\[
\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Intervalo de largura zero
\end{enumerate}

\[
\int_a^a f(x)\,dx = 0.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Linearidade
\end{enumerate}

\[
\int_a^b \big( cf(x) + g(x)\big)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx.
\]

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-8}

1.\(\int_0^2 x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^2 = 2.\) Esta é a
área de um triângulo retângulo sob a linha \(y=x\).

2.\(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\) A função ímpar \(x^3\) possui áreas
simétricas que se cancelam.

3.\(\int_0^\pi \sin x\,dx = 2.\) Isto é igual à área sob um arco da
curva senoidal.

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-2}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Integrais definidas medem quantidades acumuladas: distância, massa,
  energia, probabilidade.
\item
  Eles unem a computação algébrica com a intuição geométrica.
\item
  O próximo passo é o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta
  integrais definidas com antiderivadas.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-14}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\).
\item
  Encontre a área entre \(y = x^2\) e o eixo \(x\) de \(x = 0\) a
  \(x = 2\).
\item
  Avalie \(\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\,dx\).
\item
  Mostre que \(\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0\) se \(f(x)\) for ímpar.
\item
  Aproxime \(\int_0^1 e^x\,dx\) usando uma soma de Riemann com
  subintervalos \(n=4\) e pontos finais à direita.
\end{enumerate}

\subsection{4.3 O Teorema Fundamental do CálculoO Teorema Fundamental do
Cálculo (FTC) une as duas ideias principais do cálculo: diferenciação e
integração. Mostra que encontrar áreas e encontrar taxas de variação são
as duas faces da mesma
moeda.}\label{o-teorema-fundamental-do-cuxe1lculoo-teorema-fundamental-do-cuxe1lculo-ftc-une-as-duas-ideias-principais-do-cuxe1lculo-diferenciauxe7uxe3o-e-integrauxe7uxe3o.-mostra-que-encontrar-uxe1reas-e-encontrar-taxas-de-variauxe7uxe3o-suxe3o-as-duas-faces-da-mesma-moeda.}

\subsubsection{Parte 1: Diferenciação de uma
Integral}\label{parte-1-diferenciauxe7uxe3o-de-uma-integral}

Se \(f\) for contínuo em \([a, b]\), defina

\[
F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.
\]

Então \(F\) é diferenciável, e

\[
F'(x) = f(x).
\]

Em palavras: a derivada da função área acumulada é a própria função
original.

\subsubsection{Parte 2: Avaliação de Integrais
Definidas}\label{parte-2-avaliauxe7uxe3o-de-integrais-definidas}

Se \(f\) for contínuo em \([a, b]\) e \(F\) for qualquer antiderivada de
\(f\), então

\[
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).
\]

Isto diz-nos que podemos avaliar integrais definidas simplesmente
encontrando uma antiderivada, em vez de calcular os limites das somas de
Riemann.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-9}

1.\(\int_0^2 x^2\,dx\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Antiderivada: \(F(x) = \tfrac{1}{3}x^3\).
\item
  Aplicar FTC: \(F(2) - F(0) = \tfrac{8}{3} - 0 = \tfrac{8}{3}.\)
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Se \(F(x) = \int_1^x \cos t \, dt\), então \(F'(x) = \cos x\).
\end{enumerate}

3.\(\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Antiderivada: \(\ln|x|\).
\item
  Aplicar FTC: \(\ln 4 - \ln 1 = \ln 4.\)
\end{itemize}

\subsubsection{Por que a FTC é
importante}\label{por-que-a-ftc-uxe9-importante}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Transforma a integração de um processo limite em um cálculo prático.
\item
  Confirma que diferenciação e integração são operações inversas.
\item
  É o teorema central que torna o cálculo útil em matemática, ciências e
  engenharia.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-15}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Avalie \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\) usando o FTC.
\item
  Se \(F(x) = \int_0^x e^t\,dt\), encontre \(F'(x)\).
\item
  Calcule \(\int_0^\pi \sin x \, dx\).
\item
  Mostre que se \(f'(x) = g(x)\), então
  \(\int_a^b g(x)\,dx = f(b) - f(a)\).
\item
  Use a FTC para explicar por que a área sob \(y = \cos x\) de \(0\) a
  \(\pi/2\) é igual a 1.
\end{enumerate}

\subsection{4.4 Propriedades de
Integrais}\label{propriedades-de-integrais}

A integral definida possui diversas propriedades importantes que a
tornam flexível e poderosa em aplicações. Essas propriedades decorrem da
definição como limite de somas e do Teorema Fundamental do Cálculo.

\subsubsection{Linearidade}\label{linearidade}

Para funções \(f(x)\) e \(g(x)\) e constantes \(c, d\):

\[
\int_a^b \big(c f(x) + d g(x)\big)\,dx = c \int_a^b f(x)\,dx + d \int_a^b g(x)\,dx.
\]

Isso nos permite quebrar integrais complicadas em partes mais simples.

\subsubsection{Aditividade em
intervalos}\label{aditividade-em-intervalos}

Se \(a < c < b\), então

\[
\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.
\]

Podemos calcular integrais peça por peça.

\subsubsection{Reversão de Limites}\label{reversuxe3o-de-limites}

\[
\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx.
\]

Trocar os limites altera o sinal da integral.

\subsubsection{Propriedade de
comparação}\label{propriedade-de-comparauxe7uxe3o}

Se \(f(x) \leq g(x)\) para todos os \(x\) em \([a, b]\), então

\[
\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx.
\]Isso nos permite comparar áreas sem cálculo direto.

\subsubsection{Desigualdade de valor
absoluto}\label{desigualdade-de-valor-absoluto}

\[
\left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx.
\]

Esta propriedade é essencial em análises e testes de convergência.

\subsubsection{Simetria}\label{simetria}

\begin{itemize}
\item
  Se \(f(x)\) for par (simétrico em relação ao eixo \(y\)):

  \[
  \int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx.
  \]
\item
  Se \(f(x)\) for ímpar (simétrico em relação à origem):

  \[
  \int_{-a}^a f(x)\,dx = 0.
  \]
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-10}

1.\(\int_0^2 (3x^2 + 4)\,dx = \int_0^2 3x^2\,dx + \int_0^2 4\,dx = 8 + 8 = 16.\)

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\item
  Como \(f(x) = x^3\) é ímpar, \(\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0.\)
\item
  Como \(f(x) = x^2\) é par,
  \(\int_{-2}^2 x^2\,dx = 2\int_0^2 x^2\,dx = 2\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}.\)
\end{enumerate}

\subsubsection{Por que essas propriedades são
importantes}\label{por-que-essas-propriedades-suxe3o-importantes}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Eles simplificam os cálculos.
\item
  Revelam características geométricas e de simetria das funções.
\item
  Fornecem ferramentas teóricas para análises mais avançadas.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-16}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Use simetria para avaliar \(\int_{-5}^5 (x^4 - x^3)\,dx\).
\item
  Mostre que
  \(\int_1^4 (2x+3)\,dx = \int_1^2 (2x+3)\,dx + \int_2^4 (2x+3)\,dx\).
\item
  Avalie \(\int_0^\pi \sin(x)\,dx\) e compare com
  \(\int_{-\pi}^\pi \sin(x)\,dx\).
\item
  Prove que se \(f(x) \geq 0\) estiver em \([a, b]\), então
  \(\int_a^b f(x)\,dx \geq 0\).
\item
  Calcule \(\int_{-3}^3 (x^2 + 1)\,dx\) usando propriedades
  pares/ímpares.
\end{enumerate}

\section{Capítulo 5. Técnicas de
Integração}\label{capuxedtulo-5.-tuxe9cnicas-de-integrauxe7uxe3o}

\subsection{5.1 Substituição}\label{substituiuxe7uxe3o}

Uma das técnicas de integração mais úteis é o método de substituição,
também denominado -u-substituição-. É o processo inverso da regra da
cadeia para derivativos.

\subsubsection{A ideia}\label{a-ideia}

Se uma integral contém uma função composta, podemos simplificá-la
alterando variáveis.

Formalmente, se \(u = g(x)\) é uma função diferenciável, então

\[
\int f(g(x)) g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
\]

Esta substituição torna a integral mais fácil de avaliar.

\subsubsection{Passos para
Substituição}\label{passos-para-substituiuxe7uxe3o}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Identifique uma função interna \(u = g(x)\) cuja derivada também
  aparece no integrando.
\item
  Calcule \(du = g'(x)\,dx\).
\item
  Reescreva a integral em termos de \(u\).
\item
  Integre em relação a \(u\).
\item
  Substitua de volta \(u = g(x)\).
\end{enumerate}

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-11}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Substituição simples

  \[
  \int 2x \cos(x^2)\,dx
  \]

  Seja \(u = x^2\), então \(du = 2x\,dx\). Então a integral se torna
  \(\int \cos u \,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C\).
\item
  Caso logarítmico

  \[
  \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx
  \]

  Seja \(u = x^2 + 1\), então \(du = 2x\,dx\). Então a integral se torna
  \(\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C\).
\item
  Substituição trigonométrica

  \[
  \int \sin(3x)\,dx
  \]

  Seja \(u = 3x\), então \(du = 3\,dx\), portanto
  \(dx = \frac{du}{3}\).Integral torna-se
  \(\tfrac{1}{3}\int \sin u\,du = -\tfrac{1}{3}\cos u + C = -\tfrac{1}{3}\cos(3x) + C\).
\end{enumerate}

\subsubsection{Integrais Definidas com
Substituição}\label{integrais-definidas-com-substituiuxe7uxe3o}

Ao calcular integrais definidas, devemos também alterar os limites:

\[
\int_a^b f(g(x)) g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.
\]

Exemplo:

\[
\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Seja \(u = x^2\), \(du = 2x\,dx\). Limites: quando \(x=0, u=0\); quando
\(x=1, u=1\). Então a integral fica

\[
\int_0^1 e^u\,du = e - 1.
\]

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-17}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Avalie \(\int (x^2+1)^5 (2x)\,dx\).
\item
  Calcule \(\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx\).
\item
  Avalie \(\int_0^\pi \sin(2x)\,dx\) usando substituição.
\item
  Encontre \(\int e^{3x}\,dx\).
\item
  Calcule \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\) deixando \(u = 1+x^2\).
\end{enumerate}

\subsection{5.2 Integração por
Partes}\label{integrauxe7uxe3o-por-partes}

A integração por partes é uma técnica que vem da regra do produto para
derivadas. Ajuda a avaliar integrais envolvendo produtos de funções que
não são facilmente tratadas apenas por substituição.

\subsubsection{A Fórmula}\label{a-fuxf3rmula}

Da regra do produto:

\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
\]

A integração de ambos os lados fornece a fórmula de integração por
partes:

\[
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
\]

Aqui:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(u\) = uma função escolhida para ser diferenciada,
\item
  \(dv\) = a parte restante do integrando a ser integrado.
\end{itemize}

\subsubsection{\texorpdfstring{Escolhendo \(u\) e
\(dv\)}{Escolhendo u e dv}}\label{escolhendo-u-e-dv}

Uma diretriz comum é LIATE (Logarítmico, Trig inverso, Algébrico,
Trigonométrico, Exponencial).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Escolha \(u\) da categoria mais antiga presente.
\item
  Escolha \(dv\) como o resto.
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-12}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Polinômio × Exponencial
\end{enumerate}

\[
\int x e^x\,dx
\]

Seja \(u = x\), \(dv = e^x dx\). Então \(du = dx\), \(v = e^x\).

\[
\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Polinômio × Trig
\end{enumerate}

\[
\int x \cos x\,dx
\]

Seja \(u = x\), \(dv = \cos x dx\). Então \(du = dx\), \(v = \sin x\).

\[
\int x \cos x\,dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Logaritmo
\end{enumerate}

\[
\int \ln x\,dx
\]

Seja \(u = \ln x\), \(dv = dx\). Então \(du = \frac{1}{x}dx\),
\(v = x\).

\[
\int \ln x\,dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C.
\]

\subsubsection{Exemplo de Integral
Definido}\label{exemplo-de-integral-definido}

\[
\int_0^1 x e^x\,dx
\]

Usando o resultado anterior: \(\int x e^x dx = (x-1)e^x\). Avaliar:

\[
\big[(x-1)e^x\big]_0^1 = (0)e^1 - (-1)e^0 = 0 + 1 = 1.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-3}

A integração por partes é crucial quando a substituição falha,
especialmente com logaritmos, funções trigonométricas inversas e
produtos envolvendo polinômios com exponenciais ou funções
trigonométricas.

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-18}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Avalie \(\int x \sin x\,dx\).
\item
  Encontre \(\int e^x \cos x\,dx\).
\item
  Calcule \(\int_1^2 \ln x\,dx\).
\item
  Avalie \(\int x^2 e^x\,dx\).5. Use integração por partes para mostrar
  \(\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\).
\end{enumerate}

\subsection{5.3 Integrais trigonométricas e
substituições}\label{integrais-trigonomuxe9tricas-e-substituiuxe7uxf5es}

Muitas integrais envolvem funções trigonométricas. Muitas vezes, eles
podem ser simplificados usando identidades ou fazendo substituições
especiais.

\subsubsection{Integrais
trigonométricas}\label{integrais-trigonomuxe9tricas}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Potências de seno e cosseno
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Se a potência do seno for ímpar: salve um \(\sin x\), converta o resto
  com \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\) e substitua \(u = \cos x\).
\item
  Se a potência do cosseno for ímpar: salve um \(\cos x\), converta o
  resto com \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\) e substitua \(u = \sin x\).
\item
  Se ambos forem pares: use identidades de meio ângulo.
\end{itemize}

Exemplo:

\[
\int \sin^3x \cos x \, dx
\]

Seja \(u = \sin x\), \(du = \cos x\,dx\):

\[
\int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \tfrac{\sin^4x}{4} + C.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Produtos de seno e cosseno com ângulos diferentes Use fórmulas de
  produto para soma:
\end{enumerate}

\[
\sin A \cos B = \tfrac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)].
\]

Exemplo:

\[
\int \sin(2x)\cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{2}\int [\sin(5x) - \sin(x)]\,dx.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Poderes de secante e tangente
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Se a potência da secante for par: salve \(\sec^2x\), converta o resto
  com \(\sec^2x = 1 + \tan^2x\) e substitua \(u = \tan x\).
\item
  Se a potência da tangente for ímpar: salve \(\sec^2x\), converta o
  resto com \(\tan^2x = \sec^2x - 1\) e substitua \(u = \tan x\).
\end{itemize}

Exemplo:

\[
\int \tan^3x \sec^2x \, dx
\]

Seja \(u = \tan x\), \(du = \sec^2x\,dx\):

\[
\int u^3\,du = \tfrac{u^4}{4} + C = \tfrac{\tan^4x}{4} + C.
\]

\subsubsection{Substituições
trigonométricas}\label{substituiuxe7uxf5es-trigonomuxe9tricas}

Para integrais envolvendo \(\sqrt{a^2 - x^2}\), \(\sqrt{a^2 + x^2}\) ou
\(\sqrt{x^2 - a^2}\), use substituições especiais:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(x = a \sin \theta\), para \(\sqrt{a^2 - x^2}\).
\item
  \(x = a \tan \theta\), para \(\sqrt{a^2 + x^2}\).
\item
  \(x = a \sec \theta\), para \(\sqrt{x^2 - a^2}\).
\end{enumerate}

Exemplo:

\[
\int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx
\]

Seja \(x = a\sin\theta\), então \(dx = a\cos\theta\,d\theta\):

\[
\int \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta}(a\cos\theta\,d\theta) = \int a^2 \cos^2\theta \, d\theta.
\]

Simplifique o uso de identidades de meio ângulo.

\subsubsection{Por que essas técnicas são
importantes}\label{por-que-essas-tuxe9cnicas-suxe3o-importantes}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Eles convertem formas algébricas difíceis em formas trigonométricas
  gerenciáveis.
\item
  São especialmente úteis em problemas que envolvem áreas, volumes e
  comprimentos de arco.
\item
  Estabelecem as bases para métodos avançados de integração.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-19}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Avalie \(\int \sin^4x \cos^2x \, dx\).
\item
  Calcule \(\int \sin(5x)\cos(2x)\,dx\).
\item
  Avalie \(\int \tan^2x \sec^2x \, dx\).
\item
  Encontre \(\int \sqrt{9 - x^2}\,dx\) usando substituição.
\item
  Mostre isso
  \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C\)
  usando \(x = a\tan\theta\).
\end{enumerate}

\subsection{5.4 Frações ParciaisAo integrar funções racionais
(proporções de polinômios), um método poderoso é a decomposição em
frações parciais. Esta técnica expressa uma fração complicada como uma
soma de frações mais simples que são mais fáceis de
integrar.}\label{frauxe7uxf5es-parciaisao-integrar-funuxe7uxf5es-racionais-proporuxe7uxf5es-de-polinuxf4mios-um-muxe9todo-poderoso-uxe9-a-decomposiuxe7uxe3o-em-frauxe7uxf5es-parciais.-esta-tuxe9cnica-expressa-uma-frauxe7uxe3o-complicada-como-uma-soma-de-frauxe7uxf5es-mais-simples-que-suxe3o-mais-fuxe1ceis-de-integrar.}

\subsubsection{A ideia}\label{a-ideia-1}

Se \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) for uma função racional, onde o grau de
\(P(x)\) é menor que o grau de \(Q(x)\), podemos decompor \(R(x)\) em
frações mais simples.

Essas peças mais simples correspondem aos fatores do denominador
\(Q(x)\).

\subsubsection{Formulários Comuns}\label{formuluxe1rios-comuns}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Fatores lineares distintos Se
\end{enumerate}

\[
\frac{1}{(x-a)(x-b)},
\]

então decomponha como

\[
\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Fatores lineares repetidos Se o denominador tiver \((x-a)^n\), então
  os termos são
\end{enumerate}

\[
\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x-a)^n}.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Fatores quadráticos irredutíveis Se o denominador tiver
  \((x^2+bx+c)\), então o numerador é linear:
\end{enumerate}

\[
\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}.
\]

\subsubsection{Exemplo 1: Fatores Lineares
Distintos}\label{exemplo-1-fatores-lineares-distintos}

\[
\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx
\]

Denominador do fator: \((x-1)(x+1)\). Decompor:

\[
\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right).
\]

Integrar:

\[
\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C.
\]

\subsubsection{Exemplo 2: Fator Linear
Repetido}\label{exemplo-2-fator-linear-repetido}

\[
\int \frac{1}{(x-1)^2}\,dx
\]

Isso já é simples:

\[
\int (x-1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x-1} + C.
\]

\subsubsection{Exemplo 3: Fator Quadrático
Irredutível}\label{exemplo-3-fator-quadruxe1tico-irredutuxedvel}

\[
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx
\]

Substitua \(u = x^2+1\) ou reconheça que o numerador é derivado do
denominador.

\[
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C.
\]

\subsubsection{Etapas na decomposição de frações
parciais}\label{etapas-na-decomposiuxe7uxe3o-de-frauxe7uxf5es-parciais}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Fatore o denominador.
\item
  Escreva a forma geral de fração parcial.
\item
  Multiplique pelo denominador para limpar as frações.
\item
  Resolva constantes desconhecidas.
\item
  Integre cada termo.
\end{enumerate}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-4}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Converte funções racionais complexas em formas logarítmicas ou
  arcotangentes simples.
\item
  Especialmente útil em equações diferenciais e transformadas de
  Laplace.
\item
  Fundamentos em cálculo avançado e engenharia.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-20}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Decomponha e integre \(\int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx\).
\item
  Avalie \(\int \frac{1}{x^2(x+1)}\,dx\).
\item
  Calcule \(\int \frac{2x+1}{x^2+2x+2}\,dx\).
\item
  Encontre \(\int \frac{1}{x^3 - x}\,dx\).
\item
  Mostre que \(\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C\) usando frações
  parciais ou substituição.
\end{enumerate}

\subsection{5.5 Integrais Impróprios}\label{integrais-impruxf3prios}

Algumas integrais não podem ser avaliadas diretamente porque o intervalo
é infinito ou o integrando se torna ilimitado. Estas são chamadas de
integrais impróprias. Eles são definidos usando limites.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-5}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Intervalo infinito
\end{enumerate}

\[\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx.
\]

\[
\int_{-\infty}^a f(x)\,dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^a f(x)\,dx.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Unbounded integrand If \(f(x)\) has a vertical asymptote at \(c\),
  then
\end{enumerate}

\[
\int_a^c f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)\,dx,
\]

\[
\int_c^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x)\,dx.
\]

\subsubsection{Convergence and
Divergence}\label{convergence-and-divergence}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  If the limit exists and is finite, the improper integral converges.
\item
  If the limit does not exist or is infinite, the improper integral
  diverges.
\end{itemize}

\subsubsection{Examples}\label{examples-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Exponential decay
\end{enumerate}

\[
\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \Big[-\tfrac{1}{x}\Big]_1^b = 1.
\]

This converges.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Harmonic function
\end{enumerate}

\[
\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \ln b.
\]

This diverges to infinity.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Asymptote at 0
\end{enumerate}

\[
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx.
\]

\[
= \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1 = 2.
\]

This converges.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Asymptote at 0 (divergent)
\end{enumerate}

\[
\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \ln(1) - \ln(t).
\]

This diverges since \(\ln(t) \to -\infty\).

\subsubsection{Comparison Test for Improper
Integrals}\label{comparison-test-for-improper-integrals}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  If \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) for large \(x\), and \(\int g(x)\,dx\)
  converges, then \(\int f(x)\,dx\) also converges.
\item
  If \(\int f(x)\,dx\) diverges and \(f(x) \geq g(x) \geq 0\), then
  \(\int g(x)\,dx\) also diverges.
\end{itemize}

\subsubsection{Why Improper Integrals
Matter}\label{why-improper-integrals-matter}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  They extend integration to infinite domains and unbounded functions.
\item
  They are essential in probability (continuous distributions), physics
  (gravitational/electric fields), and Fourier analysis.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercises}\label{exercises-2}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Determine whether \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx\) converges for
  various values of \(p\).
\item
  Evaluate \(\int_0^\infty e^{-x}\,dx\).
\item
  Test convergence of \(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx\) depending on \(p\).
\item
  Compute \(\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx\).
\item
  Use the comparison test to show that
  \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}\,dx\) converges.
\end{enumerate}

\section{Chapter 6. Applications of
Integration}\label{chapter-6.-applications-of-integration}

\subsection{6.1 Areas and Volumes}\label{areas-and-volumes}

One of the most important applications of integration is finding areas
under curves and volumes of solids.

\subsubsection{Area Between Curves}\label{area-between-curves}

If \(f(x) \geq g(x)\) on \([a, b]\), then the area between the curves
\(y=f(x)\) and \(y=g(x)\) is

\[
A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx.
\]

Example: Find the area between \(y=x^2\) and \(y=x\) on \([0,1]\).

\[
A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \tfrac{1}{6}.
\]

\subsubsection{Volumes by Slicing}\label{volumes-by-slicing}

If a solid has cross-sectional area \(A(x)\) at position \(x\), then the
volume is

\[
V = \int_a^b A(x)\,dx.
\]\#\#\# Volumes da Revolução

Quando uma região gira em torno de um eixo, o volume do sólido
resultante pode ser encontrado com integração.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Método de disco Se a região sob \(y=f(x)\), \(x\in[a,b]\), girar em
  torno do eixo \(x\):
\end{enumerate}

\[
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Método de Lavagem Se a região entre \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) gira em
  torno do eixo \(x\):
\end{enumerate}

\[
V = \pi \int_a^b \Big([f(x)]^2 - [g(x)]^2\Big)\,dx.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Método Shell Se a região sob \(y=f(x)\) girar em torno do eixo \(y\):
\end{enumerate}

\[
V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx.
\]

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-13}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Método de disco Gire \(y=\sqrt{x}\), \(0 \leq x \leq 4\), em torno do
  eixo \(x\):
\end{enumerate}

\[
V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_0^4 = 8\pi.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Método de lavagem Reviva a região entre \(y=\sqrt{x}\) e \(y=1\),
  \(0 \leq x \leq 1\), em torno do eixo \(x\):
\end{enumerate}

\[
V = \pi \int_0^1 \big((\sqrt{x})^2 - (1)^2\big)\,dx = \pi \int_0^1 (x-1)\,dx = -\tfrac{\pi}{2}.
\]

(Tome o valor absoluto do volume: \(V = \tfrac{\pi}{2}\)).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Método Shell Gire a região sob \(y=x\), \(0 \leq x \leq 1\), em torno
  do eixo \(y\):
\end{enumerate}

\[
V = 2\pi \int_0^1 x(x)\,dx = 2\pi \int_0^1 x^2\,dx = 2\pi \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2\pi}{3}.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-5}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Fornece maneiras exatas de calcular áreas e volumes em geometria.
\item
  Essencial em física, engenharia e probabilidade.
\item
  Introduz o pensamento geométrico com integração.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-21}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre a área entre \(y=\cos x\) e \(y=\sin x\) em \([0, \pi/2]\).
\item
  Calcule o volume do sólido formado girando \(y=x^2\),
  \(0 \leq x \leq 1\), em torno do eixo \(x\).
\item
  Encontre o volume do sólido formado girando a região entre \(y=x\) e
  \(y=\sqrt{x}\) em \([0,1]\) em torno do eixo \(y\).
\item
  Use o método do lavador para calcular o volume do sólido formado
  girando \(y=\sqrt{1-x^2}\) (um semicírculo) em torno do eixo \(x\).
\item
  Encontre a área delimitada entre \(y=x^2+1\) e \(y=3x\).
\end{enumerate}

\subsection{6.2 Comprimento do arco e área de
superfície}\label{comprimento-do-arco-e-uxe1rea-de-superfuxedcie}

A integração também pode ser usada para medir o comprimento das curvas e
a área superficial dos sólidos gerados pelas curvas giratórias.

\subsubsection{Comprimento do arco}\label{comprimento-do-arco}

Para uma curva suave \(y=f(x)\) no intervalo \([a,b]\), o comprimento da
curva é

\[
L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx.
\]

Isso vem da aproximação da curva com segmentos de linha e da
determinação do limite.

Exemplo: Encontre o comprimento de \(y=\tfrac{1}{2}x^{3/2}\) de \(x=0\)
a \(x=4\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Derivada: \(f'(x) = \tfrac{3}{4}\sqrt{x}\).
\item
  Fórmula:
\end{itemize}

\[
L = \int_0^4 \sqrt{1 + \Big(\tfrac{3}{4}\sqrt{x}\Big)^2}\,dx
= \int_0^4 \sqrt{1 + \tfrac{9}{16}x}\,dx.
\]

Esta integral pode ser avaliada usando substituição.\#\#\# Superfície da
Revolução

Se uma curva \(y=f(x)\), \(a \leq x \leq b\), for girada em torno do
eixo \(x\), a área de superfície do sólido resultante é

\[
S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx.
\]

Se girado em torno do eixo \(y\):

\[
S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx.
\]

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-14}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Comprimento do arco de uma linha Para \(y=x\), \(0 \leq x \leq 3\):
\end{enumerate}

\[
L = \int_0^3 \sqrt{1+(1)^2}\,dx = \int_0^3 \sqrt{2}\,dx = 3\sqrt{2}.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Área de superfície de uma esfera Pegue \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\),
  \(-r \leq x \leq r\) e gire em torno do eixo \(x\).
\end{enumerate}

\[
S = 2\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\,dx.
\]

A simplificação fornece \(S = 4\pi r^2\), a fórmula familiar para a área
de superfície de uma esfera.

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-6}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  O comprimento do arco amplia a ideia de distância para caminhos
  curvos.
\item
  A área superficial de revolução tem aplicações em física, engenharia e
  design.
\item
  Fornece uma ponte entre cálculo e geometria.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-22}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre o comprimento do arco de \(y=\sqrt{x}\) de \(x=0\) a \(x=4\).
\item
  Calcule a área de superfície do sólido obtido girando \(y=x^2\),
  \(0 \leq x \leq 1\), em torno do eixo \(x\).
\item
  Encontre o comprimento do arco de \(y=\ln(\cosh x)\) de \(x=0\) a
  \(x=1\).
\item
  Mostre que girar \(y=\sqrt{r^2 - x^2}\) de \(0\) para \(r\) em torno
  do eixo \(x\) fornece metade da área de superfície de uma esfera.
\item
  Derive a fórmula para a área da superfície de um cone girando uma
  linha.
\end{enumerate}

\subsection{6.3 Trabalho e Médias}\label{trabalho-e-muxe9dias}

A integração não se limita à geometria. Também ajuda a calcular o
trabalho realizado por uma força e o valor médio de uma função durante
um intervalo.

\subsubsection{Trabalho}\label{trabalho}

Se uma força variável \(F(x)\) move um objeto ao longo de uma linha reta
de \(x=a\) para \(x=b\), então o trabalho total é

\[
W = \int_a^b F(x)\,dx.
\]

Esta fórmula generaliza o caso simples \(W = F \cdot d\) para força
constante.

Exemplo 1: Força da Mola (Lei de Hooke) Para uma mola esticada do
comprimento \(a\) a \(b\), com força \(F(x) = kx\):

\[
W = \int_a^b kx\,dx = \tfrac{1}{2}k(b^2-a^2).
\]

Exemplo 2: Bombeamento de Água Se a água for bombeada para fora de um
tanque, o trabalho necessário será igual

\[
W = \int_a^b \text{(weight density)} \times \text{(cross-sectional area)} \times \text{(distance lifted)} \, dx.
\]

\subsubsection{Valor médio de uma
função}\label{valor-muxe9dio-de-uma-funuxe7uxe3o}

O valor médio de uma função contínua \(f(x)\) em \([a,b]\) é

\[
f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx.
\]

Este é o análogo contínuo da média de uma lista de números.

Exemplo 1: Para \(f(x)=x^2\) em \([0,2]\):

\[
f_{\text{avg}} = \tfrac{1}{2-0}\int_0^2 x^2 dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}.
\]

Exemplo 2:Se a velocidade de uma partícula for \(v(t)\), então a
velocidade média sobre \([a,b]\) é

\[
v_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-7}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Integrais de trabalho aparecem em cálculos de física, engenharia e
  energia.
\item
  O valor médio fornece um único número representativo para quantidades
  variadas.
\item
  Ambos conectam o cálculo a problemas reais de movimento, força e
  eficiência.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-23}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule o trabalho necessário para esticar uma mola de 2 ma 5 m se
  \(k=10\).
\item
  Um objeto de 100 kg é levantado verticalmente 5 m num campo
  gravitacional (\(g=9.8 \,\text{m/s}^2\)). Expresse o trabalho como uma
  integral e avalie.
\item
  Encontre o valor médio de \(f(x)=\sin x\) em \([0,\pi]\).
\item
  Calcule a temperatura média se \(T(t)=20+5\cos(\tfrac{\pi t}{12})\) em
  um dia de 24 horas.
\item
  Um tanque com 10 m de profundidade está cheio de água. Calcule o
  trabalho necessário para bombear toda a água para o topo, dado que a
  água pesa \(9800 \,\text{N/m}^3\).
\end{enumerate}

\subsection{6.4 Densidades de probabilidade e distribuições
contínuas}\label{densidades-de-probabilidade-e-distribuiuxe7uxf5es-contuxednuas}

A integração também desempenha um papel central na teoria das
probabilidades, especialmente para variáveis aleatórias contínuas. Em
vez de resultados discretos, descrevemos probabilidades com funções
chamadas funções de densidade de probabilidade (pdfs).

\subsubsection{Funções de densidade de
probabilidade}\label{funuxe7uxf5es-de-densidade-de-probabilidade}

Uma função de densidade de probabilidade \(f(x)\) deve satisfazer duas
condições:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  \(f(x) \geq 0\) para todos os \(x\).
\item
  A área total sob a curva é 1:

  \[
  \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1.
  \]
\end{enumerate}

Se \(X\) é uma variável aleatória contínua com pdf \(f(x)\), então a
probabilidade de que \(X\) esteja entre \(a\) e \(b\) é

\[
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx.
\]

\subsubsection{Função de distribuição
cumulativa}\label{funuxe7uxe3o-de-distribuiuxe7uxe3o-cumulativa}

A função de distribuição cumulativa (cdf) é definida como

\[
F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.
\]

Dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a
\(x\).

\subsubsection{Valor esperado (média)}\label{valor-esperado-muxe9dia}

O valor esperado de uma variável aleatória contínua é a média ponderada:

\[
E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\,dx.
\]

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-15}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Distribuição Uniforme Para \(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) em \([a,b]\):
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\item
  Probabilidade do intervalo \([c,d]\):

  \[
  P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}.
  \]
\item
  Valor esperado: \(E[X] = \tfrac{a+b}{2}\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Distribuição Exponencial Para \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\),
  \(x \geq 0\):
\end{enumerate}

-\(\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1\). - Média:
\(E[X] = \tfrac{1}{\lambda}\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Distribuição Normal A curva do sino:
\end{enumerate}

\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.
\]

Integra-se a 1, mas requer técnicas avançadas.

\subsubsection{Por que isso é importante- As densidades de probabilidade
descrevem a incerteza na ciência, na engenharia e nas
estatísticas.}\label{por-que-isso-uxe9-importante--as-densidades-de-probabilidade-descrevem-a-incerteza-na-ciuxeancia-na-engenharia-e-nas-estatuxedsticas.}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Integrais conectam áreas sob curvas a probabilidades.
\item
  As distribuições contínuas generalizam a ideia de contar resultados
  para medir probabilidades em intervalos.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-24}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Mostre que a densidade uniforme \(f(x) = \tfrac{1}{b-a}\) em \([a,b]\)
  integra-se a 1.
\item
  Para a distribuição exponencial com \(\lambda = 2\), calcule
  \(P(0 \leq X \leq 1)\).
\item
  Encontre o valor esperado de \(X\) se \(f(x) = 3x^2\) em \([0,1]\).
\item
  Verifique se a distribuição normal com média 0 e variância 1 tem
  probabilidade total 1 (não há necessidade de prova completa, mas
  explique por que ela é válida).
\item
  Calcule o cdf da distribuição uniforme em \([0,1]\).
\end{enumerate}

\section{Parte III. Cálculo
Multivariável}\label{parte-iii.-cuxe1lculo-multivariuxe1vel}

\section{Capítulo 7. Funções e curvas
vetoriais}\label{capuxedtulo-7.-funuxe7uxf5es-e-curvas-vetoriais}

\subsection{7.1 Funções vetoriais e curvas
espaciais}\label{funuxe7uxf5es-vetoriais-e-curvas-espaciais}

No cálculo multivariável, as funções podem gerar vetores em vez de
números. Elas são chamadas de funções com valor vetorial e são
essenciais para descrever curvas no espaço.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-6}

Uma função vetorial é uma função da forma

\[
\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle,
\]

onde \(x(t), y(t), z(t)\) são funções com valor real.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  A entrada \(t\) é frequentemente chamada de parâmetro.
\item
  A saída é um vetor no espaço 2D ou 3D.
\item
  O gráfico de uma função vetorial em 3D é uma curva espacial.
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-16}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Linha
\end{enumerate}

\[
\mathbf{r}(t) = \langle 1+2t, \; 3-t, \; 4+5t \rangle.
\]

Isto descreve uma linha reta que passa pelo ponto \((1,3,4)\) com vetor
de direção \(\langle 2,-1,5 \rangle\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Círculo no avião
\end{enumerate}

\[
\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 0 \rangle, \quad 0 \leq t < 2\pi.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Hélice
\end{enumerate}

\[
\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; t \rangle.
\]

Esta é uma espiral subindo em torno do eixo \(z\).

\subsubsection{Limites e Continuidade}\label{limites-e-continuidade}

Uma função vetorial é contínua em \(t=a\) se cada componente
\(x(t), y(t), z(t)\) for contínuo em \(t=a\).

\[
\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} x(t), \; \lim_{t \to a} y(t), \; \lim_{t \to a} z(t) \rangle.
\]

\subsubsection{Geometria das Curvas
Espaciais}\label{geometria-das-curvas-espaciais}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Cada curva tem uma direção tangente dada pela derivada.
\item
  As curvas espaciais podem modelar caminhos de movimento, trajetórias
  de partículas e formas geométricas.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-8}

As funções vetoriais são a base do cálculo multivariável, permitindo-nos
estender as ideias de derivadas e integrais para dimensões superiores.
Eles também aparecem naturalmente na física (movimento em 3D,
eletromagnetismo, dinâmica de fluidos).

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-25}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Escreva uma função vetorial para uma linha que passa por \((0,1,2)\)
  paralela ao vetor \(\langle 3,-2,1 \rangle\).2. Descreva a curva dada
  por \(\mathbf{r}(t) = \langle 2\cos t, \; 2\sin t, \; 3 \rangle\).
\item
  Determine se \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \; \ln t, \; t^2 \rangle\)
  é contínuo em \(t=1\).
\item
  Esboce a hélice
  \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \; \sin t, \; 2t \rangle\).
\item
  Encontre o ponto na curva
  \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \; t^2, \; t^3 \rangle\) quando \(t=2\).
\end{enumerate}

\subsection{7.2 Derivadas e Integrais de Funções
Vetoriais}\label{derivadas-e-integrais-de-funuxe7uxf5es-vetoriais}

As funções vetoriais podem ser diferenciadas e integradas como funções
comuns - simplesmente aplicamos a operação a cada componente. Isso nos
permite estudar movimento, velocidade, aceleração e acumulação em
dimensões superiores.

\subsubsection{Derivada de uma função
vetorial}\label{derivada-de-uma-funuxe7uxe3o-vetorial}

Se

\[
\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle,
\]

então

\[
\mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle.
\]

Este vetor derivado aponta na direção tangente à curva no parâmetro
\(t\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Velocidade: Se \(\mathbf{r}(t)\) fornece a posição de uma partícula no
  tempo \(t\), então \(\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)\) é seu vetor
  velocidade.
\item
  Velocidade: A magnitude \(|\mathbf{v}(t)|\) é a velocidade da
  partícula.
\item
  Aceleração: \(\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t)\).
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-17}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Hélice
\end{enumerate}

\[
\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Velocidade: \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
\item
  Velocidade:
  \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
\item
  Aceleração: \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Movimento de projéteis
\end{enumerate}

\[
\mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cdot t, \; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle.
\]

Isso modela a trajetória parabólica de um projétil sob gravidade.

\subsubsection{Integral de uma função
vetorial}\label{integral-de-uma-funuxe7uxe3o-vetorial}

Se

\[
\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle,
\]

então

\[
\int \mathbf{r}(t)\,dt = \left\langle \int x(t)\,dt, \; \int y(t)\,dt, \; \int z(t)\,dt \right\rangle + \mathbf{C},
\]

onde \(\mathbf{C}\) é um vetor constante.

\subsubsection{Exemplo}\label{exemplo}

\[
\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Derivada: \(\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 2t, 3t^2 \rangle\).
\item
  Integrais:
\end{itemize}

\[
\int \mathbf{r}(t)\,dt = \langle \tfrac{1}{2}t^2, \tfrac{1}{3}t^3, \tfrac{1}{4}t^4 \rangle + \mathbf{C}.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-9}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Derivadas de funções vetoriais descrevem movimento e forças no espaço.
\item
  Integrais fornecem deslocamento, trabalho e quantidades acumuladas.
\item
  Essas ferramentas conectam o cálculo diretamente à física e à
  engenharia.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-26}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Para \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\), encontre
  velocidade, velocidade e aceleração.2. Calcule \(\mathbf{r}'(t)\) para
  \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, \ln t, t^2 \rangle\).
\item
  Integre \(\mathbf{r}(t) = \langle 1, t, t^2 \rangle\).
\item
  Uma partícula tem velocidade
  \(\mathbf{v}(t) = \langle t, 2, 0 \rangle\). Encontre seu vetor de
  posição se \(\mathbf{r}(0) = \langle 1, 0, 0 \rangle\).
\item
  Mostre que a velocidade de
  \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle\) é constante.
\end{enumerate}

\subsection{7.3 Comprimento e curvatura do
arco}\label{comprimento-e-curvatura-do-arco}

O cálculo vetorial fornece ferramentas para medir não apenas o caminho
traçado por uma curva, mas também a intensidade com que ela se curva.
Estes são expressos através do comprimento e curvatura do arco.

\subsubsection{Comprimento do arco de uma curva
espacial}\label{comprimento-do-arco-de-uma-curva-espacial}

Se uma curva é dada por

\[
\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \quad a \leq t \leq b,
\]

então o comprimento do arco é

\[
L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt,
\]

onde

\[
|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}.
\]

Exemplo: Para a hélice
\(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle, \, 0 \leq t \leq 2\pi\):

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Velocidade: \(\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
\item
  Velocidade:
  \(|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
\item
  Comprimento do arco:
\end{itemize}

\[
L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2}\,dt = 2\pi\sqrt{2}.
\]

\subsubsection{Curvatura}\label{curvatura}

A curvatura mede a rapidez com que uma curva muda de direção.

Para uma curva suave \(\mathbf{r}(t)\):

\[
\kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\kappa = 0\): linha reta.
\item
  \(\kappa\) maior: a curva se curva mais acentuadamente.
\end{itemize}

Exemplo: Para um círculo de raio \(r\):

\[
\mathbf{r}(t) = \langle r\cos t, r\sin t \rangle.
\]

Então \(\kappa = \tfrac{1}{r}\). Portanto, a curvatura é constante e
inversamente proporcional ao raio.

\subsubsection{Unidade Tangente e Vetores
Normais}\label{unidade-tangente-e-vetores-normais}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Vetor tangente:
\end{itemize}

\[
\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Vetor normal: aponta em direção ao centro de curvatura, definido como
\end{itemize}

\[
\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}.
\]

Esses vetores descrevem a geometria do movimento: direção de
deslocamento e direção de giro.

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-10}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  O comprimento do arco generaliza o conceito de distância às curvas no
  espaço.
\item
  A curvatura descreve a flexão, crucial em física (aceleração
  centrípeta), engenharia (estradas, montanhas-russas) e computação
  gráfica.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-27}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre o comprimento do arco de
  \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, 0 \rangle\) de \(t=0\) a \(t=1\).
\item
  Calcule a curvatura do círculo
  \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\).
\item
  Para \(\mathbf{r}(t) = \langle t, \cos t, \sin t \rangle\), calcule
  \(|\mathbf{r}'(t)|\).
\item
  Mostre que uma linha reta tem curvatura \(\kappa = 0\).5. Encontre o
  vetor tangente para \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\)
  em \(t=0\).
\end{enumerate}

\subsection{7.4 Movimento no Espaço}\label{movimento-no-espauxe7o}

As funções vetoriais são especialmente poderosas para descrever o
movimento em duas ou três dimensões. Posição, velocidade e aceleração
são expressas naturalmente usando derivadas e integrais de funções com
valor vetorial.

\subsubsection{Posição, velocidade e
aceleração}\label{posiuxe7uxe3o-velocidade-e-acelerauxe7uxe3o}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Vetor de posição:
\end{itemize}

\[
\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Vetor velocidade (derivada da posição):
\end{itemize}

\[
\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Velocidade (magnitude da velocidade):
\end{itemize}

\[
|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Vetor de aceleração (derivada da velocidade):
\end{itemize}

\[
\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t).
\]

\subsubsection{Componentes tangenciais e
normais}\label{componentes-tangenciais-e-normais}

A aceleração pode ser decomposta em dois componentes:

\[
\mathbf{a}(t) = a_T \mathbf{T}(t) + a_N \mathbf{N}(t),
\]

onde:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\mathbf{T}(t)\) = vetor tangente unitário,
\item
  \(\mathbf{N}(t)\) = vetor normal principal,
\item
  \(a_T = \frac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)|\) = aceleração tangencial (mudança
  na velocidade),
\item
  \(a_N = \kappa |\mathbf{v}(t)|^2\) = aceleração normal (mudança de
  direção).
\end{itemize}

\subsubsection{Movimento de projéteis em
3D}\label{movimento-de-projuxe9teis-em-3d}

Com a gravidade agindo na direção \(-z\):

\[
\mathbf{r}(t) = \langle v_0 \cos\theta \cos\phi \cdot t,\; v_0 \cos\theta \sin\phi \cdot t,\; v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2 \rangle,
\]

onde \(v_0\) é a velocidade inicial, \(\theta\) ângulo de lançamento e
\(\phi\) direção azimutal.

\subsubsection{Exemplo: Movimento
Helicoidal}\label{exemplo-movimento-helicoidal}

\[
\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Velocidade: \(\mathbf{v}(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle\).
\item
  Velocidade: \(|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{2}\).
\item
  Aceleração: \(\mathbf{a}(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle\).
\item
  O movimento é uniforme em velocidade, espiralando para cima.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-11}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Fornece linguagem matemática para movimentos do mundo real.
\item
  Essencial em física (forças, trajetórias, movimento circular).
\item
  Base para mecânica avançada e modelos de engenharia.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-28}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Uma partícula se move ao longo de
  \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle\). Encontre velocidade e
  aceleração em \(t=1\).
\item
  Mostre que a velocidade é constante para a hélice
  \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle\).
\item
  Um projétil é lançado com \(v_0 = 20 \,\text{m/s}\) no ângulo
  \(45^\circ\). Escreva seu vetor posição assumindo movimento em um
  plano vertical.
\item
  Para \(\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, t \rangle\), encontre
  \(\mathbf{v}(t)\) e \(\mathbf{a}(t)\).
\item
  Decomponha o vetor de aceleração em componentes tangencial e normal
  para movimento ao longo de um círculo de raio \(r\).\# Capítulo 8.
  Funções de Diversas Variáveis
\end{enumerate}

\subsection{8.1 Limites e continuidade em diversas
variáveis}\label{limites-e-continuidade-em-diversas-variuxe1veis}

No cálculo multivariável, as funções podem depender de duas ou mais
variáveis, como \(f(x,y)\) ou \(f(x,y,z)\). Os conceitos de limites e
continuidade estendem-se naturalmente do cálculo de variável única, mas
são mais sutis porque devemos considerar todos os caminhos possíveis de
abordagem.

\subsubsection{Limites em duas
variáveis}\label{limites-em-duas-variuxe1veis}

Para uma função \(f(x,y)\), dizemos

\[
\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L
\]

se \(f(x,y)\) chegar arbitrariamente perto de \(L\) conforme \((x,y)\)
se aproxima de \((a,b)\) ao longo de qualquer caminho.

Se caminhos diferentes fornecem valores limites diferentes, então o
limite não existe.

Exemplo 1 (existe limite):

\[
f(x,y) = x^2 + y^2, \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0.
\]

Exemplo 2 (limite não existe):

\[
f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}, \quad (x,y) \to (0,0).
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Junto com \(y=0\), a função é 0.
\item
  Junto com \(y=x\), a função é \(\tfrac{1}{2}\). Resultados diferentes
  → limite não existe.
\end{itemize}

\subsubsection{Continuidade}\label{continuidade-1}

Uma função \(f(x,y)\) é contínua em \((a,b)\) se

\[
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b).
\]

Polinômios e funções racionais (onde denominador ≠ 0) são contínuos em
todos os seus domínios.

\subsubsection{Extensão para três ou mais
variáveis}\label{extensuxe3o-para-truxeas-ou-mais-variuxe1veis}

Para \(f(x,y,z)\), limites e continuidade são definidos da mesma
maneira, mas o ponto \((a,b,c)\) deve ser abordado de infinitas direções
no espaço.

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-12}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  A continuidade garante que não haja saltos, buracos ou assíntotas em
  funções multivariáveis.
\item
  Os limites são fundamentais para definir derivadas parciais e
  integrais múltiplas.
\item
  Esses conceitos são blocos de construção para cálculo multivariável.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-29}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Determine se \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\) existe.
\item
  Mostre que \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0\) ao longo
  de todos os caminhos retilíneos \(y=mx\).
\item
  Existe limite para \(f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) como
  \((x,y)\to(0,0)\)?
\item
  Explique por que os polinômios em duas variáveis
  \hspace{0pt}\hspace{0pt}são contínuos em todos os lugares.
\item
  Dê um exemplo de função de duas variáveis \hspace{0pt}\hspace{0pt}que
  seja descontínua em um ponto e explique por quê.
\end{enumerate}

\subsection{8.2 Derivados Parciais}\label{derivados-parciais}

Em funções de diversas variáveis, muitas vezes queremos medir como a
função muda quando apenas uma variável muda enquanto as outras são
mantidas constantes. Isso leva à ideia de derivadas parciais.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-7}

Para uma função \(f(x,y)\), a derivada parcial em relação a \(x\) em um
ponto \((a,b)\) é

\[
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h}.
\]

Da mesma forma, a derivada parcial em relação a \(y\) é

\[\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a,b)}{h}.
\]

We treat all other variables as constants when differentiating.

\subsubsection{Notation}\label{notation}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\frac{\partial f}{\partial x}\), \(f_x\), \(\partial_x f\).
\item
  \(\frac{\partial f}{\partial y}\), \(f_y\), \(\partial_y f\).
\end{itemize}

For three variables \(f(x,y,z)\), we also have \(f_x, f_y, f_z\).

\subsubsection{Examples}\label{examples-2}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(f(x,y) = x^2y + y^3\)
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f_x = 2xy\).
\item
  \(f_y = x^2 + 3y^2\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  \(f(x,y) = e^{xy}\)
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f_x = y e^{xy}\).
\item
  \(f_y = x e^{xy}\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  \(f(x,y,z) = x^2 + yz\)
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f_x = 2x\).
\item
  \(f_y = z\).
\item
  \(f_z = y\).
\end{itemize}

\subsubsection{Higher-Order Partial
Derivatives}\label{higher-order-partial-derivatives}

We can take partial derivatives repeatedly:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Big(f_x\Big)\).
\item
  \(f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\), etc.
\end{itemize}

Clairaut's Theorem: If \(f\) has continuous second partial derivatives,
then

\[
f_{xy} = f_{yx}.
\]

\subsubsection{Geometric Meaning}\label{geometric-meaning}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f_x\): slope of the surface in the \(x\)-direction.
\item
  \(f_y\): slope of the surface in the \(y\)-direction.
\item
  Together they describe how the surface tilts.
\end{itemize}

\subsubsection{Why This Matters}\label{why-this-matters}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Partial derivatives are the foundation of gradients, tangent planes,
  and optimization in multiple variables.
\item
  They are widely used in physics, engineering, and economics to model
  systems with several inputs.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercises}\label{exercises-3}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Find \(f_x\) and \(f_y\) for \(f(x,y) = x^3y^2\).
\item
  Compute \(f_x, f_y, f_z\) for \(f(x,y,z) = xyz + x^2\).
\item
  Verify Clairaut's theorem for \(f(x,y) = x^2y + y^3\).
\item
  Interpret geometrically what \(f_x\) and \(f_y\) mean for
  \(f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\).
\item
  Find all second-order partial derivatives of \(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\).
\end{enumerate}

\subsection{8.3 Gradient and Directional
Derivatives}\label{gradient-and-directional-derivatives}

Partial derivatives measure change along the coordinate axes, but
sometimes we want to know the rate of change of a function in any
direction. This leads to the concepts of the gradient and directional
derivatives.

\subsubsection{Gradient Vector}\label{gradient-vector}

For a function \(f(x,y)\), the gradient is the vector

\[
\nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle.
\]

For three variables \(f(x,y,z)\):

\[
\nabla f(x,y,z) = \left\langle f_x, f_y, f_z \right\rangle.
\]

The gradient points in the direction of maximum increase of the
function, and its magnitude gives the steepest slope.

\subsubsection{Directional Derivatives}\label{directional-derivatives}

The rate of change of \(f(x,y)\) at a point in the direction of a unit
vector \(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) is

\[
D_{\mathbf{u}} f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}.
\]

Este é o produto escalar do gradiente com o vetor de direção.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-18}

1.\(f(x,y) = x^2 + y^2\)

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Gradiente: \(\nabla f = \langle 2x, 2y \rangle\).- Em (1,2):
  \(\nabla f = \langle 2,4 \rangle\).
\item
  Derivada direcional ao longo de
  \(\mathbf{u} = \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle\):
\end{itemize}

\[
D_{\mathbf{u}} f(1,2) = \langle 2,4 \rangle \cdot \langle \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5} \rangle = \tfrac{26}{5}.
\]

2.\(f(x,y,z) = x y z\)

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Gradiente: \(\nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle\).
\item
  Em (1,1,1): \(\nabla f = \langle 1,1,1 \rangle\).
\item
  A direção máxima de aumento é ao longo de \(\langle 1,1,1 \rangle\).
\end{itemize}

\subsubsection{Interpretação
Geométrica}\label{interpretauxe7uxe3o-geomuxe9trica-1}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  O vetor gradiente é perpendicular (normal) às curvas de nível ou
  superfícies de nível de \(f\).
\item
  As derivadas direcionais generalizam a inclinação em direções
  arbitrárias.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-13}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Na otimização, o gradiente nos indica a direção do movimento para a
  subida ou descida mais íngreme.
\item
  Na física, os gradientes descrevem campos como fluxo de calor e
  potencial elétrico.
\item
  As derivadas direcionais unificam taxas de variação univariáveis
  \hspace{0pt}\hspace{0pt}e multivariáveis.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-30}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule \(\nabla f(x,y)\) para \(f(x,y) = e^{xy}\).
\item
  Encontre o gradiente de \(f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\) e avalie em
  (1,1,1).
\item
  Calcule a derivada direcional de \(f(x,y) = x^2-y\) em (2,1) na
  direção de \(\mathbf{u} = \langle 0,1 \rangle\).
\item
  Mostre que o gradiente de \(f(x,y) = x^2+y^2\) é perpendicular ao
  círculo \(x^2+y^2=1\).
\item
  Encontre a direção do vetor unitário que maximiza a derivada
  direcional de \(f(x,y) = xy\) em (1,2).
\end{enumerate}

\subsection{8.4 Planos tangentes e aproximações
lineares}\label{planos-tangentes-e-aproximauxe7uxf5es-lineares}

No cálculo de variável única, a linha tangente se aproxima de uma curva
próxima a um ponto. No cálculo multivariável, o conceito análogo é o
plano tangente, que fornece uma aproximação linear a uma superfície
próxima a um ponto.

\subsubsection{Plano tangente a uma
superfície}\label{plano-tangente-a-uma-superfuxedcie}

Suponha que \(z = f(x,y)\) seja diferenciável em \((a,b)\). O plano
tangente em \((a,b,f(a,b))\) é dado por

\[
z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b).
\]

Este plano toca a superfície no ponto e se aproxima dela.

\subsubsection{Exemplo 1: Parabolóide}\label{exemplo-1-paraboluxf3ide}

Para \(f(x,y) = x^2 + y^2\) em \((1,2)\):

-\(f(1,2) = 1^2+2^2=5\). - \(f_x = 2x\), então \(f_x(1,2) = 2\). -
\(f_y = 2y\), então \(f_y(1,2) = 4\).

Equação do plano tangente:

\[
z = 5 + 2(x-1) + 4(y-2).
\]

\subsubsection{Aproximação Linear}\label{aproximauxe7uxe3o-linear}

O plano tangente pode ser usado para aproximar \(f(x,y)\) perto de
\((a,b)\):

\[
f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b).
\]

Esta é a linearização de \(f\) em \((a,b)\).

\subsubsection{Exemplo 2: Aproximação
Linear}\label{exemplo-2-aproximauxe7uxe3o-linear}

Aproximadamente \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) perto de \((4,5)\).

-\(f(4,5) = \sqrt{9} = 3\).
-\(f_x = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}, \quad f_y = \frac{1}{2\sqrt{x+y}}\). -
Em (4,5): \(f_x = f_y = \tfrac{1}{6}\).

Então,

\[f(x,y) \approx 3 + \tfrac{1}{6}(x-4) + \tfrac{1}{6}(y-5).
\]

\subsubsection{Why This Matters}\label{why-this-matters-1}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Tangent planes give the best linear approximation to a surface.
\item
  Linearization simplifies complex functions for computation.
\item
  Widely used in numerical methods, physics, and economics.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercises}\label{exercises-4}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Find the tangent plane to \(z = x^2y + y^2\) at \((1,1)\).
\item
  Approximate \(f(x,y) = e^{x+y}\) near \((0,0)\).
\item
  Derive the tangent plane equation for \(z = \ln(x^2+y^2)\) at
  \((1,1)\).
\item
  Use linear approximation to estimate \(\sqrt{10.1}\) using
  \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) near (4,6).
\item
  Explain why the tangent plane approximation improves as \((x,y)\) gets
  closer to \((a,b)\).
\end{enumerate}

\subsection{8.5 Optimization in Several
Variables}\label{optimization-in-several-variables}

Optimization in multivariable calculus extends the ideas of maxima and
minima from single-variable functions to functions of two or more
variables.

\subsubsection{Critical Points}\label{critical-points}

For \(f(x,y)\), a critical point occurs where

\[
f_x(x,y) = 0 \quad \text{e} \quad f_y(x,y) = 0,
\]

or where the partial derivatives do not exist.

\subsubsection{Second Derivative Test}\label{second-derivative-test}

To classify critical points, compute the second partial derivatives:

\[
D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - \big(f_{xy}(a,b)\big)^2.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  If \(D > 0\) and \(f_{xx}(a,b) > 0\): local minimum.
\item
  If \(D > 0\) and \(f_{xx}(a,b) < 0\): local maximum.
\item
  If \(D < 0\): saddle point.
\item
  If \(D = 0\): test is inconclusive.
\end{itemize}

\subsubsection{Example 1: Paraboloid}\label{example-1-paraboloid}

\(f(x,y) = x^2 + y^2\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f_x = 2x, f_y = 2y\). Critical point at (0,0).
\item
  \(f_{xx} = 2, f_{yy} = 2, f_{xy} = 0\).
\item
  \(D = (2)(2) - 0 = 4 > 0\), and \(f_{xx} > 0\).
\item
  So (0,0) is a local minimum.
\end{itemize}

\subsubsection{Example 2: Saddle Point}\label{example-2-saddle-point}

\(f(x,y) = x^2 - y^2\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(f_x = 2x, f_y = -2y\). Critical point at (0,0).
\item
  \(f_{xx} = 2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0\).
\item
  \(D = (2)(-2) - 0 = -4 < 0\).
\item
  So (0,0) is a saddle point.
\end{itemize}

\subsubsection{Constrained Optimization and Lagrange
Multipliers}\label{constrained-optimization-and-lagrange-multipliers}

Sometimes, we want to optimize \(f(x,y)\) subject to a constraint
\(g(x,y) = c\).

Method of Lagrange multipliers: solve

\[
\nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y).
\]

Exemplo: Maximize \(f(x,y) = xy\) sujeito a \(x^2+y^2=1\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Gradientes:
  \(\nabla f = \langle y,x \rangle, \quad \nabla g = \langle 2x,2y \rangle\).
\item
  Equações: \(y = 2\lambda x, \, x = 2\lambda y\).
\item
  As soluções levam ao máximo em
  \((\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}})\).
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-14}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  A otimização é essencial em economia, engenharia, aprendizado de
  máquina e física.
\item
  Os multiplicadores de Lagrange permitem a otimização com restrições,
  uma ferramenta fundamental em matemática aplicada.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-31}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre e classifique os pontos críticos de \(f(x,y) = x^2+xy+y^2\).
\item
  Classifique o ponto (0,0) para \(f(x,y) = x^3-y^3\).3. Use o teste da
  segunda derivada para \(f(x,y) = x^4+y^4-4xy\).
\item
  Maximize \(f(x,y) = x+y\) sujeito a \(x^2+y^2=1\).
\item
  Minimize \(f(x,y) = x^2+2y^2\) sujeito a \(x+y=1\).
\end{enumerate}

\section{Capítulo 9. Integrais
Múltiplos}\label{capuxedtulo-9.-integrais-muxfaltiplos}

\subsection{9.1 Integrais Duplas}\label{integrais-duplas}

No cálculo de variável única, uma integral definida fornece a área sob
uma curva. Em duas variáveis, uma integral dupla calcula o volume sob
uma superfície (ou, mais genericamente, a acumulação de valores sobre
uma região).

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-8}

Se \(f(x,y)\) for contínuo em uma região \(R\), a integral dupla é

\[
\iint_R f(x,y)\, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^-, y_{ij}^-) \Delta A,
\]

onde \(R\) é dividido em pequenos retângulos de área \(\Delta A\).

\subsubsection{Integrais Iteradas}\label{integrais-iteradas}

Pelo Teorema de Fubini, podemos calcular uma integral dupla como uma
integral iterada:

\[
\iint_R f(x,y)\, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\, dy\, dx,
\]

se \(R\) for um retângulo \([a,b] \times [c,d]\).

A ordem de integração muitas vezes pode ser alterada:

\[
\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.
\]

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-19}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Região retangular
\end{enumerate}

\[
\iint_R (x+y)\, dA, \quad R=[0,1]\times[0,2].
\]

\[
= \int_0^1 \int_0^2 (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1 \Big[xy+\tfrac{1}{2}y^2\Big]_0^2 dx
= \int_0^1 (2x+2)dx = 3.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Região triangular
\end{enumerate}

\[
R = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}.
\]

\[
\iint_R (x+y)\, dA = \int_0^1 \int_0^x (x+y)\,dy\,dx.
\]

Avaliar dá \(\tfrac{2}{3}\).

\subsubsection{Aplicativos}\label{aplicativos-1}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Volume sob uma superfície:
\end{itemize}

\[
V = \iint_R f(x,y)\, dA.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Valor médio de uma função sobre uma região:
\end{itemize}

\[
f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x,y)\, dA.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-15}

Integrais duplas estendem a integração a duas dimensões. Eles são
essenciais em física (massa, distribuições de probabilidade), economia
(valores esperados) e engenharia (centróides, fluxo).

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-32}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Avalie \(\iint_R (x^2+y^2)\, dA\) onde \(R=[0,1]\times[0,1]\).
\item
  Calcule \(\iint_R xy\, dA\) onde
  \(R=\{(x,y):0\leq x\leq2,0\leq y\leq x\}\).
\item
  Encontre o valor médio de \(f(x,y) = x+y\) sobre o quadrado unitário
  \([0,1]\times[0,1]\).
\item
  Interprete \(\iint_R f(x,y)\, dA\) em termos de probabilidade se
  \(f(x,y)\) for uma função de densidade de probabilidade.
\item
  Mostre que a ordem de mudança de integração dá o mesmo resultado para
  \(\iint_{[0,1]\times[0,2]} (x+y)\,dA\).
\end{enumerate}

\subsection{9.2 Integrais Triplos}\label{integrais-triplos}

As integrais triplas estendem a ideia de integração a três variáveis,
permitindo-nos calcular volumes, massas e outras quantidades em regiões
tridimensionais.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-9}

Se \(f(x,y,z)\) for contínuo em uma região sólida \(E\), a integral
tripla é

\[\iiint_E f(x,y,z)\, dV = \lim_{m,n,p \to \infty} \sum f(x_{ijk}^-, y_{ijk}^-, z_{ijk}^-) \Delta V,
\]

where the region is subdivided into boxes of volume \(\Delta V\).

\subsubsection{Iterated Integrals}\label{iterated-integrals}

By Fubini's Theorem, a triple integral can be computed as an iterated
integral:

\[
\iiint_E f(x,y,z)\, dV = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z)\, dz\, dy\, dx,
\]

for a rectangular box \(E = [a,b]\times[c,d]\times[e,f]\).

The order of integration can be chosen for convenience.

\subsubsection{Examples}\label{examples-3}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Rectangular box
\end{enumerate}

\[
\iiint_E xyz\, dV, \quad E=[0,1]\vezes[0,2]\vezes[0,3].
\]

\[
= \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 xyz\,dz\,dy\,dx.
\]

First integrate over \(z\):

\[
\int_0^3 xyz\,dz = xy \left[\tfrac{1}{2}z^2\right]_0^3 = \tfrac{9}{2}xy.
\]

Now integrate over \(y\):

\[
\int_0^2 \tfrac{9}{2}xy\,dy = \tfrac{9}{2}x \cdot \left[\tfrac{1}{2}y^2\right]_0^2 = 9x.
\]

Finally integrate over \(x\):

\[
\int_0^1 9x\,dx = \tfrac{9}{2}.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Region bounded by planes Let
  \(E = \{(x,y,z) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq y\}\).
\end{enumerate}

\[
\iiint_E 1\,dV = \int_0^1 \int_0^x \int_0^y 1\,dz\,dy\,dx.
\]

Evaluate:

\[
= \int_0^1 \int_0^x y\,dy\,dx = \int_0^1 \tfrac{1}{2}x^2\,dx = \tfrac{1}{6}.
\]

So the volume of this triangular region is \(\tfrac{1}{6}\).

\subsubsection{Applications}\label{applications}

\begin{itemize}
\item
  Volume: \(V = \iiint_E 1 \, dV\).
\item
  Mass: If density is \(\rho(x,y,z)\), then

  \[
  M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV.
  \]
\item
  Average value:

  \[
  f_{\text{média}} = \frac{1}{V(E)} \iiint_E f(x,y,z)\,dV.
  \]
\end{itemize}

\subsubsection{Why This Matters}\label{why-this-matters-2}

Triple integrals generalize area and volume calculations to arbitrary
solids. They are used in physics (mass distributions, center of mass,
gravitational fields), engineering, and probability.

\subsubsection{Exercises}\label{exercises-5}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Compute \(\iiint_E (x+y+z)\,dV\) over the cube
  \(E=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\).
\item
  Find the volume of the tetrahedron bounded by
  \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\).
\item
  Evaluate \(\iiint_E x^2 \, dV\) where
  \(E=[0,2]\times[0,1]\times[0,1]\).
\item
  Show that \(\iiint_E 1\,dV\) equals the geometric volume of \(E\).
\item
  If density is \(\rho(x,y,z)=x+y+z\), compute the mass of the unit
  cube.
\end{enumerate}

\subsection{9.3 Applications: Volume, Mass,
Probability}\label{applications-volume-mass-probability}

Triple integrals are powerful because they allow us to compute
quantities in three dimensions by accumulating values over a solid
region.

\subsubsection{Volume}\label{volume}

The simplest application is finding the volume of a region \(E\):

\[
V = \iiint_E 1 \, dV.
\]

Example: Find the volume of the solid bounded by the coordinate planes
and the plane \(x+y+z=1\).

\[
V = \iiint_E 1 \, dV = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 1 \, dz\, dy\, dx.
\]

Avaliar dá \(V = \tfrac{1}{6}\).\#\#\# Massa e Densidade

Se um sólido tem função de densidade \(\rho(x,y,z)\), sua massa é

\[
M = \iiint_E \rho(x,y,z)\, dV.
\]

O centro de massa é dado por

\[
\bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_E x\rho(x,y,z)\,dV, \quad
\bar{y} = \frac{1}{M}\iiint_E y\rho(x,y,z)\,dV, \quad
\bar{z} = \frac{1}{M}\iiint_E z\rho(x,y,z)\,dV.
\]

Exemplo: Para um cubo unitário com densidade constante \(\rho=1\), o
centro de massa está em \((0.5,0.5,0.5)\).

\subsubsection{Probabilidade}\label{probabilidade}

Se \(f(x,y,z)\) é uma função de densidade de probabilidade em 3D, então
a probabilidade de a variável aleatória estar em uma região \(E\) é

\[
P(E) = \iiint_E f(x,y,z)\, dV,
\]

onde \(f(x,y,z) \geq 0\) e

\[
\iiint_{\mathbb{R}^3} f(x,y,z)\,dV = 1.
\]

Exemplo: Se \(f(x,y,z) = \tfrac{3}{4}z^2\) para \(0 \leq z \leq 1\),
uniformemente em \(x,y\), então

\[
P(0 \leq z \leq 0.5) = \int_0^{0.5} \tfrac{3}{4}z^2 \, dz = \tfrac{1}{32}.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-16}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Os volumes generalizam a geometria para sólidos irregulares.
\item
  Integrais de massa e densidade conectam cálculo à física e à
  engenharia.
\item
  Funções de densidade de probabilidade em dimensões superiores são
  amplamente utilizadas em estatística e ciência de dados.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-33}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre o volume do sólido limitado por \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\) (a
  esfera unitária).
\item
  Calcule a massa de um cone com densidade proporcional a \(z\).
\item
  Encontre o centro de massa de um tetraedro uniforme limitado por
  \(x=0, y=0, z=0, x+y+z=1\).
\item
  Se \(f(x,y,z) = \frac{1}{8}\) estiver no cubo
  \([0,2]\times[0,2]\times[0,2]\), verifique se é uma função de
  densidade de probabilidade.
\item
  Use uma integral tripla para calcular a probabilidade de que um ponto
  escolhido aleatoriamente na esfera unitária tenha \(z > 0\).
\end{enumerate}

\subsection{9.4 Mudança de Variáveis: Coordenadas Polares, Cilíndricas,
Esféricas}\label{mudanuxe7a-de-variuxe1veis-coordenadas-polares-ciluxedndricas-esfuxe9ricas}

Muitas integrais tornam-se mais fáceis quando expressas em sistemas de
coordenadas que correspondem à simetria da região. Em vez de coordenadas
cartesianas \((x,y,z)\), podemos usar coordenadas polares, cilíndricas
ou esféricas.

\subsubsection{Coordenadas polares (2D)}\label{coordenadas-polares-2d}

Para funções de duas variáveis, podemos mudar para coordenadas polares:

\[
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r \geq 0, \; 0 \leq \theta < 2\pi.
\]

O elemento de área se transforma como

\[
dA = r\,dr\,d\theta.
\]

Exemplo: Encontre a área do círculo unitário.

\[
A = \iint_{x^2+y^2\leq 1} 1\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 r\,dr\,d\theta = \pi.
\]

\subsubsection{Coordenadas Cilíndricas
(3D)}\label{coordenadas-ciluxedndricas-3d}

Em 3D, as coordenadas cilíndricas estendem as coordenadas polares com
\(z\):

\[
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z.
\]

O elemento de volume é

\[
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
\]

Exemplo: Volume de um cilindro de raio \(R\) e altura \(h\):

\[
V = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R r\,dr\,d\theta\,dz = \pi R^2 h.
\]\#\#\# Coordenadas Esféricas (3D)

Para simetria esférica, use:

\[
x = \rho \sin\phi \cos\theta, \quad y = \rho \sin\phi \sin\theta, \quad z = \rho \cos\phi,
\]

onde

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\rho \geq 0\) é a distância da origem,
\item
  \(0 \leq \phi \leq \pi\) é o ângulo do eixo \(z\) positivo,
\item
  \(0 \leq \theta < 2\pi\) é o ângulo no plano \(xy\).
\end{itemize}

O elemento de volume é

\[
dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta.
\]

Exemplo: Volume da esfera unitária:

\[
V = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\phi \, d\rho\, d\phi\, d\theta.
\]

Avaliando:

\[
V = \left(\int_0^1 \rho^2 d\rho\right)\left(\int_0^\pi \sin\phi d\phi\right)\left(\int_0^{2\pi} d\theta\right) = \tfrac{1}{3}(2)(2\pi) = \tfrac{4\pi}{3}.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-17}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  As coordenadas polares simplificam as regiões circulares.
\item
  Coordenadas cilíndricas tratam de cilindros e simetria rotacional.
\item
  Coordenadas esféricas simplificam esferas, cones e problemas radiais.
\item
  Essas mudanças de variáveis \hspace{0pt}\hspace{0pt}tornam
  gerenciáveis \hspace{0pt}\hspace{0pt}integrais que de outra forma
  seriam impossíveis.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-34}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule \(\iint_{x^2+y^2\leq 4} (x^2+y^2)\,dA\) usando coordenadas
  polares.
\item
  Encontre o volume de um cone de altura \(h\) e raio \(R\) usando
  coordenadas cilíndricas.
\item
  Use coordenadas esféricas para avaliar o volume de uma bola de raio
  \(R\).
\item
  Mostre que o fator Jacobiano para coordenadas polares é \(r\).
\item
  Encontre a massa de uma esfera sólida de raio \(R\) com densidade
  proporcional à distância da origem usando coordenadas esféricas.
\end{enumerate}

\section{Capítulo 10. Cálculo
vetorial}\label{capuxedtulo-10.-cuxe1lculo-vetorial}

\subsection{10.1 Campos vetoriais}\label{campos-vetoriais}

Um campo vetorial atribui um vetor a cada ponto no espaço, da mesma
forma que uma função escalar atribui um número. Os campos vetoriais são
usados \hspace{0pt}\hspace{0pt}para modelar fluxos, forças e outras
grandezas direcionais.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-10}

Em duas dimensões, um campo vetorial é uma função

\[
\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle,
\]

onde \(P\) e \(Q\) são funções escalares.

Em três dimensões,

\[
\mathbf{F}(x,y,z) = \langle P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) \rangle.
\]

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-20}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Campo radial
\end{enumerate}

\[
\mathbf{F}(x,y) = \langle x, y \rangle.
\]

Os vetores apontam para fora da origem.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Campo rotacional
\end{enumerate}

\[
\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle.
\]

Os vetores circulam em torno da origem.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Campo gravitacional
\end{enumerate}

\[
\mathbf{F}(x,y,z) = -\frac{GM}{r^3}\langle x,y,z \rangle, \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
\]

\subsubsection{Visualizando campos
vetoriais}\label{visualizando-campos-vetoriais}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Desenhe pequenas setas nos pontos de amostra para indicar direção e
  magnitude.
\item
  Setas mais densas onde as magnitudes são maiores.
\item
  Útil para interpretar linhas de fluxo, trajetórias e forças.
\end{itemize}

\subsubsection{\texorpdfstring{Linhas de FluxoUma linha de fluxo (ou
curva integral) de um campo vetorial é uma curva \(\mathbf{r}(t)\) cujo
vetor tangente em cada ponto corresponde ao
campo:}{Linhas de FluxoUma linha de fluxo (ou curva integral) de um campo vetorial é uma curva \textbackslash mathbf\{r\}(t) cujo vetor tangente em cada ponto corresponde ao campo:}}\label{linhas-de-fluxouma-linha-de-fluxo-ou-curva-integral-de-um-campo-vetorial-uxe9-uma-curva-mathbfrt-cujo-vetor-tangente-em-cada-ponto-corresponde-ao-campo}

\[
\mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
\]

As linhas de fluxo descrevem os caminhos das partículas em um campo de
velocidade.

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-18}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Os campos vetoriais são fundamentais em física (fluxo de fluidos,
  eletromagnetismo, gravitação).
\item
  Eles formam a base das integrais de linha, integrais de superfície e
  dos grandes teoremas do cálculo vetorial (Green, Stokes, Divergência).
\item
  Fornece uma forma geométrica de representar quantidades direcionais.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-35}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Esboce o campo vetorial \(\mathbf{F}(x,y) = \langle y, -x \rangle\).
\item
  Determine se os vetores de \(\mathbf{F}(x,y) = \langle x,y \rangle\)
  apontam para ou para longe da origem.
\item
  Para \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\), calcule
  \(\mathbf{F}(1,2,3)\).
\item
  Descreva as linhas de fluxo de
  \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\).
\item
  Explique por que os campos gravitacionais e elétricos são exemplos de
  campos vetoriais radiais.
\end{enumerate}

\subsection{10.2 Integrais de Linha}\label{integrais-de-linha}

Uma integral de linha estende a ideia de integral para funções avaliadas
ao longo de uma curva. Em vez de integrar num intervalo ou região,
integramos num caminho no espaço.

\subsubsection{Definição: Integral de linha
escalar}\label{definiuxe7uxe3o-integral-de-linha-escalar}

Se \(f(x,y)\) for uma função escalar e \(C\) for uma curva parametrizada
por \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle, \; a \leq t \leq b\),
então a integral de linha é

\[
\int_C f(x,y)\, ds = \int_a^b f(x(t),y(t)) \, |\mathbf{r}'(t)|\, dt,
\]

onde \(ds\) é o comprimento do arco.

Mede o acúmulo de \(f\) ao longo da curva.

\subsubsection{Definição: Integral de linha
vetorial}\label{definiuxe7uxe3o-integral-de-linha-vetorial}

Para um campo vetorial
\(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\), a integral de
linha ao longo de \(C\) é

\[
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, dt.
\]

Isso mede o trabalho realizado pelo campo ao longo da curva.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-21}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Integral de Linha Escalar
\end{enumerate}

\[
f(x,y) = x+y, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1.
\]

Então

\[
\int_C f(x,y)\, ds = \int_0^1 (t+t^2)\sqrt{(1)^2+(2t)^2}\, dt.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Trabalho realizado por uma força
\end{enumerate}

\[
\mathbf{F}(x,y) = \langle y, x \rangle, \quad C: \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle, \; 0 \leq t \leq 1.
\]

\[
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \langle t^2, t \rangle \cdot \langle 1, 2t \rangle\, dt = \int_0^1 (t^2 + 2t^2)\, dt = \int_0^1 3t^2\, dt = 1.
\]

\subsubsection{Interpretação
Física}\label{interpretauxe7uxe3o-fuxedsica}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Integral de linha escalar: acumulação de densidade ao longo de um fio.
\item
  Integral de linha vetorial: trabalho realizado por uma força que move
  um objeto ao longo de uma trajetória.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é importante- Integrais de linha conectam
campos vetoriais com quantidades físicas como trabalho e
circulação.}\label{por-que-isso-uxe9-importante--integrais-de-linha-conectam-campos-vetoriais-com-quantidades-fuxedsicas-como-trabalho-e-circulauxe7uxe3o.}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Eles são blocos de construção para o Teorema de Green e o Teorema de
  Stokes.
\item
  Aparecem na física (potencial elétrico, fluxo de fluidos, mecânica).
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-36}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule \(\int_C (x^2+y^2)\, ds\) onde \(C\) é o segmento de linha de
  (0,0) a (1,1).
\item
  Avalie \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) para
  \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) ao longo do círculo
  unitário \(x^2+y^2=1\).
\item
  Interprete o significado de \(\int_C 1\,ds\).
\item
  Para \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z,0,x \rangle\), calcule a integral
  de linha ao longo de
  \(\mathbf{r}(t) = \langle t,t,1 \rangle, 0 \leq t \leq 1\).
\item
  Explique a diferença entre integrais de linha escalares e vetoriais.
\end{enumerate}

\subsection{10.3 Integrais de
Superfície}\label{integrais-de-superfuxedcie}

Uma integral de superfície generaliza integrais de linha para
superfícies bidimensionais no espaço tridimensional. Eles nos permitem
calcular o fluxo através de superfícies e o acúmulo de campos escalares
sobre superfícies curvas.

\subsubsection{Integral de Superfície
Escalar}\label{integral-de-superfuxedcie-escalar}

Se uma superfície \(S\) for parametrizada por

\[
\mathbf{r}(u,v) = \langle x(u,v), y(u,v), z(u,v) \rangle,
\]

então a integral de superfície de uma função escalar \(f(x,y,z)\) é

\[
\iint_S f(x,y,z)\, dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) \, |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du\,dv,
\]

onde \(\mathbf{r}_u\) e \(\mathbf{r}_v\) são derivadas parciais de
\(\mathbf{r}(u,v)\) e \(D\) é o domínio do parâmetro.

\subsubsection{Integral de superfície vetorial
(fluxo)}\label{integral-de-superfuxedcie-vetorial-fluxo}

Para um campo vetorial \(\mathbf{F}(x,y,z)\), o fluxo através de uma
superfície \(S\) é

\[
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS,
\]

onde \(\mathbf{n}\) é o vetor normal unitário. Usando parametrização,

\[
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv.
\]

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-22}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Integral de Superfície Escalar Superfície: plano \(z=1\) sobre disco
  unitário \(x^2+y^2 \leq 1\).
\end{enumerate}

\[
\iint_S 1\, dS = \text{area of the disk} = \pi.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Fluxo através de uma esfera Seja
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) e \(S\) = esfera de raio
  \(R\). O vetor normal é
  \(\mathbf{n} = \frac{1}{R}\langle x,y,z \rangle\).
\end{enumerate}

\[
\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} = \frac{x^2+y^2+z^2}{R} = R.
\]

Então

\[
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S R\, dS = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-19}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Integrais de superfície escalares medem áreas e distribuições de
  superfície.
\item
  Integrais de superfície vetorial medem o fluxo: a quantidade de um
  campo que passa por uma superfície.
\item
  Aplicações: eletromagnetismo, fluxo de fluidos, transferência de calor
  e muito mais.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-37}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Calcule \(\iint_S 1\, dS\) para a superfície de um cubo de comprimento
  lateral 2.2. Encontre o fluxo de
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) através da esfera
  unitária.
\item
  Avalie \(\iint_S z\, dS\) para o parabolóide
  \(z = x^2+y^2, \, z \leq 1\).
\item
  Para \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y,0,0 \rangle\), calcule o fluxo
  através do plano \(x=1\), \(0 \leq y,z \leq 1\).
\item
  Explique fisicamente o que significa se o fluxo de um campo vetorial
  através de uma superfície fechada for zero.
\end{enumerate}

\subsection{10.4 Teorema de Green}\label{teorema-de-green}

O Teorema de Green é um resultado fundamental no cálculo vetorial que
conecta uma integral de linha em torno de uma curva fechada a uma
integral dupla sobre a região que ela abrange. É uma versão
bidimensional do Teorema de Stokes.

\subsubsection{Declaração do Teorema de
Green}\label{declarauxe7uxe3o-do-teorema-de-green}

Seja \(C\) uma curva simples, fechada e orientada positivamente no
plano, e seja \(R\) a região que ela abrange. Se
\(\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\) tem derivadas
parciais contínuas em uma região aberta contendo \(R\), então

\[
\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\, dA.
\]

\subsubsection{Interpretação}\label{interpretauxe7uxe3o-2}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  A integral de linha em torno de \(C\) mede a circulação do campo
  vetorial ao longo da fronteira.
\item
  A integral dupla sobre \(R\) mede a curvatura (rotação) total do campo
  dentro da região.
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplo 1: Fórmula de
área}\label{exemplo-1-fuxf3rmula-de-uxe1rea}

Se \(\mathbf{F} = \langle -y/2, x/2 \rangle\), então

\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.
\]

Assim, o Teorema de Green dá

\[
\text{Area}(R) = \iint_R 1\,dA = \oint_C \left(-\tfrac{y}{2}\,dx + \tfrac{x}{2}\,dy\right).
\]

Isso fornece uma maneira de calcular a área usando uma integral de
linha.

\subsubsection{Exemplo 2: Circulação}\label{exemplo-2-circulauxe7uxe3o}

Seja \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) e \(C\) o círculo
unitário.

-\(P=-y, Q=x\). -\(Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2\). - Integral dupla sobre o
disco unitário:

\[
\iint_R 2\,dA = 2\pi (1^2) = 2\pi.
\]

Portanto, a circulação ao redor do círculo é \(2\pi\).

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-20}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Converte integrais de linha difíceis em integrais duplas ou
  vice-versa.
\item
  Fornece uma ponte entre propriedades locais (curl) e propriedades
  globais (circulação).
\item
  Amplamente utilizado em física para fluxo de fluidos, eletromagnetismo
  e campos vetoriais planares.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-38}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Use o Teorema de Green para calcular a área dentro da elipse
  \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).
\item
  Verifique o Teorema de Green para
  \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) ao longo do quadrado com
  vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
\item
  Calcule a circulação de \(\mathbf{F}(x,y) = \langle -y, x \rangle\) em
  torno do círculo unitário.4. Mostre que se
  \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), então a integral de linha de
  \(\mathbf{F}\) em torno de qualquer curva fechada é zero.
\item
  Use o Teorema de Green para mostrar que
\end{enumerate}

\[
\oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx
\]

para qualquer curva fechada \(C\).

\subsection{10.5 Teorema de Stokes}\label{teorema-de-stokes}

O Teorema de Stokes generaliza o Teorema de Green para três dimensões.
Relaciona uma integral de superfície da rotação de um campo vetorial
sobre uma superfície a uma integral de linha do campo vetorial em torno
do limite dessa superfície.

\subsubsection{Declaração do Teorema de
Stokes}\label{declarauxe7uxe3o-do-teorema-de-stokes}

Seja \(S\) uma superfície lisa e orientada com curva limite \(C\)
(orientada positivamente). Se \(\mathbf{F}(x,y,z)\) é um campo vetorial
com derivadas parciais contínuas, então

\[
\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Lado esquerdo: fluxo da curvatura de \(\mathbf{F}\) através da
  superfície.
\item
  Lado direito: circulação de \(\mathbf{F}\) ao longo da curva limite.
\end{itemize}

\subsubsection{Interpretação}\label{interpretauxe7uxe3o-3}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  A integral de linha em torno do limite é igual à ``rotação'' total
  dentro da superfície.
\item
  Estende o Teorema de Green (um caso especial quando a superfície está
  no plano).
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplo 1: Teorema de Green como um caso
especial}\label{exemplo-1-teorema-de-green-como-um-caso-especial}

Se \(S\) é uma região plana no plano \(xy\), o Teorema de Stokes se
reduz ao Teorema de Green.

\subsubsection{Exemplo 2: Circulação em um
Hemisfério}\label{exemplo-2-circulauxe7uxe3o-em-um-hemisfuxe9rio}

Sejam \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, 0 \rangle\) e \(S\) o
hemisfério superior do raio 1.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Limite \(C\): círculo unitário no plano \(xy\).
\item
  Pelo Teorema de Stokes:
\end{itemize}

\[
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Curvatura: \(\nabla \times \mathbf{F} = \langle 0,0,2 \rangle\).
\item
  Normal ao hemisfério aponta para fora:
  \(\mathbf{n} = \langle 0,0,1 \rangle\).
\item
  Então integrando = 2.
\item
  Área do hemisfério = \(2\pi (1^2)\).
\end{itemize}

\[
\iint_S 2\, dS = 2 \cdot 2\pi = 4\pi.
\]

Assim, a circulação em torno do equador é \(4\pi\).

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-21}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Fornece uma conexão profunda entre integrais de superfície e integrais
  de linha.
\item
  Simplifica os cálculos, permitindo a escolha de superfícies
  convenientes.
\item
  Amplamente utilizado em eletromagnetismo (Lei de Faraday) e dinâmica
  de fluidos.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-39}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Verifique o Teorema de Stokes para
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, -x, 0 \rangle\) no disco unitário no
  plano \(xy\).
\item
  Calcule \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) onde
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle z, 0, x \rangle\) e \(C\) é o limite do
  triângulo com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).
\item
  Mostre que se \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), então a circulação em
  torno de qualquer curva fechada é zero.4. Aplique o Teorema de Stokes
  para calcular a circulação de
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle -y, x, z \rangle\) em torno do limite do
  quadrado unitário no plano \(z=0\).
\item
  Explique como o Teorema de Stokes generaliza o Teorema de Green.
\end{enumerate}

\subsection{10.6 Teorema da
Divergência}\label{teorema-da-diverguxeancia}

O Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss) relaciona
o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada à
integral tripla da divergência do campo dentro da superfície.

\subsubsection{Declaração do Teorema da
Divergência}\label{declarauxe7uxe3o-do-teorema-da-diverguxeancia}

Seja \(E\) uma região sólida em \(\mathbb{R}^3\) com superfície limite
\(S\) (orientada para fora). Se \(\mathbf{F}(x,y,z)\) é um campo
vetorial com derivadas parciais contínuas em \(E\), então

\[
\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Lado esquerdo: fluxo de \(\mathbf{F}\) através da superfície fechada
  \(S\).
\item
  Lado direito: integral tripla da divergência dentro da região.
\end{itemize}

\subsubsection{Divergência}\label{diverguxeancia}

A divergência de um campo vetorial
\(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle P, Q, R \rangle\) é

\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.
\]

Mede a ``saída líquida'' por unidade de volume em cada ponto.

\subsubsection{Exemplo 1: Fluxo de um campo
radial}\label{exemplo-1-fluxo-de-um-campo-radial}

Seja \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x, y, z \rangle\) e \(E\) a bola
unitária \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Divergência: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1+1+1 = 3\).
\item
  Volume da bola unitária: \(\tfrac{4}{3}\pi\). Então
\end{itemize}

\[
\iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV = 3 \cdot \tfrac{4}{3}\pi = 4\pi.
\]

Assim, o fluxo através da esfera unitária é \(4\pi\).

\subsubsection{Exemplo 2: Campo
Constante}\label{exemplo-2-campo-constante}

Deixe \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle 1, 0, 0 \rangle\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Divergência: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\).
\item
  Portanto, o fluxo através de qualquer superfície fechada é zero,
  consistente com a intuição (sem vazão líquida).
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-22}

\begin{itemize}
\item
  Converte integrais de superfície em integrais de volume mais simples.
\item
  Usado em física: Lei de Gauss em eletromagnetismo, fluxo de fluidos e
  transferência de calor.
\item
  Completa a estrutura unificadora:

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Teorema de Green (curvatura 2D ↔ circulação)
  \item
    Teorema de Stokes (curvatura 3D ↔ circulação nas superfícies)
  \item
    Teorema da Divergência (divergência 3D ↔ fluxo em superfícies
    fechadas)
  \end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-40}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x,y,z \rangle\) através da superfície de
  uma esfera de raio \(R\).
\item
  Verifique o Teorema da Divergência para
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle y, z, x \rangle\) no cubo unitário
  \([0,1]^3\).
\item
  Mostre que se \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\), então o fluxo total
  através de qualquer superfície fechada é zero.
\item
  Calcule o fluxo de
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = \langle x^2, y^2, z^2 \rangle\) através da
  esfera unitária.5. Explique como o Teorema da Divergência generaliza o
  Teorema Fundamental do Cálculo unidimensional.
\end{enumerate}

\section{Parte IV. Processos
Infinitos}\label{parte-iv.-processos-infinitos}

\section{Capítulo 11. Sequências e
convergência}\label{capuxedtulo-11.-sequuxeancias-e-converguxeancia}

\subsection{11.1 Definições e
Exemplos}\label{definiuxe7uxf5es-e-exemplos}

Uma sequência é uma lista ordenada de números, geralmente escrita como

\[
a_1, a_2, a_3, \dots
\]

ou mais geralmente \((a_n)_{n=1}^\infty\). Cada \(a_n\) é chamado de
enésimo termo da sequência.

\subsubsection{Definindo uma
sequência}\label{definindo-uma-sequuxeancia}

Uma sequência pode ser definida de duas maneiras:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Fórmula explícita -- fornece uma regra direta para o enésimo termo.

  \begin{itemize}
  \item
    Exemplo: \(a_n = \frac{1}{n}\) define a sequência

    \[
    1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots
    \]
  \end{itemize}
\item
  Definição recursiva -- define termos usando termos anteriores.

  \begin{itemize}
  \item
    Exemplo: sequência de Fibonacci:

    \[
    a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3).
    \]
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Exemplos de sequências}\label{exemplos-de-sequuxeancias}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Sequência aritmética:

  \[
  a_n = a_1 + (n-1)d.
  \]

  Exemplo: \(a_n = 2n+1\) → sequência de números ímpares.
\item
  Sequência geométrica:

  \[
  a_n = a_1 r^{n-1}.
  \]

  Exemplo: \(a_n = 2^n\) → potências de 2.
\item
  Sequência harmônica:

  \[
  a_n = \frac{1}{n}.
  \]
\item
  Sequência alternada:

  \[
  a_n = (-1)^n.
  \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Sequências em Cálculo}\label{sequuxeancias-em-cuxe1lculo}

As sequências são a base para processos infinitos:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Limites de sequências → definir convergência.
\item
  Série → somas infinitas construídas a partir de sequências.
\item
  Funções aproximadas por sequências e séries.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-23}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  As sequências fornecem os blocos de construção para séries e
  aproximações infinitas.
\item
  Permitem-nos definir com rigor ``aproximação ao infinito'' e
  convergência.
\item
  Muitas funções importantes (exponenciais, trigonométricas) podem ser
  expressas através de sequências e séries.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-41}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Escreva os primeiros cinco termos da sequência
  \(a_n = \frac{n}{n+1}\).
\item
  Determine se \(a_n = (-1)^n n\) é limitado.
\item
  Forneça uma definição recursiva para a sequência \(2,4,8,16,\dots\).
\item
  Encontre o 10º termo da sequência aritmética com \(a_1=3\) e \(d=5\).
\item
  Escreva uma fórmula explícita para a sequência definida por \(a_1=1\),
  \(a_{n+1}=2a_n\).
\end{enumerate}

\subsection{11.2 Sequências monótonas e
limitadas}\label{sequuxeancias-monuxf3tonas-e-limitadas}

Para entender se uma sequência converge, precisamos estudar seu
comportamento: ela aumenta, diminui, permanece dentro dos limites ou
cresce sem limites? Dois conceitos importantes são monotonicidade e
limitação.

\subsubsection{Sequências monótonas}\label{sequuxeancias-monuxf3tonas}

Uma sequência \((a_n)\) é chamada monótona se estiver sempre aumentando
ou sempre diminuindo.

\begin{itemize}
\item
  Aumento monótono:

  \[
  a_{n+1} \geq a_n \quad \text{for all } n.
  \]
\item
  Diminuição monótona:

  \[
  a_{n+1} \leq a_n \quad \text{for all } n.
  \]
\end{itemize}

Exemplos:1. \(a_n = n\) é monótono aumentando. 2. \(a_n = \frac{1}{n}\)
é monótono decrescente.

\subsubsection{Sequências limitadas}\label{sequuxeancias-limitadas}

Uma sequência é limitada acima se existir um número \(M\) tal que
\(a_n \leq M\) para todos os \(n\). É limitado abaixo se existir \(m\)
tal que \(a_n \geq m\) para todos os \(n\).

Se ambas as condições forem válidas, a sequência é limitada.

Exemplos:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(a_n = \frac{1}{n}\) é limitado entre 0 e 1.
\item
  \(a_n = (-1)^n\) é limitado entre -1 e 1.
\item
  \(a_n = n\) não é limitado.
\end{enumerate}

\subsubsection{Teorema da Convergência
Monótona}\label{teorema-da-converguxeancia-monuxf3tona}

Um resultado fundamental na análise:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Toda sequência crescente monótona limitada acima converge.
\item
  Toda sequência decrescente monótona limitada abaixo converge.
\end{itemize}

Este teorema garante a convergência sem encontrar o limite
explicitamente.

\subsubsection{Exemplo}\label{exemplo-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Sequência: \(a_n = 1 - \frac{1}{n}\).

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Aumentando: desde
    \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} > 0\).
  \item
    Limitada acima por 1.
  \item
    Portanto, converge.
  \item
    Limite: \(\lim_{n\to\infty} a_n = 1\).
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-24}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Monotonicidade e limitação fornecem testes rápidos de convergência.
\item
  São essenciais nas provas e na construção rigorosa de limites.
\item
  Estas ideias estendem-se naturalmente a funções e séries.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-42}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Determine se \(a_n = \frac{n}{n+1}\) é monótono e limitado.
\item
  Mostre que \(a_n = \sqrt{n}\) é monótono crescente, mas não limitado.
\item
  Prove que \(a_n = 2 - \frac{1}{n}\) converge e encontre seu limite.
\item
  Dê um exemplo de sequência limitada que não seja monótona.
\item
  Aplique o teorema da convergência monótona a
  \(a_n = \ln\!\big(1+\frac{1}{n}\big)\).
\end{enumerate}

\subsection{11.3 Limites de sequências}\label{limites-de-sequuxeancias}

A questão central sobre uma sequência é se seus termos se aproximam de
um único valor à medida que \(n\) cresce. Isso leva ao conceito de
limite de uma sequência.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-11}

Uma sequência \((a_n)\) tem um limite \(L\) se, para cada
\(\varepsilon > 0\), existe um número inteiro \(N\) tal que

\[
|a_n - L| < \varepsilon \quad \text{whenever } n > N.
\]

Escrevemos então

\[
\lim_{n\to\infty} a_n = L.
\]

Se tal \(L\) não existir, a sequência diverge.

\subsubsection{Intuição}\label{intuiuxe7uxe3o}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de \(L\) à
  medida que \(n\) se torna grande.
\item
  Além de algum índice \(N\), todos os termos permanecem dentro de uma
  pequena faixa em torno de \(L\).
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-23}

1.\(a_n = \frac{1}{n}\). À medida que \(n\) cresce, os termos diminuem
para 0.

\[
   \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0.
   \]

2.\(a_n = (-1)^n\). Os termos alternam entre -1 e 1, portanto não existe
um limite único. A sequência diverge.

3.\(a_n = \frac{n}{n+1}\). Como \(n \to \infty\), numerador e
denominador são quase iguais, então

\[
   \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1.
   \]

\subsubsection{\texorpdfstring{Propriedades dos LimitesSe
\(\lim a_n = A\) e
\(\lim b_n = B\):}{Propriedades dos LimitesSe \textbackslash lim a\_n = A e \textbackslash lim b\_n = B:}}\label{propriedades-dos-limitesse-lim-a_n-a-e-lim-b_n-b}

-\(\lim (a_n+b_n) = A+B\). -\(\lim (a_n b_n) = AB\). -
\(\lim (c a_n) = cA\) para constante \(c\). - Se \(b_n \neq 0\) e
\(B \neq 0\), então

\[
  \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}.
  \]

\subsubsection{Teorema: Princípio da
Compressão}\label{teorema-princuxedpio-da-compressuxe3o}

Se \(a_n \leq b_n \leq c_n\) para todos os \(n\) grandes, e

\[
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L,
\]

então

\[
\lim_{n\to\infty} b_n = L.
\]

Exemplo:

\[
a_n = -\tfrac{1}{n}, \quad b_n = \tfrac{\sin n}{n}, \quad c_n = \tfrac{1}{n}.
\]

Como \(-\tfrac{1}{n} \leq \tfrac{\sin n}{n} \leq \tfrac{1}{n}\) e ambas
as sequências delimitadoras vão para 0,

\[
\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0.
\]

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-25}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Os limites tornam rigorosa a ideia de sequências ``aproximando-se'' de
  um valor.
\item
  A convergência de sequências sustenta séries infinitas e continuidade.
\item
  Estes conceitos são essenciais na definição de números reais através
  de limites.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-43}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{3n+4}\).
\item
  Determine se \(a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\) converge.
\item
  \(a_n = \cos n\) converge? Por que ou por que não?
\item
  Use o Princípio do Squeeze para mostrar
  \(\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0\).
\item
  Prove que se \(\lim a_n = L\), então \(\lim |a_n| = |L|\).
\end{enumerate}

\section{Capítulo 12. Série
infinita}\label{capuxedtulo-12.-suxe9rie-infinita}

\subsection{Série 12.1 e
Convergência}\label{suxe9rie-12.1-e-converguxeancia}

Uma série é a soma dos termos de uma sequência. Em vez de apenas listar
números, nós os somamos e estudamos se a soma infinita se aproxima de um
valor finito.

\subsubsection{Definição}\label{definiuxe7uxe3o-12}

Dada uma sequência \((a_n)\), a série correspondente é

\[
\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots
\]

Definimos a enésima soma parcial como

\[
S_n = \sum_{k=1}^n a_k.
\]

Se a sequência \((S_n)\) converge para um limite finito \(S\), então a
série converge e

\[
\sum_{n=1}^\infty a_n = S.
\]

Se \((S_n)\) diverge, então a série diverge.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-24}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Série geométrica
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1.
\]

Exemplo:

\[
1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots = 2.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Série harmônica
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}.
\]

Esta série diverge, embora os termos vão para 0.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  série p
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Converge se \(p > 1\).
\item
  Diverge se \(p \leq 1\).
\end{itemize}

\subsubsection{Condição Necessária para
Convergência}\label{condiuxe7uxe3o-necessuxe1ria-para-converguxeancia}

Se \(\sum a_n\) convergir, então necessariamente

\[
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
\]

Se \(\lim a_n \neq 0\), a série diverge. Mas o inverso não é verdadeiro:
\(\lim a_n = 0\) não garante convergência (por exemplo, séries
harmônicas).

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-26}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  As séries estendem a adição finita a processos infinitos.
\item
  Séries convergentes são usadas para aproximar funções, calcular áreas
  e modelar processos físicos.- O estudo das séries leva a poderosos
  testes de convergência.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-44}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Determine se \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{3^n}\) converge e encontre
  sua soma.
\item
  Mostre que \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) converge.
\item
  \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\) converge?
\item
  Escreva as primeiras quatro somas parciais da série
  \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\).
\item
  Explique por que \(\lim a_n = 0\) é necessário, mas não suficiente
  para a convergência.
\end{enumerate}

\subsection{12.2 Testes de
Convergência}\label{testes-de-converguxeancia}

Como muitas séries não podem ser somadas diretamente, os matemáticos
desenvolveram testes para decidir se uma série converge ou diverge.
Esses testes são ferramentas para analisar somas infinitas.

\subsubsection{1. O teste do enésimo período para
divergência}\label{o-teste-do-enuxe9simo-peruxedodo-para-diverguxeancia}

Se

\[
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \quad \text{or does not exist},
\]

então

\[
\sum a_n
\]

diverge.

Se \(\lim a_n = 0\), o teste é inconclusivo.

\subsubsection{2. Teste de comparação}\label{teste-de-comparauxe7uxe3o}

Suponha \(0 \leq a_n \leq b_n\) para todos os \(n\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Se \(\sum b_n\) converge, então \(\sum a_n\) também converge.
\item
  Se \(\sum a_n\) diverge, então \(\sum b_n\) também diverge.
\end{itemize}

\subsubsection{3. Teste de comparação de
limites}\label{teste-de-comparauxe7uxe3o-de-limites}

Se \(a_n, b_n > 0\) e

\[
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c,
\]

onde \(0 < c < \infty\), então \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\) convergem ou
divergem.

\subsubsection{4. Teste de proporção}\label{teste-de-proporuxe7uxe3o}

Para \(\sum a_n\), calcule

\[
L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Se \(L < 1\), a série converge absolutamente.
\item
  Se \(L > 1\) ou \(L = \infty\), a série diverge.
\item
  Se \(L = 1\), o teste é inconclusivo.
\end{itemize}

\subsubsection{5. Teste de raiz}\label{teste-de-raiz}

Para \(\sum a_n\), calcule

\[
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Se \(L < 1\), a série converge absolutamente.
\item
  Se \(L > 1\), a série diverge.
\item
  Se \(L = 1\), o teste é inconclusivo.
\end{itemize}

\subsubsection{6. Teste de Série Alternada (Teste de
Leibniz)}\label{teste-de-suxe9rie-alternada-teste-de-leibniz}

Para séries da forma

\[
\sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n,
\]

se

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(b_{n+1} \leq b_n\) (decrescente) e 2.\(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\),
\end{enumerate}

então a série converge.

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-25}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  \(\sum \frac{1}{n^2}\): Teste de comparação → converge.
\item
  \(\sum \frac{1}{n}\): Série harmônica → diverge.
\item
  \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\): Teste de série alternada → converge.
\item
  \(\sum \frac{n!}{n^n}\): Teste de proporção → converge.
\item
  \(\sum \frac{2^n}{n}\): Teste de raiz → diverge.
\end{enumerate}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-27}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Os testes de convergência permitem-nos classificar séries sem
  necessidade de somas explícitas.
\item
  Eles fornecem maneiras sistemáticas de lidar com processos infinitos
  em cálculo.
\item
  Eles são críticos para tópicos posteriores como séries de potências e
  séries de Fourier.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-45}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Teste a convergência de \(\sum \frac{1}{n^3}\).
\item
  Use o teste de proporção para \(\sum \frac{3^n}{n!}\).3. Aplique o
  teste raiz em \(\sum \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
\item
  Determine a convergência de \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).
\item
  Use o teste de comparação de limite com \(\frac{1}{n^2}\) para testar
  \(\sum \frac{1}{n^2+1}\).
\end{enumerate}

\subsection{12.3 Convergência Absoluta vs
Condicional}\label{converguxeancia-absoluta-vs-condicional}

Nem todas as séries se comportam da mesma maneira quando os sinais se
alternam. Para lidar com isso, distinguimos entre convergência absoluta
e convergência condicional.

\subsubsection{Convergência Absoluta}\label{converguxeancia-absoluta}

Uma série \(\sum a_n\) é absolutamente convergente se

\[
\sum |a_n|
\]

converge.

Teorema: Se uma série converge absolutamente, então ela também converge.

Exemplo:

\[
\sum \frac{(-1)^n}{n^2}.
\]

Aqui \(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \sum \frac{1}{n^2}\)
converge (série p, \(p=2\)). Portanto a série é absolutamente
convergente.

\subsubsection{Convergência
Condicional}\label{converguxeancia-condicional}

Uma série \(\sum a_n\) é condicionalmente convergente se convergir, mas
não absolutamente.

Exemplo:

\[
\sum \frac{(-1)^n}{n}.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Teste de séries alternadas → converge.
\item
  Mas \(\sum \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}\) diverge
  (série harmônica). Portanto a série é condicionalmente convergente.
\end{itemize}

\subsubsection{Teorema do Rearranjo}\label{teorema-do-rearranjo}

Para séries condicionalmente convergentes, reorganizar os termos pode
alterar a soma -- até mesmo fazê-la divergir ou convergir para um valor
diferente.

Este resultado surpreendente mostra a natureza delicada da convergência
condicional.

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-28}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  A convergência absoluta é mais forte e garante estabilidade.
\item
  A convergência condicional destaca a importância da ordem em somas
  infinitas.
\item
  Muitas séries alternadas encontradas na prática são apenas
  condicionalmente convergentes.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-46}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Mostre que \(\sum \frac{(-1)^n}{n^3}\) converge absolutamente.
\item
  Mostre que \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\) é condicionalmente convergente.
\item
  Teste \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) para convergência absoluta e
  condicional.
\item
  Explique por que a convergência absoluta implica convergência, mas o
  inverso não é verdadeiro.
\item
  Pesquise e resuma o teorema do rearranjo de Riemann com suas próprias
  palavras.
\end{enumerate}

\section{Capítulo 13. Séries de Potência e
Expansões}\label{capuxedtulo-13.-suxe9ries-de-potuxeancia-e-expansuxf5es}

\subsection{13.1 Série de Potência}\label{suxe9rie-de-potuxeancia}

Uma série de potências é uma série infinita em que cada termo envolve
uma potência da variável. As séries de potências são centrais no cálculo
porque nos permitem representar funções como polinômios infinitos.

\subsubsection{Formulário Geral}\label{formuluxe1rio-geral}

Uma série de potências centrada em \(a\) tem a forma

\[
\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n,
\]

onde \(c_n\) são constantes chamadas coeficientes.

\begin{itemize}
\item
  Se \(a=0\), a série é centrada na origem:

  \[
  \sum_{n=0}^\infty c_n x^n.
  \]
\end{itemize}

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-26}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Série geométrica
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Função exponencial
\end{enumerate}

\[e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Sine and cosine
\end{enumerate}

\[
\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad  
\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}.
\]

\subsubsection{Interval of Convergence}\label{interval-of-convergence}

For each power series, there exists a radius of convergence \(R\) such
that:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  The series converges if \(|x-a| < R\).
\item
  The series diverges if \(|x-a| > R\).
\item
  At \(|x-a| = R\), convergence must be checked separately.
\end{itemize}

\subsubsection{Why This Matters}\label{why-this-matters-3}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Power series allow us to approximate functions by polynomials.
\item
  They connect calculus with analysis and differential equations.
\item
  Many special functions in mathematics and physics are defined by their
  power series.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercises}\label{exercises-6}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Write the power series for \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^n}{n!}\).
\item
  Find the first four terms of the power series for \(e^x\).
\item
  Express \(\frac{1}{1+x}\) as a power series centered at 0.
\item
  Determine whether the series \(\sum_{n=0}^\infty n! x^n\) converges at
  \(x=0.1\).
\item
  Explain why power series are sometimes called ``infinite
  polynomials.''
\end{enumerate}

\subsection{13.2 Radius of Convergence}\label{radius-of-convergence}

Every power series converges for some values of \(x\) and diverges for
others. The boundary between these two behaviors is described by the
radius of convergence.

\subsubsection{Definition}\label{definition}

For a power series

\[
\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n,
\]

there exists a number \(R \geq 0\) (possibly infinite) such that:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  The series converges absolutely if \(|x-a| < R\).
\item
  The series diverges if \(|x-a| > R\).
\item
  At \(|x-a| = R\), convergence must be checked separately.
\end{itemize}

This number \(R\) is called the radius of convergence.

\subsubsection{Finding the Radius of
Convergence}\label{finding-the-radius-of-convergence}

Two common methods:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Ratio Test
\end{enumerate}

\[
R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \direita|.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Root Test
\end{enumerate}

\[
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}.
\]

\subsubsection{Examples}\label{examples-4}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Series:
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.
\]

Using ratio test:

\[
\lim_{n\to\infty} \frac{1/(n!)}{1/((n+1)!)} = \infty.
\]

So \(R = \infty\) (converges for all real \(x\)).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Series:
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=0}^\infty x^n.
\]

Here \(c_n = 1\).

\[
R = 1.
\]

Converges for \(|x| < 1\).

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Series:
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}.
\]

Ratio test:

\[
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x^{n+1}/(n+1))}{(x^n/n)}\right| = |x|.
\]

Então \(R = 1\). Converge para \(|x| < 1\), diverge para \(|x| > 1\). Em
\(x=\pm 1\), teste separadamente.

\subsubsection{Intervalo de
Convergência}\label{intervalo-de-converguxeancia}

O conjunto de valores \(x\) para onde a série converge é chamado de
intervalo de convergência.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Sempre centralizado em \(a\).
\item
  Estende unidades \(R\) em ambas as direções.
\item
  Endpoints \(x=a\pm R\) devem ser verificados individualmente.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é importante- O raio de convergência nos diz
onde as séries de potências se comportam como
funções.}\label{por-que-isso-uxe9-importante--o-raio-de-converguxeancia-nos-diz-onde-as-suxe9ries-de-potuxeancias-se-comportam-como-funuxe7uxf5es.}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Essencial para usar na prática expansões em série de Taylor.
\item
  Determina o domínio de validade de soluções em série em física e
  engenharia.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-47}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre o raio de convergência de
  \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{n!}\).
\item
  Calcule o raio de convergência de
  \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}\).
\item
  Use o teste de proporção para encontrar \(R\) para
  \(\sum_{n=0}^\infty n!x^n\).
\item
  Determine o intervalo de convergência para
  \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x+1)^n}{n}\).
\item
  Explique por que a série exponencial converge para todos os \(x\),
  enquanto a série geométrica converge apenas para \(|x|<1\).
\end{enumerate}

\subsection{13.3 Série Taylor e
Maclaurin}\label{suxe9rie-taylor-e-maclaurin}

As séries de potências tornam-se especialmente poderosas quando são
usadas para representar funções familiares. Isso é feito através da
série de Taylor, e o caso especial centrado em 0 é chamado de série de
Maclaurin.

\subsubsection{Série Taylor}\label{suxe9rie-taylor}

Se uma função \(f(x)\) é infinitamente diferenciável em \(x=a\), sua
série de Taylor sobre \(a\) é

\[
f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.
\]

Aqui \(f^{(n)}(a)\) denota a \(n\)-ésima derivada de \(f\) em \(a\).

\subsubsection{Série Maclaurin}\label{suxe9rie-maclaurin}

Uma série de Taylor centrada em \(a=0\):

\[
f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.
\]

\subsubsection{Exemplos}\label{exemplos-27}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Função exponencial
\end{enumerate}

\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Seno e cosseno
\end{enumerate}

\[
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
\]

\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Logaritmo natural (para \(|x|<1\))
\end{enumerate}

\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots
\]

\subsubsection{Aproximação Polinomial de
Taylor}\label{aproximauxe7uxe3o-polinomial-de-taylor}

A soma finita dos primeiros termos \(n\) é o polinômio de Taylor de grau
\(n\):

\[
P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
\]

Este polinômio se aproxima de \(f(x)\) perto de \(x=a\).

\subsubsection{Restante (Termo de Erro)}\label{restante-termo-de-erro}

A diferença entre a função e seu polinômio de Taylor é o resto:

\[
R_n(x) = f(x) - P_n(x).
\]

Uma forma (forma de Lagrange) é

\[
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},
\]

para alguns \(c\) entre \(a\) e \(x\).

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-29}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  As séries de Taylor fornecem aproximações polinomiais para funções
  complicadas.
\item
  Eles são essenciais em análise numérica, física e engenharia.
\item
  As expansões da série Maclaurin fornecem fórmulas simples para funções
  exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-48}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Encontre a série Maclaurin para
  \(f(x)=\cosh x = \tfrac{e^x+e^{-x}}{2}\).
\item
  Escreva a série de Taylor para \(f(x)=e^x\) centralizada em \(a=2\).
\item
  Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 para \(f(x)=\ln(1+x)\) em
  \(a=0\).4. Use a série Maclaurin para \(\sin x\) para aproximar
  \(\sin(0.1)\).
\item
  Explique por que as séries de Taylor geralmente fornecem boas
  aproximações locais, mas podem divergir para \(|x|\) grandes.
\end{enumerate}

\subsection{13.4 Aplicações da Série
Taylor}\label{aplicauxe7uxf5es-da-suxe9rie-taylor}

As séries de Taylor não são apenas ferramentas teóricas - elas são
usadas para aproximar funções, resolver equações e analisar sistemas
físicos. Suas aplicações abrangem matemática, ciências e engenharia.

\subsubsection{Aproximação de
Função}\label{aproximauxe7uxe3o-de-funuxe7uxe3o}

Funções complicadas podem ser aproximadas por polinômios próximos a um
ponto.

Exemplo: Aproxime \(e^x\) próximo de \(x=0\) usando o polinômio
Maclaurin de grau 3:

\[
P_3(x) = 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}.
\]

Para \(x\) pequenos, isso fornece estimativas precisas de \(e^x\).

\subsubsection{Métodos Numéricos}\label{muxe9todos-numuxe9ricos}

As séries de Taylor fornecem a base para algoritmos numéricos:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Aproximação de raízes quadradas, logaritmos e valores trigonométricos.
\item
  Estimativa de erro através do termo restante.
\item
  Usado em métodos iterativos como o método de Newton (onde a
  linearização local vem da série de Taylor).
\end{itemize}

\subsubsection{Resolvendo Equações
Diferenciais}\label{resolvendo-equauxe7uxf5es-diferenciais}

Muitas equações diferenciais têm soluções expressas como séries de
Taylor (ou potências).

Exemplo: A solução para \(y'' + y = 0\) com \(y(0)=0, y'(0)=1\) é
\(\sin x\), que surge naturalmente de sua série Maclaurin.

\subsubsection{Física e Engenharia}\label{fuxedsica-e-engenharia}

\begin{itemize}
\item
  Aproximação de pequeno ângulo:

  \[
  \sin x \approx x, \quad \cos x \approx 1 - \tfrac{x^2}{2}, \quad |x| \ll 1.
  \]

  Usado em movimento pendular, óptica e mecânica ondulatória.
\item
  Relatividade e mecânica quântica: As expansões de Taylor simplificam
  expressões não lineares para uso prático.
\item
  Aproximação de funções de energia: Na mecânica, as funções de energia
  potencial são expandidas perto dos pontos de equilíbrio.
\end{itemize}

\subsubsection{Probabilidade e
Estatística}\label{probabilidade-e-estatuxedstica}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Funções geradoras de momentos e funções características utilizam
  séries de potências.
\item
  Aproximações de distribuições de probabilidade (por exemplo,
  aproximação normal para binomial) usam expansões de Taylor.
\end{itemize}

\subsubsection{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-30}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  As séries de Taylor fornecem uma ponte entre fórmulas exatas e
  computação prática.
\item
  Permitem-nos reduzir problemas complexos a aproximações polinomiais
  manejáveis.
\item
  As aplicações fazem delas uma das ferramentas mais importantes da
  matemática aplicada.
\end{itemize}

\subsubsection{Exercícios}\label{exercuxedcios-49}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Use a série Maclaurin para \(e^x\) para aproximar \(e^{0.1}\) até
  quatro casas decimais.
\item
  Aplique a aproximação de pequeno ângulo para estimar
  \(\sin(5^\circ)\).
\item
  Resolva a equação diferencial \(y'' = -y\) usando uma abordagem de
  série de potências.
\item
  Expanda \(\ln(1+x)\) até o 4º grau e use-o para aproximar
  \(\ln(1.1)\).
\item
  Explique por que as aproximações polinomiais são especialmente úteis
  para computadores e calculadoras.\# Apêndices
\end{enumerate}

\subsection{Apêndice A. Fundamentos de
pré-cálculo}\label{apuxeandice-a.-fundamentos-de-pruxe9-cuxe1lculo}

\subsubsection{A.1 Atualização de
Álgebra}\label{a.1-atualizauxe7uxe3o-de-uxe1lgebra}

Antes de mergulhar no cálculo, é útil revisar algumas habilidades de
álgebra que aparecerão continuamente. Estas são as ``ferramentas'' que
você precisa para manipular expressões, resolver equações e simplificar
resultados.

\paragraph{Expoentes e Poderes}\label{expoentes-e-poderes}

\begin{itemize}
\item
  Regras básicas:

  \[
  a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}.
  \]
\item
  Expoentes negativos:

  \[
  a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0.
  \]
\item
  Expoentes fracionários:

  \[
  a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}.
  \]
\end{itemize}

\paragraph{Fatoração}\label{fatorauxe7uxe3o}

A fatoração simplifica expressões e ajuda na resolução de equações.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Fator comum:

  \[
  6x^2+9x = 3x(2x+3).
  \]
\item
  Diferença de quadrados:

  \[
  a^2-b^2 = (a-b)(a+b).
  \]
\item
  Trinômios quadráticos:

  \[
  x^2+5x+6 = (x+2)(x+3).
  \]
\end{enumerate}

\paragraph{Polinômios}\label{polinuxf4mios}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Formulário padrão: \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\).
\item
  Grau: a maior potência de \(x\).
\item
  A divisão longa e a divisão sintética são úteis para simplificar
  funções racionais.
\end{itemize}

\paragraph{Expressões Racionais}\label{expressuxf5es-racionais}

Simplifique fatorando o numerador e o denominador:

\[
\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}, \quad x \neq 1.
\]

\paragraph{Logaritmos}\label{logaritmos}

\begin{itemize}
\item
  Definição: \(\log_a b = c\) significa \(a^c = b\).
\item
  Bases comuns: log natural (\(\ln x = \log_e x\)) e base 10
  (\(\log x\)).
\item
  Regras:

  \[
  \log(ab) = \log a + \log b, \quad \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b, \quad \log(a^n) = n\log a.
  \]
\end{itemize}

\paragraph{Equações}\label{equauxe7uxf5es}

\begin{itemize}
\item
  Linear: resolva \(ax+b=0\) → \(x=-b/a\).
\item
  Quadrático: \(ax^2+bx+c=0\) tem soluções

  \[
  x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
  \]
\item
  Exponencial: \(e^x = k\) → \(x = \ln k\).
\end{itemize}

\subsubsection{A.2 Noções básicas de
trigonometria}\label{a.2-nouxe7uxf5es-buxe1sicas-de-trigonometria}

A trigonometria fornece a linguagem dos ângulos e dos fenômenos
periódicos. Como o cálculo geralmente lida com oscilações, movimentos e
ondas, é essencial um conhecimento sólido das funções trigonométricas e
de suas propriedades.

\paragraph{O Círculo Unitário}\label{o-cuxedrculo-unituxe1rio}

\begin{itemize}
\item
  Definido como o círculo de raio 1 centrado na origem do plano
  coordenado.
\item
  Para um ângulo \(\theta\) medido a partir do eixo \(x\) positivo:

  \[
  (\cos \theta, \sin \theta)
  \]

  fornece as coordenadas do ponto no círculo.
\end{itemize}

Valores especiais:

\begin{longtable}[]{@{}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.3333}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.1667}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.1667}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.3333}}@{}}
\toprule\noalign{}
\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
\(\theta\)
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
\(\sin \theta\)
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
\(\cos \theta\)
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\end{minipage} \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
\(0\) & 0 & 1 & 0 \\
\(\pi/6\) & 1/2 & \(\sqrt{3}/2\) & \(1/\sqrt{3}\) \\
\(\pi/3\) & \(\sqrt{3}/2\) & 1/2 & \(\sqrt{3}\) \\
\(\pi/2\) & 1 & 0 & indefinido \\
\end{longtable}

\paragraph{Identidades Fundamentais}\label{identidades-fundamentais}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Identidade pitagórica
\end{enumerate}

\[
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Identidades de quocientes
\end{enumerate}

\[
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}.
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Identidades recíprocas
\end{enumerate}

\[
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}.
\]

\paragraph{Fórmulas de adição de
ângulos}\label{fuxf3rmulas-de-adiuxe7uxe3o-de-uxe2ngulos}

\[
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta,
\]

\[
\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.
\]

Casos especiais:

\begin{itemize}
\item
  Ângulo duplo:

  \[
  \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta, \quad
  \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta.
  \]
\end{itemize}

\paragraph{Gráficos}\label{gruxe1ficos}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\sin x\): onda começando em 0, amplitude 1, período \(2\pi\).
\item
  \(\cos x\): onda começando em 1, amplitude 1, período \(2\pi\).
\item
  \(\tan x\): repete cada \(\pi\), indefinido em múltiplos ímpares de
  \(\pi/2\).
\end{itemize}

\subsubsection{A.3 Geometria de
Coordenadas}\label{a.3-geometria-de-coordenadas}

A geometria coordenada vincula álgebra e geometria descrevendo objetos
geométricos (linhas, círculos, curvas) usando equações. O cálculo
depende muito dessa estrutura para representar graficamente funções,
encontrar inclinações e analisar curvas.

\paragraph{O Plano Cartesiano}\label{o-plano-cartesiano}

\begin{itemize}
\item
  Um ponto é representado pelas coordenadas \((x,y)\).
\item
  Distância entre dois pontos \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\):

  \[
  d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.
  \]
\item
  Ponto médio de um segmento de reta:

  \[
  M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right).
  \]
\end{itemize}

\paragraph{Linhas}\label{linhas}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Fórmula de inclinação

  \[
  m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
  \]
\item
  Equação de uma reta

  \begin{itemize}
  \item
    Forma ponto-inclinação:

    \[
    y-y_1 = m(x-x_1).
    \]
  \item
    Formulário de interceptação de inclinação:

    \[
    y = mx+b.
    \]
  \end{itemize}
\item
  Linhas paralelas e perpendiculares

  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    Retas paralelas: mesma inclinação.
  \item
    Linhas perpendiculares: inclinações satisfazem \(m_1m_2 = -1\).
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\paragraph{Círculos}\label{cuxedrculos}

Equação de um círculo com centro \((h,k)\) e raio \(r\):

\[
(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2.
\]

Caso especial: círculo unitário centrado na origem:

\[
x^2+y^2=1.
\]

\paragraph{Seções Cônicas}\label{seuxe7uxf5es-cuxf4nicas}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Parábola:

  \begin{itemize}
  \item
    Formulário padrão (abertura para cima/para baixo):

    \[
    y = ax^2+bx+c.
    \]
  \end{itemize}
\item
  Elipse (centrada na origem):

  \[
  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
  \]
\item
  Hipérbole (centrada na origem):

  \[
  \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
  \]
\end{enumerate}

\subsection{Apêndice B. Principais fórmulas e
tabelas}\label{apuxeandice-b.-principais-fuxf3rmulas-e-tabelas}

\subsubsection{B.1 Tabela DerivadaAs derivadas medem taxas de variação e
inclinações de funções. Ter uma tabela de referência rápida ajuda os
alunos a evitar a re-derivação de fórmulas todas as
vezes.}\label{b.1-tabela-derivadaas-derivadas-medem-taxas-de-variauxe7uxe3o-e-inclinauxe7uxf5es-de-funuxe7uxf5es.-ter-uma-tabela-de-referuxeancia-ruxe1pida-ajuda-os-alunos-a-evitar-a-re-derivauxe7uxe3o-de-fuxf3rmulas-todas-as-vezes.}

\paragraph{Regras Básicas}\label{regras-buxe1sicas-1}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Regra constante
\end{enumerate}

\[
\frac{d}{dx}[c] = 0
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Regra do poder
\end{enumerate}

\[
\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}, \quad (n \in \mathbb{R})
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Regra múltipla constante
\end{enumerate}

\[
\frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x)
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Regra de soma e diferença
\end{enumerate}

\[
\frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)] = f'(x)\pm g'(x)
\]

\paragraph{Funções
trigonométricas}\label{funuxe7uxf5es-trigonomuxe9tricas}

\[
\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x
\]

\[
\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x
\]

\[
\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x, \quad x \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi
\]

\[
\frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x
\]

\[
\frac{d}{dx}[\sec x] = \sec x \tan x
\]

\[
\frac{d}{dx}[\csc x] = -\csc x \cot x
\]

\paragraph{Funções Exponenciais e
Logarítmicas}\label{funuxe7uxf5es-exponenciais-e-logaruxedtmicas}

\[
\frac{d}{dx}[e^x] = e^x
\]

\[
\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a, \quad a>0, a\neq 1
\]

\[
\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}, \quad x>0
\]

\[
\frac{d}{dx}[\log_a x] = \frac{1}{x\ln a}, \quad a>0, a\neq 1
\]

\paragraph{Funções trigonométricas
inversas}\label{funuxe7uxf5es-trigonomuxe9tricas-inversas}

\[
\frac{d}{dx}[\arcsin x] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1
\]

\[
\frac{d}{dx}[\arccos x] = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1
\]

\[
\frac{d}{dx}[\arctan x] = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \in \mathbb{R}
\]

\paragraph{Produto, Quociente e Regras da
Cadeia}\label{produto-quociente-e-regras-da-cadeia}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Regra do Produto
\end{enumerate}

\[
\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Regra do Quociente
\end{enumerate}

\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}, \quad g(x)\neq 0
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Regra da Cadeia
\end{enumerate}

\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))\cdot g'(x)
\]

\subsubsection{B.3 Expansões de séries
comuns}\label{b.3-expansuxf5es-de-suxe9ries-comuns}

As séries de potências permitem-nos expressar funções como polinômios
infinitos. Essas expansões são essenciais para aproximações, resolução
de equações diferenciais e construção de intuição sobre funções em
cálculo.

\paragraph{Série Geométrica}\label{suxe9rie-geomuxe9trica}

\[
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1
\]

\paragraph{Função Exponencial}\label{funuxe7uxe3o-exponencial}

\[
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\]

Válido para todos os \(x\).

\paragraph{Funções
trigonométricas}\label{funuxe7uxf5es-trigonomuxe9tricas-1}

\[
\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
\]

\[
\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
\]

\[
\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\leq 1
\]

\paragraph{Logaritmo}\label{logaritmo}

\[
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1
\]

\paragraph{Expansão Binomial
(Generalizada)}\label{expansuxe3o-binomial-generalizada}

\[
(1+x)^r = \sum_{n=0}^\infty \binom{r}{n} x^n, \quad |x|<1
\]

onde

\[\binom{r}{n} = \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)}{n!}.
\]

\subsection{Appendix C. Proof
Sketches}\label{appendix-c.-proof-sketches}

\subsubsection{\texorpdfstring{C.1 Limit Laws and the
\(\varepsilon\)--\(\delta\)
Definition}{C.1 Limit Laws and the \textbackslash varepsilon--\textbackslash delta Definition}}\label{c.1-limit-laws-and-the-varepsilondelta-definition}

Calculus rests on the precise meaning of a limit. While intuition
(``values get closer and closer'') is helpful, a formal definition
ensures rigor and avoids paradoxes.

\paragraph{Intuitive Idea}\label{intuitive-idea}

We write

\[
\lim_{x \to a} f(x) = L
\]

to mean that as \(x\) gets arbitrarily close to \(a\), the values of
\(f(x)\) get arbitrarily close to \(L\).

\paragraph{\texorpdfstring{Formal (\(\varepsilon\)--\(\delta\))
Definition}{Formal (\textbackslash varepsilon--\textbackslash delta) Definition}}\label{formal-varepsilondelta-definition}

We say that

\[
\lim_{x \to a} f(x) = L
\]

if for every \(\varepsilon > 0\), there exists a \(\delta > 0\) such
that whenever

\[
0 < |x-a| <\delta,
\]

we have

\[
|f(x) - L| < \varepsilon.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\varepsilon\): how close we want \(f(x)\) to be to \(L\).
\item
  \(\delta\): how close \(x\) must be to \(a\) to achieve that.
\end{itemize}

\paragraph{Example}\label{example}

Show that

\[
\lim_{x \to 2} (3x+1) = 7.
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Let \(\varepsilon > 0\).
\item
  We want \(|(3x+1)-7| < \varepsilon\).
\item
  Simplify: \(|3x-6| = 3|x-2| < \varepsilon\).
\item
  This holds if we choose \(\delta = \varepsilon/3\).
\end{itemize}

Thus, by the definition, the limit is 7.

\paragraph{Limit Laws}\label{limit-laws}

If \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) and \(\lim_{x \to a} g(x) = M\), then:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Sum/Difference
\end{enumerate}

\[
\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Constant Multiple
\end{enumerate}

\[
\lim_{x \to a} [cf(x)] = cL
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  Product
\end{enumerate}

\[
\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
  Quotient (if \(M \neq 0\))
\end{enumerate}

\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}
\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\tightlist
\item
  Powers and Roots
\end{enumerate}

\[
\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n, \quad \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \ (\text{se definido}).
\]

\subsubsection{C.2 Proof Sketch: The Fundamental Theorem of
Calculus}\label{c.2-proof-sketch-the-fundamental-theorem-of-calculus}

The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) links the two central
operations of calculus: differentiation and integration. It shows that
they are, in fact, inverse processes.

\paragraph{Statement of the Theorem}\label{statement-of-the-theorem}

Part I (Differentiation of an Integral): If \(f\) is continuous on
\([a,b]\) and we define

\[
F(x) = \int_a^x f(t)\,dt,
\]

then \(F\) is differentiable on \((a,b)\) and

\[
F'(x) = f(x).
\]

Part II (Evaluation of a Definite Integral): If \(F\) is any
antiderivative of \(f\) on \([a,b]\), then

\[
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
\]

\paragraph{Proof Sketch of Part I}\label{proof-sketch-of-part-i}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Start with the definition of the derivative:

  \[
  F'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}.
  \]
\item
  Substituting \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\):

  \[
  F(x+h)-F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt.
  \]
\item
  By the additivity of integrals:

  \[
  F(x+h)-F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt.
  \]
\item
  Therefore:

  \[
  \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt.
  \]5. Pelo Teorema do Valor Médio para integrais, existe
  \(c \in [x,x+h]\) tal que

  \[
  \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c).
  \]
\item
  Como \(h \to 0\), \(c \to x\), e como \(f\) é contínuo:

  \[
  \lim_{h\to 0} f(c) = f(x).
  \]
\end{enumerate}

Portanto, \(F'(x) = f(x)\).

\paragraph{Esboço de Prova da Parte
II}\label{esbouxe7o-de-prova-da-parte-ii}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Seja \(F\) uma antiderivada de \(f\), então \(F'(x) = f(x)\).
\item
  Na Parte I, a função

  \[
  G(x) = \int_a^x f(t)\,dt
  \]

  também é uma antiderivada de \(f\).
\item
  Como \(F\) e \(G\) diferem apenas por uma constante,

  \[
  F(x) = G(x) + C.
  \]
\item
  Avaliando nos pontos finais:

  \[
  \int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a) = (F(b)+C)-(F(a)+C) = F(b)-F(a).
  \]
\end{enumerate}

\subsubsection{C.3 Esboço de Prova: Convergência das Séries
Geométricas}\label{c.3-esbouxe7o-de-prova-converguxeancia-das-suxe9ries-geomuxe9tricas}

A série geométrica é uma das séries infinitas mais simples e
importantes. Serve como modelo para a compreensão da convergência e é a
base para muitos resultados posteriores em cálculo.

\paragraph{A Série}\label{a-suxe9rie}

\[
\sum_{n=0}^\infty ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots
\]

onde \(a\) é o primeiro termo e \(r\) é a proporção comum.

\paragraph{Fórmula de Soma Parcial}\label{fuxf3rmula-de-soma-parcial}

A \(n\)-ésima soma parcial é

\[
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n.
\]

Multiplique ambos os lados por \(r\):

\[
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n+1}.
\]

Subtraia as duas equações:

\[
S_n - rS_n = a - ar^{n+1}.
\]

\[
S_n(1-r) = a(1-r^{n+1}).
\]

Então

\[
S_n = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}, \quad r \neq 1.
\]

\paragraph{Convergência}\label{converguxeancia}

Considere o limite como \(n \to \infty\):

\begin{itemize}
\item
  Se \(|r| < 1\), então \(r^{n+1} \to 0\).

  \[
  \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r}.
  \]
\item
  Se \(|r| \geq 1\), então \(r^{n+1}\) não vai para 0. A série diverge.
\end{itemize}

\paragraph{Resultado}\label{resultado}

\[
\sum_{n=0}^\infty ar^n =
\begin{cases}
\dfrac{a}{1-r}, & |r|<1, \\[6pt]
\text{diverges}, & |r|\geq 1.
\end{cases}
\]

\subsection{Apêndice D. Aplicativos e
Conexões}\label{apuxeandice-d.-aplicativos-e-conexuxf5es}

\subsubsection{D.1 Conexões Físicas: Velocidade, Aceleração e
Trabalho}\label{d.1-conexuxf5es-fuxedsicas-velocidade-acelerauxe7uxe3o-e-trabalho}

O cálculo foi originalmente desenvolvido para resolver problemas de
física - especialmente movimento e mudança. Aqui estão algumas das
conexões mais importantes.

\paragraph{Posição, velocidade e
aceleração}\label{posiuxe7uxe3o-velocidade-e-acelerauxe7uxe3o-1}

\begin{itemize}
\item
  Função de posição: \(s(t)\) fornece a localização de um objeto no
  tempo \(t\).
\item
  Velocidade: a derivada da posição.

  \[
  v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}
  \]
\item
  Aceleração: a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição).

  \[
  a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2}
  \]
\end{itemize}

Exemplo: Se \(s(t) = 4t^2\) metros, então:

\[
v(t) = 8t, \quad a(t) = 8.
\]

Portanto, o objeto se move mais rápido linearmente com o tempo, sob
aceleração constante.

\paragraph{Trabalho e Força}\label{trabalho-e-foruxe7a}

Na física, o trabalho é o produto da força e da distância. Se a força
varia com a posição, o cálculo fornece:

\[W = \int_a^b F(x)\, dx
\]

where \(F(x)\) is the force at position \(x\), and the object moves from
\(x=a\) to \(x=b\).

Example: A spring with Hooke's law force \(F(x) = kx\) requires work

\[
W = \int_0^d kx\, dx = \frac{1}{2}kd^2
\]

to stretch the spring a distance \(d\).

\paragraph{Energy and Areas Under
Curves}\label{energy-and-areas-under-curves}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Kinetic energy: \(E_k = \tfrac{1}{2}mv^2\).
\item
  Potential energy often involves integrals (e.g., gravitational
  potential energy from force of gravity).
\item
  In general, integrating a force function gives energy stored or work
  done.
\end{itemize}

\paragraph{Quick Practice}\label{quick-practice}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  If \(s(t) = t^3 - 3t\), find \(v(t)\) and \(a(t)\).
\item
  Compute the work done by a constant force of 10 N moving an object 5
  m.
\item
  A spring has constant \(k=200\). How much work is needed to stretch it
  0.1 m?
\item
  Show that acceleration is the second derivative of position.
\item
  Explain how the integral \(\int v(t)\, dt\) relates to displacement.
\end{enumerate}

\subsubsection{D.2 Probability and Statistics
Connections}\label{d.2-probability-and-statistics-connections}

Calculus is deeply connected with probability and statistics, especially
when dealing with continuous random variables. Integrals become
essential for defining probabilities, averages, and expectations.

\paragraph{Probability Density Functions
(PDFs)}\label{probability-density-functions-pdfs}

For a continuous random variable \(X\), probabilities are described by a
probability density function \(f(x)\):

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  \(f(x) \geq 0\) for all \(x\).
\item
  Total probability equals 1:

  \[
  \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1.
  \]
\end{enumerate}

The probability that \(X\) lies in an interval \([a,b]\) is

\[
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx.
\]

\paragraph{Expected Value (Mean)}\label{expected-value-mean}

The expected value (average outcome) is

\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\, dx.
\]

This is the calculus version of a weighted average.

\paragraph{Variance}\label{variance}

Variance measures spread:

\[
\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\, dx,
\]

where \(\mu = E[X]\).

\paragraph{Common Distributions}\label{common-distributions}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  Uniform distribution on \([a,b]\):

  \[
  f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b.
  \]

  Mean: \(\frac{a+b}{2}\).
\item
  Exponential distribution with parameter \(\lambda > 0\):

  \[
  f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0.
  \]

  Mean: \(1/\lambda\).
\item
  Normal (Gaussian) distribution:

  \[
  f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}.
  \]

  Integrais desta distribuição conectam-se à função de erro.
\end{enumerate}

\paragraph{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-31}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Integrais transformam probabilidades em áreas sob curvas.
\item
  A expectativa e a variância ligam o cálculo às médias e à
  variabilidade.
\item
  A maioria dos modelos de dados do mundo real (finanças, física,
  biologia, IA) utiliza estas distribuições de probabilidade contínuas.
\end{itemize}

\paragraph{\texorpdfstring{Prática Rápida1. Para \(f(x) = \tfrac{1}{2}\)
em \([0,2]\), calcule
\(P(0.5 \leq X \leq 1.5)\).}{Prática Rápida1. Para f(x) = \textbackslash tfrac\{1\}\{2\} em {[}0,2{]}, calcule P(0.5 \textbackslash leq X \textbackslash leq 1.5).}}\label{pruxe1tica-ruxe1pida1.-para-fx-tfrac12-em-02-calcule-p0.5-leq-x-leq-1.5.}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  Para distribuição exponencial com \(\lambda = 2\), calcule \(E[X]\).
\item
  Mostre que a área total sob a curva normal padrão é igual a 1.
\item
  Encontre a média de uma distribuição uniforme em \([3,7]\).
\item
  Explique por que as probabilidades são calculadas com integrais, e não
  com somas, para variáveis \hspace{0pt}\hspace{0pt}contínuas.
\end{enumerate}

\subsubsection{D.3 Conexões da Ciência da Computação: Aproximações de
Taylor em
Algoritmos}\label{d.3-conexuxf5es-da-ciuxeancia-da-computauxe7uxe3o-aproximauxe7uxf5es-de-taylor-em-algoritmos}

O cálculo não é apenas para a física - ele também sustenta muitas
ferramentas e técnicas da ciência da computação. Uma das pontes mais
claras é através das séries de Taylor, que fornecem maneiras eficientes
de aproximar funções em computação numérica e algoritmos.

\paragraph{Aproximação de Função para
Computação}\label{aproximauxe7uxe3o-de-funuxe7uxe3o-para-computauxe7uxe3o}

Os computadores não podem armazenar ou calcular diretamente a maioria
das funções com exatidão (como \(e^x\), \(\sin x\) ou \(\ln x\)). Em vez
disso, eles usam aproximações polinomiais derivadas de expansões de
Taylor.

Exemplo: Para aproximar \(e^x\), trunque a série Maclaurin:

\[
e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}.
\]

Para \(x\) pequeno, este polinômio fornece resultados precisos com
apenas alguns termos.

\paragraph{Eficiência em Algoritmos}\label{eficiuxeancia-em-algoritmos}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Funções trigonométricas: Algoritmos para calculadoras e CPUs
  geralmente usam expansões em série (ou variações como polinômios de
  Chebyshev).
\item
  Exponencial/logaritmo: As expansões de Taylor são a base de
  aproximações rápidas em bibliotecas numéricas.
\item
  Determinação da raiz: o método de Newton baseia-se na aproximação
  linear, uma aplicação direta da série de Taylor (primeira derivada).
\end{itemize}

\paragraph{Análise Numérica}\label{anuxe1lise-numuxe9rica}

As expansões de Taylor são centrais na análise de erros:

\begin{itemize}
\item
  Aproximação do termo de erro usando a fórmula do resto:

  \[
  R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.
  \]
\item
  Isso nos diz quantos termos são necessários para uma determinada
  precisão.
\end{itemize}

\paragraph{Conexões de aprendizado de
máquina}\label{conexuxf5es-de-aprendizado-de-muxe1quina}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  A otimização baseada em gradiente (como descida de gradiente) usa
  derivadas para atualizar parâmetros de forma eficiente.
\item
  Funções de ativação (como \(\tanh x\) ou \(\sigma(x)=1/(1+e^{-x})\))
  são frequentemente aproximadas por polinômios ou funções por partes
  para velocidade.
\item
  As aproximações em série podem acelerar o treinamento e a inferência
  em ambientes restritos.
\end{itemize}

\paragraph{Por que isso é
importante}\label{por-que-isso-uxe9-importante-32}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  As aproximações de Taylor unem a matemática contínua com a computação
  discreta.
\item
  Eles mostram como os conceitos de cálculo são usados
  \hspace{0pt}\hspace{0pt}em algoritmos, métodos numéricos e aprendizado
  de máquina.
\item
  Compreender as aproximações ajuda a evitar armadilhas ao confiar em
  computadores para cálculos.
\end{itemize}

\paragraph{Prática Rápida}\label{pruxe1tica-ruxe1pida}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Aproxime \(\sin(0.1)\) usando os três primeiros termos de sua série
  Maclaurin.2. Use o termo restante para estimar o erro na aproximação
  de \(e^1\) com um polinômio de grau 3.
\item
  Explique como o método de Newton utiliza o teorema de Taylor.
\item
  Por que os computadores podem preferir aproximações polinomiais a
  fórmulas exatas para funções?
\item
  No aprendizado de máquina, por que a derivada (gradiente) é tão
  crítica para a otimização?
\end{enumerate}




\end{document}
